Zestaw 1: Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 1. Na szczyt

Zestaw 1: Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1. Na szczyt góry prowadzi 7 dróg. Każda z nich nadaje się również do zejścia. Zakładamy ponadto, że
wszystkie trasy są równorzędne. Oblicz prawdopodobieństwo spotkania się dwóch znajomych, z których
jeden wchodzi na szczyt, a drugi jest już w drodze powrotnej.
2. Uczestnik zakładów totalizatora piłkarskiego typuje wyniki 10 spotkań piłkarskich. Możliwe typowania
to: remis, zwycięstwo gospodarzy, zwycięstwo gości. Ile jest różnych możliwości wypełnienia kuponu?
3. W zawodach bierze udział 10 zawodników. Ile jest możliwych różnych wyników odnośnie do trzech
pierwszych miejsc
a) z uwzględnieniem kolejności,
b) bez uwzględnienia kolejności.
4. W turnieju tenisowym bierze udział 16 zawodników. Na ile różnych sposobów można wytypować 4
zawodników, którzy wejdą do półfinału? Czy liczba możliwych przewidywań zmieni się, jeżeli poznamy
układ zawodników na drabince?
5. Analityk funduszu inwestycyjnego wyselekcjonował 20 spółek z sektora finansowego oraz 10 z branży
budowlanej i 10 z branży spożywczej. Zarządzający funduszem chce stworzyć portfel zawierający akcje
10 spółek, wśród których ma się znaleźć 4 spółek z sektora finansowego oraz 2 firmy z branży budowlanej
i 4 z branży spożywczej. Ile różnych portfeli ma do rozważenia zarządzający?
6. W pudełku jest 6 śrubek dobrych i 2 złe. Jaka jest szansa, że przy wyborze 4 śrubek wybierze się 3
dobre i 1 złą?
7. Grający w Lotto typuje 6 liczb, losowanych spośród liczb od 1 do 49. Jakie jest prawdopodobieństwo
dokładnie k trafień, k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ?
8. Mamy dwie urny: urna A zawierająca kule: 8 białych i 2 czarne oraz urna B zawierająca kule: 4 białe
i 6 czarnych. Losujemy po jednej kuli z obu urn. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna kula
będzie biała.
9. Dane są P(A0 ) = 13 , P(A ∩ B) = 14 , P(A ∪ B) = 23 . Oblicz P(B 0 ), P(A ∩ B 0 ), P(B \ A).
10. Dane są P(A ∪ B) = 12 , P(A ∩ B) = 14 . Ponadto P(A \ B) = P(B \ A). Oblicz P(A), P(B \ A).
11. Dane są P(A0 ∩ B 0 ) = 21 , P(A0 ) = 23 , P(A ∩ B) = 14 . Oblicz P(B), P(A0 ∩ B).
12. W urnie znajdują się 3 kule białe i 4 kule czerwone. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania 2
kul białych przy dwukrotnym losowaniu bez zwracania?
13. Przy danych P(A) = 31 , P(A|B) = 15 , P(B|A) = 12 , oblicz P(B).
14. Losujemy jedną kulę z jednej z 4 urn typu A i 16 urn typu B (urnę wybieramy losowo). W każdej
urnie typu A jest 7 kul białych i 3 kule czarne, natomiast w każdej urnie typu B są 4 kule białe i 6
czarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?
15. Ile powinniśmy zasiać nasion, aby prawdopodobieństwo wykiełkowania przynajmniej jednego z nich
było nie mniejsze niż 0.95, jeżeli w danych warunkach kiełkuje jedno ziarno na dziesięć?
16. Dwa szpitale (S1, S2) leczą taką samą liczbę pacjentów w ciągu roku. Pacjenci cierpią na dwie choroby
(C1, C2). Prawdopodobieństwo wyleczenia się z choroby C1 jest większe w szpitalu S1 niż w szpitalu S2.
Podobnie jest z chorobą C2. Skonstruuj przykład liczbowy pokazujący, iż możliwe jest, że szpital S2 leczy
ogół pacjentów z wyższym prawdopodobieństwem niż szpital S1.
17. Dane są: urna A zawierająca 6 kul białych i 9 czarnych oraz urna B zawierająca 5 kul białych i 15
czarnych. Wylosowano białą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowano z urny A?
18. Na pewną rzadką chorobę choruje 0.001% społeczeństwa (1 osoba na 100 000). Test podaje wynik pozytywny u 99.9% osób chorych, a wynik negatywny u 99% osób zdrowych. Czy można taki test
uznać za dobry (rozważ prawdopodobieństwo, że pacjent jest zdrowy/chory, jeśli test dał wynik pozytywny/negatywny)?
Odpowiedzi
1 1/7,
2 59049,
3 a) 720, b) 120,
4 a) 1820, b) 256,
5 45 785 250,
6 4/7,
7 0.435965, 0.4130195, 0.132378, 0.0176504, 0.0009686197, 1.84499 · 10−5 , 7.151124 · 10−8 ,
8 0.56,
9 3/4, 5/12, 0,
10 3/8, 1/8,
11 5/12, 1/6,
12 1/7,
13 5/6,
14 0.46,
15 co najmniej 29,
17 8/13,
18 Nie. Przykładowo: P(CHORY |P OZY T Y W N Y ) ≈ 0.00001.