Metoda probabilistyczna

Metoda probabilistyczna - lista zadań domowych
Marcin Kotowski, Michał Kotowski
12 sierpnia 2011
Zgodnie z umową za przysłanie rozwiązań zadań 4, 8, 9, 10, 11 przewidziane są nagrody.
Zadanie 1. Pokazać, że można podzielić N na dwa rozłączne zbiory tak, że żaden z nich nie zawiera ani
trzech kolejnych liczb, ani nieskończonego ciągu arytmetycznego.
Zadanie 2. Antyłańcuchem nazwiemy rodzinę F = {S1 , . . . , Sk } podzbiorów {1, . . . , n} taką, że dla żadnych
i, j nie zachodzi Si ⊆ Sj . Pokazać, że:
X 1
¬1
n
i
|Si |
Jaki jest maskymalna możliwa ilość zbiorów w antyłańcuchu?
Zadanie 3. Pokazać, że w każdym grafie o n wierzchołkach i średnim stopniu d = 2m
n istnieje zbiór niezan
leżny mocy co najmniej d+1
(zbiór niezależny to taki zbiór, że pomiędzy jego wierzchołkami nie ma żadnych
krawędzi).
Zadanie 4. Dany jest zbiór niezerowych liczb całkowitych {b1 , . . . , bn }. Pokazać, że zawiera on podzbiór A
mocy > 31 n o następującej własności: żaden element z A nie daje się przedstawić jako suma dwóch innych
elementów z A.
Zadanie 5. Niech (x1 , . . . , x2n ) będzie permutacją zbioru {1, . . . , 2n}. Powiemy, że permutacja ma własność
P, jeśli dla pewnego i zachodzi |xi+1 − xi | = n. Pokazać, że dla każdego n własność P ma ponad połowa
wszystkich permutacji.
Zadanie 6. Niech A będzie podzbiorem {0, 1}n . A nazwiemy zbiorem (n, k)-uniwersalnym, jeśli dla dowolnych
k współrzędnych ze zbioru 1, . . . , n rzut A na te współrzędne zawiera wszystkie ciągi z {0, 1}k . Pokazać, że
dla każdego n i k istnieje zbiór (n, k)-uniwersalny mocy co najwyżej k2k log n.
Zadanie 7. Niech G będzie grafem dwudzielnym. Pokazać, że istnieje w G podgraf H nie zawierający cyklu
długości 4 taki, że E(H) ­ 43 E(G)2/3 .
Zadanie 8. Pokazać, że dla każdego n istnieje skończony zbiór S punktów na płaszczyźnie taki, że dla
każdego x ∈ S istnieje dokładnie n punktów w S odległych od x o 1.
Zadanie 9. Niech F będzie rodziną k-elementowych podzbiorów zbioru {0, . . . , n − 1}, z których każde dwa
mają niepuste przecięcie. Niech n ­ 2k. Pokazać, że |F| ¬ n−1
k−1 .
1
Zadanie 10. Pokazać, że dla każdego k ­ 3 i n istnieje graf o n wierzchołkach, co najmniej 41 n1+ k krawędziach i obwodzie co najmniej k.
Zadanie 11. Niech f (n) oznacza największe możliwe k o tej własności,P
że istnieje zbiór {x1 , . . . , xk } ⊆
{1, . . . , n}, dla którego wszystkie możliwe sumy elementów są różne (tj.
i∈S xi są różne dla wszystkich
S ⊆ {1, . . . , k}). Korzystając z metody drugiego momentu podaj górne ograniczenie na f (n).
1