„Silny” efekt magistrali w modelu

PRZEGLĄD STATYSTYCZNY
R. LXIII – ZESZYT 2 – 2016
EMIL PANEK1
„SILNY” EFEKT MAGISTRALI
W MODELU NIESTACJONARNEJ GOSPODARKI GALE’A
Z GRANICZNĄ TECHNOLOGIĄ
1. WSTĉP
Ponad póá wieku temu P. A. Samuelson sformuáowaá hipotezĊ o zbieĪnoĞci (w dáugich okresach czasu) optymalnych ĞcieĪek wzrostu gospodarczego do pewnej „wzorcowej” ĞcieĪki (magistrali) charakteryzującej gospodarkĊ w tzw. równowadze dynamicznej (równowadze von Neumanna), na której gospodarka osiąga maksymalne,
równomierne tempo wzrostu2. Badania w tym kierunku podjĊli ekonomiĞci matematyczni na caáym Ğwiecie, a ich efektem jest dzisiaj teoria magistral, z bogatą listą
twierdzeĔ (o magistralach: produkcyjnych, konsumpcyjnych, kapitaáowych) w róĪnych modelach dynamiki ekonomicznej – gáównie typu Neumanna-Gale’a-Leontiefa.
Modele te odznaczają siĊ swoistą elegancją matematyczną. Z drugiej strony, cechą
charakterystyczną wiĊkszoĞci z nich, którą moĪna jednoczeĞnie uznaü za pewną sáaboĞü, jest ich stacjonarnoĞü.
Artykuá nawiązuje bezpoĞrednio do pracy Panek (2013a), w której udowodniono
tzw. „sáabe” oraz „bardzo silne” twierdzenie o magistrali w niestacjonarnej gospodarce
Gale’a ze zmienną technologią, zbieĪną do pewnej technologii granicznej. W teorii
magistral – w literaturze poĞwiĊconej efektowi magistrali w modelach stacjonarnych
gospodarek typu input-output z niezmienną (staáą w czasie) technologią – znana jest
trzecia tzw. „silna” wersja twierdzeĔ o magistrali. WersjĊ takiego twierdzenia w przypadku stacjonarnej gospodarki Gale’a przedstawiono w artykuáach Panek (2013b,
2015). Implementując zastosowaną tam technikĊ dowodzenia poniĪej prezentujemy
dowód „silnego” twierdzenia o magistrali w niestacjonarnej gospodarce Gale’a ze
zmienną technologią, zmierzającą z czasem do pewnej technologii granicznej. Pod
tym wzglĊdem artykuá róĪni siĊ od innych znanych autorowi prac z teorii magistral3.
1
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu, Wydziaá Informatyki i Gospodarki Elektronicznej, Katedra
Ekonomii Matematycznej, al. NiepodlegáoĞci 10, 60-967 PoznaĔ, Polska, e-mail: [email protected].
2 Por. Samuelson (1960), McKenzie (1998).
3
Zob. m.in. Jensen (2012), Khan, Piazza (2011), Majumdar (2009), McKenzie (2005, 1976), Makarov,
Rubinov (1977), Nikaido (1968, rozdz. 4), a takĪe obszerną bibliografiĊ w pracy Panek (2011).
110
Emil Panek
2. PODSTAWOWE ZAàOĩENIA
Model niestacjonarnej gospodarki Gale’a z graniczną technologią, którym zajmujemy siĕ dalej, zostaã szczegóãowo przedstawiony w pracy Panek (2013a). Przez
t oznaczamy skokowć zmiennć czasu, t = 0,1,… . W gospodarce mamy n towarów
(zuŧywanych i/lub wytwarzanych). Przez ‫ ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ൫‫ݔ‬ଵ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݔ‬ଶ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ǥ ǡ ‫ݔ‬௡ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ‫ Ͳ ؤ‬oznaczamy wektor towarów zuŧywanych w okresie t (wektor nakãadów lub wektor zuŧycia
produkcyjnego), przez ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ൫‫ݕ‬ଵ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ଶ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ǥ ǡ ‫ݕ‬௡ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ‫ Ͳ ؤ‬wektor towarów wytwarzanych w gospodarce w tym okresie (wektor wyników lub wektor produkcji). Jeŧeli
w gospodarce z wektora nakãadów x(t) moŧna wytworzyþ wektor produkcji y(t) to
o parze ൫‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯ mówimy, ŧe w okresie t opisuje technologicznie dopuszczalny
proces produkcji. Przez ܼሺ‫ݐ‬ሻ ‫ܴ ؿ‬ାଶ௡ oznaczamy zbiór wszystkich technologicznie
dopuszczalnych procesów produkcji4 w okresie t, t = 0,1,… . Zapis ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ (lub
൫‫ ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ) oznacza, ŧe w okresie t w gospodarce z (wektora) nakãadów x
moŧliwe jest wytworzenie (wektora) produkcji y. Zbiór Z(t) nazywamy przestrzenić
produkcyjnć gospodarki w okresie t. Przestrzenie produkcyjne ܼሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ ݐ‬ൌ Ͳǡ ͳǡ ǥ, speãniajć nastĕpujćce warunki5:
(G1) ‫׊‬ሺ‫ ݔ‬ଵ ǡ ‫ݕ‬ଵ ሻǡ ሺ‫ ݔ‬ଶ ǡ ‫ ݕ‬ଶ ሻ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ‫ߣ׊‬ଵ ǡ ߣଶ ൒ Ͳ൫ߣଵ ሺ‫ ݔ‬ଵ ǡ ‫ݕ‬ଵ ሻ ൅ ߣଶ ሺ‫ ݔ‬ଶ ǡ ‫ ݕ‬ଶ ሻ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯
(warunek proporcjonalnoĞci nakáadów i wyników oraz addytywnoĞci procesów produkcyjnych).
(G2) ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻሺ‫ ݔ‬ൌ Ͳ ֜ ‫ ݕ‬ൌ Ͳሻ
(warunek „braku rogu obfitoĞci”).
(G3) ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ݔ׊‬ᇱ ‫ ݕ أ Ͳ׊ݔ ؤ‬ᇱ ‫ݕ أ‬൫ሺ‫ ݔ‬ᇱ ǡ ‫ ݕ‬ᇱ ሻ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯
(moĪliwoĞü marnotrawstwa nakáadów i/lub wyników).
(G4) Przestrzenie produkcyjne Z(t) są zbiorami domkniĊtymi w ܴାଶ௡ .
(G5) ܼሺ‫ݐ‬ሻ ‫ܼ ك‬ሺ‫ ݐ‬൅ ͳሻ ‫ ܼ ك ڮ ك‬i Z jest takim najmniejszym zbiorem domkniĊtym
w ܴାଶ௡ zawierającym wszystkie przestrzenie produkcyjne Z(t), Īe jeĪeli (x, y) ‘ Z oraz
x = 0, to y = 0 (tj. zachodzi warunek (G2)).
Przestrzenie produkcyjne Z(t) speániające warunki (G1) – (G4) nazywamy
gale’owskimi. Zbiór Z nazywamy graniczną przestrzenią produkcyjną. Zapis (x, y) ‘ Z
Dopuszczalnych w Ğwietle technologii jaką dysponuje gospodarka w okresie t.
Przestrzenie produkcyjne Z(t) speániające warunki (G1) – (G4) są stoĪkami domkniĊtymi w R2n
z wierzchoákami w 0. Z ich interpretacją ekonomiczną moĪna zapoznaü siĊ w pracach Panek (2003,
rozdz. 5, 2013a).
4
5
„Silny” efekt magistrali w modelu niestacjonarnej gospodarki Gale’a z graniczną technologią
111
oznacza, Īe graniczna technologia (której ucieleĞnieniem jest graniczna przestrzeĔ
produkcyjna Z) umoĪliwia wytworzenie wektora produkcji y z wektora nakáadów x.
GospodarkĊ z przestrzeniami produkcyjnymi speániającymi warunki (G1) – (G5) nazywamy niestacjonarną gospodarką Gale’a z graniczną technologią.
Ƒ Twierdzenie 1
Graniczna przestrzeĔ produkcyjna Z (speániająca warunek (G5)) jest gale’owska,
tj. speánia warunki (G1) – (G4).
Dowód. PokaĪemy, Īe graniczna przestrzeĔ produkcyjna speánia warunki (G1), (G3).
WeĨmy dowolne dwa procesy (x1, y1), (x2, y2) ‘ Z oraz dowolne liczby Ȝ1, Ȝ2 v 0. Zgodnie
z definicją zbioru Z istnieją ciągi procesów ൫‫ ݔ‬ଵ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ଵ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ǡ ൫‫ ݔ‬ଶ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ ݕ‬ଶ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ,
t = 0,1,… , zbieĪne (odpowiednio) do (x1, y1), (x2, y2). JednoczeĞnie ൫‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ൌ
ൌ ߣଵ ൫‫ ݔ‬ଵ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ଵ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ൅ ߣଶ ൫‫ ݔ‬ଶ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ ݕ‬ଶ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ, czyli Ž‹௧ ൫‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ൌ ߣଵ ሺ‫ ݔ‬ଵ ǡ ‫ݕ‬ଵ ሻ ൅
൅ ߣଶ ሺ‫ ݔ‬ଶ ǡ ‫ ݕ‬ଶ ሻ ‫ ܼ א‬. Tym samym speániony jest warunek (G1).
Podobnie, jeĪeli (x, y) ‘ Z, to istnieje ciąg procesów ൫‫ ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ,
t = 0,1,… , zbieĪny do (x, y). Niech ‫ ݔ‬ᇱ ‫ݔ ؤ‬ǡ Ͳ ‫ ݕ أ‬ᇱ ‫ݕ أ‬, ‫ݔ‬෤ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ‫ ݔ‬ᇱ െ ‫ ݔ‬oraz
max .
Wówczas ‫ݔ‬෤ ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ݔ ؤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, Ͳ ‫ݕ أ‬෤ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ݕ أ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, ൫‫ݔ‬෤ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬෤ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ oraz Ž‹௧ ൫‫ݔ‬෤ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬෤ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ൌ
ൌ ሺ‫ ݔ‬ᇱ ǡ ‫ ݕ‬ᇱ ሻ ‫( ܼ א‬gdyĪ przestrzeĔ produkcyjna Z jest zbiorem domkniĊtym w ܴାଶ௡ )
i speániony jest warunek (G3).
Warunki (G2), (G4) są speánione na mocy zaáoĪenia.
Ŷ
3. RÓWNOWAGA VON NEUMANNA W GOSPODARCE GALE’A
Z GRANICZNĄ TECHNOLOGIĄ
Ustalmy okres czasu t i weĨmy dowolny proces (x, y) ‘ Z(t) \ {0}. Wtedy, w myĞl
(G2) x  0, zatem istnieje nieujemna liczba ߙሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌPD[ሼߙȁߙ‫ݕ أ ݔ‬ሽ, którą nazywamy wskaĨnikiem technologicznej efektywnoĞci procesu (x, y). Analogicznie definiujemy wskaĨnik technologicznej efektywnoĞci nietrywialnego (niezerowego) procesu
(x, y) ‘ Z \ {0}.
Ƒ Twierdzenie 2
Przy zaáoĪeniach (G1) – (G5):
ሺ‹ሻ funkcja Į (·) jest ciągáa i dodatnio jednorodna na (odpowiednio) Z(t) \ {0} oraz
Z \ {0},
ሺ‹‹ሻ istnieją takie procesy ൫‫ݔ‬ҧ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬തሺ‫ݐ‬ሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ, ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ‫ܼ א‬oraz takie liczby ĮM,t, ĮM, Īe
ߙெǡ௧ ൌƒšሺ௫ǡ௬ሻ‫א‬௓ሺ௧ሻ ߙ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ߙ൫‫ݔ‬ҧ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬തሺ‫ݐ‬ሻ൯, t = 0, 1, …,
ሺ௫ǡ௬ሻஷ଴
ߙெ ൌƒš ሺ௫ǡ௬ሻ‫א‬௓ ߙ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌ ߙ ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ,
ሺ௫ǡ௬ሻஷ଴
112
Emil Panek
ሺ‹‹‹ሻ ߙெǡ଴ ൑ ߙெǡଵ ൑ ‫ ڮ‬൑ ߙெ,
ሺ‹˜ሻ Ž‹௧ ߙெǡ௧ ൌ ߙெ .
Dowód (i), (ii), (iii) zob. Panek (2003, tw. 5.2) oraz Panek (2013a, tw. 2). W celu
ஶ
udowodnienia (iv) zauwaĪmy, Īe ciąg ൛ߙெǡ௧ ൟ௧ୀ଴ jest monotonicznie rosnący i ograniczony, wiĊc istnieje Ž‹௧ ߙெǡ௧ ൌ ߙത ൑ ߙெ . ZaáóĪmy, Īe ߙത ൏ ߙெ . Wówczas
‫ݐ׊‬൫ߙெǡ௧ ൑ ߙெǡ௧ାଵ ǥ ൑ ߙത ൏ ߙெ ൯.
(1)
ஶ
W myĞl (G5) ‫׌‬൛൫‫ ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯ൟ௧ୀ଴ ‫ݐ׊‬൫‫ ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ ר‬ቀŽ‹௧ ൫‫ ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ൌ ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻቁ .
Funkcja Į(·) jest ciągáa, wiĊc
.
Biorąc ߝ ൌ ߙெ െ ߙത൐ Ͳ dostajemy:
dla ,
Ŷ
co przeczy (1).
Liczby ĮM,t, ĮM nazywamy optymalnymi wskaĨnikami technologicznej efektywnoĞci produkcji (odpowiednio) w niestacjonarnej gospodarce Gale’a w okresie t
oraz w niestacjonarnej gospodarce Gale’a z graniczną technologią. Podobnie procesy ൫‫ݔ‬ҧ ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬തሺ‫ݐ‬ሻ൯, ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ nazywamy optymalnymi procesami produkcji (odpowiednio)
w gospodarce w okresie t oraz w gospodarce z graniczną technologią. Procesy te są
okreĞlone z dokáadnoĞcią do struktury (mnoĪenia przez dowolną liczbĊ dodatnią).
Dodatkowo zakáadamy, Īe graniczna przestrzeĔ produkcyjna speánia nastĊpujący
warunek, znany w teorii magistral jako tzw. warunek regularnoĞci:
(G6) ‫׌‬ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ‫ܼ א‬ሺߙሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ൌ ߙெ ‫ݕ ר‬
ഥ ൐ Ͳሻ.
GospodarkĊ speániającą ten warunek nazywamy granicznie regularną. Proces
ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ‫ ܼ א‬nazywamy granicznym optymalnym procesem produkcji. Nietrudno zauwaĪyü, Īe wobec (G3) w granicznie regularnej gospodarce Gale’a
‫׌‬ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ‫ܼ א‬ሺߙ ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ൌ ߙெ ‫ݔ‬ҧ ൌ ‫ݕ‬
ഥ ൐ Ͳሻ.
(2)
Mówiąc o granicznym optymalnym procesie produkcji wszĊdzie dalej mamy
௬ത
ఈ ௫ҧ
௫ҧ
na myĞli proces ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ‫ ܼ א‬mający wáasnoĞü (2). O wektorze ‫ݏ‬ҧ ൌ ԡ௬തԡ ԡఈಾ௫ҧ ԡ ԡ௫ԡ
ಾ
„Silny” efekt magistrali w modelu niestacjonarnej gospodarki Gale’a z graniczną technologią
113
mówimy, Īe charakteryzuje strukturĊ produkcji (oraz nakáadów) w granicznie opty௡
malnym procesie ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ‫( ܼ א‬tutaj i dalej: ԡ‫ݔ‬ԡ ൌ σ௜ୀଵȁ‫ݔ‬௜ ȁሻ. Póáprostą
ܰ ൌ ሼߣ‫ݏ‬ҧȁߣ ൐ Ͳሽ
nazywamy magistralą produkcyjną lub promieniem von Neumanna w niestacjonarnej
gospodarce zbieĪnej do technologii granicznej.
Niech ‫ ݌‬ൌ ሺ‫݌‬ଵ ǡ ‫݌‬ଶ ǡ ǥ ǡ ‫݌‬௡ ሻ ൒ Ͳ oznacza wektor cen towarów w gospodarce.
Wówczas ‫݌ۃ‬ǡ ‫ ۄݔ‬ൌ σ௡௜ୀଵ ‫݌‬௜ ‫ݔ‬௜ przedstawia wartoĞü nakáadów, a ‫݌ۃ‬ǡ ‫ ۄݕ‬ൌ σ௡௜ୀଵ ‫݌‬௜ ‫ݕ‬௜ wartoĞü produkcji w procesie (x, y). LiczbĊ
‫ۃ‬௣ǡ௬‫ۄ‬
ߚሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫݌‬ሻ ൌ ‫ۃ‬௣ǡ௫‫ۄ‬,
gdzie ‫݌ۃ‬ǡ ‫Ͳ ് ۄݔ‬, nazywamy wskaĨnikiem ekonomicznej efektywnoĞci procesu (x, y)
przy cenach p. JeĪeli gospodarka Gale’a jest granicznie regularna, to
‫݌׌‬ҧ ൒ Ͳ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫ܼ א‬ሺߚሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫݌‬ҧ ሻ ൑ ߙெ ሻ
(3)
(wszĊdzie tam gdzie ‫݌ۃ‬ǡ ‫ )Ͳ ് ۄݔ‬oraz
ߚሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തǡ ‫݌‬ҧ ሻ ൌ ƒš ሺ௫ǡ௬ሻ‫א‬௓ ߚሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫݌‬ҧ ሻ ߙ ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ߙெ ൐ Ͳ
ሺ௫ǡ௬ሻஷ଴
(zob. np. Panek, 2003, tw. 5.3). Wektor ‫݌‬ҧ nazywamy wektorem cen von Neumanna
w gospodarce Gale’a z graniczną technologią. O trójce ሼߙெ ǡ ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻǡ ‫݌‬ҧ ሽ mówimy, Īe
charakteryzuje niestacjonarną gospodarkĊ Gale’a z graniczną technologią w równowadze von Neumanna6.
PoniĪszy warunek zapewnia jednoznacznoĞü magistrali produkcyjnej7:
(G7) ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫̳ܼ א‬ሼͲሽሺ‫ ߚ ֜ ܰ ב ݔ‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫݌‬ҧ ሻ ൏ ߙெ ሻ.
Mówi o tym poniĪsze twierdzenie.
6
W równowadze takiej dochodzi do zrównania efektywnoĞci ekonomicznej produkcji z jej efektywnoĞcią technologiczną na najwyĪszym poziomie, jaki przy cenach von Neumanna moĪe osiągnąü
niestacjonarna gospodarka z graniczną technologią.
7 Warunek ten mówi, Īe efektywnoĞü ekonomiczna jakiegokolwiek procesu poza magistralą jest
niĪsza od optymalnej. MoĪna go osáabiü, co prowadzi do zastąpienia promienia von Neumanna – póáprostej
௡
w ܴାା
– wiązką promieni (magistral). RoĞnie wówczas záoĪonoĞü modelu.
114
Emil Panek
Ƒ Twierdzenie 3
W granicznie regularnej gospodarce Gale’a speániającej warunek (G7) magistrala
produkcyjna N jest okreĞlona jednoznacznie.
Dowód. ZaáóĪmy, Īe istnieją dwie magistrale:
ܰ ൌ ሼߣ‫ݏ‬ҧ ȁߣ ൐ Ͳሽ, ܰ ᇱ ൌ ሼߣ‫ݏ‬ҧ ᇱ ȁߣ ൐ Ͳሽ .
Wówczas ܰ ‫ ܰ ת‬ᇱ ൌ ‫ ׎‬oraz:
,
,
‫ۃ‬௣ҧ ǡ௬ത ᇲ ‫ۄ‬
‫ۃ‬௣ҧ ǡ௬ത‫ۄ‬
ߚሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തǡ ‫݌‬ҧ ሻ ൌ ‫ۃ‬௣ҧ ‫ۄ‬ൌ ߚሺ‫ݔ‬ҧ ᇱ ǡ ‫ݕ‬തԢǡ ‫݌‬ҧ ሻ ൌ ‫ۃ‬௣ҧ
ǡ௫ҧ
ǡ௫ҧ ᇲ ‫ۄ‬
ൌ ߙெ .
PoniewaĪ ‫ݔ‬ҧ ᇱ ‫ ܰ א‬ᇱ, wiĊc ‫ݔ‬ҧ ᇱ ‫ܰ ב‬. Wtedy z (G7) wynika, Īe ߚሺ‫ݔ‬ҧ ᇱ ǡ ‫ݕ‬തԢǡ ‫݌‬ҧ ሻ ൏ ߙெ . Otrzymana
sprzecznoĞü zamyka dowód.
Ŷ
4. DYNAMIKA. TRZY TWIERDZENIA O MAGISTRALI
Ustalmy zbiór okresów czasu T = {0, 1, … , t1}, t1 < +’. Nazywamy go horyzontem (funkcjonowania) gospodarki. Okres koĔcowy t1 wyznacza dáugoĞü horyzontu T.
WeĨmy ciąg procesów ൫‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ, t = 0, 1, … , t1. Gospodarka jest zamkniĊta
w tym sensie, Īe nakáady w (kolejnym) okresie t +1 mogą pochodziü w niej tylko
z produkcji wytworzonej w (poprzednim) okresie t:
‫ݔ‬ሺ‫ ݐ‬൅ ͳሻ ‫ݕ أ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, t = 0, 1, … , t1 – 1.
W Ğwietle (G3) prowadzi to do warunku:
൫‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ‫ݕ‬ሺ‫ ݐ‬൅ ͳሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ, t = 0, 1, … , t1 – 1.
(4)
Niech y0 bĊdzie ustalonym początkowym wektorem produkcji:
‫ ݕ‬ሺͲ ሻ ൌ ‫ ݕ‬଴ ൒ Ͳ .
௧
(5)
భ
speániającym warunki (4), (5) mówimy, Īe
O ciągu wektorów produkcji ሼ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻሽ௧ୀ଴
0, t ) – dopuszczalny proces wzrostu w niestacjonarnej gospoopisuje (tworzy) (y 1
darce Gale’a z graniczną technologią. Przy przyjĊtych zaáoĪeniach, dla dowolnego
„Silny” efekt magistrali w modelu niestacjonarnej gospodarki Gale’a z graniczną technologią
115
początkowego wektora y0 v 0 oraz dowolnej dáugoĞci horyzontu T istnieją (y0, t1) –
dopuszczalne procesy wzrostu.
Postawmy nastĊpujące zadanie maksymalizacji wartoĞci produkcji mierzonej
w cenach von Neumanna, wytworzonej w ostatnim okresie t1 horyzontu T 8:
PD[‫݌ۃ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ଵ ሻ‫ۄ‬
p.w. (4), (5)
(6)
(wektor y0 ustalony).
భ
Zadanie to ma rozwiązanie, które oznaczamy przez ሼ‫ כ ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻሽ௧௧ୀ଴
i nazywamy ሺ‫ ݕ‬଴ ǡ ‫ݐ‬ଵ ǡ ‫݌‬ҧ ሻ
– optymalnym procesem wzrostu w niestacjonarnej gospodarce Gale’a z graniczną
technologią9.
We wszystkich twierdzeniach o magistrali prezentowanych dalej waĪny jest nastĊpujący warunek mówiący o moĪliwoĞci dojĞcia gospodarki do magistrali10:
ሙ ାଵ
, ‫ݐ‬Ƽ ൏ ‫ݐ‬ଵ , Īe
(G8) Istnieje taki ሺ‫ ݕ‬଴ ǡ ‫ݐ‬Ƽ ൅ ͳሻ – dopuszczalny proces wzrostu ሼ‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻሽ௧௧ୀ଴
ߙ൫‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽሻǡ ‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽ ൅ ͳሻ൯ ൌ ߙெ .
Ƒ Twierdzenie 4 („Sáabe” twierdzenie o magistrali)
JeĪeli niestacjonarna gospodarka Gale’a z graniczną technologią speánia warunki
(G1) – (G8), to ‫ ߝ׊‬൐ Ͳ istnieje taka liczba naturalna kİ, Īe liczba okresów, w których
௬ ‫ כ‬ሺ௧ሻ
struktura produkcji ‫ כ ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ԡ௬‫ כ‬ሺ௧ሻԡ w ሺ‫ ݕ‬଴ ǡ ‫ݐ‬ଵ ǡ ‫݌‬ҧ ሻ – optymalnym procesie wzrostu
భ
ሼ‫ כ ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻሽ௧௧ୀ଴
speánia warunek
ԡ‫ כ ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ െ ‫ݏ‬ҧԡ ൒ ߝ
nie przekracza kİ. Liczba kİ nie zaleĪy od dáugoĞci horyzontu T.
Dowód, Panek (2013a, tw. 4).
Ŷ
„Sáabe” twierdzenie o magistrali gáosi, Īe optymalne procesy wzrostu „prawie
zawsze”, za wyjątkiem co najwyĪej pewnej – niezaleĪnej od dáugoĞci horyzontu T –
8
Jest to, innymi sáowy, zadanie wyboru z wiązki wszystkich (y0, t1) – dopuszczalnych procesów
wzrostu takiego procesu, który w koĔcowym okresie t1 prowadzi do maksymalnej wartoĞci produkcji
(mierzonej w cenach von Neumanna).
9
Zob. Panek (2003 rozdz. 5, tw. 5.7), które wprawdzie odnosi siĊ do stacjonarnej gospodarki
Gale’a ze staáą technologią, Z(t) = Z, t = 0, 1, …, ale przytoczony tam dowód w peáni stosuje siĊ takĪe
do niestacjonarnej gospodarki ze zmienną technologią.
10 W twierdzeniu 5 warunek ten speánia proces optymalny.
116
Emil Panek
skoĔczonej liczby okresów, przebiegają dowolnie blisko (w sensie odlegáoĞci kątowej)
magistrali, którą wyznacza graniczna technologia. Na samej magistrali gospodarka
osiąga najwyĪsze tempo wzrostu.
Szczególną sytuacjĊ mamy, gdy proces optymalny w pewnym okresie dociera do
magistrali, o czym mówi kolejne twierdzenie.
Ƒ Twierdzenie 5 („Bardzo silne” twierdzenie o magistrali)
JeĪeli w niestacjonarnej gospodarce Gale’a speániającej warunki (G1) – (G8)
௧భ
଴
w pewnym okresie ‫ݐ‬Ƽ ൏ ‫ݐ‬ଵ proሺ‫ ݕ‬ǡ ‫ݐ‬ଵ ǡ ‫݌‬ҧ ሻ – optymalny proces wzrostu ሼ‫ כ ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻሽ௧ୀ଴
‫כ‬
wadzi do magistrali N, tj. speánia warunek ߙ൫‫ ݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽሻǡ ‫ כ ݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽ ൅ ͳሻ൯ ൌ ߙெ , to
‫ א ݐ׊‬ሼ‫ݐ‬Ƽ ൅ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݐ‬ଵ െ ͳሽሺ‫ כ ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ܰ א‬ሻ.
Ŷ
Dowód, Panek (2013a, tw. 5).
Zgodnie z tym twierdzeniem, jeĪeli proces optymalny w pewnym okresie osiąga
magistralĊ, to pozostaje na niej wszĊdzie dalej, za wyjątkiem co najwyĪej ostatniego
okresu horyzontu T.
W nastĊpnym „silnym” twierdzeniu o magistrali (twierdzenie 6) pokazujemy, Īe
nawet gdy optymalny proces wzrostu nie dociera do magistrali, jego „wytrącenie”
poza İ – otoczenie magistrali moĪe mieü miejsce tylko na początku i/lub pod koniec
horyzontu T, niezaleĪnie od jego dáugoĞci (niezaleĪnie od t1). Przy dowodzie waĪną
rolĊ gra warunek (G9), który sformuáujemy za chwilĊ, oraz nastĊpujący lemat.
Ƒ Lemat 1
JeĪeli zachodzą warunki (G1) – (G8), to
‫ܵ א ݏ׊‬ାା ሺͳሻ‫ߪ׌‬ሺ‫ݏ‬ሻ ‫ א‬ሺͲǡͳሿ‫ א ߜ׊‬ሺͲǡ ߙெ ሻ‫ ߝ׌‬ᇱ ൐ Ͳ
൫ԡ‫ ݏ‬െ ‫ݏ‬ҧ ԡ ൏ ߝԢ ฺ ሺ‫ݏ‬ǡ ߪሺ‫ݏ‬ሻߙ‫ݏ ܯ‬ҧ ሻ ‫ܸ א‬ሺͳሻ ‫ߙ ר‬ሺ‫ݏ‬ǡ ߪሺ‫ݏ‬ሻߙ‫ݏ ܯ‬ҧ ሻ ൒ ߙ‫ ܯ‬െ ߜ൯,
gdzie: ܵାା ሺͳሻ ൌ ሼ‫ ݔ‬൐ Ͳȁԡ‫ݔ‬ԡ ൌ ͳሽ oraz ܸሺͳሻ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫ܼ א‬ȁԡ‫ݔ‬ԡ ൌ ͳሽ .
Ŷ
Dowód, Panek (2015, lemat 1).
௫
Lemat gáosi, Īe jeĞli struktura nakáadów ‫ ݏ‬ൌ w procesie (x, y) ‘ Z jest dostaԡ௫ԡ
tecznie bliska struktury produkcji ‫ݏ‬ҧ na magistrali N, to z nakáadów tych moĪna
wytworzyü produkcjĊ z (technologiczną) efektywnoĞcią dowolnie bliską optymalnej
efektywnoĞci ĮM.
W celu sformuáowania warunku (G9) ustalmy liczbĊ İ > 0 i utwórzmy zbiór
ܼሺߝ ሻ ൌ ൜ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫ܼ א‬ȁฯ
‫ݔ‬
െ ‫ݏ‬ҧฯ ൒ ߝൠ.
ԡ‫ ݔ‬ԡ
„Silny” efekt magistrali w modelu niestacjonarnej gospodarki Gale’a z graniczną technologią
117
Przy przyjĊtych zaáoĪeniach Z(İ) jest zbiorem zwartym, a funkcja ߚ ሺήǡ ‫݌‬
ഥ ሻ nieujemna
i ciągáa na Z(İ) oraz
‫ ߝ׊‬൐ Ͳ‫ܾ׌‬ሺߝ ሻ ൌ ƒšሺ௫ǡ௬ሻ‫א‬௓ሺఌሻ ߚ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫݌‬
ഥ ሻ ൏ ߙெ ,
(zob. Panek, 2003, lemat 5.2), czyli biorąc ߜ ሺߝሻ ൌ ߙெ െ ܾሺߝሻ mamy:
‫ ߝ׊‬൐ Ͳ‫ ߜ׌‬ሺߝ ሻ ‫ א‬ሺͲǡ ߙெ ሿ‫׊‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ‫ܼ א‬ሺߝ ሻ൫ߚሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫݌‬
ഥ ሻ ൑ ߙ ெ െ ߜ ሺ ߝ ሻ൯ .
(7)
Funkcja b(·) jest nieujemna i nierosnąca na obszarze okreĞlonoĞci oraz b(İ) ĺ ĮM
przy İ ĺ 0, zatem ĮM v į(İ) ĺ 0 przy İ ĺ 0. Podobnie jak w artykule Panek (2013b)
zakáadamy, Īe:
(G9) Funkcja b(·) maleje (równowaĪnie b(·) = ĮM – b(·) roĞnie) na obszarze
okreĞlonoĞci11.
Ƒ Twierdzenie 6 („Silne” twierdzenie o magistrali)
భ
WeĨmy dowolny ሺ‫ ݕ‬଴ ǡ ‫ݐ‬ଵ ǡ ‫݌‬ҧ ሻ – optymalny proces wzrostu ሼ‫ כ ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻሽ௧௧ୀ଴
(rozwiązanie zadania (6). JeĪeli zachodzą warunki (G1) – (G9), to ‫ ߝ׊‬൐ Ͳ istnieje taka liczba
naturalna k, Īe
௬ ‫ כ‬ሺ௧ሻ
‫ݐ׊‬ଵ ൐ ‫ݐ‬Ƽ ൅ ʹ݇‫ א ݐ׊‬ሼ‫ݐ‬Ƽ ൅ ݇ǡ ‫ݐ‬Ƽ ൅ ݇ ൅ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݐ‬ଵ െ ݇ሽ ቀቛԡ௬‫ כ‬ሺ௧ሻԡ െ ‫ݏ‬ҧ ቛ ൏ ߝቁ .
Dowód12. Wybierzmy dowolną liczbĊ İ > 0. Odpowiada jej liczba ߜ ሺߝሻ ‫ א‬ሺͲǡ ߙெ ሿ
speániająca warunek (7). WeĨmy liczbĊ ߜ ‫ א‬൫Ͳǡ ߜ ሺߝሻ൯ oraz liczbĊ ߝ ᇱ ‫ א‬ሺͲǡ ߝሻ z lematu,
௡
speániającą warunek ܷఌᇲ ሺ‫ݏ‬ҧሻ ൌ ሼ‫ܴ א ݏ‬௡ ȁԡ‫ ݏ‬െ ‫ݏ‬ҧ ԡ ൏ ߝ ᇱ ሽ ‫ܴ ؿ‬ାା
(taka liczba istnieje,
gdyĪ ‫ݏ‬ҧ ൐ Ͳ).
Zgodnie ze „sáabym” twierdzeniem o magistrali, istnieje taka liczba naturalna ݇ఌᇲ ,
Īe jeĪeli ‫ݐ‬ଵ ൐ ݇ఌᇲ , to
௬ ‫ כ‬ሺ௧ሻ
ቛԡ௬‫ כ‬ሺ௧ሻԡ െ ‫ݏ‬ҧቛ ൏ ߝ ᇱ (8)
௬ ‫ כ‬ሺ௧ሻ
co najmniej raz w horyzoncie T = {0, 1, …, t1}. Wektor ‫ כ ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ԡ௬‫ כ‬ሺ௧ሻԡ w (8) jest
oczywiĞcie dodatni. Niech ‫ݐ‬ଵ ൐ ‫ݐ‬Ƽ ൅ ʹ݇ఌǡ, oraz ߬ଵ ൐ ‫ݐ‬Ƽ bĊdzie pierwszym (po ‫ݐ‬Ƽ ), a IJ2
ostatnim okresem horyzontu T, w którym zachodzi warunek (8). Zgodnie z lematem
௬ ‫ כ‬ሺఛ ሻ
ቀԡ௬‫ כ‬ሺఛభሻԡ ǡ ߪ ‫ߙ כ‬ெ ‫ݏ‬ҧ ቁ ‫ ܸ א‬ሺͳሻ, lub inaczej
భ
ሺ‫ כ ݕ‬ሺ߬ଵ ሻǡ ߩߪ ‫ߙ כ‬ெ ‫ݏ‬ҧሻ ‫ ܼ א‬,
(9)
௬ ‫ כ‬ሺఛ ሻ
gdzie ߪ ‫ כ‬ൌ ߪ൫‫ כ ݏ‬ሺ߬ଵ ሻ൯, ‫ כ ݏ‬ሺ߬ଵ ሻ ൌ ԡ௬‫ כ‬ሺఛభሻԡ ൐ Ͳ, ߩ ൌ ԡ‫ כ ݕ‬ሺ߬ଵ ሻԡ ൐ Ͳǡ ߬ଵ ൐ ‫ݐ‬Ƽ .
భ
11
EfektywnoĞü ekonomiczna procesu produkcji maleje w miarĊ jak struktura nakáadów odbiega w nim
od optymalnej. Warunek ten zachodzi np. gdy przestrzeĔ produkcyjna Z jest stoĪkiem silnie wypukáym.
12 Dowód wzorowany na dowodzie twierdzenia 3 w pracy Panek (2015).
118
Emil Panek
ሙ ାଵ Ƽ
W myĞl (G8) istnieje taki ሺ‫ ݕ‬଴ ǡ ‫ݐ‬Ƽ ൅ ͳሻ – dopuszczalny proces wzrostu ሼ‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻሽ௧௧ୀ଴
, ‫ ݐ‬൏ ‫ݐ‬ଵ ,
Īe ‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽሻ ‫ ܰ א‬oraz ߙ൫‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽሻǡ ‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽ ൅ ͳሻ൯ ൌ ߙெ , czyli ߙெ ‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽሻ ൌ ‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽ ൅ ͳሻ. PoniewaĪ
൫‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽሻǡ ‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽ ൅ ͳሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬Ƽ ൅ ͳሻ ‫ ܼ ك ڮ ك‬oraz ߬ଵ ൒ ‫ݐ‬Ƽ, wiĊc
൫‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽሻǡ ߙெ ‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽሻ൯ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬Ƽ ൅ ͳሻ ‫ܼ ك‬ሺ߬ଵ ሻ ‫ܼ ك‬ሺ߬ଵ ൅ ͳሻ ǥ ‫ ܼ ك‬,
czyli
ሺ‫ݏ‬ҧǡ ߙெ ‫ݏ‬ҧ ሻ ‫ܼ א‬ሺ߬ଵ ሻ ‫ܼ ك‬ሺ߬ଵ ൅ ͳሻ ǥ ‫ ܼ ك‬,
ුሺ௧ሙ ሻ
௬
௧భ
gdzie ‫ݏ‬ҧ ൌ ԡ௬ුሺ௧ሙሻԡ (gdyĪ ‫ුݕ‬ሺ‫ݐ‬Ƽሻ ‫) ܰ א‬. Stąd oraz z (9) wynika, Īe proces ሼ‫ݕ‬෤ሺ‫ݐ‬ሻሽ௧ୀ଴
postaci:
‫ כ ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ‫ ݐ‬ൌ ͲǤ ͳǡ ǥ ǡ ߬ଵ
‫ݕ‬෤ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ቊ ‫ כ‬௧ିఛభ
ߩߪ ߙெ ‫ݏ‬ҧǡ ‫ ݐ‬ൌ ߬ଵ ൅ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݐ‬ଵ
భ
jest (y0, t1) – dopuszczalny. Z definicji optymalnego procesu ሼ‫ כ ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻሽ௧௧ୀ଴
otrzymujemy:
௧ ିఛ
‫݌ۃ‬ǡ
ഥ ‫ כ ݕ‬ሺ‫ݐ‬ଵ ሻ‫ ۄ‬൒ ‫݌ۃ‬ǡ
ഥ ‫ݕ‬෤ሺ‫ݐ‬ଵ ሻ‫ ۄ‬ൌ ߩߪ ‫ߙ כ‬ெభ భ ‫݌ۃ‬ҧ ǡ ‫ݏ‬ҧ‫ ۄ‬൐ Ͳ .
(10)
Niech ݇ ᇱ bĊdzie liczbą okresów miĊdzy IJ1 i IJ2, w których
‫ כ ݕ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ
ብ ‫כ‬
െ ‫ݏ‬ҧብ ൒ ߝ .
ԡ‫ ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻԡ
PokaĪemy, Īe ݇ ᇱ ൌ Ͳ . Z (3), (4), (7) otrzymujemy:
‫݌ۃ‬ǡ
ഥ ‫ כ ݕ‬ሺ‫ݐ‬ଵ ሻ‫ ۄ‬൑ ൫ߙெ െ ߜ ሺߝ ᇱ ሻ൯
௧భ ିఛమ
ఛ ିఛభ ି௞ ᇲ
ߙெమ
௞ᇲ
൫ߙெ െ ߜ ሺߝ ሻ൯ ‫݌ۃ‬ǡ
ഥ ‫ כ ݕ‬ሺ߬ଵ ሻ‫ۄ‬.
(11)
àącząc (10), (11) dochodzimy do nierównoĞci
൫ߙெ െ ߜ ሺߝ ᇱ ሻ൯
௧భ ିఛమ
ఛ ିఛభ ି௞ ᇲ
ߙெమ
czyli:
ߙ ெ െ ߜ ሺߝ ሻ
ቆ
ቇ
ߙெ
௞ᇲ
௞ᇲ
௧ ିఛ
ഥ ‫ כ ݕ‬ሺ߬ଵ ሻ‫ ۄ‬൒ ߩߪ ‫ߙ כ‬ெభ భ ‫݌ۃ‬ҧ ǡ ‫ݏ‬ҧ‫ ۄ‬൐ Ͳ,
൫ߙெ െ ߜ ሺߝ ሻ൯ ‫݌ۃ‬ǡ
௧భ ିఛమ ߩߪ ‫݌ۃ כ‬ҧ ǡ ‫ݏ‬ҧ ‫ۄ‬
ߙெ
൒൬
൐ Ͳ.
൰
‫݌ۃ‬ǡ
ഥ ‫ כ ݕ‬ሺ߬ଵ ሻ‫ۄ‬
ߙ ெ െ ߜ ሺߝ ᇱ ሻ
௬ ‫ כ‬ሺఛ ሻ
ZwaĪywszy Īe ‫ כ ݏ‬ሺ߬ଵ ሻ ൌ ԡ௬‫ כ‬ሺఛభ ሻԡ ൐ Ͳ, nierównoĞü tĊ moĪna zapisaü inaczej tak:
భ
ቀ
ᇲ
ఈಾ ିఋሺఌሻ ௞
ఈಾ
ቁ
൒ቀ
ఈಾ
ఈಾ ିఋሺఌ
ᇲ ሻቁ
௧భ ିఛమ ఙ ‫ۃ כ‬௣ҧ ǡ௦ҧ‫ۄ‬
‫ۃ‬௣ǡ
ഥ ௦ ‫ כ‬ሺఛభ ሻ‫ۄ‬
൐ Ͳ.
(12)
Zgodnie z lematem ߙ ൌ ߙሺ‫ כ ݏ‬ሺ߬ଵ ሻǡ ߪ ‫ߙ כ‬ெ ‫ݏ‬ҧሻ ൒ ߙெ െ ߜ , wiĊc ߙ‫ כ ݏ‬ሺ߬ଵ ሻ ൑ ߪ ‫ߙ כ‬ெ ‫ݏ‬ҧ , czyli
ሺߙெ െ ߜ ሻ‫ כ ݏ‬ሺ߬ଵ ሻ ൑ ߪ ‫ߙ כ‬ெ ‫ݏ‬ҧ . Wtedy ߪ ‫ߙ כ‬ெ ‫݌ۃ‬ҧ ǡ ‫ݏ‬ҧ ‫ ۄ‬൒ ሺߙெ െ ߜ ሻ‫݌ۃ‬ǡ
ഥ ‫ כ ݏ‬ሺ߬ଵ ሻ‫ ۄ‬൐ Ͳ lub inaczej:
„Silny” efekt magistrali w modelu niestacjonarnej gospodarki Gale’a z graniczną technologią
119
ߙெ െ ߜ
ߪ ‫݌ۃ כ‬ҧ ǡ ‫ݏ‬ҧ‫ۄ‬
.
൒
‫݌ۃ‬ǡ
ഥ ‫ כ ݏ‬ሺ߬ଵ ሻ‫ۄ‬
ߙெ
Stąd oraz z (12) otrzymujemy:
ቀ
ᇲ
ఈಾ ିఋሺఌሻ ௞
ቁ
ఈಾ
൒ቀ
ఈಾ
ఈಾ
ିఋሺఌ ᇲ ሻ
ቁ
௧భ ିఛమ ఈ ିఋ
ಾ
ఈಾ
൐ Ͳ.
(13)
PoniewaĪ Ͳ ൏ ߜ ሺߝ ᇱ ሻ ൏ ߜ ሺߝሻ ൏ ߙெ (gdyĪ ߝ ᇱ ൏ ߝ i funkcja į(·) jest rosnąca, zob.
(G9) oraz į ‘ (0, į(İ)) i t1 v IJ2, z (13) dostajemy:
ቀ
ᇲ
ఈಾ ିఋሺఌሻ ௞
ఈಾ
ቁ
൐ቀ
ఈಾ
ఈಾ ିఋሺఌ
ᇲ ሻቁ
௧భ ିఛమ ఈ ିఋሺఌሻ
ಾ
ఈಾ
൐ Ͳ,
czyli:
ߙெ െ ߜ ሺߝ ሻ
ቆ
ቇ
ߙெ
௞ ᇲ ିଵ
൐ ͳ.
Jedyną nieujemną liczbą caákowitą speániającą ten warunek jest ݇ ᇱ ൌ Ͳ. W charakterze
liczby k, o której mowa w tezie twierdzenia, moĪemy przyjąü ݇ ൌ ݇ఌᇲ .
Ŷ
5. UWAGI KOēCOWE
Udowodnione „sáabe” oraz „silne” twierdzenie o magistrali (twierdzenia 4, 6)
pozostają prawdziwe takĪe bez zaáoĪenia (G8), gdy warunek początkowy (5) zastąpimy silniejszym warunkiem:
‫ݕ‬ሺͲሻ ൌ ‫ ݕ‬଴ ൐ Ͳ
(5’)
oraz zaáoĪymy, Īe graniczny optymalny proces produkcji ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ‫ ܼ א‬speánia nie tylko
postulat regularnoĞci, ale jest takĪe dopuszczalnym procesem w gospodarce Gale’a
we wszystkich okresach czasu t = 0, 1, …, czyli
‫ ݐ׊‬൒ Ͳ൫ሺ‫ݔ‬ҧ ǡ ‫ݕ‬തሻ ‫ܼ א‬ሺ‫ݐ‬ሻ൯ .
àatwo pokazaü, Īe przy takich zaáoĪeniach warunek (G8) jest speániony dla ‫ݐ‬Ƽ ൌ ͳ.
W twierdzeniu 2(iii) zachodzi wtedy oczywiĞcie silniejszy warunek: ‫ ݐ׊‬൒ Ͳ൫ߙெǡ௧ ൌ ߙெ ൯.
WartoĞcią dodaną twierdzenia 6 jest fakt, Īe przy jego dowodzie nie wymaga siĊ
stacjonarnoĞci gospodarki. Natomiast sáaboĞcią jest przyjĊta, trudna do zweryfikowania, hipoteza o zbieĪnoĞci technologii produkcji (przy t ĺ +’) do pewnej technologii
granicznej. Stwarza to interesujące pole dla dalszych badaĔ.
120
Emil Panek
LITERATURA
Jensen M. K., (2012), Global Stability and the “Turnpike” in Optimal Unbounded Growth Models, Journal
of Economic Theory, 142 (2), 802–832.
Khan M. A., Piazza A., (2011), An Overview of Turnpike Theory: Towards the Disconunted Deterministic
Case, Advanced Mathematical Economics, 14, 39–68.
Majumdar M., (2009), Equilibrium and Optimality: Some Imprints of David Gale, Games and Economic
Behavior, 66 (2), 607–626.
Makarov V. L., Rubinov A. M., (1977), Mathematical Theory of Economic Dynamics and Equilibria,
Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin.
McKenzie L. W., (1976), Turnpike Theory, Econometrica, 44, 841–866.
McKenzie L. W., (1998), Turnpikes, American Economic Review, 88 (2), 1–14.
McKenzie L. W., (2005), Optimal Economic Growth, Turnpike Theorems and Comparative Dynamics,
w: Arrow K. J., Intriligator M. D., (red.), Handbook of Mathematical Economics, wyd. 2, wol. III,
rozdziaá 26, 1281–1355.
Nikaido H., (1968), Convex Structures and Economic Theory, Acad. Press, New York.
Panek E., (2011), O pewnej wersji “sáabego” twierdzenia o magistrali w modelu von Neumanna, Przegląd
Statystyczny, 58 (1–2), 75–87.
Panek E., (2013a), „Sáaby” i „bardzo silny” efekt magistrali w niestacjonarnej gospodarce Gale’a z graniczną technologią, Przegląd Statystyczny, 60 (3), 291–303.
Panek E., (2013b), „Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale’a. Zagadnienie
wzrostu docelowego, Przegląd Statystyczny, 60 (4), 447–460.
Panek E., (2015), „Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale’a. Zagadnienie
wzrostu docelowego (Autopoprawka), Przegląd Statystyczny, 62 (2), 253–257.
Samuelson P. A., (1960), Efficient Path of Capital Accumulation in Terms of the Calculus of Variations,
w: Arrow K. J., Karlin S., Suppes P., (red.), Mathematical Methods in the Social Sciences, 1959,
Proceedings of the first Stanford Symposium, Stanford University Press, Stanford, California, 77–88.
„SILNY” EFEKT MAGISTRALI W MODELU NIESTACJONARNEJ GOSPODARKI GALE’A
Z GRANICZNĄ TECHNOLOGIĄ
Streszczenie
W nawiązaniu do pracy Panek (2013a) prezentujemy dowód „silnego” twierdzenia o magistrali
w niestacjonarnej gospodarce Gale’a ze zmienną technologią zbieĪną do pewnej technologii granicznej. Przy dowodzie twierdzenia istotną rolĊ gra zaáoĪenie, Īe technologiczna efektywnoĞü produkcji
w gospodarce maleje w miarĊ jak struktura produkcji odbiega w niej od struktury optymalnej.
Artykuá wpisuje siĊ w nurt nielicznych prac z ekonomii matematycznej zawierających dowody
twierdzeĔ o magistrali w dynamicznych modelach niestacjonarnych gospodarek typu Neumanna-Gale’a.
Sáowa kluczowe: niestacjonarna gospodarka Gale’a z graniczną technologią, ceny von Neumanna,
magistrala produkcyjna
„Silny” efekt magistrali w modelu niestacjonarnej gospodarki Gale’a z graniczną technologią
121
“STRONG” TURNPIKE EFFECT IN THE NON-STATIONARY GALE ECONOMY
WITH LIMIT TECHNOLOGY
Abstract
This article, in reference to Panek (2013a) presents proof of the “strong” turnpike theorem in
the non-stationary Gale economy with changeable technology convergent to some limit technology.
In the proof of the theorem assumption, that production processes efficiency in the economy is the lower
the more the investment/input structure in such processes differs the optimum, play significant roles.
The paper is part of trend of few works of mathematical economics containing proofs of the
turnpike theorems in the non-stationary dynamic Neumann-Gale economic models.
Keywords: non-stationary Gale-type economy with limit technology, von Neumann prices,
production turnpike