Elektronika 15.04.2016 Lista 6. Funkcje tworzące i liczby Catalana.

Matematyka Dyskretna – Elektronika
Lista 6. Funkcje tworzące i liczby Catalana.
15.04.2016
1. Podaj funkcje tworzące ciągów:
an = 1;
cn = 3n dla n > 2, c0 = c1 = 0;
bn = (−2)n+1 ;
dn = 2n dla n > 2, d0 = 2, d1 = −1.
2. Znajdź wyraz ogólny ciągu, którego funkcją tworzącą jest:
1
1+2x ;
x
1−x2 ;
(x + 2)k ;
xex ;
x2 e−2x+1 .
3. Stosując twierdzenie o całkowaniu i różniczkowaniu szeregu potęgowego, znajdź wyraz ogólny ciągu,
1
którego funkcją tworzącą jest: a) (1−x)
b) ln(1 + x).
2;
4. Wyznacz funkcję tworzącą ciągu a0 = 2, an+1 = 2an + 3, a następnie wzór na jego wyraz ogólny.
5. Korzystając z funkcji tworzących, rozwiąż równania rekurencyjne:
a) an+1 = 2an + 3, a0 = 2;
c) cn+2 = 2cn+1 − cn , c0 = 0, c1 = 1;
b) bn+2 = 3bn+1 − 2bn , b0 = 0, b1 = 1;
d) (∗) dn+1 = 2dn + 5(n + 1), d0 = 0.
6. Korzystając z funkcji tworzących, rozwiąż poniższy układ równań rekurencyjnych.


an+1 = 2bn − 3an
bn+1 = 3bn − 4an

a = 2, b = 3
0
0
7. Wyznacz funkcje tworzące ciągów:
{
1
1
, n = 2k
n
a) an = (−1)
; b) bn = n!
;
n!
0, n = 2k+1
{
0, n = 2k
c) cn = 1
;
n! , n = 2k+1

1
, n = 2k
.
d) dn = k!

0, n = 2k+1
8. Na ile sposobów można podzielić za pomocą nieprzecinających się przekątnych 10-kąt wypukły na
trójkąty?
9. Na ile sposobów można:
a) rozmieścić n par nawiasów pomiędzy sobą tak, aby każdy nawias otwierający miał swój nawias
zamykający, np. ()(), (()), ale już nie tak ())(;
b) przejść po kracie Z × Z (punkty płaszczyzny, o obu współrzędnych całkowitych) z punktu (0, 0) do
punktu (n, n), poruszając się jedynie o jeden punkt do góry lub w prawo oraz nie schodząc poniżej
prostej y = x? Są to tak zwane ścieżki Catalana długości n.
( n ) (n)
10. Liczby Narayany dane są wzorem N (n, k) = n1 k−1
k dla 1 6 k 6 n, zliczają
∑n ścieżki Catalana długości
n, które mają dokładnie k „zakrętów” w prawo. Wynika stąd, że Cn =
k=1 N (n, k). Uzasadnij tę
równość, korzystając z wiedzy z poprzednich wykładów.
11. Uzasadnij, że Cn =
( 2n )
n
−
(
2n
n−1
)
.
12. (∗) Stosując iloczyn funkcji tworzących lub splot ciągów, oblicz na ile sposobów można rozmienić 20złotowy banknot za pomocą bilonów 1zł, 2zł i 5zł?
(x)
13. (∗) Uzasadnij, że jeżeli f (x) jest funkcją tworzącą ciągu an , to f1−x
jest funkcją tworzącą ciągu sn sum
częściowych an , tzn. sn = a0 + a1 + . . . + a∑
n . Korzystając z tego faktu, wyznacz funkcję tworzącą ciągu
1
gn = n + 1 oraz liczb harmonicznych Hn = nk=1 k1 . Funkcją tworzącą jakiego ciągu jest (1−x)
k+1 ?