Reprezantacje położeniowa i pędowa, zasada nieoznaczonosci

5
5.1
Reprezentacje połozeniowa i pedowa
Reprezentacja położeniowa
W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
x̂ |xi = x.
(5.1)
Stany własne |xi tworzą układ zupełny
Z
Iˆ = dx |xi hx| , hx0 | xi = δ(x − x0 ).
(5.2)
Rozkład dowolnego stanu
Z
|ψi =
Z
dx |xi hx |ψi =
dx |xi ψ(x).
(5.3)
Iloczyn skalarny
Z
hϕ |ψi =
Z
0
0
0
dxdx hϕ |x i hx |xi hx |ψi =
dxϕ∗ (x)ψ(x).
(5.4)
Wzięliśmy równanie
Ĥ |ψi
Z
i pomnożyliśmy go przez hx| wstawiając równocześnie operator jednostkowy
dx0 |x0 i hx0 |
Z
hx| Ĥ |ψi =
dx0 hx| Ĥ |x0 i hx0 | ψi = Ĥx ψ(x),
(5.5)
co oznacza, że
hx| Ĥ |x0 i = δ(x − x0 )Ĥx .
(5.6)
Tutaj Ĥx jest operatorem Hamiltona w przedstawieniu położeniowym (na ogół nie piszemy
indeksu x), w którym to przedstawieniu Ĥ jest diagonalny. Operator pędu
hx| p̂ |ψi = −i~
∂
ψ(x).
∂x
(5.7)
Wstawmy jedynkę
Z
hx| p̂ |ψi =
Z
0
0
0
dx hx| p̂ |x i hx |ψi =
dx0 hx| p̂ |x0 i ψ(x0 ).
(5.8)
Porównując z poprzednim równaniem
hx| p̂ |x0 i = −i~δ(x − x0 )
29
∂
∂x0
(5.9)
5.2
Przedstawienie pędowe
W przedstawieniu położeniowym funkcja własna operatora pedu
−i~
∂
up (x) = pup (x) ⇒ up (x) = Aeipx/~ .
∂x
(5.10)
W notacji Diraca
Norma
up (x) = hx |pi
(5.11)
Z+∞
Z+∞
0
2
∗
dx up0 (x)up (x) = |A|
dx ei(p−p )x/~ = 2π~ |A|2 δ(p − p0 )
(5.12)
−∞
−∞
Stąd (wybieramy rzeczywisą fazę)
A= √
Podobnie
1
.
2π~
(5.13)
Z+∞
dp u∗p (x0 )up (x) = δ(x − x0 ).
(5.14)
−∞
Zmiana bazy
Z
Z
Z
dx |xi ψ(x) = dx dp0 |p0 i hp0 |xi ψ(x)
Z
Z
1
0
0 0
e−ip x/~ ψ(x).
= dp |p i dx √
2π~
|ψi =
(5.15)
Pomnóżmy przez hp|:
1
hp |ψi = ψ(p) = √
2π~
0
Z
0
dxe−ip x/~ ψ(x).
(5.16)
Przejście od przedstawienia położeniowego do przedstawienia pędowego: transformata
Fouriera. I na odwrót:
Z
1
ψ(x) = √
dpeipx/~ ψ(p).
(5.17)
2π~
30
Jak wygląda operator położenia w reperezentacji pędowej:
Z
hp| x̂ |ψi = dx0 dx dp0 hp| x0 i hx0 | x̂ |xi hx| p0 i hp0 |ψi
| {z }
=xδ(x−x0 )
Z
1
0
dx dp0 e−ipx/~ xeip x/~ hp0 |ψi
2π~
·
¸
Z
∂
0
0
= dp −i~ 0 δ(p − p) ψ(p0 )
∂p
Z
∂
= i~ dp0 δ(p0 − p) 0 ψ(p0 )
∂p
∂
= i~ ψ(p).
∂p
=
6
6.1
(5.18)
Zasada nieoznaczoności
Gaussowski pakiet falowy
Rozważmy pewną sczególną funkcję falową
Z+∞
ψ(x) =
−∞
dk
√ ψ̃(k) ei kx ,
2π
gdzie ψ̃(k) wybierzemy jako funkcje Gaussa:
µ
¶
1
(k − k0 )2
ψ̃(k) = √
exp −
.
4
2α
πα
(6.19)
Funkcja ta jest unormowana (w kwadracie):
µ
¶
Z+∞
Z+∞
1
(k − k0 )2
2
dk |ψ̃(k)| = √
dk exp −
= 1.
α
πα
−∞
−∞
Dla tak dobranej ψ̃(k) łatwo wyliczyć ψ(x):
1
ψ(x) = √
4
πα
Z+∞
−∞
µ
¶
(k − k0 )2
dk
√ exp −
+ i kx .
2α
2π
31
(6.20)
Prześledźmy krok po kroku wyliczenie tej całki. Po pierwsze zmieńmy zmienne κ = k − k0
i dopełnijmy do kwadratu
Z+∞
ei k0 x
ψ(x) = √
4
πα
−∞
µ
¶
³ α ´
κ2
α 2
dκ
√
exp −
+ i κx + x exp − x2
2α
2
2
2π
Z+∞
α ´ 1
= exp i k0 x − x2 √
4
2
πα
³
−∞
¶
µ
¢
dκ
1 ¡ 2
2 2
√
exp −
κ − 2 i κ αx − α x
.
2α
2π
Wprowadzając nową zmienną κ0 = iαx, argument exponenty
√ pod całką przyjmuje postać
2
(κ − κ0 ) i całka po dκ na mocy wzoru (6.20) równa jest 2πα. A zatem
r
α ax2
ψ(x) = 4 e− 2 ei k0 x .
(6.21)
π
A zatem pakiet falowy ψ(x) ma postać zbliżoną do fali płaskiej o liczbie falowej k0 ,
ale o zależnej od położenia amplitudzie o kształcie gaussowskim. Funkcja (6.21) jest
unormowana:
r Z+∞
r Z+∞
α
α
2
∗
dx ψ (x) ψ(x) =
dx e−αx = 1.
π
π
−∞
−∞
Średni ped dla takiego pakietu falowego wynosi
~
hpi = √
πα
µ
¶
Z+∞
(k − k0 )2
dk k exp −
= ~k0 ,
α
−∞
a średnie odchylenie kwadratowe pedu:
~2
σ 2 (p) = √
πα
µ
¶
Z+∞
α
(k − k0 )2
2
dk (k − k0 ) exp −
= ~2 .
α
2
−∞
Z kolei średnie położenie dane jest jako
r
hxi =
α
π
Z+∞
2
dx x e−αx = 0,
−∞
a średnie odchylenie kwadratowe położenia
r
2
σ (x) =
α
π
Z+∞
1
2
dx x2 e−αx =
.
2α
−∞
32
Zauważmy teraz, że
~2
.
4
Definiując nieoznaczoność pedu i nieoznaczoność położenia jako
p
p
∆p = σ 2 (p), ∆x = σ 2 (x)
σ 2 (p)σ 2 (x) =
możemy (6.22) przepisać jako
(6.22)
~
.
(6.23)
2
Związki (6.22) i (6.23) noszą nazwe zasady nieoznaczoności Heisenberga. Ze związków
tych wynika, że w określonym stanie ψ, który tu wybraliśmy jako gaussian, pęd i położenie znane są z dokładnością, których iloczyn jest stały, rzędu ~. W miarę jak będziemy
zmniejszać ∆p wzrastać bedzie ∆x. I odwrotnie, w stanie o małym ∆x pęd będzie praktycznie nieokreślony. Powstaje pytanie, na ile ogólna jest to zasada i na ile zależy ona od
wyboru stanu ψ.
∆p∆x =
6.2
Wielkości sprzeżone
Rozważmy dwa operatory hermitowskie  i B̂, takie że
h
i
Â, B̂ = iĈ,
gdzie Ĉ jest też operatorem hermitowskim. Niech
³
´
a =< Â >ψ = ψ, Âψ ,
³
´
b =< B̂ >ψ = ψ, B̂ψ ,
gdzie ψ(~r) jest unormowaną funkcją falową. Zdefiniujmy opertory
δ̂A = Â − a,
Łatwo wykazać, że
h
δ̂B = B̂ − b.
i
δ̂A , δ̂B = iĈ.
Rozważmy teraz pomocniczą całke zależną od rzeczywistego parametru α:
Z
¯2
¯³
´
¯
¯
I(α) = d3~r ¯ αδ̂A − iδ̂B ψ(~r)¯ > 0.
33
Całka ta jest zawsze dodatnia. Ponieważ operatory δ̂A , δ̂B są hermitowskie
Z
´
´ ´∗ ³
³³
3
αδ̂A − iδ̂B ψ
I(α) = d ~r
αδ̂A − iδ̂B ψ
Z
n³
´³
´o
= d3~r ψ ∗ αδ̂A + iδ̂B αδ̂A − iδ̂B
ψ
Z
n
h
io
= d3~r ψ ∗ α2 δ̂A2 + δ̂B2 − iα δ̂A , δ̂B ψ
Z
n
o
= d3~r ψ ∗ α2 δ̂A2 + δ̂B2 + αĈ ψ
= α2 σψ2 (Â) + σψ2 (B̂) + α < Ĉ >ψ > 0.
Ostatnia nierówność musi być spełniona dla każdego α, a zatem wyznacznik równania
kwadratowego na α musi być ujemny lub równy zero:
< Ĉ >2ψ −4σψ2 (Â)σψ2 (B̂) 6 0.
Stąd natychmiast otrzymujemy, że
σψ2 (Â)σψ2 (B̂) >
< Ĉ >2ψ
.
4
(6.24)
A zatem zasada nieoznaczoności wynika z nieprzemienności operatorów  i B̂. To czy
we wzorze (6.24) bedziemy mieli znak równości, czy silnej nierówności zależy od stanu ψ,
po którym średniujemy. W szczególności, dla operatorów pedu i położenia otrzymujemy
∆p∆x >
~
.
2
Warto w tym miejscu wspomnieć o innej zasadzie nieoznaczoności wiążącej czas z
energią. Ponieważ w mechanice kwantowej czas jest parametrem i nie odpowiada mu
żaden operator, zasada ta nie daje się wyprowadzić w pokazany wyżej sposób. Wrócimy
do tego problemu w jednym z następnych rozdziałów.
34