Projekty z Metod Numerycznych 2

Projekty z Metod Numerycznych 2.
Propozycje tematów
Równania różniczkowe zwyczajne
1.
Drut stalowy o długości l m o przekroju poprzecznym S cm 2 jest rozciągany siłą wzrastającą
proporcjonalnie do wartości P ( kG ). Znajdź pracę wykonaną podczas rozciągania .
Rozpatrz metody Eulera , Runge – Kutty rzędu drugiego. Porównaj dokładność obliczeń z
obliczeniami uzyskanymi za pomocą instrukcji wewnętrznej OCTAVE ode23
2.
Powietrze zawarte w
naczyniu cylindrycznym o objętości V0 poddano sprężaniu
adiabatycznemu ( bez wymiany ciepła z otoczeniem) do objętości V1. Oblicz pracę sprężania.
Zastosuj metodę metodę Runge-Kutty rzędu czwartego. Porównaj dokładność obliczeń z
wynikami uzyskanymi za pomocą instrukcji wewnętrznej OCTAVE ode45
3.
Temperatura chleba wyjętego z pieca spada w ciągu t minut od T do Tk Temperatura
otaczającego powietrza jest równa Tp . Oblicz czas, po którym temperatura będzie wynosiła
tk stopni. Zobrazuj krzywą spadku temperatury. Zastosuj zmodyfikowaną metodę Eulera.
Porównaj dokładność wyników z wynikami uzyskanymi instrukcją wewnętrzną OCTAVE
ode45.
4.
1
D.
2
Wartość współczynnika przewodzenia ciepła λ . Temperatura rury wynosi T [o ] Celsjusza.
Temperatura zewnętrznej powłoki izolacji wynosi Tz . Znajdź rozkład temperatury wewnątrz
izolacji oraz ilość ciepła wydzielanego przez odcinek rury o długości jednego metra. Zastosuj
metodę Eulera i sprawdź dokładność Twoich wyników z wynikami uzyskanymi za pomocą
instrukcji wewnętrznej OCTAVE ode23.
Przewód rurowy magistrali cieplnej o średnicy D[cm] ochrania izolacja grubości
5. to zadanie zaczerpnąłem z listy zadań Pana dr hab. Janusza Mierczyńskiego.
W hali o objętości V [m3 ] powietrze zawiera p % tlenku węgla. Wentylator podaje w ciągu
minuty v [m3 ] powietrza zawierającego 0.25 p tlenku węgla. Znajdź krzywą stężenia tlenku
węgla w hali od czasu. Wykonaj w OCTAVE jej wykres. Oblicz stężenie CO po czasie t
minut. Zastosuj metodę Eulera. Sprawdź dokładność Twoich wyników z wynikami
uzyskanymi za pomocą instrukcji wewnętrznej OCTAVE ode23.
6.
Łódź motorowa porusza się po spokojnej wodzie z prędkością v0 . W pewnej chwili silnik jej
zostaje wyłączony i przez następne t sekund jej prędkość zmniejsza się do wartości v1
Wyznacz prędkość łodzi po T minutach . Zastosuj metody Runge-Kutty (drugiego i czwartego
rzędu). Sprawdź dokładność Twoich wyników z wynikami uzyskanymi za pomocą instrukcji
wewnętrznej OCTAVE ode 45. Narysuj wykres v(t ).
7.
Statek o wyporności W ton płynie ruchem prostoliniowym z prędkością v0 . Opór wody jest
proporcjonalny do kwadratu prędkości statku i równy ρ ton. Określ drogę s, którą przebędzie
statek po zatrzymaniu silnika do chwili, gdy jego prędkość zmniejszy się do v1. Oblicz czas
przebycia tej drogi. Zastosuj metodę Runge –Kutty czwartego rzędu. Sprawdź dokładność
Twoich obliczeń z z wynikami uzyskanymi za pomocą instrukcji OCTAVE ode45. Wykreśl
zależność s (t).
8.
Rakieta została wystrzelona pionowo w górę z prędkością początkową v0 Opór powietrza,
hamujący jej ruch nadaje rakiecie nadaje rakiecie przyśpieszenie ujemne o wartości −kv 2
gdzie v prędkość chwilowa rakiety, k stała aerodynamiczna. Określ czas, w którym rakieta
osiągnie najwyższe położenie H . Rozwiąż najpierw zadanie na kartce papieru a potem napisz
odpowiedni skrypt w OCTAVE potwierdzający słuszność Twoich obliczeń, stosując dowolną
z poznanych metod numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.
Wykreśl zależność h(t).
9.
Okręt wypływa z punktu O i ze stałą prędkością płynie wzdłuż osi Oy. W tej samej chwili
( t=0) z punktu A, znajdującego się w odległości OA =a od okretu, wyrusza za nim w pościg
kuter, płynący z prędkością dwa razy większą od prędkości okrętu. Znajdź równanie
,,krzywej pogoni” opisanej przez kuter i najmniejszy czas potrzebny na doścignięcie okrętu.
Zastosuj metodę zmodyfikowana Eulera. Wykreśl w OCTAVE krzywą pogoni.
10.
Pies ściga zająca, który porusza się ze stałą prędkością v po linii prostej. Pies biegnie ze stałą
prędkością u (u > v) zawsze w kierunku punktu , w którym w danej chwili znajduje się
zając. Wykreśl krzywą, po której porusza się pies ( krzywą pościgu) oraz czas, po jakim
dogoni on zająca. Zastosuj metodę Runge-Kutty rzędu czwartego. Sprawdź dokładność
Twoich obliczeń z wynikami uzyskanymi za pomocą instrukcji wewnętrznej OCTAVE
ode45.
11.
Na dnie cylindrycznego zbiornika o promieniu R i wysokości h, wypełnionego cieczą,
utworzyła się szczelina. Oblicz po jakim czasie t ze zbiornika wycieknie połowę cieczy, jeśli
przyjmiesz, że prędkość jej wypływu jest wprost proporcjonalna do poziomu cieczy w
zbiorniku oraz wiadomo, że po upływie pierwszej doby wyciekło p % zawartości. Zastosuj
metodę Verleta. Sprawdź dokładność Twoich wyników instrukcją OCTAVE ode23.
12.
Przyjmij, że szybkość przyrostu ludności jest wprost proporcjonalna do liczby ludności.
Znajdź zależność między liczbą ludności A a czasem t, jeśli wiadomo, że w pewnej chwili
(t=0), przyjętej za początkową liczba ludności wynosiła A0 , natomiast po roku zwiększyła
się o a %. Uwzględniając powyższe oblicz
-przypuszczalną ilość ludności w Polsce dnia 1 stycznia 1975 roku i 1 stycznia 2000 roku,
jeśli wiadomo, że 1 stycznia 1968 roku wynosiła ona 32.1 miliona, a roczny przyrost ludności
wynosił 1.63%.
-przypuszczalną liczbę ludności dnia 1 stycznia 2005 roku, jeżeli wiadomo, że dnia 1 stycznia
1968 roku wynosiła ona 1.283 miliona mieszkańców.
Przyrost roczny przyjmij 1.63%.
Zastosuj metodę Eulera. Sprawdź dokładność Twoich wyników z wynikami uzyskanymi za
pomocą instrukcji wewnętrznej OCTAVE ode 23.
13.
Samolot zaopatrzony w narty ląduje na poziomym polu . W chwili dotknięcia ziemi prędkość
samolotu jest równa zeru. Współczynnik tarcia nart samolotu o śnieg wynosi µ . Opór
powietrza hamujący ruch samolotu jest wprost proporcjonalny do kwadratu prędkości v. Przy
prędkości równej v0 składowa styczna siły oporu powietrza jest równa Rx , natomiast
skierowana w górę składowa pionowa Ry . Ciężar samolotu wynosi P. Wyznacz drogę s
i czas t ruchu samolotu do chwili zatrzymania się. Zastosuj metodę Verleta. Narysuj
zależność s (t ).
14.
Pocisk lecący z prędkością V [m/s] przebija deskę o grubości d [cm] i wylatuje z niej z
prędkością v [m/s]. Określ czas przebywania pocisku w desce, jeżeli opór stawiany przez nią
jest proporcjonalny do kwadratu prędkości pocisku. Zastosuj metodę Runge-Kutty rzędu
drugiego.. Sprawdź dokładność Twoich wyników z wynikami uzyskanymi za pomocą
wbudowanej w OCTAVE instrukcji ode45.
15.
Punkt o masie m porusza się wewnątrz ośrodka, którego opór jest wprost proporcjonalny do
prędkości. Wyznacz drogę, którą przebędzie po czasie t , jeżeli nadano mu prędkość
początkową V i poza siłą oporu nie działają na niego inne siły. Zastosuj metodę Verleta.
Wykreśl tor punktu . Sprawdź dokładność Twoich obliczeń z wynikami uzyskanymi za
pomocą instrukcji wewnętrznej OCTAVE ilsode.
16.
Punkt materialny o masie m wykonuje ruch drgający wzdłuż osi x. pod działaniem siły
hamującej, proporcjonalnej do odległości punktu od początku układu współrzędnych.
(współczynnik proporcjonalności wynosi k ) i siły F równej k*cost. Znajdź opis ruch punktu
, jeżeli w chwili początkowej x = 0 i V = 0. Zastosuj metodę Verleta. Narysuj krzywą x(t).
Sprawdź dokładność Twoich wyników z wynikami uzyskanymi instrukcją wewnętrzną
OCTAVE ilsode.
Równania różniczkowe cząstkowe.
17.
Napisz i oprogramuj w OCTAVE prostą function.m rozwiązywania
równania
przewodnictwa cieplnego – metodą różnicową na obszarze [0, L] × [0, T] . Wykorzystaj tą
funkcję do wyznaczenia i wykreślenia rozkładu temperatury w jednorodnym pręcie dla
ut − u xx = 0 i 0 < x < 1, oraz t > 0.
18.
Napisz i oprogramuj w OCTAVE prosty script .m rozwiązywania równania struny
wtt (t , x) − c 2 wxx (t , x) = 0 metodą różnicową w prostokącie [0, a] × [0, T] . Przyjmij warunki
0< x<a
początkowe
w( x, 0) = f1 ( x) = x(1 − x), wt ( x, 0) = f 2 ( x) = 0 ,
oraz warunki
brzegowe w(0, t ) = 0, w(a, t ) = 0, 0 < t < T .
19.
Napisz i oprogramuj w OCTAVE możliwie prostą function. crank.m rozwiązywania
równania przewodnictwa metodą Crank – Nicolsona. Przyjmij na wejściu funkcje f , warunki
brzegowe c1 , c2 , punkt końcowy L, maksymalny czas T , długości kroków h i k , stałą α .
Funkcja wejściową powinna być zapisana w oddzielnym m.files. Przetestuj swoją funkcję dla
następującego
zagadnienia brzegowego:
3u xx = ut ,
0 < x <π,
0 < t < 0.1;
u (0, t ) = u (π , t ) = 0, 0 < t < 0.1; u ( x, 0) = sin x, 0 < x < π . Przyjmij h = 0.52, k = 0.01.
20.
Napisz i oprogramuj w OCTAVE możliwie prostą function. laplace.m rozwiązywania
równania Laplace’a używając pięcio punktowego schematu różnicowego. Przyjmij na
wejściu funkcje f1 , f 2 , g1 , g 2 ; punkt końcowy a, liczbę przedziałów n , maksymalną ilość
iteracji itmax, dokładność tol. Funkcje f1 , f 2 , g1 , g 2 powinny być zdefiniowane w oddzielnych
m. files. Przetestuj swoją funkcję dla następującego zagadnienia brzegowego: u xx + u yy + 0,
u ( x, 0) = 0, u ( x, π ) = sin x, 0 ≤ x ≤ π , u (0, y ) = 0, u (π , y ) = 0, 0 ≤ y ≤ π .
21.
Zapoznaj się z metodą elementu skończonego, a właściwie jej się naucz np. z książki Fortuna
,Macukow, Wąsowski Metody Numeryczne Wyd.5 WNT Warszawa (strony 371-377).
Napisz prosty skrypt w OCTAVE rozwiązywania równania Laplace’a tą metodą.
Wskazówka: podziel obszar np. na 14 trójkątów,
wygeneruj funkcje bazowe pisząc
odpowiedni script.m OCTAVE, rozwiąż odpowiedni układ równań, a na końcu stosując
3D plot wykreśl rozwiązanie równania.
22.
Potencjał V pola elektrostatycznego jest określony w pewnym obszarze Ω przez funkcję
V ( x, y, z ) = x 2 − y 2 + 2 z . Wyznaczyć i wykreślić powierzchnię ortogonalną do powierzchni
x0 = cos t
ekwipotencjalnych danego pola i przechodzącą przez okrąg o równaniach y0 = sin t , Napisać
z0 = 0.
script.m OCTAVE.
23.
Jednorodna linia elektryczna bez strat o długości −l ≤ x ≤ l jest zwarta na obu końcach.
Wyznaczyć i wykreślić przebieg zmian napięcia wzdłuż linii, jeżeli wiadomo, że w chwili
początkowej t = 0 przebieg zmian napięcia linii
jest określony przez funkcję
2
  x 
f ( x) = U 0 1 −    dla −l ≤ x ≤ l , przy czym szybkość zmian napięcia t = 0 równa się 0.
  l  
Napisz script. m OCTAVE.
24.
1
1
u − 2 ut − b 2u = 0 ( jest to tzw.równanie
2 tt
v
a
telegrafistów) spełniającego warunki u ( x, 0) = ϕ ( x),
ut (0) = ψ ( x)
dla α < x < β ,
u (α , t ) = f (t ),
u ( β , t ) = g (t ) , t > 0. Przybliżają pochodne cząstkowe odpowiednimi
ilorazami różnicowymi zaprojektuj schemat różnicowy jego rozwiązania w obszarze
α < x < β , t > 0.
Poszukujemy rozwiązania równania u xx −
25.
Przewodnik elektryczny jest otoczony ekranem. Przekroje powierzchni przewodnika i ekranu
są kwadratami o wspólnych osiach symetrii i o bokach 2a oraz 2b., gdzie a < b. Potencjał
przewodnika wynosi V0 > 0, natomiast potencjał ekranu równa się zeru. Wyznacz
przybliżony rozkład potencjału elektrostatycznego wytworzonego w przestrzeni między
przewodnikiem i ekranem. Wskazówka: potencjał przewodnika spełnia równanie Laplace’a
Vxx + Vyy = 0. Wykonaj odpowiedni rysunek , napisz script.m w OCTAVE.
26.
Wyprowadź równanie różniczkowe ruchu podwójnego wahadła matematycznego. Przyjmij
[m], jego masę m1 [kg]. Drugie wahadło
długość wahadła pierwszego równą L1
zamocowane jest w środku masy wahadła pierwszego i ma długość L2 i masę m2 . Po
przyjęciu początkowych wartości przemieszczeń ϕ1 [rad], ϕ2 [rad] oblicz przemieszczenia
wahadeł w czasie t. Napisz script .m w OCTAVE . Wykonaj wykresy ϕ1 (t ), ϕ2 (t ).
27.
Wyprowadź różniczkowe równania ruchu układu złożonego z suwaka o masie m, który
porusza się poziomo, i punktu materialnego ( wahadła matematycznego) o masie M, który na
nieważkiej nierozciągliwej linie przechodzącej przez nieważki krążek jest zamocowany do
suwaka Długość wahadła w chwili początkowej wynosi L0 . Wahadło jest wychylone o kąt ϕ
a sprężyna o współczynniku sztywności k jest swobodna. Oblicz i wykreśl przemieszczenia
suwaka i wahadła w czasie t . Napisz script. m w OCTAVE.
Janusz Chojnacki