Ćwiczenie 8
Transkrypt
Ćwiczenie 8
Zadanie W celu sprawdzenia, czy pipeta jest obarczona błędem systematycznym stałym lub zmiennym wykonano szereg pomiarów przy różnych ustawieniach pipety. Wyznacz równanie regresji liniowej, które pozwoli stwierdzić z jakim błędem mamy do czynienia. X – wartość ustawiona, Y – wartość zmierzona. X 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 Y 3,3 6,8 11,0 15,2 18,9 Prosta regresji najmniejszych kwadratów: y=a xb Szukamy takich wartości a i b, aby różnice: yi − y i były jak najmniejsze. Współczynniki regresji liniowej: a= N ∑ x i y i −∑ x i ∑ y i 2 i N ∑ x −∑ x i 2 x i ∑ x i yi −∑ xi2 ∑ yi2 ∑ b= 2 ∑ x i − N ∑ xi2 a=0,99 b=−0,84 y −b a= x b= y −a x Odchylenie standardowe współczynnika kierunkowego regresji a oraz współczynnika przesunięcia b wyliczmy ze wzorów: s a= s 2xy N s 2x 2 2 sa ∑ xi sb= N Przedziały ufności dla współczynnika kierunkowego regresji a oraz współczynnika przesunięcia b wyliczmy ze wzorów: a−t / 2 ; df =n−2 s a Aat / 2 ; df =n−2 s a b−t / 2 ; df =n−2 s b Bbt / 2 ; df =n−2 s b Odchylenie standardowe resztkowe: 2 y − y ∑ i i s xy = N −2 y x=4,0=3,12 y x=8,0=7,08 y x=12,0=11,04 y x=16,0=15,00 y x=20,0=18,96 s xy =0,23 Odchylenie standardowe sa oraz sb wynosi: s a =0,016 s b=0,21 Przedziały ufności dla współczynnika kierunkowego regresji a oraz współczynnika przesunięcia b są następujące: 0,94 A1,04 −1,51B−0,17 Miarą współzależności liniowej dwóch zmiennych X i Y jest kowariancja określona wzorem: n 1 cov x , y= ∑ x i − x yi − y n i =1 xi yi ∑ cov x , y= − x y n Bezpośrednie porównywanie pierwotnych wartości liczbowych par cech w badanej próbie nie ma merytorycznego uzasadnienia. Można porównywać ze sobą wartości unormowane różnych cech. Wartości unormowane są obliczane z następujących wzorów. xi − x x '= sx y i − y y'= sy Powszechnie przyjęto używać jako miary związku współzależności między cechami wielkość zwaną współczynnikiem korelacyjnym Pearsona r: cov x , y r= = s x⋅s y ∑ xi −x y i− y 2 2 x − x y − y ∑ ∑ i i Uwaga! W tym przypadku we wzorach na sx oraz sy w mianowniku jest n, a nie n-1! Lub współczynnika determinacji - r2: Odchylenie standardowe współczynnika korelacji dla małolicznej próby wynosi: 1−r 2 sr = n−1 Współczynnik korelacji r przybiera wartości z zakresu <-1;1>. Przy zupełnym braku korelacji r = 0. Przy pełnej korelacji r = 1 (korelacja dodatnia) lub r = -1 (korelacja ujemna). Pozostałe wartości świadczą o częściowej korelacji. Istotność korelacji można zweryfikować testem t-Studenta. Hipoteza H0: =0 cov X ,Y = xy Statystykę oblicza się ze wzoru: r 2 N −2 t d= 1−r 2 df = N −2 Zadanie Z populacji mężczyzn wybrano losowo próbę złożoną z 6 osób i określono ich masę oraz wzrost otrzymując następujące pary liczb: Wzrost (cm) Masa (kg) 161,9 54,3 164,7 51,4 180,6 71,6 188,8 81,5 176,7 75,0 171,6 60,8 Czy pomiędzy tymi cechami istnieje istotna statystycznie korelacja? xi yi ∑ cov x , y= − x y =96,8 n s x =9,2 r= s y =11,03 cov x , y =0,95 s x⋅s y 2 r N −2 td= =6,08 2 1−r df =4 t / 2=0,025 ; df =4 =2,776 Odp.: Istnieje korelacja pomiędzy wzrostem a masą ciała. 0,01<pvalue<0,002 Masa (kg) 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 160 165 170 175 180 Wzrost (cm) 185 190 195 Zadanie Biorąc dane z poprzedniego zadania oblicz współczynnik determinacji. r 2 =0,90 Zadanie W celu sprawdzenia dokładności dwóch metod stosowanych do oznaczania stężenia glukozy przygotowano roztwór wzorcowy glukozy o stężeniu 6 mg/ml. Następnie wykonano 9 pomiarów dwoma metodami otrzymując następujące wyniki: Czy metody te różnią się precyzją, jeśli tak, to która z nich jest bardziej precyzyjna? Co można powiedzieć o dokładności obydwu metod? Metoda I Metoda II 6,15 5,96 6,19 6,12 6,03 6,04 6,12 6,1 6,17 5,9 6,20 5,81 6,04 6,17 6,06 6,01 6,07 6,13 x I =6,11 x II =6,03 s I =0,066 s II =0,12 Sprawdzamy dokładność metod: F =3,23 F /2=0,025 ;8 ;8 =4,43 Metody nie różnią się istotnie precyzją. Sprawdzamy rzetelność metod: t I= 6,114−6 =5,0 0,066 9 t II = Odp.: Metoda I jest niedokładna. 6,027−6 =0,67 0,119 9 t /2=0,025 ;8 =2,306