Wykłady z matematyki Geometria w R3

Wykłady z matematyki
Geometria w R 3
Andrzej Musielak
Rok akademicki 2015/16
UTP Bydgoszcz
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Działania na wektorach
Wektory w R3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.:
[2, 3, 1] + [−1, 2, 1] = [1, 5, 2]
[2, 3, 1] − [−1, 2, 1] = [3, 1, 0]
a także mnożyć przez skalar (liczbę):
3 ⋅ [2, 3, 1] = [6, 9, 3]
Nieco trudniejsze (i nie tak naturalne) jest mnożenie wektora przez
wektor.
Iloczyn skalarny wektorów
⃗ ⋅ cos ∢(⃗a, b),
⃗ gdzie ∣⃗
Formalna definicja to: ⃗a ○ b⃗ = ∣⃗a∣ ⋅ ∣b∣
v∣ √
to długość
wektora, która dla wektora v⃗ = [vx , vy , vz ] jest równa ∣⃗
v ∣ = vx2 + vy2 + vz2 .
Natomiast praktyczny sposób liczenia dla wektorów [vx , vy , vz ] i
[wx , wy , wz ] to:
[vx , vy , vz ] ○ [wx , wy , wz ] = vx wx + vy wy + vz wz ]
na przykład: [2, 3, 1] ○ [1, −1, 2] = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 = 1
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Działania na wektorach
Warto zwrócić uwagę, że po pierwsze iloczyn skalarny wektorów jest
liczbą, a po drugie z definicji wynika, że jest równy zero wtedy i tylko
wtedy gdy mnożymy dwa wektory prostopadłe (przyjmujemy przy tym, że
wektor zerowy jest prostopadły do dowolnego wektora).
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Działania na wektorach
Iloczyn wektorowy wektorów
Formalna definicja iloczynu wektorowego brzmi: ⃗a × b⃗ to wektor
⃗ o długości równej polu równoległoboku
prostopadły do wektorów ⃗a i b,
rozpiętego przez dwa wyjściowe wektory, oraz o zwrocie takim, żeby
⃗ ⃗a × b⃗ był dodatnio zorientowany.
układ ⃗a, b,
W praktyce aby policzyć iloczyn wektorowy wektorów [vx , vy , vz ] i
[wx , wy , wz ] liczymy wyznacznik macierzy:
RRR i
j
k RRRR
RRR
RRR vx vy vz RRRRR
RRRw w w RRR
y
zR
R x
gdzie i, j, k są wersorami jednostkowymi.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Działania na wektorach
Przykładowy rachunek dla wektorów [2, 3, 1] i [1, −1, 2] to:
RRR i
j k RRRR
R
[2, 3, 1] × [1, −1, 2] = RRRRR2 3 1 RRRRR = 6i + j − 2k − 3k + i − 4j = 7i − 3j − 5k =
RRR1 −1 2 RRR
R
R
[7, −3, −5]
Aby sprawdzić poprawność rachunku można (przy użyciu iloczynu
skalarnego) sprawdzić czy wektor który nam wyszedł jest prostopadły do
dwóch wyjściowych wektorów.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Działania na wektorach
Warto zwrócić uwagę, że po pierwsze iloczyn wektorowy wektorów jest
wektorem, a po drugie z definicji wynika, że jest równy zero wtedy i tylko
wtedy gdy wyjściowe wektory są równoległe (przyjmujemy przy tym, że
wektor zerowy jest równoległy do dowolnego wektora).
Ponadto, co szczególnie ważne, dzięki iloczynowi wektorowemu zawsze
możemy znaleźć wektor prostopadły do dwóch danych (a to bardzo
często przydaje się w geometrii analitycznej).
Ćwiczenia
Wyznacz iloczyny skalarny i wektorowy dla następujących par wektorów:
a) [1, 0, 0] i [0, 2, 3] b) [1, 1, 1] i [−2, 1, 4] c) [1, 3, −1] i [2, −5, 2]
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Równanie płaszczyzny w R 3
Równanie ogólne płaszczyzny (najważniejsze) to: Ax + By + Cz + D = 0
(gdzie A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zero) n⃗ = [A, B, C ] to
wektor normalny płaszczyzny, czyli wektor, który jest do niej prostopadły.
Można powiedzieć, że wektor normalny wyznacza ”kierunek” płaszczyzny.
Żeby mieć jednoznacznie wyznaczoną płaszczyznę, wystarczy znać jej
wektor normalny oraz dowolny punkt.
Warto też wiedzieć, że równanie płaszczyzny o wektorze normalnym
[A, B, C ] i przechodzącej przez punkt (x0 , y0 , z0 ) to
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Równanie płaszczyzny w R 3
Inne postaci płaszczyzny to:
Postać odcinkowa: xa + yb + cz = 1 - to płaszczyzna przechodząca przez
punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).
⎧
x = x0 + a1 t + a2 s
⎪
⎪
⎪
⎪
Postać parametryczna: ⎨y = y0 + b1 t + b2 s , gdzie (x0 , y0 , z0 ) to
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩z = z0 + c1 t + c2 s
dowolny punkt płaszczyzny, a [a1 , b1 , c1 ] i [a2 , b2 , c2 ] to dwa
wektory równoległe do płaszczyzny (ale nierównoległe wzajemnie)
⃗ - oznaczenia jak
Postać wektorowa: (x, y , z) = (x0 , y0 , z0 ) + t v⃗ + s w
⃗
wyżej, tylko wektory zostały nazwane v⃗ i w
W dwóch ostatnich przypadkach do płaszczyzny należą te i tylko te
punkty, których współrzędne są powyższej postaci dla pewnych
parametrów t, s.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Równanie prostej w R 3
Prostej w przestrzeni trójwymiarowej nie da się opisać jednym równaniem
liniowym, dlatego musimy poradzić sobie inaczej. Postaci w jakiej można
przedstawić płaszczyznę to:
Postać kierunkowa:
x−x0
a
=
y −y0
b
=
z−z0
c
⎧
x = x0 + at
⎪
⎪
⎪
⎪
Postać parametryczna ⎨y = y0 + bt
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩z = z0 + ct
Postać wektorowa: (x, y , z) = (x0 , y0 , z0 ) + t ⋅ [a, b, c]
W każdej z tych postaci (x0 , y0 , z0 ) jest dowolnym punktem prostej, a
k⃗ = [a, b, c] to wektor kierunkowy prostej, czyli (jak sama nazwa
wskazuje) wektor, który wyznacza nam kierunek prostej.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Równanie prostej w R 3
Jest jeszcze jedna możliwość zadania prostej - z uwagi na to, że dwie
nierównoległe płaszczyzny przecinają się zawsze wzdłuż prostej, można
powiedzieć o którą prostą nam chodzi wskazując dwie płaszczyzny do
których ona należy. Taki sposób przedstawienia prostej nazywa się
postacią krawędziową.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Odległość punktu od płaszczyzny
Warto jeszcze znać wzór na odległość punktu (x0 , y0 , z0 ) od płaszczyzny
Ax + By + Cz + D = 0:
d=
∣Ax0 + By0 + Cz0 + D∣
√
A2 + B 2 + C 2
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Wskazówki
Ogólne wskazówki przy rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej:
Warto wyobrazić sobie i narysować sytuację z zadania.
Należy uzmysłowić sobie co jest potrzebne do rozwiązania,
przykładowo: jeśli szukamy płaszczyzny, potrzebny jest nam wektor
normalny i dowolny punkt; jeśli szukamy prostej potrzebny jest nam
wektor kierunkowy i dowolny punkt.
Trzeba zastanowić się skąd wziąć szukane wektory (może są do
czegoś prostopadłe albo równoległe?) i punkty (może są podane w
zadaniu, może są częścią wspólną prostej i płaszczyzny?).
Bardzo często przydaje się fakt, że jeśli mamy dane dwa wektory, to
prostopadły do nich jest ich iloczyn wektorowy.
Przed przystąpieniem do rachunków sensownie jest zrobić sobie plan
działania, rozpisując sobie czego po kolei szukamy i wyjaśnić jak
doprowadzi nas to do celu.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1: Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
A(1, 2, 3), B(1, −1, 0), C (−2, 1, 1).
Rozwiązanie: Aby wyznaczyć równanie płaszczyzny potrzebujemy znaleźć
jej wektor normalny oraz dowolny punkt. Punkt (a nawet trzy) oczywiście
już mamy. Pozostaje więc znaleźć wektor normalny. Wektor ten jest
prostopadły do płaszczyzny, w szczególności więc jest też prostopadły do
każdej prostej należącej do tej płaszczyzny i do każdego odcinka
należącego do tej płaszczyzny. Jest więc prostopadły na przykład do
Ð→ Ð→
odcinków AB i AC , a zatem także do wektorów AB i AC . W takim razie
wektorem normalnym (przykładowym) jest iloczyn wektorowy dwóch
powyższych wektorów:
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Ð→
AB = B − A = (1, −1, 0) − (1, 2, 3) = [0, −3, −3]
Ð→
AC = C − A = (−2, 1, 1) − (1, 2, 3) = [−3, −1, −2]
RR i
j
k RRRR
Ð→ Ð→ RR
n⃗ = AB × AC = RRRRR 0 −3 −3RRRRR = [3, 9, −9]
RRR−3 −1 −2RRR
R
R
zatem uwzględniając na przykład punkt A otrzymujemy równanie
płaszczyzny:3(x − 1) + 9(y − 2) − 9(z − 3) = 0
czyli po prostych przekształceniach: x + 3y − 3z + 2 = 0. Warto zwrócić
uwagę, że gdybyśmy zamiast punktu A wykorzystali na przykład punkt B
- wyszłoby dokładnie to samo.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 2: Wyznacz równanie kierunkowe prostej prostopadłej do
prostych:
⎧
⎪
⎪x + y + z = 1
y
z−2
=
=
i
l
∶
l1 ∶ x−1
2 ⎨
2
0
3
⎪
3x − 2y + z = 3
⎪
⎩
oraz zawierającej punkt P(2, 1, 3)
Rozwiązanie: Szukamy równania prostej, zatem potrzebny jest nam punkt
i wektor kierunkowy. Punkt już oczywiście mamy - jest to P, pozostaje
więc zastanowić się jak wygląda wektor kierunkowy. Skoro szukana prosta
jest prostopadła do prostych l1 i l2 , to znaczy, że jej wektor kierunkowy
jest prostopadły do wektorów kierunkowych tych prostych, a zatem jest
iloczynem wektorowym tych wektorów kierunkowych. Wektor kierunkowy
l1 mamy za darmo - jest to k⃗1 = [2, 0, 3].
Zauważmy teraz, że prosta która jest częścią wspólną dwóch płaszczyzn,
jest prostopadła do wektorów normalnych tych płaszczyzn, czyli jej
wektor kierunkowy także. Stąd wektor kierunkowy l2 jest iloczynem
wektorowym wektorów [1, 1, 1] i [3, −2, 1]:
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 2 - ciąg dalszy
RRR i
j k RRRR
R
k⃗2 = [1, 1, 1] × [3, −2, 1] = RRRRR1 1 1 RRRRR = [3, 2, −5]
RRR3 −2 1 RRR
R
R
Tak więc szukany wektor kierunkowy to:
RRR i j k RRR
R
R
⃗
⃗
⃗
k = k1 × k2 = RRRRR2 0 3 RRRRR = [−6, 19, 4]
RRR3 2 −5RRR
R
R
i ostatecznie nasza prosta ma postać:
−1
x−2
= y19
= z−3
−6
4
Uwaga: jeśli szukamy prostej prostopadłej do dwóch danych, to wystarczy
wiedzieć, że wektor kierunkowy szukanej prostej jest prostopadły do
wektorów kierunkowych prostych. Gdybyśmy natomiast szukali
płaszczyzny prostopadłej do dwóch danych, to wystarczyłoby wiedzieć, że
wektor normalny szukanej płaszczyzny jest prostopadły do wektorów
normalnych danych płaszczyzn.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 3: Znajdź rzut prostopadły punktu A(4, −2, 7) na płaszczyznę
π ∶ x − 2y + 3z − 1 = 0.
Rozwiązanie: Oznaczmy szukany rzut przez A′ . Oczywiście A′ ∈ π. Skoro
rzut jest prostopadły, to znaczy, że odcinek AA′ jest prostopadły do
płaszczyzny π, a zatem także prosta wyznaczona przez ten odcinek jest
prostopadła do π. Ale skoro ta prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to
znaczy, że wektor normalny płaszczyzny jest zarazem wektorem
kierunkowym tej prostej. Tak więc nasza prosta ma równanie kierunkowe:
+2
x−4
= y−2
= z−7
, lub w postaci parametrycznej:
1
3
⎧x = 4 + t
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨y = −2 − 2t
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩z = 7 + 3t
Inaczej mówiąc - każdy punkt prostej AA′ jest postaci
(4 + t, −2 − 2t, 7 + 3t) dla pewnego t rzeczywistego. My natomiast
szukamy punktu A′ , który nie dość, że należy do tej prostej (czyli jest tej
postaci), to jeszcze należy do płaszczyzny π, a to oznacza, że jego
współrzędne spełniają równanie tej płaszczyzny.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 3 - ciąg dalszy
Wystarczy zatem podstawić te współrzędne do równania:
(4 + t) − 2(−2 − 2t) + 3(7 + 3t) − 1 = 0
14t + 28 = 0
t = −2
Tak więc współrzędne punktu A′ to:
(4 + (−2), −2 − 2 ⋅ (−2), 7 + 3 ⋅ (−2)) = (2, 2, 1)
i to jest właśnie szukany rzut.
Uwaga: gdybyśmy rzutowali punkt na prostą, to musielibyśmy znaleźć
równanie płaszczyzny prostopadłej do tej prostej i zawierającej wyjściowy
punkt. Szukany rzut jest wtedy częścią wspólną tej płaszczyzny i
wyjściowej prostej.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3
Ćwiczenia
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2, 2) i
B(−1, 3, 1).
Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
A(1, 2, 2), B(−1, 3, 1) i C (3, −2, 2).
Wyznacz rzut prostopadły punktu P(4, 3, −4) na płaszczyznę
π ∶ x + y − 2x + 3 = 0.
Wyznacz równanie płaszczyzny zawierającej punkt (0, 0, 0) i
prostopadłej do płaszczyzn:
x + 2y + 4z = 3 oraz −x + 3y + z = 0.
Wyznacz równanie prostej zawierającej punkt A(2, 1, 2) i
przecinającej prostopadle prostą:
z
l: x−2
= y −3
= −1
.
1
2
Wyznacz punkt symetryczny do punktu P(2, 2, 2) względem
płaszczyzny π ∶ x + y − z + 1 = 0.
Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (1, 2, 0) i
prostopadłej do płaszczyzny
x + y − 3z − 1 = 0 oraz do płaszczyzny x − y + z = 0.
Znajdź równanie rzutu prostopadłego prostej x−1
= y0 = z+1
na
2
3
płaszczyznę x + 3y − z = 0.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Geometria w R 3