Rozszerzona karta wzorów dla osób, które zaliczyły kartkówkę

Karta wzorów dla osób, które zaliczyły kartkówkę
Własności podstawowe
Transformata Fouriera
Z ∞
Wzory Eulera
F (ω) =
f (t)e−iωt dt
−∞
eiπ + 1 = 0
eit + e−it
2
it
e − e−it
sin(t) =
2i
Iloczyn skalarny funkcji
f (t) =
1
2π
Z ∞
F (ω)eiωt dω
−∞
cos(t) =
Z t2
(f, g) =
f (t)g ∗ (t) dt
Średniokwadratowe kryterium aproksymacji
Z t2
(f (t) − cg(t))2 dt
t1
f ∗g =
f (τ )g(t − τ ) dτ
−∞
Entropia
H=−
n
X
pk log2 pk [bit]
k=1
Szeregi Fouriera
Trygonometryczny szereg Fouriera
f (t) = a0 +
∞
X
(an cos(nω0 t) + bn sin(nω0 t))
n=1
t2
1
f (t) dt
t2 − t1 t1
Z t2
2
an =
f (t)cos(nω0 t) dt
t2 − t1 t1
Z t2
2
bn =
f (t)sin(nω0 t) dt
t2 − t1 t1
Z
a0 =
Wykładniczy szereg Fouriera
f (t) =
∞
X
Fn einω0 t
−∞
Fn =
1
t2 − t1
symetria
Z t2
t1
przesunięcie t
przesunięcie ω
pochodna t
pochodna ω
Splot funkcji
Z ∞
liniowość
skalowanie
t1
1
Q(c) =
t2 − t1
Własności transformaty
f (t)e−niω0 t dt
splot t
splot ω
f (t) = a · g(t) + b · h(t) ↔
F (ω) = a · G(ω) + b · H(ω)
F (t) ↔ 2πf (−ω)
1
ω
f (at) ↔
F( )
|a| a
f (t − a) ↔ F (ω)e−iaω
f (t)eiat ↔ F (ω − a)
df (t)
↔ iωF (ω)
dt
dF (ω)
↔ −itf (t)
dω
(f ∗ g)(t) ↔ F (ω)G(ω)
(F ∗ G)(ω) ↔ 2πf (t)g(t)
Karta wzorów dla osób, które zaliczyły kartkówkę
Niektóre transformaty Fouriera
f (t)
δ(t)
1
F (ω)
1
a + iω
1
(a + iω)2
2
− 2
ω
1
2πδ(ω)
(t)
πδ(ω) +
e−at (t)
te−at (t)
|t|
cosω0 t
sinω0 t
G(t)
Sa (t)
1
jω
π[δ(ω + ω0 ) + δ(ω − ω0 )]
iπ[δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 )]
2Sa (ω)
πG(ω)
Skok jednostkowy:
(
(t) =
1 t­0
0 t<0
Funkcja próbkowa:
Sa(t) =
sin(t)
t
Funkcja bramkowa:
(
G(t) =
1 t ∈ [−1, 1]
0 w przeciwnym przypadku
Delta Dirac’a:
(
δ(t) =
∞ t=0
0 t=
6 0
Z ∞
δ(t) dt = 1
−∞