Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 10, grupa zaawansowana (12.12.2009)
Równania diofantyczne
1. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie
1 1
1
+ = ,
x y
p
gdzie p jest daną liczbą pierwszą.
Rozwiązanie. Równanie przekształcamy do postaci
py + px = xy,
a następnie do postaci
(x − p)(y − p) = p2 .
Zatem
x − p ∈ {1, p, p2, −1, −p, −p2 },
ale x 6= 0, otrzymujemy więc pięć możliwości:
(
x=p+1
y = p2 + p,
(
x = 2p
y = 2p,
(
x = p2 + p
y = p + 1,
(
x=p−1
y = −p2 + p,
2. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie
x + 2y + 3xy = 123.
Rozwiązanie. Przekształcamy równanie do postaci
(3x + 2) · (3y + 1) = 371.
1
(
x = −p2 + p
y = p − 1.
Zauważmy, że 371 = 7 · 53, przy czym dzielnikami liczby 371 dającymi resztę 1
przy dzieleniu przez 3 są: 1, 7, −53 i −371, a dzielnikami dającymi resztę 2 są:
53, 371, −1, −7. Mamy zatem następujące możliwości:
(
3x + 2 = 371
3y + 1 = 1,
(
3x + 2 = 53
3y + 1 = 7,
(
3x + 2 = −1
3y + 1 = −371,
(
x = −1
y = −124,
(
3x + 2 = −7
3y + 1 = −53.
Otrzymujemy rozwiązania:
(
x = 123
y = 0,
(
x = 17
y = 2,
(
x = −3
y = −18.
3. Jakie reszty przy dzieleniu przez: a) 3, b) 4, c) 5, może dać kwadrat liczby
całkowitej?
Rozwiązanie.
a) Jeśli a jest podzielne przez 3, czyli a = 3k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to
a2 = 9k 2 też jest podzielne przez 3. Jeśli a nie jest podzielne przez 3, to a = 3k ±1
dla pewnego całkowitego k, i wówczas
a2 = 9k 2 ± 6k + 1 = 3(3k 2 ± 2k) + 1,
czyli a2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
Uwaga. Możemy oczywiście skorzystać z kongruencji. Jeśli a ≡ 0 (mod 3), to
a2 ≡ 0 (mod 3), a jeśli a ≡ ±1 (mod 3), to a2 ≡ 1 (mod 3).
b) Jeśli a = 2k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to a2 = 4k 2 , więc kwadrat liczby
parzystej jest podzielny przez 4. Jeśli a = 2k + 1, gdzie k jest liczbą całkowitą,
to
a2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k 2 + k) + 1,
więc kwadrat liczby nieparzystej przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1.
c) Jeśli a ≡ 0 (mod 5), to a2 ≡ 0 (mod 5). Jeśli a ≡ ±1 (mod 5), to a2 ≡ 1
(mod 5). Jeśli natomiast a ≡ ±2 (mod 5), to a2 ≡ 1 (mod 5).
4. Udowodnić, że jeżeli liczby całkowite a, b, c spełniają warunki:
NWD (a, b, c) = 1 i a2 + b2 = c2 ,
to:
(a) dokładnie jedna z liczb a, b jest parzysta, a c jest nieparzysta,
(b) dokładnie jedna z liczb a, b jest podzielna przez 3, a c jest niepodzielna
przez 3,
(c) dokładnie jedna z liczb a, b, c jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie.
2
(a) Gdyby obie liczby a i b były parzyste, to c też byłoby liczbą parzystą, co
jest niemożliwe na mocy założenia, że NWD (a, b, c) = 1.
Gdyby liczby a i b były obie nieparzyste, to a2 i b2 dawałyby resztę 1
przy dzieleniu przez 4 (poprzednie zadanie). Wówczas liczba c2 = a2 + b2
dawałaby resztę 2 – sprzeczność, gdyż kwadrat liczby całkowitej nie daje
przy dzieleniu przez 4 reszty 2.
Zatem dokładnie jedna z liczb a, b jest parzysta, a c jest wówczas nieparzysta.
(b) Gdyby liczby a i b były podzielne przez 3, to c też byłoby podzielne przez
3, co jest niemożliwe, gdyż NWD (a, b, c) = 1.
Gdyby zaś liczby a i b były obie niepodzielne przez 3, to a2 i b2 dawałyby
resztę 1 przy dzieleniu przez 3 (poprzednie zadanie), czyli c2 dawałoby
resztę 2, co też jest niemożliwe na mocy poprzedniego zadania.
Zatem dokładnie jedna z liczb a, b jest podzielna przez 3, a c jest liczbą
niepodzielną przez 3.
(c) Gdyby dwie z liczb a, b, c były podzielne przez 5, to trzecia też musiałaby
się dzielić przez 5, wbrew założeniu. Zatem co najwyżej jedna z liczb a, b,
c jest podzielna przez 5.
Gdyby żadna z liczb a, b, c nie była podzielna przez 5, to ich kwadraty
dawałyby reszty 1 lub 4. Wówczas a2 + b2 dawałoby resztę 0, 2 lub 3 i nie
mogłoby być równe c2 , które daje resztę 1 lub 4.
W takim razie dokładnie jedna z liczb a, b, c jest podzielna przez 5.
5. Opisać wszystkie rozwiązania równania
a2 + b2 = c2
w liczbach naturalnych a, b, c.
Rozwiązanie. Załóżmy najpierw, że NWD(a, b, c) = 1. Z poprzedniego zadania
wiemy, że jedna z liczb a i b jest parzysta, a druga nieparzysta. Przyjmijmy, że
c+a c−a
i
a jest liczbą nieparzystą. Wówczas c też jest nieparzyste i liczby
2
2
są względnie pierwsze, a ich iloczyn jest kwadratem liczby naturalnej. Zatem
te liczby są kwadratami liczb naturalnych:
c+a
= m2
2
c−a
= n2 ,
2
dla pewnych liczb naturalnych m > n. Zauważmy, że liczby m, n są względnie
pierwsze i różnej parzystości. Otrzymujemy stąd:
a = m2 − n2 , b = 2mn, c = m2 + n2 .
Wszystkie rozwiązania równania a2 + b2 = c2 w liczbach naturalnych a, b, c
przedstawiają się następująco:



a = d · (m2 − n2 )
b = 2dmn


c = d · (m2 + n2 ),



a = 2dmn
b = d · (m2 − n2 )


c = d · (m2 + n2 )
3



a = 0
oraz
b = 0


c = 0,
gdzie m > n są nieujemnymi liczbami całkowitymi, względnie pierwszymi i
różnej parzystości (dopuszczamy przypadek m = 1, n = 0), a d jest dodatnią
liczbą całkowitą.
4