Spl¡tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych

Transkrypt

Spl¡tanie i inne korelacje kwantowe
w ukªadach zªo»onych
Lech Jakóbczyk
Instytut Fizyki Teoretycznej
Uniwersytet Wrocªawski
1 / 17
Spl¡tanie stanów czystych
Formalna denicja spl¡tania
Ukªad zªo»ony: co najmniej dwa podukªady. Przestrze«
Hilberta
HAB = HA ⊗ HB
I
I
HA - przestrze« Hilberta podukªadu A
HB - przestrze« Hilberta podukªadu B
Stan czysty ψ ∈ HAB jest separowalny je±li
ψ = ϕA ⊗ ϕB ,
ϕA ∈ HA ,
ϕB ∈ HB
Stan czysty jest spl¡tany, je±li nie jest separowalny.
2 / 17
Jak wykry¢ stany spl¡tane?
I
Kryterium separowalno±ci stanów czystych: stan
ψ ∈ HAB jest separowalny ⇔ jego ±lady cz¦±ciowe
trA |ψihψ|,
trB |ψihψ|
s¡ stanami czystymi.
A zatem
I ψ jest spl¡tany, gdy jego ograniczenia do podukªadów nie
s¡ stanami czystymi.
3 / 17
'Fizyczna' denicja spl¡tania
ukªad zyczny
stan ukªadu
I
I
≡
≡
algebra obserwabli A
funkcjonaª liniowy ω : A → C, który jest
dodatni: ω(A∗ A) ≥ 0, ∀A ∈ A
unormowany: ω(1) = 1
Przykªady stanów:
I ωψ = h ψ, Aψ i - stan wektorowy
I ωρ = tr(ρA) - stan mieszany
4 / 17
ukªad zªo»ony ≡ algebra obserwabli Atot zawiera
podalgebry A oraz B takie »e:
I
I
A i B s¡ statystycznie niezale»ne: [A , B ] = 0
A i B generuj¡ Atot
Stan czysty ω : Atot → C jest (A , B ) - separowalny, je±li
ω(AB ) = ω(A)ω(B ),
∀A ∈ A ,
B ∈B
Stan czysty ω jest (A , B ) - spl¡tany, je±li powy»sza wªasno±¢
nie zachodzi.
5 / 17
Uwaga:
I
I
I
poj¦cie spl¡tania zale»y od mierzonych obserwabli,
przy wyborze pary (A , B ), spl¡tanie stanu oznacza
istnienie korelacji mi¦dzy niezale»nymi obserwablami
ka»dy stan czysty mo»e by¢ spl¡tany (lub separowalny):
zawsze istnieje wybór pary (A , B ), taki »e stan ω jest
(A , B ) - separowalny b¡d¹ nie
6 / 17
Spl¡tanie stanów mieszanych
Separowalno±¢ stanów mieszanych - denicja
Wernera (1989)
Stan mieszany jest (A , B ) - separowalny, je±li da si¦
przedstawi¢ jako kombinacja wypukªa czystych stanów
(A , B ) - separowalnych.
Stan ω jest (A , B ) - spl¡tany, je±li nie jest separowalny.
Problem: Jak wykry¢ takie spl¡tanie ?
7 / 17
Kryterium Peresa (1996)
Niech stan ω b¦dzie zadany przez operator stanu ρ. Je±li ρ
jest separowalny, czyli
ρ = ∑ pj Pj Qj ,
j
Pj ∈ A , Qj ∈ B
to po cz¦±ciowej transpozycji
ρPT = ∑ pj PjT Qj ≥ 0
j
Mamy wi¦c
ρ jest separowaly
⇒
ρ jest PPT
8 / 17
czyli
ρ jest NPPT (ρPT 0)
I
I
I
I
⇒
ρ jest spl¡tany
dla dwóch qubitów (HAB = C2 ⊗ C2 ), ρ jest NPPT ⇔ ρ
jest spl¡tany,
dla ukªadów na przestrzeniach Cd ⊗ Cd , d ≥ 3, istniej¡
stany spl¡tane, które s¡ PPT,
s¡ to przykªady stanów o spl¡taniu zwi¡zanym, które nie
da si¦ wydestylowa¢ do spl¡tania stanów czystych,
nie wiadomo, czy wszystkie stany NPPT s¡ destylowalne
9 / 17
Czy tylko spl¡tanie?
Czy rzeczywi±cie separowalne stany mieszane nie zawieraj¡
»adnych korelacji kwantowych? Odpowied¹ Wernera jest
raczej formalna. Rozwa»my operacyjne podej±cie do problemu:
{PkA }
- zupeªny pomiar podukªadu
A
m
PkA - projektory 1 - wymiarowe, ∑ PkA = 1
k
Podobnie deniujemy zupeªny pomiar podukªadu
B.
10 / 17
Po lokalnym pomiarze
ρ
→
PAB (ρ) = ∑ PkA ⊗ PlB ρ PkA ⊗ PlB
k ,l
Je±li wszystkie lokalne pomiary zaburzaj¡ stan ρ:
PAB (ρ) 6= ρ
dla dowolnych projektorów {PkA ⊗ PlB }, to naturalne jest
stwierdzenie:
Stan ρ jest czysto kwantowy - opisuje kwantowe korelacje
mi¦dzy niezale»nymi podukªadami. W przeciwnym wypadku,
stan ρ jest klasyczny.
11 / 17
Stan ρ jest klasyczny
≡
istniej¡ projektory PkA ⊗ PlB :
ρ = ∑ pkl PkA ⊗ PlB ,
k ,l
I
I
pkl ≥ 0, ∑ pkl = 1
k ,l
wszystkie stany spl¡tane s¡ czysto kwantowe,
istniej¡ separowalne stany czysto kwantowe np
1
ρ=
|0ih0| ⊗ |+ih+| + |1ih1| ⊗ |−ih−| +
4
|+ih+| ⊗ |1ih1| + |−ih−| ⊗ |0ih0|
jest czysto kwantowym stanem dwóch qubitów,
12 / 17
I
prawie wszystkie stany s¡ czysto kwantowe.
Rozwa»a si¦ te» 'jednostronne' pomiary lokalne {PkA ⊗ 1} lub
{1 ⊗ PkB }.
Stan ρ jest klasyczno - kwantowy je±li istnieje pomiar lokalny
(np PkA ⊗ 1), taki »e
PA (ρ) = ∑ PkA ⊗ 1 ρ PkA ⊗ 1 = ρ
k
Stany klasyczno - kwantowe s¡ postaci
ρ = ∑ pk PkA ⊗ ρB
k
k
gdzie {pk } jest pewnym rozkªadem probabilistycznym, a ρBk s¡
dowolnymi stanami ukªadu B .
13 / 17
Miara kwantowo±ci korelacji
Miara kwantowo±ci korelacji: geometryczny
'kwantowy discord' (Daki¢, Vedral, Brukner - 2010)
Niech ΩAB - zbiór stanów klasycznych ukªadu zªo»onego
DGAB (ρ) = inf
||ρ−χ||22
gdzie ||m||2 =
tr (mm∗ ).
χ∈ΩAB
p
AB .
- dwustronny geometryczny 'discord'
Równowa»na denicja
DGAB (ρ) = inf
PAB
||ρ − PAB (ρ)||22
14 / 17
Cz¦±ciej analizuje si¦ jednostronny geometryczny 'discord'
DGA (ρ) = inf ||ρ − PA (ρ)||22
PA
maj¡cy bliski zwi¡zek z kwantowym 'discordem' (Ollivier,
urek- 2002), wprowadzonym w kontek±cie analizy kwantowej
miary 'informacji wzajemnej'.
Co wiadomo o DGA ?
I W przypadku dwóch qubitów:
q
I dla stanów czystych:
I dla dowolnych stanów:
D A (ψ) = spl¡tanie ψ
qG
DGA (ρ) ≥ spl¡tanie ρ
Adesso - 2011)
I istnieje zwarta formuªa na
DG (ρ)
(Girolami,
dla dowolnego stanu
15 / 17
I
W przypadku dwóch quditów:
I dla stanów czystych:
DGA (ψ) ≥
q
spl¡tanie mierzone przez 'negativity'
I dla dowolnych stanów ?
Przykªad: Stan Wernera
1
ρ∞ = 1, P - projektor na stan Bella
4
Deniujemy stan Wernera
ρW = (1 − p ) ρ∞ + p P ,
p ∈ [0, 1]
16 / 17
Dla stanu Wernera spl¡tanie mierzone przez 'negativity'
N (ρW ) wynosi
(
0,
p ≤ 1/3,
N (ρW ) =
(3p − 1)/2, p > 1/3
a z drugiej strony
DGA (ρW ) = p2
Wida¢, »e:
q
I
DGA (ρW ) ≥ N (ρW ),
I separowalny stan Wernera (p ∈ (0, 1/3]), ma czysto
kwantowe korelacje
17 / 17

Spl¡tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Subniskotonowa kolumna głośnikowa du ej mocy 2 x 18”

Super miniaturowy moduł audio ( mikrofon), zasilanie 12 V, wymiary

regulamin zawodów szybowcowych na celność lądowania

Dynacord Sub 112

Pobierz kartę katalogową

Excursion MXT-15D2 samochodowy głośnik niskotonowy