Indeksowane rodziny zbiorów

Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7
Indeksowane rodziny zbiorów
X ̸= ∅ b¦dzie przestrzeni¡ (zbiorem, którego podzbiorami b¦d¡ wszystkie rozpatrywane
zbiory), R rodzin¡ wszystkich podzbiorów X za± T dowolnym zbiorem (b¦dziemy go nazywa¢
Niech
zbiorem indeksów, za± jego elementy indeksami).
Def. 7.1
f : T → R, przyporz¡dkowuj¡c¡ ka»demu elementowi zbioru T (ka»demu indeksowi) zbiór
nale»¡cy do R, nazywamy indeksowan¡ rodzin¡ zbiorów lub indeksowan¡ rodzin¡ podzbiorów przestrzeni X .
Funkcj¦
Niech
t∈T
i niech funkcja
f
przyporz¡dkowuje indeksowi
t
zbiór
At ,
f (t) = At .
W takim przypadku indeksowan¡ rodzin¦ zbiorów b¦dziemy oznacza¢ symbolem
(At )t∈T .
Przykªady indeksowanych rodzin zbiorów
I.
T = {1, 2, 3} i niech R
N = {1, 2, 3, . . .}. Zdeniujmy
Niech
b¦dzie rodzin¡ wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych
f (t) = At = {m ∈ N : m > t}.
Wówczas
II.
Niech
A1 = {2, 3, 4, . . .}, A2 = {3, 4, 5, . . .}, A3 = {4, 5, 6, . . .}.
T = N
i niech
R
b¦dzie rodzin¡ wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych
R.
Zdeniujmy
f (t) = At = {x ∈ R : (−1)t 6 x 6 1 + 1t }.
Rodzina
(At )t∈N
jest wówczas ci¡giem przedziaªów liczb rzeczywistych
A1 = {x ∈ R : −1 6 x 6 2},
A2 = {x ∈ R : 1 6 x 6 32 },
A3 = {x ∈ R : −1 6 x 6 43 },
.
.
.
III. Niech T = R i niech R b¦dzie rodzin¡ wszystkich podzbiorów R. Zdeniujmy
f (t) = At = {x ∈ R : |x| 6 t2 }.
Mamy wówczas na przykªad
A0 = {0}, A−√2 = {x ∈ R : |x| 6 2}, Aπ = {x ∈ R : |x| 6 π 2 }
1
i.t.d.
(At )t∈T
Niech
b¦dzie dowoln¡ indeksowan¡ rodzin¡ podzbiorów przestrzeni
Def. 7.2
Sum¡ rodziny zbiorów
(At )t∈T
nazywamy zbiór oznaczany symbolem
∪
At
X.
zdeniowany równowa»-
t∈T
no±ci¡
∀x ∈ X :
(
(
x∈
∪
At
)
⇔
(
∃ t ∈ T : x ∈ At
)
)
.
t∈T
Uwaga.
W przypadku, gdy
T = {1, 2, . . . n}
∪
zamiast
At
b¦dziemy stosowa¢ zapis
t∈T
przypadku, gdy
T
jest zbiorem liczb naturalnych b¦dziemy stosowa¢ oznaczenie
n
∪
At ;
w
Liter¦
t,
t=1
∞
∪
At .
t=1
oznaczaj¡c¡ indeks, b¦dziemy tak»e czasami zast¦powa¢ innymi literami (liter¡
niewyspecykowanego zbioru indeksów
lub podzbiorem
T
oraz literami
i lub n gdy T
Przykªady. Dla indeksowanych rodzin podzbiorów powy»ej mamy:
I.
II.
Ai = {2, 3, 4, . . .},
i=1
∞
∪
An = {x ∈ R : −1 6 x 6 2},
n=1
III.
∪
At = R.
t∈R
Def. 7.3 Zdeniujmy zbiór
∩
At
poprzez równowa»no±¢:
t∈T
∀x ∈ X :
(
(
x∈
∩
At
)
⇔
(
∀ t ∈ T : x ∈ At
)
)
.
t∈T
Zbiór
∩
At
nazywamy
cz¦±ci¡ wspóln¡ (lub iloczynem) rodziny zbiorów
t∈T
Przykªady. Dla indeksowanych rodzin podzbiorów powy»ej mamy:
I.
II.
3
∩
Ai = {4, 5, 6, . . .},
i=1
∞
∩
An = {1},
n=1
III.
∩
At = {0}.
t∈R
2
w przypadku
jest zbiorem liczb naturalnych
N).
3
∪
s
(At )t∈T .
Wªasno±ci sum i iloczynów rodzin zbiorów
Dla dowolnej indeksowanej rodziny zbiorów
(1)
∀ t ∈ T : At ⊂
(At )t∈T
∪
i dla dowolnego zbioru
As ,
s∈T
(2)
je±li
∪
∀ t ∈ T : At ⊂ A, to
je±li
As ⊂ At ,
s∈T
At ⊂ A,
t∈T
(3)
∩
∀t ∈ T :
i
A:
∀ t ∈ T : A ⊂ At , to A ⊂
∩
At .
t∈T
Dla przykªadu: dowód pierwszej cz¦±ci (1). Niech
T
b¦dzie zakresem argumentu formy zdaniowej
φ.
Prawo rachunku kwantykatorów:
∀ t ∈ T : (φ(t) ⇒ ∃ s ∈ T : φ(s)) .
zastosowane do traktowanego jako forma zmiennej
t (lub s) wyra»enia x ∈ At
(odpowiednio
x ∈ As )
daje
∀ t ∈ T ∀x ∈ X : (x ∈ At ⇒ ∃ s ∈ T : x ∈ As ) ,
co na mocy denicji 7.2 równowa»ne jest dowodzonej inkluzji zbiorów.
Dla dowolnych indeksowanych rodzin zbiorów
(4)
je±li
(At )t∈T
∀ t ∈ T : At ⊂ Bt , to
∩
i
(Bt )t∈T
At ⊂
t∈T
∩
Bt i
t∈T
∪
At ⊂
t∈T
∪
Bt .
t∈T
Dla przykªadu, dowód pierwszej z tych to»samo±ci ma posta¢:
∀ t ∈ T : At ⊂ Bt ⇔ ∀ t ∈ T ∀ x ∈ X : (x ∈ At ⇒ x ∈ Bt )
⇔ ∀ x ∈ X ∀ t ∈ T : (x ∈ At ⇒ x ∈ Bt )
(
)
⇒ ∀ x ∈ X : (∀ t ∈ T : x ∈ At ) ⇒ (∀ t ∈ T : x ∈ Bt )
)
(
∩
∩
⇔ ∀x ∈ X : x ∈
At ⇒ x ∈
Bt
⇔
∩
t∈T
At ⊂
∩
t∈T
t∈T
Bt
t∈T
gdzie pierwsza i ostatnia równowa»no±ci wynikaj¡ z denicji inkluzji zbiorów, druga równowa»no±¢
wyra»a prawo przemienno±ci dla kwantykatorów dla ka»dego, czwarta równowa»no±¢ wynika z
denicji iloczynu indeksowanej rodziny zbiorów za± implikacja jest realizacj¡ jednego z praw rozkªadu
kwantykatora.
3
Dalej: dla dowolnego zbioru
A
i dla dowolnej indeksowanej rodziny zbiorów
(5)
∪
A∪
∪
t∈T
(6)
A∩
∩
A∪
∩
A∩
(A ∪ Bt ),
∪
Bt =
(A ∩ Bt ),
∩
t∈T
Bt =
t∈T
(8)
mamy
t∈T
t∈T
(7)
∪
Bt =
(Bt )t∈T
(A ∪ Bt ),
∩
t∈T
Bt =
t∈T
(A ∩ Bt ).
t∈T
Proste dowody to»samo±ci (5) (8) opieraj¡ si¦ o prawa rozszerzenia zakresu kwantykatora istnieje (to»samo±ci (5) i (6)) oraz dla ka»dego (to»samo±ci (7) i (8)).
(At )t∈T i (Bt )t∈T
( ∪
) ( ∪
)
∪
At ∪
Bt =
(At ∪ Bt ),
Wreszcie: dla dowolnych indeksowanych rodzin zbiorów
(9)
t∈T
(10)
( ∩
(11)
t∈T
(At ∩ Bt ) ⊂
t∈T
)
t∈T
At ∪
( ∩
Bt
)
( ∪
) ( ∪
)
At ∩
Bt ,
t∈T
⊂
∩
t∈T
t∈T
)
) ( ∩
Bt =
At ∩
t∈T
t∈T
t∈T
t∈T
( ∩
(12)
∪
∩
zachodzi:
t∈T
(At ∪ Bt ),
(At ∩ Bt ).
Dowody to»samo±ci (9) (12) mo»na oprze¢ o wªa±ciwe prawa rozkªadu kwantykatorów. Mo»na
te» poda¢ dowody nie korzystaj¡ce z tych praw. Udowodnimy dla przykªadu (11).
Dla ka»dego
x ∈ X zachodzi
(
)
(∩ ) (∩ )
(∩ )
(∩ )
x∈
At ∪
Bt
⇔ x∈
At ∨ x ∈
At
t∈T
t∈T
⇔
(
t∈T
t∈T
)
(
∀ t ∈ T : x ∈ At ∨ ∀ t ∈ T : x ∈ Bt
)
gdzie pierwsza równowa»no±¢ wynika z denicji sumy zbiorów, za± druga z denicji iloczynu indeksowanej rodziny zbiorów. Je±li teraz zachodzi pierwszy czªon alternatywy, to
(
(∀ t ∈ T : x ∈ At ) ⇒ (∀ t ∈ T : x ∈ At ∪ Bt ) ⇔
x∈
∩
)
(At ∪ Bt )
t∈T
gdzie implikacja jest prost¡ konsekwencj¡ denicji sumy zbiorów, za± równowa»no±¢ wynika z denicji iloczynu indeksowanej rodziny zbiorów. Podobnie
(
(∀ t ∈ T : x ∈ Bt ) ⇒ (∀ t ∈ T : x ∈ At ∪ Bt ) ⇔
x∈
∩
)
(At ∪ Bt )
t∈T
co ko«czy dowód (11).
Inkluzji w (11) nie mo»na zast¡pi¢ równo±ci¡. Niech bowiem
T = Z
(tym symbolem oznaczamy
zbiór liczb caªkowitych) i niech
An = {x ∈ R : x 6 n},
Bn = {x ∈ R : x > n}.
4
Dla ka»dego
n∈Z
mamy
An ∪ Bn = R,
czyli
∩
(An ∪ Bn ) = R.
n∈Z
Z drugiej strony
∩
∩
An = ∅,
n∈Z
Bn = ∅
∩
⇒
n∈Z
An ∪
n∈Z
∩
Bn = ∅.
n∈Z
Uogólnione prawa de Morgana
Je±li
(At )t∈T
jest indeksowan¡ rodzin¡ podzbiorów zbioru
oanzcymu dopeªnienie zbioru
B,
t.j.
B ′ = X \ B,
(∪
At
t∈T
(∩
At
)′
)′
X
i dla dowolnego
B ⊂ X
przez
to zachodz¡ to»samo±ci:
=
∩
A′t ,
t∈T
=
t∈T
∪
A′t .
t∈T
Uogólnione prawa de Morgana wynikaj¡ natychmiast z praw zaprzeczenia dla kwantykatorów.
5
B′