fizyka ogólna GGiIŚ

Komentarze

Transkrypt

fizyka ogólna GGiIŚ
Podr¦czniki
1. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski - Wst¦p do zyki, t.1 PWN, t.2/1 PWN
1989, t.2/2 PWN
2. R. Resnick, D. Halliday - Fizyka t.1+2 PWN
3. C. Kittel, W.D. Knight, U.A. Ruderman - Mechanika PWN 1975
4. J. Orear - Fizyka t.1 WN-T 1990
5. A. Januszajtis - Fizyka dla politechnik PWN 1977
6. Sz. Szczeniowski - Fizyka do±wiadczalna PWN 1972
7. E.M. Purcell - Elektryczno±¢ i magnetyzm
8. J. Massalski - Fizyka dla in»ynierów
9. B. Jaworski, A.Dietªaf - Kurs zyki
10. Z. K¡kol - Fizyka dla in»ynierów 1999
1
Uzupeªnienia:
delta Kroneckera:
δij ≡
Konwencja sumowania:
tensor Levi-Civity:
Iloczyn skalarny:
(materiaª


1
je»eli
i=j

0
je»eli
i 6= j
~a =
P∞
i=1 ai êi
dodatkowy
)
= ai êi




1 parzysta permutacja wska¹ników



εijk −1 nieparzysta permutacja wska¹ników





0 je»eli wska¹niki s¡ jednakowe
~a · ~b = ai bi , êi êj = δij
~a × ~b = εijk êi aj bk
êi ci aj bj
~a × ~b × ~c = εijk êi aj εklm êk bl cm = |{z}
êi bi aj cj − |{z}
|{z}
|{z}
~c
~b
(~a·~c)
(~a·~b)
~
~
~
czyli: ~
a × b × ~c = (~a · ~c) · b − ~a · b · ~c
Iloczyn wektorowy:
2
1. Wektory, ukªady odniesienia, pochodna wektora po czasie
W ektory : ~a = (a1 , a2 , a3 ) , ~b = (b1 , b2 , b3 )
- suma:
~a + ~b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
- ró»nica:
~a − ~b = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 )
- iloczyn skalarny:
~a · ~b = |~a| |~b|cosα = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
| {z }
bk
- iloczyn wektorowy:
~a × ~b = −~b × ~a
x̂ ŷ ẑ ~
AAAA ~a × b = a1 a2 a3 = x̂ (a2 b3 − a3 b2 ) + ŷ (a3 b1 − a1 b3 ) + ẑ (a1 b2 − a2 b1 )
b1 b2 b3 AAAA |~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin α =
pole powierzchni
3
- iloczyn mieszany
a1 a2 a3 obj¦to±¢ równolegªo±cianu
AAAA ~a × ~b · ~c = b1 b2 b3 =
zbudowanego na wektorach ~a, ~b, ~c
c1 c2 c3 ~r
Poªo»enie:
~v ≡
Pr¦dko±¢:
d~r
≡ ~r˙
dt
∆~r
∆t
Pr¦dko±¢ ±rednia:
~v±r =
Przyspieszenie:
d~v
d2~r ¨
˙
~a =
= ~v = 2 = ~r
dt
dt
Przyspieszenie ±rednie:
~a±r =
∆~v
∆t
Ukªady odniesienia:
Na pªaszczy¹nie:
a) kartezja«ski
~r = (x, y) −
ukªad ortogonalny, staªy w czasie(x̂, ŷ nie zale»¡ od czasu)
~r = xx̂ + y ŷ
4


vx = ẋ
d
d~r
= (xx̂ + y ŷ) = ẋx̂ + ẏ ŷ = (ẋ, ẏ)

dt
dt
v = ẏ
y


ax = ẍ
d~v
d
~a =
= (ẋx̂ + ẏ ŷ) = (ẍ, ÿ)

dt
dt
a = ÿ
y
~v =
b) biegunowy - prostok¡tny i zmienny w czasie
~r = rnˆr + 0nˆϕ = (r, 0)


x = r · cosϕ

p

r = x2 + y 2

y = r · sin ϕ

tgϕ = y
x
d
~v = ~r˙ = (r · ûr ) = ṙûr + ru̇ˆr
dt
u̇ˆr =?
5
Hodografem nazywamy krzyw¡ zakre±lon¡ przez koniec wektora zale»nego od
czasu, przy czym pocz¡tek tego wektora znajduje si¦ zawsze w tym samym punkcie.
•
hodografem wektora staªego jest ªuk okr¦gu
•
pochodna wektora staªego jest prostopadªa do tego wektora (styczna do
okr¦gu jest prostopadªa do jego promienia)
dϕ
∆~ur
=
ûϕ = ϕ̇ûϕ
u̇ˆr = lim
∆t
dt
∆ur = | ûr | ∆ϕ
| {z }
=1
~v = ṙûr + rϕ̇ûϕ = (ṙ, rϕ̇)
vr = ṙ, vϕ = rϕ̇ (odpowiednik vl = rω)
v=
q
vr2 + vϕ2 =
p
ṙ2 + r2 ϕ̇2
d
~a = ~v˙ = (ṙûr + rϕ̇ûϕ ) = r̈ûr + ṙu̇ˆr + ṙϕ̇ûϕ + rϕ̈ûϕ + rϕ̇u̇ˆϕ
dt
6
=1
u̇ˆr = ϕ̇ûϕ
z }| {
∆uϕ = | ûϕ | ∆ϕ
∆u~ϕ
= −ϕ̇ûr
u̇ˆϕ = lim
∆t
~a = r̈ûr + ṙϕ̇ûϕ + ṙϕ̇ûϕ + rϕ̈ûϕ − rϕ̇2 ûr =
= (r̈ − rϕ̇2 )ûr + (rϕ̈ + 2ṙϕ̇)ûϕ


ar = r̈ − rϕ̇2 (skªadowa
radialna)

a = rϕ̈ + 2ṙϕ̇ (skªadowa
ϕ
a=
q
transwersalna)
a2r + a2ϕ
7
Ukªady inercjalne a nieinercjalne
Ukªad biegunowy jest nieinercjalny i pojawiaj¡ si¦ dodatkowe skªadniki przyspieszenia:
•
przy±pieszenie do±rodkowe
ogólnie:
•
~ad = ω
~ × (~ω × ~r0 )
przyspieszenie Coriolisa
ogólnie:
ad = rω 2
- w ukªadzie wiruj¡cym z pr¦dko±ci¡
ac = 2wv
a~c = 2~ω × ~v 0
a~c ⊥~v 0
Ukªad styczno-normalny
Pr¦dko±¢ jest zawsze styczna do toru
~v = vût + 0 · ûn = vût
~a =
d~v
= v̇ût + v |{z}
u̇ˆt = v̇ût + an n̂u
dt
ûn
at = v̇
- pochodna dªugo±ci wektora pr¦dko±ci
v2
an =
ρ
⇒
v2
ρ=
au
Przykªad - zadanie z biedronk¡
v = at, ϕ = ct
8
ω
~
Przykªady ruchów
1. Ruch jednostajny po linii prostej
~v = const, ~a = 0, s = v · t
2. Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy
~a = const,
Rv
Rt
dv
= a ⇒ v0 dV = 0 a · dt ⇒ v − v0 = at ⇒ v = v0 + at
dt
S
= pole trapezu
v0 + (v0 + at)
at2
S=
t = v0 t +
2
2
ds
= v = v0 + at
dt
Rs
0
ds =
Rt
0 (v0
3. Ruch zmienny (ogólnie)
9
+ at)dt
Rzuty:
1. Swobodny spadek - ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem g
gt2
h=
⇒t=
2
vk = gt =
√
r
2h
g
2gh
2. Rzut pionowy
v = v0 − gtw ⇒ tw =
v0
g
v02
gt2w
=
h = v0 tw −
2
2g
3. Rzut poziomy
gt2
h=
⇒t=
2
r
r
2h
g
d = v0 t = v0
2h
g
v 2 = v02 + vy2 = v02 + (gt)2
v 2 = v02 + 2gh
tgα =
vy
v0
10
4. Rzut uko±ny
vy = v0y − gtw = 0
tw =
voy
v0 sin α
=
g
g
tc = 2tw
2v02 sin α cos α
d = v0x tc =
g
v02 sin(2α)
d=
g
d(α) = d(90◦ − α)
gv02 sin2 α v02 sin2 α
gt2w
=
=
h=
2
2g 2
2g
Równanie ruchu:


x = v0x t
→t=
2

y = v t − gt
0y
2
x
vox
Równanie toru: (redukcja czasu)
y = v0y
max:
x
g x2
− 2 ←
v0x 2 v0x
dvy
=0
dx
v0x v0y = g
d
2
parabola
v0y
gx
− 2 =0
vox vox
⇒
d=
d
x=
2
2v0x voφ
v 2 sin 2α
= 0
g
g
11


 dx = v0x
dt
dy

 = v − gt
0y
dt
Ruch po okr¦gu:
s = rφ
~v =
skalarnie:
v=
wektorowo:
~a =
d~r
dt
ds d(rφ)
dφ
=
=r
= rω
dt
dt
dt
~v = ω
~ × ~r
d
d~ω
d~r
d~v
= (~ω × ~r) =
× ~r + ω
~×
dt
dt
dt
dt
|{z}
~v
a=
d~ω
×~r + ω
~ × ~v = ~ε × ~r + ω
× ~v}
|~ {z
dt
|{z}
ad
ε
~ad = ω
~ × ~v = ω
~ × (~ω × ~r) = (~ω · ~r) ·~ω − (~ω · ω
~ ) · ~r
| {z }
=0
bo
~r
ω⊥~
v2
czyli: ~
ad = −ω ~r = − r̂
r
2
Ruch jednostajny po okr¦gu:
ω
- cz¦sto±¢ koªowa
T
- okres
f
- cz¦stotliwo±¢
ω=
2π
= 2πf
T
Ruch jednostajnie przyspieszony:
εt2
ϕ = ω0 t +
2
as = εr,
ω = ω0 t + εt
v2
ad = ω r =
r
2
12
Opis ruchu w ukªadzie obracaj¡cym si¦
ukªad S' obraca si¦ wzgl¦dem S z pr¦dko±ci¡ k¡tow¡
~v =
d~r
d~r0
=
dt
dt
~v =
dy0
dz0
dx0
ê1 0 +
ê2 0 +
ê3 0
dt
dt
dt
dê1 0
=
dt
~r0 = x0ê1 0 + y0ê2 0 + z0ê3 0
pr¦dko±¢ obrotu osi
x=ω
~ × ê1 0
zgodnie ze wzorem
(~v = ω
~ × ~r)


Zatem:
ω
~
d~r0
= ~v 0 + ω
~ × x0ê1 0 + y0ê2 0 + z0ê3 0
|
{z
}
dt
=~r0
Czyli:
Je»eli
~v = ~v 0 + ω
~ × ~r0
~v 0 = 0 (ukªad wªasny) to ~v = ω
~ ×~r0 - ruch odbywa si¦ po okr¦gu (r0 = cost)
Ogólnie dla ukªadów obracaj¡cych si¦:
d
d0
=
+ω
~×
dt dt
~v = ~v 0 + ω
~ × ~r0
13
~a =
d~v
dt
~a =
d
d~v
= (~v 0 + ω
~ × ~r0) + ω
~ (~v 0 + ω
~ × ~r0) =
dt
dt
=
d~v 0
d~r0
+ω
~×
+ω
~ × ~v 0 + ω
~ × (~ω × ~r0) =
|
{z
}
dt
dt
(~
ω ·~r)·~
ω −ω 2~r0
= ~a0 + 2~ω × ~v 0 + ω
~ × (~ω × ~r0)
Je»eli
ω
~ ⊥~r
( pªaszczyzna ruchu
⊥
do
ω
~
)
~a = ~a0 + 2~ω × ~v 0 − ω 2~r0
~ac = 2~ω × ~v 0
- przyspieszenie Coriolisa
~ad = ω
~ × (~ω × ~r0)
- przyspieszenie do±rodkowe
14
Zasady dynamiki
Izaak Newton (1643 - 1727) sformuªowaª trzy zasady dynamiki oraz prawo powszechnego ci¡»enia. Do czasów Galileusza (zmarª w 1642) wielu lozofów uwa»aªo, »e do tego, aby utrzyma¢ ciaªo w ruch potrzebny jest pewien wpªyw zewn¦trzny, czyli siªa.
1. Zasada Dynamiki: Je»eli na ciaªo nie dziaªa siªa (wypadkowa) to cialo to pozostaje w spoczynku, lub porusza si¦ ruchem jednostajnym po linii prostej
2. Zasada Dynamiki: Dla ciaªa o staªej masie:
a=
dv
dt
d~p
F~ =
dt
~
F dt =
|{z}
pop¦d siªy
F =
m · dv
dp
=
dt
dt
d~p
|{z}
zmiana p¦du
Przykªad ukªadu o zmiennej masie:
µ=
dm
dt
Na bark¦ dziaªa staªa siªa
F
oraz sypie si¦ piasek
15
F~ = m~a
F =
d
dm
dv
dp
= (mv) = v
+m
dt
dt
dt
dt
|{z}
=µ
m = m0 + µt
F = (m0 + µt)
dv
+ µv
dt
F − µv = (m0 + µt) +
dv
dt
=
F − µv
m0 + µt
dv
dt
Rv
0
Rt
dv
dt
= 0
F − µv
m0 + µt
1
1
− ln(F − µv)|v0 = ln(m0 + µt)|t0
µ
µ
−ln
m0 + µt
F − µv
= ln
F
m0
F
m0 + µt
=
F − µv
m0
F m0 = F m0 + µtF − m0 µv − µ2 vt
(m0 + µt)v = F t
16
v=
Ft
m0 + µt
Uwaga! Inaczej rozwi¡zujemy zadanie, gdy barka jest dziurawa i piasek si¦
z niej wysypuje (dlaczego? bo siªa dziaªa równie» na
µdt)
m = m0 − µt
F dt
= dv
m − µt
Ostatecznie:
v=
⇒
F
ln
µ
F
v = − ln(m0 − µt)|t0
µ
m0
m − µt
| 0 {z }
→
ro±nie nieograniczenie
podobnie jest dla rakiety
Inny przykªad to rakieta - liczymy go z zasady zachowania p¦du.
17
3. Zasada Dynamiki: Gdy dwa ciaªa oddziaªuj¡ wzajemnie, to siªa wywierana
przez ciaªo drugie na ciaªo pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do
siªy, z jak¡ ciaªo pierwsze dziaªa na ciaªo drugie.
Przykªad: bloczek


Q2 − N = m2 a

N − Q = m a
1
1
Q2 − Q1 = (m1 + m2 )a ⇒ a =
m2 − m1
g
m1 + m2
−m21 + m1 m2 + m21 + m1 m2
2m1 m2
N = m1 a + Q1 =
g=
g
m1 + m2
m1 + m2
2N =
4m1 m2
g
m1 + m2
Masa zredukowana:
µ=
µg = 2N
4m1 m2
m1 + m2
Caªy bloczek oddziaªywuje na zewn¡trz tak jak masa zredukowana.
18
Tarcie:
(a) tarcie statyczne:
0 ≤ T ≤ fs N
(b) tarcie kinetyczne:
zwykle
Tk = fk N
fk ≤ fs
Inne siªy rzeczywiste:
siªa grawitacji, siªa Lorentza, siªa spr¦»ysto±ci, siªa naci¡gu.
19
Siªy pozorne
Zaªo»enia: ukªad
S0
porusza si¦ wzgl¦dem
raca si¦ z pr¦dko±ci¡
S
z przyspieszeniem
~au
oraz ob-
ω
~.
Wtedy:
~a = ~a0 + ~au + 2~ω × ~v 0 + ω
~ × (~ω × ~r0)
Równanie ruchu:
m~a = F~zewn¦trzna
m [~a0 + ~au + 2~ω × ~v 0 + ω
~ × (~ω × ~r0)] = F~zewn¦trzna
m~a0 = F~zewn¦trzna
−m~
| {za}k
siªa bezwªadno±ci
Je»eli dodatkowo
ω
−2m~
ω × ~v}0 −m~ω × (~ω × ~r0)
| {z
|
{z
}
F~c
- siªa Coriolisa
Fod
- siªa od±rodkowa
zale»y od czasu, to
d~ω
m~a0 = F~zewn¦trzna − m~ak − m
× ~r0 − 2m~ω × ~v 0 − m~ω × (~ω × ~r0)
dt
m~a0 = F~zewn¦trzna + F~B
F~B
s¡ to dodatkowe siªy, które pojawiaj¡ si¦ w nieinercjalnym ukªadzie od-
niesienia.
20
Przykªad: Punkt materialny A spoczywa w ukªadzie inercjalnym. Jak wygl¡da równanie ruchu w ukªadzie wirujacym?
W ukªadzie wiruj¡cym mamy do czynienia z ruchem po okr¦gu - musi zatem
dziaªa¢ siªa do±rodkowa - sk¡d ona si¦ bierze?
~v 0 = −~ω × ~r0
(znak '-' bierze si¦ st¡d, »e kr¦ci si¦ ukªad)
F~c = −2m~ω × ~v 0 = −2m~ω × (−~ω × ~r0) = 2m~ω × (~ω × ~r0)
F~od = −m~ω × (~ω × ~r0)
F~ω = F~c − F~od = 2m~ω × (~ω × ~r0) − ω
~ × (~ω × ~r0) = ω
~ × (~ω × ~r0)
→
jest to siªa do±rodkowa.
21
Siªa Coriolisa
F~C = −2m~ω × ~v 0 = 2m~v 0 × ω
~
•
wahadeªko na wiruj¡cej tarczy
wahadeªko puszczone jest ze ±rodka tarczy
wahadeªko puszczone jest z punktu maksymalnego wychylenia
W zewn¦trznym ukªadzie nieruchomym pªaszczyzna waha« zostaje zachowana
22
•
wahadªo Foucaulta
ωn = ω sin ϕ,
ωt = ωcosϕ
Ruch odbywa si¦ stycznie do powierzchni Ziemi wi¦c:
Fc = 2m~v 0 × ω
~ = 2m~v 0 × ω
~n
Wpªyw ma tylko skªadowa
ωn
W ukªadzie obracaj¡cym (ziemskim) wystepuje skrecenie pªaszczyzny waha« z okresem:
T =
2π
2π
=
≈ 30
ωn
ω sin ϕ
godz. - dla Warszawy
Na równiku efekt znika.
•
siªy Coriolisa s¡ niewielkie:
piechur
m = 70
samochód
kg,
m = 1, 5
v0 = 6, 5
t,
km
⇒ Fc ∼ 1, 5 · 10−2
h
km
v0 = 100
h
N,
⇒ Fc ∼ 5N.
Jednak na dªugiej drodze mog¡ wywoªa¢ wyra¹ne zboczenie np. dla rakiety
±redniego zasi¦gu przebywaj¡cej drog¦ 1000 km odchylenie mo»e wynie±¢
km.
•
charakterystyczny kierunek pasatów
23
∼10
•
powstawanie cyklonów
•
podmywanie brzegów rzek pªyn¡cych poªudnikowo
•
odchylenie ciaª spadaj¡cyh pionowo ( odpowiedzialna skªadowa
ωt
); np. dla
naszej szeroko±ci geogracznej przy spadku z 100 m odchylenie wynosi ok.
1,5 cm.
24
Praca, moc, energia, zasady zachowania, zderzenia
1. Praca:
W = F~ · ~s = F s cos α
Ogólnie:
Z
B
WAB =
F~ (~s) · d~s
A
•
praca jako pole pod krzyw¡
•
praca dodatnia i ujemna
•
skªadowa
F⊥
F (s)
nie wykonuje pracy (np. siªa do±rodkowa)
Praca w ruchu obrotowym:
d~r = d~
ϕ × ~r
dW = F~ · (d~
ϕ × ~r) = (d~
ϕ × ~r) · F~ = d~
ϕ · (~r × F~ )
| {z }
moment siªy
F~
Przykªady:
(a) praca przy rozp¦dzaniu:
Z
B
WAB =
A
F~ d~s =
d~v
F~ = m · ~a = m
dt
Z
tB
Z
tB
F~v dt =
tA
tA
25
d~v
m ~v dt = m
dt
Z
tB
~v d~v =
tA
vB
mv mvB2
mvA2
=
−
=
2 2
2
2
vA
Wyra»enie
mv 2
2
deniujemy jako energi¦ kinetyczn¡
mv 2
p2
Ek =
=
2
2m
Wtedy:
WAB = Ek (B) − Ek (A)
(b) Praca w polu grawitacyjnym (staªym)
Z
B
Z
WAB =
hB
mg · dh = mg(h
− hA}) = mgh
| B {z
F ds =
A
hA
Ep = mgh
h
- energia potencjalna
(c) Praca siª spr¦»ysto±ci:
F = kx
Z
B
WAB =
Z
B
B
F dx =
F ds =
A
Z
A
26
A
xB
kx kxdx =
2 2
xA
WAB
kx2
Eps =
2
Moc:
kx2B kx2A
−
=
2
2
- energia potencjalna spr¦»ysto±ci
F~ d~s
dW
=
= F~ · ~v
P =
dt
dt
~ d~
M
ϕ
~ω
P =
=M
~
dt
2. Siªy zachowawcze
(a) Zasada zachowania energii
Je»eli
WAB
F~
( praca siªy
) nie zale»y od drogi, to siªa
F~
jest zachowaw-
cza.
Inaczej: praca siªy zachowawczej na dowolnej drodze zamkni¦tej jest
równa zero.
Energi¦ potencjaln¡ deniujemy tylko dla siª zachowawczych, a mianowicie:
Z
r
Ep (~r) = −
F~ d~r + Ep (~
r0 ) = −
r0
Z
r
F~ d~r + const
r0
lub
dEp = −F~ d~r = −(Fx dx + Fy dy + Fz dz)
27
Odwrotnie:
Fx = −
∂Ep
,
∂x
Deniujemy operator
Fy = −
∇≡(
∂Ep
,
∂y
Fz = −
∂Ep
∂z
∂ ∂ ∂
, , )
∂x ∂y ∂z
Wtedy
F = −∇Ep = −(
∂Ep ∂Ep ∂Ep
,
,
) ≡ −gradEp
∂x ∂y ∂z
Siªa jest gradientem (ze znakiem '-') energii potencjalnej.
Zasada zachowania energii mechanicznej
(Ek + Ep = const)
obowi¡-
zuje w polu siª zachowawczych (pole grawitacyjne, elektrostatyczne).
(b) Zasada zachowania p¦du
d~p
F~ =
dt
Je»eli
F~ = 0
⇒
d~p
=0
dt
⇒
p~ = const
Je»eli na ciaªa nie dziaªaj¡ siªy zewn¦trzne (lub wypadkowa tych siª =
0), to p¦d ciaª pozostaje staªy.
28
Przykªady:
Zderzenia:
•
spr¦»yste - obowi¡zuje zasada zachowania p¦du i energii mechanicznej
•
niespr¦»yste - tylko zasada zachowania p¦du.
Rakieta:
chwila
t:
chwila
t + ∆t
M · v = (M − ∆m)(v + ∆v) + ∆m(v − u)
M · v = M · v + M · ∆v − v · ∆m − ∆m · ∆v + v · ∆m − u · ∆m
M · ∆v = u · ∆m
M = M0 − µt
∆m = µ · ∆t
µ
- szybko±¢ spalania
M ∆v = µ · u · ∆t
M
∆v
= µu
∆t
|{z}
⇒
Fc = M a = µu = const
=a
Wzór Cioªkowskiego na siª¦ ci¡gu rakiety
29
(M0 − µt)
dv
= µu
dt
dv .
dt
=
·u
M0 − µt µu
Z
t
−µdt
=
M0 − µt
−
0
Z
0
v
dv
u
t
v v
− ln(M0 − µt) = 0
u 0
v = u ln
M0
M0
= u ln
M0 − µt
M
Ukªad ±rodka masy:
~ CM
R
P
m1 r~1 + m2 r~2 + . . .
mi r~i
=
= P
m1 + m2 + . . .
mi
V~CM
X
p~i =
P
P
mi v~i
p~i
= P
=P
mi
mi
X
~ = MC · VCM
~
mi · VCM
Caªy p¦d unosi ukªad ±rodka masy. Zatem w ukªadzie ±rodka masy p¦d=0
X
30
p~iCM = 0
3. Dynamika ruchu obrotowego
Moment siªy:
Moment p¦du:
Szukamy:
~ = ~r × F~
M
~ = ~r × p~
L
(kr¦t)
~
dL
=?
dt
~
dL
d~p
d
d~r
= (~r × p~) =
× p~ +~r ×
dt
dt
dt
|dt{z }
=0
ale:
d~r
× p~ = ~v × p~ = ~v × (m~v ) = 0
dt
~
d~p
dL
~
= ~r ×
= ~r × F~ = M
dt
dt
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego:
~
dL
~
=M
dt
Je»eli:
~ =0
M
⇒
~
dL
=0
dt
⇒
Zasada zachowania momentu p¦du.
31
~ = const
L
~ = ~r × p~,
L
p~ = m~v = m~ω × ~r
~ = m~r × (~ω × ~r)
L
A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)
~ = m[~ω (r2 ) − ~r(~ω~r)]
L
Dla ukªadu ciaª:
~ = P mi [~ω r2 − ~ri (~ri ω
~ )]
L
i
r~i ω
~ = xi ωx + yi ωy + zi ωz
Dla skªadowych:
Lx = ωx
X
|
X
X
mi (ri2 − x2i ) −ωy
mi xi yi −ωz
mi xi zi
{z
}
| {z }
| {z }
−Ixy
Ixx
Deniujemy tensor momentu bezwªadno±ci:
m(ri2 − x2i )
P
= − mi xi yi
P
= − mi xi zi
Ixx =
Ixy
Ixz
P
32
−Ixz
podobnie pozostaªe skªadowe:
Iy... , Iz...
Ostatecznie:
Lx = Ixx ωx + Ixy ωy + Ixz ωz
Ly = Iyx ωx + Iyy ωy + Iyz ωz
Lz = Izx ωx + Izy ωy + Izz ωz
Ogólnie:
~ =I ·ω
L
~


I
I I
 xx xy xz 


I = Iyx Iyy Iyz 


Izx Izy Izz
ze wzgl¦du na symetri¦:
Ixy = Iyx ,
Ixz = Izx ,
Iyz = Izy
Reprezentacj¡ tensora symetrycznego jest powierzchnia drugiego stopnia (elipsoida bezwªadno±ci)
Istnieje ortogonalny ukªad wspóªrz¦dnych (osie gªówne), wzgl¦dem którego
pozostaj¡ tylko diagonalne wyrazy momentu bezwªadno±ci.
Dla ci¡gªego rozkªadu masy:
33
Z
Iαβ =
ρ(r)(r2 · δαβ − xα xβ )dv
Przykªady:
•
pr¦t o masie
Z
I=
m
2
i dªugo±ci
l (λ =
m
l ):
l
Z
Z
2
r λdr = λ
r dm =
l
r2 dr = λ
0
0
r3 l
λl3
ml2
|0 =
=
3
3
3
l/2
λl3 λl3
r3 l/2
I0 =
r λdr = λ |−l/2 =
+
3
24
24
−l/2
Z
2
ml2
I0 =
12
2
ml2 ml2
ml2
l
I − I0 =
−
=
=m
3
12
4
2
Ogólnie:
I = I0 + md2
- Twierdzenie Steinera
34
•
walec:
I0 =
•
mr2
2
obr¦cz:
I0 = mr2
•
kula:
2
I0 = mr2
5
•
pr¦t:
I0 =
ml2
12
Energia kinetyczna:
dW = M dϕ
M=
dL
dt
dL
dϕ
L
dW =
dϕ =
dL = ωdL = dL
dt
dl
I
ω=
⇒
L
I
L2
Iω 2
Ek =
=
2I
2
Je»eli:
~ =0
M
⇒
~ = const
L
35
⇒
czyli
Iω = const
Obrót bryªy sztywnej dookoªa osi swobodnej
•
osi¡ swobodn¡ obrotu bryªy sztywnej mo»e by¢ tylko jedna z gªównych
osi bezwªadno±ci, odniesionych do ±rodka masy bryªy (znikaj¡ momenty
dewiacyjne, a to oznacza, »e znikaj¡ momenty siª od±rodkowych powoduj¡ce zmiany kierunku osi). Bardziej stabilna jest o± odpowiadaj¡ca
najwi¦kszemu momentowi bezwªadno±ci: (Omówi¢ wirowanie talerza na
kiju, kr¡»ki Frisbee, rzut dyskiem, lasso, hula-hop)
Nutacje
Chwilowe zadziaªanie momentem siªy.
- b¡k symetryczny wiruje wokóª osi, która nie jest jego osi¡ gªówn¡.
Wtedy
~ 6k ω
L
~
O± gªówna (o± symetrii) zakre±la wokóª staªego momentu p¦du sto»ek nutacji.
Precesje
- b¡k symetryczny pod dziaªaniem zewn¦trznego momentu siªy.
Zatem przyrost
~
dL
jest
⊥
do
~
L
Koniec momentu p¦du zakre±la precesyjne koªo o promieniu
Przechodzimy do ukªadu wiruj¡cego z
36
ω~p .
Wówczas:
L⊥ = L sin α
d0
dt0
|{z}
d
=
dt
+ ω~p ×
znika bo ukªad wªasny
czyli
~
dL
~
= ω~p × L
dt
Zatem:
~ = ω~p × L
~
M
mgr sin α = ωp L sin α
ωp =
mgr
mgr
=
L
Iω
Szybko±¢ k¡towa precesji nie zale»y od k¡ta nachylenia b¡ka wzgl¦dem pionu.
Precesja + nutacja
wahadªo »yroskopowe
~ p)
›yroskopowy moment siªy (K
W ukªadzie laboratorium
~
dL
~
=M
dt
Po przej±ciu do ukªadu wªasnego (precesyjnego)
37
~
dL
~+
= ω~p × L
dt
=0
dL0
dt
|{z}
(ukªad wªasny)
czyli:
~
dL
~ =0
− ω~p × L
|
{z
}
dt
|{z}
~p
K
~
M
W tym ukªadzie wypadkowy moment siªy jest równy zeru, bo
~
L
jest staªy.
Pojawia si¦ zatem dodatkowy moment »yroskopowy:
~ =L
~ × ω~p
Kp = −ω~p × L
Przykªady dziaªania momentu »yroskopowego:
(a) skr¦cenie kóª wagonu przy naje¹dzie na dziur¦
(b) jazda na rowerze bez trzymania kierownicy
(c) dociskanie kóª mªy«skich
(d) kolej jednoszynowa
(e) urz¡dzenie »yroskopowe do stabilizacji statków
Sztuczny horyzont
- wahadªo torsyjne na wiruj¡cej tarczy. Je»eli dobierzemy tak parametry wahadªa (I0
= mRs;
s - odlegªo±¢ ±rodka ci¦»ko±ci wahadªa od jego osi), to
38
wahadªo torsyjne pozostaje w spoczynku niezale»nie od wielko±ci przyspieszenia k¡towego jakiego doznaje stolik.
r
Ostatecznie, je»eli we¹miemy wahadªo zyczne o okresie
84
T = 2π
R
≈
g
min (odpowiada to dªugo±ci zredukowanej wahadªa równej promieniowi
Ziemi) to zachowany jest kierunek pionu w doznaj¡cym dowolnie du»ych
przyspiesze« samolocie czy te» pocisku rakietowym.
Wahadªem takim mo»e by¢ wahadªo »yroskopowe, dla którego
T =
zale»y od
ω
2πIω
2π
=
ωp
mga
- (pr¦dko±¢ k¡towa »yroskopu)
Kompas »yroskopowy
(b¡k symetryczny w zawieszeniu Cardana) - stosuje si¦ dodatkowe (pionowe)
mocowanie osi 3. ›yroskop wska»e póªnocny biegun geograczny (a ±ci±lej
kinematyczny) Ziemi.
Poprawki (nawet kilkana±cie stopni) zwi¡zane z ruchem po stycznym z jego
torem ªuku koªa wielkiego.
Statyka bryªy sztywnej
- równowaga siª i momentów siª (przykªad - drabina oparta o ±cian¦)
39
Precesja Ziemi
Ekliptyka - pªaszczyzna orbity Ziemi wokóª Sªo«ca. Ekliptyka tworzy k¡t
23◦ 270
z pªaszczyzn¡ równika. Ziemia jest gigantycznym »yroskopem o osi
przechodz¡cej od bieguna póªnocnego do poªudniowego. Nast¦puje precesja
tej osi wzgl¦dem normalnej do ekliptyki z okresem
Wyst¦puje równie» nutacja z amplitud¡
Ziemia:
ωp = 46.79”/rok = 7.19 · 10−12
9.2”
27725 lat (46.79” na rok).
i okresem
19
lat.
rad
s
Spowodowana jest dziaªaniem momentu siªy od Sªo«ca i Ksi¦»yca; Ziemia
nie jest jednorodn¡ sfer¡; Precesja zostaªa odkryta w 135r. p.n.e. przez Hipparchusa.
40
4. Ruch drgaj¡cy
Siªa spr¦»ysto±ci - prawo Hooke'a:
F
δl
=E
s
l
s
- przekrój (pole powierzchni)
δl
- wydªu»enie
E
- moduª Younga
cz¦sto piszemy
F = kδl
- siªa zewn¦trzna
Oscylator harmoniczy
F = −kx
d2 x
m 2 = −kx
dt
d2 x
k
=− x
2
dt
m
⇒
ω02 ≡
k
m
ẍ = −ω02 x
Rozwi¡zanie postaci:
x = A sin(ω0 t + ϕ)
2π
ω0 =
= 2πν
T
2π
T =
= 2π
ω0
41
r
m
k
Z
x
Ep = −
0
kx2
F dx =
2
←−
parabola
Z ruchem harmonicznym mamy do czynienia wtedy, gdy energia jest kwadratow¡ funkcj¡ wychylenia.
Przykªady:
•
wahadªo matematyczne
F = mg sin θ ≈ mg
F =−
x
l
mg
x
l
|{z}
=k
r
T = 2π
42
m
= 2π
k
s
l
g
•
wahadªo zyczne
~ = d~ × Q
~
M
M = mgd sin α ≈ mgdα
M = − mgd α
|{z}
I
d2 α
=M
dt2
k
r
T = 2π
I
= 2π
k
s
I
mgd
Energia caªkowita:
1
Ec = Ek + Ep = const. = kA2
2
Oscylator harmoniczny tªumiony
FT = −bv = −b
dx
dt
d2 x
dx
m 2 = −kx − b
dt
dt
43
d2 x
k
b dx
=
−
x
−
dt2
m
m dt
b
≡ 2β,
m
ω02 ≡
k
m
ẍ + 2β ẋ + ω02 x = 0
Rozwi¡zanie:
x = Ae−βt cos(ωt + ϕ)
q
ω = ω02 − β 2
Je»eli
ω02 − β 2 = 0
to mamy tªumienie krytyczne, czyli brak oscylacji.
44
Logarytmiczny dekrement tªumienia:
ln
xm (t)
2πβ
= βT =
xm (t + T )
ω
Drgania wymuszone (rezonans)
Siªa wymuszaj¡ca:
Fw = Fm sin(Ωt)
m
dx
d2 x
=
−kx
−
b
+ Fm sin(Ωt)
dt2
dt
ẍ + 2β ẋ + ω02 x =
Fm
sin(Ωt)
m
x = A sin(Ωt + δ)
A=
Fm
p
m (ω02 − Ω2 ) + 4β 2 Ω2
δ = arctan
45
2βΩ
Ω2 − ω02
Moc absorbowana:
2βΩ2
1 Fm2
P =
2 m (ω02 − Ω2 ) + 4β 2 Ω2
Je»eli
Ω −→ ω0
to moc osi¡ga maksimum
Dudnienie
- dwa drgania skªadowe o zbli»onych amplitudach oraz nieco ró»nych cz¦stotliwo±ciach:
x = A cos(ω1 t) + A cos(ω2 t) = 2A cos
ω 1 − ω2
ω1 + ω2
t · cos
t
2
2
| {z }
| {z }
1
2 ωD
T0 =
2π
2π
1
=
=
ωD
ω1 − ω 2
ν1 − ν2
ωD = δω = ω1 − ω2
46
ω0
Krzywe Lissajous
ω1 = ω2 →
prosta
(ϕ = 0, π),
okr¡g
47
(ϕ =
π
),
2
elipsa
Newton i obliczenia dla Ksi¦»yca
Tk = 23, 32
dni
= 2, 36 · 106 s
RZK = 3, 84 · 108 m ≈ 60Rz
Przyspieszenie do±rodkowe:
ad = ω 2 RZK =
2π
T
2
RZK = 2, 72 · 10−3
g
m 9, 80
≈
=
2
2
s
60
(RZK /RZ )2
5. Grawitacja (siªy centralne)
XVIIw. J.Kepler sformuªowaª trzy prawa ruchu planet. Oparª si¦ na bardzo
dokªadnych obserwacjach du«skiego astronoma Tychona Brahe (dotyczyªy
zwªaszcza ruchu Marsa)
Opieraj¡c si¦ na prawach Keplera oraz Rachunku ksi¦»ycowym Newton
ogªosiª w 1687r. Philosophiae naturalis principia mathematica, gdzie podaª
prawo powszechnego ci¡»enia:
M m ~r
F~ = −G 2 ·
r
r
Pomiar staªej G przeprowadziª po raz pierwszy Lord Cavendish w 1799r.
za pomoc¡ tzw. wagi skr¦ce«.
48
Oddziaªywanie powªoki sferycznej o grubo±ci
dF = dF1 · cos α = G
t:
m · dM
cos α
x2
dM = ρdV = ρ2πr sin θrdθt = 2πtρr2 sin θdθ
cosα =
Z twierdzienia cosinusów:
r cos θ =
R − r cos θ
x
R2 + r2 − x2
2R
Po zró»niczkowaniu:
−r sin θdθ = −
2xdx
2R
⇒
49
sin θdθ =
x
dx
Rr
Ostatecznie:
πGtρmr R2 − r2
dF =
+ 1 dx
2
2
R
x
| {z }
α
Na zewn¡trz powªoki:
Z
R+r
F =
R−r
2
R+r
R2 − r 2
R − r2
α
+ 1 dx = α
+x
=
x2
−x
R−r
R2 − r 2
R2 − r 2
=α −
+R+r+
−R+r =
R+r
R−r
= α [−R + r + R + r + R + r − R + r] = 4αr
Mm
4πr2 ρtm
=
G
F =G
R2
R2
Wewn¡trz powªoki:
Z
r+R
F =
r−R
2
r+R
R2 − r 2
R − r2
α
+ 1 dx = α
+x
=
x2
−x
r−R
= α[−R + r + R + r − R − r − r + R] = 0
Powªoka kulista o jenorodnej g¦sto±ci przyci¡ga znajduj¡cy si¦ na zewn¡trz
punkt materialny tak jakby caªa masa byª skoncentrowana w jej ±rodku. Wewn¡trz powªoki siªa jest równa zeru.
50
Energia potencjalna:
r
Mm
Mm
Mm
=
G 2 dr = −G
= −G
r
r ∞
r
∞
Z
Ep = W∞−→r
Siªa:
r
∂Ep
Mm
F~ = −gradEp = −
r̂ = −G 2 r̂
∂r
r
Energia potencjalna jednorodnej kuli
- praca potrzebna do zbudowania kuli
Z
W =−
0
Z
=−
0
r
M
Gmdm
=−
r
Z
r
G
4
3
2
3 πr ρρ4πr
0
r
dr =
16 2 2 r5
3 G( 34 πr3 ρ)2
16 2 2 4
=−
G π ρ r dr = −G π ρ
3
3
5
5
r
W =−
3 GM 2
5 r
Zagadnienie dwóch ciaª
M1
d2~r1
GM1 M2
=
−
r̂
dt2
r2
51
GM1 M2
d2~r2
r̂
M2 2 =
dt
r2
~ CM = M1 r~1 + M2 r~2
R
M1 + M2
GM2
d2 r~2
GM1
d2 r~1
=
−
r̂;
=
r̂
dt2
r2
dt2
r2
~˙ CM = const
M1 r~¨1 + M2 r~¨2 = 0 ⇒ M1 r~˙1 + M2 r~˙2 = const ⇒ R
Pr¦dko±¢ ukªadu ±rodka masy jest staªa, czyli mo»e by¢
=0
d2~r
d2 (~
r1 − r~2 )
1
1 GM1 M2
=
=−
+
r̂
dt2
dt2
M1 M2
r2
Wprowadzamy mas¦ zredukowan¡:
1
1
1
≡
+
µ
M1 M2
d2~r
GM1 M2
µ 2 =−
r̂
dt
r2
Po wprowadzeniu masy zredukowanej zagadnienie dwóch ciaª sprowadza si¦
do zagadnienia jednego ciaªa.
~ =0 ⇒ L
~ = const
M
52
~l = ~r × µ~v = const ⇒
ruch odbywa si¦ w pªaszyczy¹nie
~
⊥ L
W pªaszczy¹nie ruchu wprowadzamy ukªad biegunowy
~v = ṙuˆr + rϕ̇uˆϕ
~ = ~r × µ~v = µ~r × (ṙuˆr + rϕ̇uˆp ) = µr2 ϕ̇uˆz
L
µ(ṙ2 + r2 ϕ̇2 ) µṙ2 µr2 ϕ̇2
µv 2
Ek =
=
=
+
=
2
2µr2
2
2
µṙ2 (µr2 ϕ̇)2
µṙ2
L2
=
+
=
+
2
2
2
2µr2
L2
2µr2
zale»y tylko od r wi¦c mo»emy go poª¡czy¢ z energi¡ potencjaln¡
Eef
L2
GM1 M2
L2
= Ep +
=−
+
2µr2
r
2µr2
53
Równanie ruchu:
µr̈ = −
GM1 M2
+
r2
µω 2 r
| {z }
siªa od±rodkowa
Rozwi¡zaniem tego równania s¡ krzywe sto»kowe
• E < 0,
(koªo lub elipsa) - ruch ograniczony
• E = 0,
parabola
• E > 0,
hiperbola
Pole powierzchni:
~ = 1 ~r × ∆~r
∆S
2
~
~
dS
1
d~r
1
L
= ~r ×
=
~r × p~ =
dt
2
dt
2m
2m
54
~ = const
L
⇒
~
dS
= const
dt
Prawa Keplera
Mikoªaj Kopernik
1473-1543
Tycho Brahe
1546-1601
Jan Kepler
1571-1630
Izaak Newton
1642-1727
I. Wszystkie planety kr¡»¡ po elipsach; w jednym z ognisk elipsy znajduje
si¦ Sªo«ce
II. Promie« wodz¡cy planety zakre±la w równych odst¦pach czasu równe
pola
III. Kwadraty okresów obiegu ró»nych planet wokóª Sªo«ca s¡ proporcjonalne do sze±cianów wielkich póªosi elips
55
Elipsa
1
r
=
1
se (1
s
- okre±la rozmiary krzywej
e
- mimo±ród
− e cos ϕ)
Dla wi¦kszo±ci planet mimo±ród jest bardzo maªy i orbity s¡ prawie kuliste.
Planeta
mimo±ród (e)
Merkury
0,205
Wenus
0,006
Ziemia
0,016
Mars
0,093
Jowisz
0,048
Saturn
0,055
Uran
0,046
Neptun
0,008
Pluton
0,246
Dla orbit kolistych:
G
Mm
2π
2
=
mω
r
ω
=
r2
T
T2
4π 2
=
r3
GM
Ogólnie dla orbit eliptycznych otrzymujemy
4π 2 a3
T =
G(M1 + M2 )
2
56
Twierdzenie o wiriale
Ukªad, w którym dziaªaj¡ siªy odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odlegªo±ci (grawitacja, siªy elektrostatyczne)
Ep = −
C
r
c
F~ = − 2 r̂ = M~a
r
˙
~rF~ = M~
| {zr~v}
~rM~a
c
− = Ep = M~r~v˙
r
M
d
(~r~v ) = M ~r˙~v + M~r~v˙ = M
v 2 +M~r~v˙
|{z}
dt
2E
k
M
d
(~r~v ) = 2Ek + Ep
dt
57
Je»eli stan jest zwi¡zany, to cz¡stka porusza si¦ w sko«czonej obj¦to±ci. ‘rednio bior¡c, warto±¢
~r~v
równie cz¦sto ro±nie jak maleje. ‘rednia warto±¢ lewej
strony z wielu caªek ruchu jest równa zero, czyli:
< 2Ek >= − < Ep >
Nie istnieje trwaªa równowaga statyczna
(ukªad musi by¢ w ruchu).
Dla cz¡stki zwi¡zanej siª¡ przyci¡gania proporcjonaln¡ do odwrotno±ci kwadratu odlegªo±ci, ±rednia energia kinetyczna jest równa poªowie ±redniej energii potencjalnej ze znakiem minus.
Przykªad - powstawanie galaktyk:
Obªok gazu traci energi¦ poprzez promieniowanie
Ep &
jest ujemna wi¦c bezwzgl¦dnie ro±nie
Ek %
co powoduje wzrost temperatury (z obªoku powstaje gor¡ca gwiazda)
58
6. Statyka cieczy
Ciecze czy gazy nie maj¡ okre±lonej postaci, przyjmuj¡ posta¢ naczynia, w
którym si¦ znajduj¡
Prawo Pascala (1659r.) - ci±nienie cieczy, wywarte w pewnym punkcie, rozkªada si¦ równomiernie w caªej obj¦to±ci cieczy.
Ci±nienie
p=
F
S
1P a = 1
N
m2
pomiar ci±nienia dokonujemy np. za pomoc¡ manometrów:
- prasa hydrauliczna
Jednostki:
1 bar = 750 mmHg = 1000 hPa
1 Tr(tor) = 1 mmHg
1 atm(atmosfera zyczna) = 760 mmHg
1 at(atmosfera techniczna) = 1
‘ci±liwo±¢ cieczy:
B=−
moduª ±ci±liwo±ci
β=
kG
m2
1 dv
|E=const
V dp
1
B
Ciecze s¡ bardzo maªo ±ci±liwe. Przykªady:
59
•
po zmieszaniu
50cm3 wody i 50cm3 alkoholu etylowego zyskujemy 96cm3
mieszaniny. Aby zycznie uzyska¢ ubytek obj¦to±ci o
zastosowa¢ ci±nienie
5, 4 · 108
3, 7% musieliby±my
N
. Jest to wielko±¢ oddziaªywa« wzajemm2
nych pomi¦dzy cz¡steczkami alkoholu i wody.
•
Je±li szczeln¡ skrzyni¦ drewnian¡ (bez pokrywy) napeªnion¡ wod¡ przestrzeli¢ pociskiem karabinowym, to chwilowe wysokie ci±nienie spowoduje rozerwanie skrzyni na drzazgi
•
ªezki szklane - krople stopionego szkªa krzepn¡ w wodzie; powstaj¡ silne
napr¦»enia, dzi¦ki którym kropla jest odporna na uderzenie mªotka. Przy
odªamaniu ko«cz¡cych je nitek szklanych, uszkodzenie szybko rozprzestrzenia si¦ w gª¡b kropli powoduj¡c gwaªtowne, wybuchowe jej rozpadni¦cie si¦ na kawaªki. Je»eli zachodzi to w szklanym naczyniu wypeªnionym wod¡ - mo»e spowodowa¢ rozerwanie tego naczynia.
Prawo Archimedesa
- ciaªo zanurzone w pªynie wypierane jest ku górze z siª¡ równ¡ ci¦»arowi
pªynu wypartego przez to ciaªo.
Ci±nienie hydrostatyczne:
dp = ρgdh
ph = ρgh
60
7. Dynamika cieczy
- przepªywy stacjonarne: ciecz nie powstaje ani nie znika
Svρ = const
S
- pole przekroju
v
- pr¦dko±¢ przepªywu cieczy
ρ
- g¦sto±¢ cieczy
W uj¦ciu mikroskopowym w kierunku x:
V (x) = vx ∆y∆z∆t
V (x + ∆x) =
∂vx
∆x ∆y∆z∆t
vx +
∂x
∆V = V (x + ∆x) − V (x) =
∂vx
∆x∆y∆z∆t
∂x
Podobnie w pozostaªych kierunkach
Oznaczenia:
∂vx ∂vy ∂vz
+
+
= ∇~v = div~v
∂x
∂y
∂z
Dla cieczy idealnej div~
v
=0
61
Równanie ci¡gªo±ci dla przepªywu stacjonarnego cieczy ±ci±liwej:
div(ρ~v ) = 0
Dla przepªywów niestacjonarnych:
div(ρ~
v)
+
∂ρ
=S
∂t
gdzie
∂ρ
∂t
S
- szybko±¢ gromadzenia si¦ cieczy
- wpªywy lub wypªywy do elementu obj¦to±ci
Równanie Bernoulliego (ciecz w ruchu stacjonarnym)
ρgh +
Praca siª zewn¦trznych
energi¦ potencjaln¡
i kinetyczn¡
p∆V
ρv 2
+ p = const
2
zmienia si¦ na
mgh = ρ∆V gh
mv 2
ρ∆V v 2
=
2
2
Ogólnie dostajemy równanie Eulera:
ρ
d~v
= ρf~ − grad p
dt
62
f~ -
siªa masowa (siªa zewn¦trzna diaªaj¡ca na jednostk¦ masy)
Przykªady:
•
rozpylacz
•
pompka wodna
•
palnik Bausena
•
paradoks hydrodynamiczny (przyci¡ganie kartki)
•
paradoks hydrodynamiczny (podtrzymywanie kulki w strumieniu powietrza)
•
zrywanie dachów
•
siªa no±na dziaªaj¡ca na skrzydªo samolotu
•
efekt Magnusa (wpªyw lepko±ci cieczy powoduje unoszenie cieczy)
•
Porównanie wzgl¦dnych warto±ci oporów:
za opór odpowiedzialna jest lepko±¢ cieczy, a przede wszystkch wiry powstaj¡ce za przeszkod¡
Lepko±¢:
Dla kuli (wzór Stokesa)
Ft = −6πηrv
η
- lepko±¢
Liczba Reynoldsa:
Re =
63
rρv
η
Wyra»enie Newtona na siª¦ oporu (opór ci±nienia) - powoduje go ró»nica ci±nie« wywoªana wirami:
ρv 2
Fc = Cω
S
2
Cω - bezwymiarowy wspóªczynnik
ρv 2
- energia kinetyczna na jednostk¦
2
obj¦to±ci
S - powierzchnia przekroju poprzecznego
Okazuje si¦, »e wspóªczynnik oporu
Cω
jest funkcj¡ liczby Reynoldsa oraz
ksztaªtu ciaªa. Dla ciaª i cieczy o takiej samej liczbie Reynoldsa wspóªczynnik oporu ma t¡ sam¡ warto±¢. Do bada« modelowych mo»na zatem u»y¢ ciaª
mniejszych, zwi¦kszaj¡c szybko±¢ przepªywu lub zachowa¢ mniejsz¡ pr¦dko±¢
przepªywu, kompensuj¡c to mniejsz¡ warto±ci¡ lepko±ci. Jest to prawo podobie«stwa hydrodynamicznego.
Dla
Re < 1160
stabilny jest przepªyw laminarny
Dla
Re > 1160
stabilny jest przepªyw turbulenty
Ruch laminarny - wyró»ni¢ mo»emy warstwy cieczy poruszaj¡ce si¦ z ró»nymi szybko±ciami
- przepªyw laminarny przez rurk¦ jest przepªywem wirowym
Kran z wod¡:
- sªaby strumie«; przepªyw laminarny
- silny strumie«; przepªyw turbulenty (niespokojny)
64
Cyrkulacja, wirowo±¢ lub rotacja
Cyrkulacja
I
Γ=
~v d~s
H
~v d~s
rot~
v = lim
A→0 A
Je»eli rot~
v
6= 0
to przepªyw jest wirowy
~ × ~v = rot~v = ∇
x̂ ŷ ẑ
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
vx
vy
vz
Napi¦cie powierzchniowe
λ=
λ=
p=
2λ
r
F
2l
πr2 p rp
=
2πr
2
←−
(Meniski, wªoskowato±¢)
65
dla kropli
Termodynamika
Zasady termodynamiki:
0 - zerowa zasada termodynamiki
Je»eli dwa ukªady znajduj¡ si¦ w stanie równowagi z trzecim ukªadem, to musz¡ znajdowa¢ si¦ równie» w stanie równowagi jeden wzgl¦dem drugiego.
Inaczej: Istnieje wielko±¢ skalarna, nazywana temperatur¡, która jest wªa±ciwo±ci¡ wszystkich ukªadów termodynamicznych (w stanie równowagi), przy czym
równo±¢ temperatur jest warunkiem konieczym i wystarczaj¡cym równowagi termicznej
Termometrem nazywamy jakikolwiek maªy ukªad (ale makroskopowy) urz¡dzony
w taki sposób, »e przy pobraniu lub oddaniu ciepªa przez ten ukªad zmienia si¦
tylko jeden z jego parametrów makroskopowych (tzw. parametr termometryczny).
Sposoby pomiaru temperatury:
1. Rozszerzalno±¢ ciaª (np. cieczy - termometry cieczowe)
2. Zmiana oporu elektrycznego (np. metale, póªprzewodniki)
3. Zmiana ci±nienia lub obj¦to±ci gazu (termometry gazowe)
4. Siªa termoelektryczna - termopara
5. Podatno±¢ paramagnetyka
66
Temperatura w skali Celsjusza (krzepni¦cie i wrzenie wody)
- 1954r. mi¦dzynarodowa konwencja ustaliªa, »e temperatura bezwzgl¦dna wody
w punkcie potrójnym wynosi
Tt = 273, 16K
t[◦ C] = T [K] − 273, 15◦
B.Dziunikowski: Wst¦p do zyki niskich temperatur, skrypt AGH nr1203 (1990)
Skala Fahrenheita:
5◦
1F = C
9
◦
−40◦ C = −40◦ F
100◦ C = 212◦ F
0◦ C = 32◦ F
I - pierwsza zasada termodynamiki
ciepªo i praca s¡ ró»nymi formami zmiany energii
∆U = W + Q
U
- energia wewn¦trzna
dU = δW + δQ
Z
W =
Z
F dx =
Z
p |{z}
Sdx =
dV
67
pdV
Konwencja:
δW = −pdV
δQ = mcw dT
cw
- ciepªo wªa±ciwe
II - druga zasada termodynamiki
Entropia charakteryzuje stan makroskopowy ukªadu znajduj¡cego si¦ w równowadze.
dS =
δQ
T
Pochªanianie ciepªa powoduje wzrost entropii
Dla ukªadu izolowanego entropia ro±nie
∆S ≥ 0
Mo»emy zatem zapisa¢ pierwsz¡ zasad¦ termodynamiki:
dU = T dS − pdV
gaz doskonaªy
•
ukªad punktów materialnych oddziaªywuj¡cych tylko poprzez zderzenia
•
±rednia energia gazu doskonaªego zale»y tylko do temperatury
U
3
= kT
N
2
k - staªa Boltzmanna
•
J
k∼
= 1, 38 · 10−23
K
równanie stanu gazu doskonaªego
68
twierdzenie o wiriale
d~v
m = F~
dt
ale:
· ~r
⇒
m
d~v
~r = F~ · ~r
dt
d
d~r
d~v
d~v
(~r · ~v ) = ~v + ~r = v 2 + ~r
dt
dt
dt
dt
czyli:
~r
Ostatecznie:
d
d~v
= (~r · ~v ) − v 2
dt
dt
m
d
(~r · ~v ) = F~ · ~r + mv 2
dt
md
F~ · ~r
(~r · ~v ) =
+ Ek
2 dt
2
‘rednia warto±¢ lewej strony jest równa zeru, wi¦c:
1
< Ek >= − < F~ · ~r >
2
Zamykamy gaz w sze±cianie o wymiarach l
Dla trzech ±cian
F~ k ~r
czyli
F~ · ~r = 0
Dla pozostaªych trzech ±cian
F~ · ~r = −F l = −(pl2 )l = −pl3 = −pV
Dla caªego pudªa
< F~ · ~r >= −3pV
69
Ostatecznie:
3
< Ek >= pV
2
< Ek >= U
2
pV = U
3
3
U = kT N
2
Czyli:
pV
= nR
T
n=
m
µ
-
równanie Clapeyrona
pV
m
= R
T
µ
R
p
= = const
ρT
µ
70
pV
R
=
Tm
µ
Przemiany gazowe
1. Izotermiczna
(T = const) pV = const
- równanie Boyle'a Maiotte'a
U = const
Z
Vb
W =−
Z
Vb
pdV = −
Va
Va
const
Vb
Va
dV = −const ln
= nRT ln
V
Va
Vb
W + Q = 0 ⇒ Q = −W
2. Izobaryczna
(p = const)
nR
V
=
= const
T
p
Z
Vb
W =−
pdV = −p(Vb − Va ) = p(Va − Vb )
Va
Q = mcwp (Tb − Ta ) = n µcp (Tb − Ta )
|{z}
cmol
p
cmol
= µcp
p
71
(V = const)
3. Izochoryczna
µR
p
=
= const
T
V
W =0
,
Q = mcv (Tb − Ta )
∆U = Q
Ogólnie:
mcv dT = −pdV + mcx dT
dla
p dV p = const : cv = −
+ cp
m dT p
cp = cv +
lub:
4. Adiabatyczna
dV nR
=
dT p
R
µ
cmol
= cmol
+R
p
v
δQ = 0
mcv dT = −pdV
dU = δW
72
mcv dT =
µcv dT
dV
=−
R T
V
T
µcv
R
⇒
m RT
dV
µ V
µcv
ln T + ln V = const
R
V = const ⇒ (pV )
µcv
R
V = const
µcv + R cmol
p
κ=
= mol
µcv
cv
cp
=κ>1
cv
pV κ = const
Twierdzenie o ekwipartycji energii
Dla ukªadu klasycznego, bed¡cego w równowadze w temperaturze T, ka»dy wyraz
niezale»ny we wzorze na energi¦ zawieraj¡cy kwadrat p¦du lub wspóªrz¦dnej ma
t¦ sam¡ ±redni¡ warto±¢ równ¡
1
kT
2
73
Przykªady:
1. jednoatomowy gaz doskonaªy:
E=
3
U = N kT
2
cmol
v
1
=
n
1 2
(px + p2y + p2z )
2m
κ=
∂U
∂T
v
3
= R
2
3
5
cmol
= R+R= R
p
2
2
cp
5
= = 1, 67
cv
3
2. dwuatomowy gaz doskonaªy:
E=
5
U = N kT
2
1 2
1
(px + p2y + p2z ) + (l12 + l22 )
2m
2I
5
cmol
= R
v
2
7
cmol
= R
p
2
κ=
7
= 1, 4
5
3. wieloatomowy gaz doskonaªy:
6
U = N kT
2
6
cmol
= R
v
2
74
cmol
= 4R
p
κ=
4
= 1, 33
3
4. oscylator harmoniczny:
E=
1 2 1 2
p + αx
2m x 2
U = N kT
cmol
=R
v
(w jednym wymiarze)
cmol
= 3R ≈ 25
v
dla trzech wymiarów
J
mol · K
Prawo Dulonga i Petita: w dostatecznie wysokich temperaturach, wszystkie ciaªa
staªe maj¡ jednakowe i niezale»ne od temperatury molowe ciepªo wªa±ciwe wynosz¡ce
3R.
Silnik (bez chªodnicy)
W =Q
∆S = −
Q
<0
T
entropia ukªadu maleje (silnik nie istnieje)
Silnik (z chªodnic¡)
W = Q − Q0
∆Sukªadu
Q Q0
= ∆S + ∆S = − + 0 ≥ 0
T
T
0
75
∆Sukªadu = −
W
Q Q
≤
−
T0
T0 T
Q Q−W
+
≥0
T
T0
W
T0
T − T0
≤1−
=
Q
T
T
⇒
W
T − T0
η≡
≤
Q
T
- sprawno±¢
Cykl Carnota (1796-1832) - dwie adiabaty i dwie izotermy
Q0
T 0 (S − S 0 )
T0
Q − Q0
=1−
=1−
=1−
η=
Q
Q
T (S − S 0 )
T
Gaz w polu siª ci¦»ko±ci
T = const
p
= const
ρ
p p0
=
ρ ρ0
⇒
dp = −
ρ=
p
ρ0 gdh
p0
76
dp = −ρgdh
p
ρ0
p0
ρ0
dp
= − gdh
p
p0
ln p − ln p0 = −
ρ0 g
p = p0 exp −
h
p0
ρ0
gh
p0
- wzór barometryczny
Entropia gazu doskonaªego
δQ = T dS,
δW = −pdV,
dU = mcv dT
dU = δQ + δW
mR
p
=
T
µV
mcv dT = T dS − pdV
dS = mcv
dT
p
+ dV
T
T
T
V
m
∆S = mcv ln T T21 + R ln V V21
µ
77
S2 − S1 = mcv ln
T2 mR V2
ln
+
T1
µ
V1
Gazy rzeczywiste
- równanie Van der Waalsa
"
p+a
N
V
2 #
(V − N b) = kN T
78
Fale mechaniczne
•
fale podªu»ne i poprzeczne
•
fala harmoniczna prosta - pobudza cz¡stki do drga« harmonicznych prostych
•
czoªo fali - powierzchnia ª¡cz¡ca wszystkie punkty przestrzeni w których w
danej chwili zaburzenia s¡ takie same
•
fala pªaska - czoªo fali jest pªaszczyzn¡
•
fala kulista
•
fala biegn¡ca w prawo:
•
fala biegn¡ca w lewo:
y = f (x − νt)
y = f (x + νt)
T - okres
1
T
vT
ν
- cz¦stotliwo±¢ =
λ
- dªugo±¢ fali =
ω
- cz¦sto±¢ koªowa =
k - wektor falowy,
2π
= 2πν
T
2π
liczba falowa k =
λ
y=f
pr¦dko±¢ fazowa:
vf =
x
t
−
λ T
= f (kx − ωt)
λ
ω
=
T
k
O±rodki dyspersyjne: szybko±¢ fali zale»y od jej dªugo±ci.
Miar¡ dyspersji jest
dvf
dλ
79
Zasada superpozycji: dwie fale mog¡ przebiega¢ ten sam obszar niezale»nie od
siebie.
Paczka falowa: zaburzenie ograniczane w przestrzeni, mo»na je rozªo»y¢ na niesko«czone ci¡gi fal, których dªugo±ci zmienieaj¡ si¦ np. w sposób ci¡gªy.
Maksimum zaburzenia rozchodzi si¦ z pr¦dko±ci¡ grupow¡:
vgr =
vgr =
dω
;
dk
vf =
ω
k
d
dvf
2π dvf dλ
(kvf ) = vf + k
= vf +
dk
dk
λ dλ dk
d
dλ
=
dk
dk
2π
k
=−
vgr = vf − λ
W o±rodkach dyspersyjnych
vgr 6= vf
Paczka falowa rozmywa si¦ w przestrzeni
80
2π
λ
= −λ
2
k
2π
dvf
dλ
Pr¦dko±¢ fali
Fw = Fdo±rodkowa
∆m = µ∆l, µ
F
- g¦sto±¢ liniowa
2F sin θ =
- napr¦»enie liny (siªa naci¡gu
∆mv 2
R
∆l/2 µ∆lv 2
=
2F
R
R
s
v=
F
µ
Napr¦»enie:
σ=
F
S
ρ=
r
v=
81
σ
ρ
µ
S
Równanie falowe
Fw = Sσ(x + ∆x) sin α(x + ∆x) − Sσ(x) sin α(x)
sin α(x) ≈ tan α(x) =
∂y
∂x
σ(x + ∆x) ≈ σ(x)
∂y
∂y
∂y
∂ 2y
∂y
∂ 2y
Fw = Sσ
(x + ∆x) −
(x) = Sσ
(x) + 2 ∆x −
(x) = Sσ 2 ∆x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂ 2y
∂ 2y
ρS∆x 2 = Sσ 2 ∆x
∂t
∂x
∂ 2y
ρ ∂ 2y
=
;
∂x2
σ ∂t2
r
v=
∂ 2y
1 ∂ 2y
= 2 2
∂x2
v ∂t
σ
=
ρ
s
F
µ
Rozchodzenie si¦ fal w pr¦cie
η(x, t) - przemieszczenie wzdªu» osi x, jakiego doznaje ±rodek masy odcinka pr¦ta
zawartego pomi¦dzy
x
a
x + ∆x
82
ρS∆x
∂ 2η
= Sσ(x + ∆x) − Sσ(x)
∂t2
∂ 2η
σ(x + ∆x) − σ(x) ∂σ
ρ 2 =
=
∂t
∆x
∂x
Z prawa Hooke'a:
σ = Eε
∂η
∂x
ε=
Ostatecznie:
2
s
2
E∂ η
∂ η
=
∂t2
ρ ∂x2
⇒
v=
E
ρ
E - moduª Younga
r
Dla fal poprzecznych:
φ
v=
φ
ρ
- moduª skr¦cenia
K¡t ±cinania:
γ=
1
σt
φ
σt = φγ
Moduª spr¦»ysto±ci na ±cinanie
φ
jest zawsze mniejszy od moduªu Younga E.
Szybko±¢ fal poprzecznych jest zawsze mniejsza od szybko±ci fal podªu»nych.
Rozchodzenie si¦ fal w gazie
Prawo Hooke'a:
∆F
∆l
= −E
S
l
∆F
= ∆p;
S
∆l
∆V
=
l
V
83
∆p = −E
∆V
V
⇒
E = −V
zatem:
s
v=
dp
≡ β,
dV
E
=
ρ
s
β
- moduª ±ci±liwo±ci
β
ρ
Zmiany ci±nienia s¡ tak szybkie, »e stosuje si¦ równanie adiabaty:
pV κ = const
V κ dp + pV κ−1 κdV = 0
β=−
r
v=
dp
V = κp
dV
κp
ρ
p
R
=
ρT
µ
s
v=
κRT
µ
W przytoczonych przykªadach szybko±¢ fal nie zale»y od
λ,
czyli brak dyspersji.
Dotyczy to tylko maªych wychyle«. Dla du»ych amplitud pojawia si¦ dyspersja.
84
Zjawisko Dopplera (odkryte w 1842r.)
1. Obserwator zbli»a si¦ do nieruchomego ¹ródªa:
v
- pr¦dko±¢ obserwatora
u
- pr¦dko±¢ d¹wi¦ku
t1 = 1s
t1
= λν0
s1 = ut1 = |{z}
uT
T
λ
Na odcinku drogi
s1
Na odcinku drogi
s = vt1 = ut1
ν0
znajduje si¦
0
dªugo±ci fal
v
v
= λν0
u
u
0
znajduje si¦
λν = s = s + s1 = λν0
ν
v
u
dªugo±ci fal.
v
1+
u
Zatem:
ν0 v
v
ν = ν0 +
= ν0 1 +
u
u
0
i cz¦sto±¢ ro±nie.
2. Obserwator oddala si¦ od ¹ródªa:
v
ν0 v
= ν0 1 −
ν” = ν0 −
u
u
i cz¦sto±¢ maleje.
3. ™ródªo zbli»a si¦ do obserwatora
W chwili t=0 wysyªany jest sygnaª w odlegªo±ci
b¦dzie do obserwatora po czasie
t1 =
85
a
.
u
a
od ¹ródªa, czyli przy-
W chwili
t = T0
wysyªany jest kolejny sygnaª w odlegªo±ci
dotrze do obserwatora po czasie
t2 =
(a − vT0 ),
który
a − vT0
+ T0 .
u
Zatem:
a − vT0
a
v
T = t2 − t1 =
+ T0 − = T0 1 −
u
u
u
ν0 =
1
1
ν0
= =
v
v
T
1−
T0 1 −
u
u
i cz¦sto±¢ ro±nie.
4. ™ródªo oddala si¦ od obserwatora
a + vT0
t2 =
+ T0
u
T = t2 − t1 = T0
ν” =
v
1+
u
ν0
1+
v
u
Fale stoj¡ce
- przy odbiciu fali od o±rodka g¦stszego nast¦puje zmiana fazy na przeciwn¡,
zatem:
y = F (x + ut) − F (−x + ut)
np. dla fal harmonicznych:
y = A sin 2π
x
t
+
λ T
x
t
− A sin 2π − +
=
λ T
86
t
x
t
x
= A sin 2π
+
− sin 2π − +
=
λ T
λ T
x
t
= 2A sin 2π
cos 2π
λ
T
Powstaje fala stoj¡ca o w¦zªach:
2π
x
= nπ
λ
⇒
x=n
λ
λ
= 2l
2
4
Maksima powstaj¡ w punktach:
x = (2l + 1)
λ
4
Fale d¹wi¦kowe (Szczeniowski)
Zakres sªyszalno±ci ucha ludzkiego 16Hz - 20kHz
ν >20kHz
ν <16Hz
- ultrad¹wi¦ki
- infrad¹wi¦ki
s
v=
κRT
µ
dla powietrza:
m
s
m
◦
20 C − v = 343, 8
s
m
◦
100 C − v = 387, 2
s
0◦ C − v = 331, 8
próg sªyszalno±ci dla 1kHz
Gªo±no±¢:
β = 10 log
I
I0
−I0 = 10−12
W
m2
w decybelach
87
dB
próg sªyszalno±ci
0
powiew li±ci
10
szept
20
normalny ruch uliczny
50
gªo±na rozmowa
60
krzyk
80
motocykl
100
mªot
110
samolot
120
próg bólu
130
88
Teoria wzgl¦dno±ci
Pr¦dko±¢ ±wiatªa - pomiar:
1. Roemer (1676r) - na podstawie obsrwacji ruchu Io (najbli»szego ksi¦»yca
Jowisza) oceniª, »e czas przebiegu ±wiatªa przez ±rednic¦ orbity ziemskiej
wynosi 22min, co w ówczesnych czasach prowadziªo do
c = 214300
km
.
s
Io: okres orbitalny 1,77dni (odkrywca Galileusz 1610r)
2. James Bradley (1725r) - aberracja ±wiatªa gwiazd. Zaobsewowaª pozorn¡
zmian¦ poªo»enia gwiazdy staªej (zwanej
γ Draconius) dochodz¡c¡ do 40, 5” =
2α
tan α =
vz
c
⇒
α ≈ 20, 5”
3. Fizeau (1849r) - koªa z¦bate
c = 315300 ± 500
km
s
4. Foucault (1850, 1862r) - wiruj¡ce zwierciadªa
c = 289000 ± 500
km
s
5. Michelson (1927) - wiruj¡ce zwierciadªa; odlegªo±¢ 35km mi¦dzy szczytami
Mt. Wilson i Mt. San Antonio w Kalifornii
c = 299796 ± 4
6. Rezonatory wn¦kowe - Essen (1950r)
km
s
c = λν , dla ν = 5960, 9000, 9500 MHz:
c = 299792, 5 ± 1
km
s
7. Shoron - nawigcja krótkiego zasi¦gu - stosuje si¦ latarnie radiowe
Aslakson:
c = 299794, 2 ± 1, 9
km
s
89
8. Detektory ±wiatªa modulowanego, stosuje si¦ tzw. komórk¦ Kerra
Bergstrand:
c = 299793, 1 ± 0, 3
km
s
Na podstawie setek pomiarów przyjmuje si¦:
c = (2, 997925 ± 0, 000003) · 108
Od 1984r:
c = 299792458
1s ≡ 9192631770
m
s
m
s
okresy promieniowania Cs
Do±wiadczenie Michelsona-Morleya
1881r A.Michelson (zyk ameryka«ski polskiego pochodzenia)
- do±wiadczenie maj¡ce na celu wykrycie za pomoc¡ interferometru ruchu Ziemi
wzgl¦dem eteru
1887r - do±wiadczenie powtórzono z wi¦ksz¡ dokªadno±ci¡ przez A.Michelsona i
E.W.Morleya.
Klasycznie:
w kierunku
k vz :
w kierunku
t1 =
⊥ vz :
L1
L1
2L1 c
+
= 2
c − vz c + vz
c − vz2
p
s 2 L22 + x2
t2 = =
c
c
90
√
x
vz
=
c
L2 + x2
⇒
vz
L2
L22
2
2
c
x=r
; L2 + c =
vz2
vz2
1− 2
1− 2
c
c
Zatem:
t2 =
∆t = t1 − t2 =
Po obrocie interferometru o
90◦
2L2
1
r
c
vz2
1− 2
c
2L2
1
2L1 c
r
−
c2 − vz2
c
vz2
1− 2
c
(L1 ←→ L2 )
∆t0 = t01 − t02 =
2L2 c
2L1
1
r
−
c2 − vz2
c
vz2
1− 2
c


 v2

1


τ = ∆t + ∆t = r
(L1 + L2 )  r
− 1 ≈ 3z (L1 + L2 )

 c
vz2
vz2
c 1− 2
1− 2
c
c
0
2
Spowoduje to zmian¦ obrazu interferencyjnego (przesuni¦cie o k pr¡»ków)
k=
Je»eli
to
vz = 30
k ≈ 0, 04
km
s
V 2 L1 + L2
cτ
≈ z2
λ
c
λ
- obrót Ziemi wokóª Sªo«ca,
λ ≈ 6·10−7 m,
L1 = L2 = 1, 2m
pr¡»ka - efekt bardzo maªy ale mo»liwy do zmierzenia.
Mo»na zwi¦kszy¢ L przez wielokrotne odbicie.
91
Do±wiadczenie Michelsona-Morleya powtarzano wielokrotnie w ró»nych wersjach,
otrzymuj¡c za ka»dym razem wynik negatywny. Obrót interferometru nie dawaª
przesuni¦cia pr¡»ków interferencyjnych.
Wynik do±wiadczenia Michelsona-Morleya byª sprzczny z tym, czego oczekiwano
na podstawie transformacji Galileusza.
1905r Albert Einstein - szczególna teoria wzgl¦dno±ci:
Postulaty:
1. Pr¦dko±¢ ±wiatªa w pró»ni jest staªa i taka sama we wszystkich inercjalnych
ukªadach odniesienia. Jest to zarazem maksymalna pr¦dko±¢ rozchodzenia
si¦ sygnaªów w przyrodzie
2. Prawa przyrody maj¡ jednakow¡ posta¢ we wszystkich inercjalnych ukªadach
odniesienia
Transformacja Lorentza (1895r)
Transformacja Galileusza - Galileo Galilei (1564-1642):
x0 = x − vt
y 0 = y,
z 0 = z, t0 = t
Szukamy takiej transformacji, która speªnia postulaty Einsteina, a dla maªych
pr¦dko±ci przechodzi w transformacj¦ Galileusza.
Z drugiego postulatu wynika, ze transformacja mi¦dzy ukªadami musi by¢ transformacj¡ liniow¡, tzn:
x0 = Ax + B
i podobnie dla czasu, z tego wyprowadzenie
92
transformacji Lorentza (patrz Wróblewski, Zakrzewski t.1)
Tutaj nieco pro±ciej - zakªadamy:




x0 = γ(x − vt)






t0 = γ(t − αx)



y0 = y






z 0 = z
γ1 , γ2 , α
- dowolne parametry niezale»ne od t i x
Równanie czoªa fali:
x2 + y 2 + z 2 = ct2
x02 + y 02 + z 02 = ct02
- w ukªadzie S
- w ukªadzie S'
γ12 (x2 − 2vxt + v 2 t2 ) + y 2 + z 2 = c2 γ22 (t2 − 2αtx + α2 x2 )
x
2
(γ12
|
− γ22 c2 α2 ) +2xt [−γ12 v
{z
}
|
1
+ c2 γ22 α] +y 2
{z
}
0



γ12 − γ22 c2 α2 = 1




c2 α 2
2
2 2
2
−γ1 v + c γ2 α = 0 ⇒ γ1 =
γ

v 2


2


γ 2 − γ 2 v = 1
2
1 2
c
93
2
2 2
+z =c t
[γ22
|
2
2v
γ1 2 ]
−
{z c }
1

2

c2 α 2
cα

2
2
2
2
2
2

γ2 − γ2 c α = 1 ⇒ γ2
−c α =1


v

 v
2
2
2c α v
2
γ2 − γ2
= 1 ⇒ γ22 (1 − αv) = 1

2

v c





c2 α
− c2 α2 = 1 − αv
v
2
c
+v −1=0
−c2 α2 + α
v
∆=
c2
+v
v
2
c4
2
− 4c = 2 + 2c2 + v 2 − 4c2 =
v
√
c2
∆= −v
v
−
α1 =
bo
c2
−v
v
c>v
c2
c2
−v− +v
1
v
v
=
−2c2
v
c2
c2
− −v+ −v
v
v
α2 = v
=
−2c2
c2
γ22 =
1
1 − αv
⇒
γ12 (α1 ) = ∞
94
(odpada)
2
γ22 (α2 ) =
1
v =
v2
1 − 2v
1− 2
c
c
1
v
2
cα 2
γ12 =
γ2 = c
v
v
c2
2
1
2
1−
v
c2
= γ22
Ostatecznie:
α=
v
,
c2
γ12 = γ22 = γ 2 =
1
v2
1− 2
c
Wprowadzamy oznczenia:
v
β= ,
c
Transformacja Lorentza:
1
1
>1
=p
1 − β2
v2
1− 2
c
γ=r




x0 = γ(x − vt) = γ(x − βct)






y 0 = y



z0 = z






t0 = γ(t − v x) = γ(t − β x)
c2
c
Transformacja odwrotna:




x = γ(x0 + βct)






y = y 0



z = z0






t = γ(t0 + β x0 )
c
95
Czasoprzestrze« (x
, y , z , t)
Niezmiennik czasoprzestrzeni:
β
x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 = γ 2 (x − βct)2 + y 2 + z 2 − c2 γ 2 (t − x)2 =
c
= γ 2 x2 − 2γ 2 βcxt + γ 2 (βct)2 + y 2 + z 2 − c2 γ 2 t2 + 2γ 2 βcxt − γ 2 β 2 x2 =
x2 (1 − β 2 )γ 2 +y 2 + z 2 − c2 t0 γ 2 (1 − β 2 ) = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2
| {z }
| {z }
1
1
x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = const
Interwaª czasoprzestrzenny:
S = c2 ∆t2 − ∆x2 − ∆y 2 − ∆z 2 = S 0
Interwaª mi¦dzy zdarzeniami jest niezmiennikiem transformacji Lorentza
1.
S>0
- interwaª czasopodobny
2.
S=0
- interwaª zerowy
3.
S<0
- interwaª przestrzeniopodobny
Wykresy Minkowskiego
Dodawanie pr¦dko±ci - transformacja pr¦dko±ci
dx = γdx0 + γβxdt0 ;
β
dt = γdt0 + γ dx0 ;
c
96
dy = dy 0
vx0 + βc
dx γdx0 + γβcdt0
vx0 + v
=
=
vx =
=
0
β
v
β
vx0 v
dt
x
0
0
γdt + γ dx
1+
1+ 2
c
c
c
dy
vy =
=
dt
vy0
=
β
vx0 v
0
0
γdt + γ dx
1+ 2
c
c
dy 0
1
v2 2
1− 2
c
Podobnie
vx0 =
vx − v
vx v
1− 2
c
−→
k
vx
1k
c
a0x =
−→
vx − v
dvx0
dt0
v
vx v
1 − 2 − (vx − v) − 2
d  vx − v 
0
c c dv =
dvx =
dvx =
x
v
v
2
x
vx v
dv 1 −
1− 2
c2
c

1−
=

v2
vx v vx v v 2
+
−
1
−
2
c2 c2 dv = c2 dv = dvx c
x
vx v 2
vx v 2 x
vx v 2
1− 2
1− 2
γ2 1 − 2
c
c
c
a0x =
γ2
dvx
1
ax
=
vx v 2
vx v 3
β
3
1− 2
γdt − γdx γ 1 − 2
c
c
c
a0x
ax =
γ3
vx0 v
1+ 2
c
97
3
Je»eli ukªad wªasny
Je»eli
(vx0 = 0) ⇒ ax =
a0x
γ2
v −→ c ⇒ γ −→ ∞ ⇒ ax −→ 0
Skrócenie Lorentza-Fitzgeralda
•
na czym polega pomiar dªugo±ci?
•
w ukªadzie wªasnym:
L0 = x02 (t02 ) − x01 (t01 )
t01
t02
•
mo»e by¢ ró»ne od
w ukªadzie poruszaj¡cym si¦
L = x2 (t2 ) − x1 (t1 )
ale
t2 = t1 = t
L0 = x02 (t02 )−x01 (t01 ) = γ(x2 −βct2 )−γ(x1 −βct1 ) = γ(x2 −x1 )−γβc (t2 − t1 ) = γL
| {z }
0
L1 =
L0
L0
L1
γ1
i L2 =
⇒
=
γ1
γ2
L2
γ2
Wymiary ciaª w kierunku ruchu ulegaj¡ relatywistycznemu skróceniu. Ka»dy
obserwator uzna poruszaj¡cy si¦ wzgl¦dem niego obiekt za krótszy.
Dylatacja czasu
S' - ukªad wªasny;
zaªó»my, »e
x0 =0,
a
t0 =τ ,
wtedy:
β
t = γ(t0 + x0 ) = γτ
c
98
t = γτ
gdzie
τ
- czas wªasny
W ukªadzie poruszaj¡cym si¦ wzgl¦dem ukªadu wªasnego czas wydªu»a si¦ (pªynie
wolniej).
Przykªad: czas rozpadu cz¡stek poruszaj¡cych si¦ ro±nie, paradoks bli¹ni¡t.
Zjawisko Dopplera
1. Pierwszy sygnaª wysªany jest w czasie
co daje
t01 = 0 (x0 = 0)
t1 = 0, x1 = 0
2. Drugi sygnaª
t02 = T0 (x0 = 0)
t2 = γ(t02 +
v 0
x ) = γT0
c2 2
x2 = γ(x02 + vt02 ) = γvT0
W ukªadzie S sygnaª potrzebuje czasu
∆t =
T = t2 + ∆t = γT0 +
x2
c
na pokonanie drogi
γvT0
v
= γT0 (1 + ) =
c
c
v
u
s
v
v
u1 +
1+
c =T u
c =T 1+β
= T0 r
0t
0
v
1−β
v2
1−
1− 2
c
c
ν=
1
= ν0
T
s
1−β
; λ = λ0
1+β
99
s
1+β
1−β
x2
Transformacja k¡ta (dla wi¡zki promieniowania)
x0
cos α = 0
ct
x
cos α =
ct
0
v
x0
+
0
0
0
γ(x + vt
ct0 c = cos α + β
cos α =
=
0
v
1 + β cos α0
cγ(t0 + 2 x0 ) 1 + v x
c
c ct0
Je»eli
cos α0 + 1
= 1 ⇒ α −→ 0
β −→ 1 ⇒ cos α −→
1 + cos α0
Nast¦puje zw¦»anie k¡ta emisji promieniowania
Dynamika relatywistyczna
P¦d
W ukªadzie poruszaj¡cym si¦ zmieni si¦ skªadowa y-kowa wektora pr¦dko±ci
vy
vy0 =
vx v
1− 2
c
1/2
v2
1− 2
c
i p¦d klasyczny prostopadªy do ruchu zale»y od pr¦dko±ci. Klasyczny p¦d nie b¦dzie zachowany w zderzeniach.
Lepiej oprze¢ si¦ na wielko±ciach zwi¡zanych z ukªadem wªasnym. Wtedy:
∆y
∆y ∆t
=
∆τ
∆t ∆τ
100
∆y
∆y
=
γ = vy γ
∆τ
∆t
Tak wi¦c lepiej oprze¢ si¦ na denicji p¦du w postaci:
p~ ≡ m~v
2
1−
v
c2
1/2 = mcβγ = m(v)~v
Wprowadzamy poj¦cie masy spoczynkowej i masy relatywistycznej:
γ2 =
1
2
2 2
⇒
γ
−
β
γ
=
1
· m20 c4
2
1−β
m20 c4 γ 2 − m20 c4 β 2 γ 2 = m0 c4
Ostatecznie:
m2 c4 − p2 c2 = m0 c4
Dla maªych pr¦dko±ci:
1 2
1
2
2
≈ m0 c 1 + β + . . . =
m
c
+
m
v
mc = m0 c p
0
0
| {z }
2
1 − β2
|2 {z }
energia spoczynkowa
2
2
1
2
Ek
m0 c2
E ≡ mc = r
v2
1− 2
c
2
E 2 − p2 c2 = m20 c4
101
Transformacja siªy



d~p
d 
 m0~v 
~
F =
= r

dt
dt 
v2 
1− 2
c
FT =
Skªadowa tangencjalna siªy:

dp
dt
dv
m0
dt

r
1
v dv
v2
1 − 2 + m0 v r
2
c
v 2 c dt
1− 2
c
=
2
v
1− 2
c

d 
 m0 v 
FT =  r
=
dt 
v2 
1− 2
c
m0
dv
m0
=
=
aT
2 3/2 dt
2 3/2
v
v
1− 2
1− 2
c
c
Skªadowa normalna:
FN :
wektor pr¦dko±ci zostaje skr¦cony, ale jego dlugo±¢ pozostaje bez zmian, dlatego
mianownik ma staª¡ warto±¢, czyli:
FN = r
m0
v2
1− 2
c
Zatem:
F~ 6= m~a
102
aN
Uwaga:
Dla du»ych pr¦dko±ci znacznie trudniej przyspiesza¢ cz¡stk¦ ni» j¡ zakrzywia¢.
np:
v
c
FT
mc aT
FN
m0 aN
0,01
1,00015
1,00005
0,40
1,29892
1,09109
0,90
12,07451
2,29416
0,99
356,22171
7,08881
Transformacje siªy z ukªadu wªasnego S'
w S' ciaªo spoczywa, czyli
E 0 = m0 c2 = const
0
βE
⇒ dpx = γdp0x
px = γ p0x +
c
dt = γdt0 ,
dpy = dp0y ,
dpz = dp0z
dpx
γdp0x
dp0x
Fx =
=
= 0 = Fx0
0
dt
γdt
dt
podobnie
Fy =
1 0
F ;
γ y
Fz =
1 0
F
γ z
Transformacja mi¦dzy dowolnymi ukªadami jest nieco bardziej skomplikowna.
103
Energia kinetyczna
Z
x2
W =
Z
x2
F dx =
x1
x1
dp
dx
dt
dv
dp
d m0 v
dt
= r
=
3/2
dt
dt
v2
v2
1− 2
1− 2
c
c
m0
Z v
Z t m0 dv · vdt
v
m0 c2
dt
r
= m0
− m0 c2 = Ek
dv =
W =
3
3/2
2
γ
0
0
v
v2
1− 2
1− 2
c
c
104