ϕ ϕ =ψ ψ ϕ ϕ - ZAKŁAD CHEMII TEORETYCZNEJ

ϕ ϕ =ψ ψ ϕ ϕ - ZAKŁAD CHEMII TEORETYCZNEJ

ChPiS, Podstawy chemii teoretycznej, II zestaw
„Mechanika kwantowa opisuje przyrodę jako absurdalną z punktu widzenia zdrowego rozsądku. I w pełni zgadza się
z doświadczeniem. Mam, więc nadzieję, że zaakceptujecie naturę taką, jaka jest – absurdalną.”
Richard P. Feynman
1.
Udowodnij, że suma operatorów hermitowskich jest operatorem hermitowskim, oraz, że iloczyn operatorów
hermitowskich jest operatorem hermitowskim.
2.
Udowodnij, że wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste oraz że funkcje własne operatora
hermitowskiego należące do różnych wartości są ortogonalne.
3. Udowodnij, że dowolna liniowa kombinacja funkcji własnych operatora jest także jego funkcją własną.
4. Udowodnij, że jeżeli operatory są przemienne to istnieje zbiór funkcji, które są jednocześnie funkcjami własnymi
obu operatorów oraz wykaż twierdzenie odwrotne.
5. Wyjaśnij pojęcia: przestrzeń wektorowa, przestrzeń unitarna, przestrzeń Hilberta*, ortogonalność, ortogonalizacja,
niezależność liniowa, układ zupełny (baza zupełna), degeneracja, warunki brzegowe.
d
uwzględniając, że funkcja ψ ( x) = ψ ( x + l ) .
dx
1 d 2 d
/ r są funkcjami własnymi operatora 2
r
.
r dr dr
6. Znajdź funkcje własną i wartość własną operatora − i
7. Zbadaj, czy funkcje ϕ1 = e − ar
oraz ϕ 2 = e − ar
*
David Hilbert był niemieckim matematykiem, profesorem Uniwersytetu w Getyndze - jednego z najważniejszych
wówczas ośrodków myśli matematycznej w świecie. Prowadzone przez niego badania z dziedziny równań
całkowych doprowadziły do powstania koncepcji tzw. przestrzeni Hilberta. Prowadził także badania dotyczące
m.in. logiki, fizyki matematycznej, teorii niezmienników, teorii liczb i rachunku wariacyjnego. Po dojściu
hitlerowców do władzy załamał się psychicznie – przychodził regularnie na uczelnię, ale nie zostawił po sobie z
tego okresu nawet jednej zapisanej strony.
ChPiS, Podstawy chemii teoretycznej, II zestaw
„Mechanika kwantowa opisuje przyrodę jako absurdalną z punktu widzenia zdrowego rozsądku. I w pełni zgadza się
z doświadczeniem. Mam, więc nadzieję, że zaakceptujecie naturę taką, jaka jest – absurdalną.”
Richard P. Feynman
1.
Udowodnij, że suma operatorów hermitowskich jest operatorem hermitowskim, oraz, że iloczyn operatorów
hermitowskich jest operatorem hermitowskim.
2.
Udowodnij, że wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste oraz że funkcje własne operatora
hermitowskiego należące do różnych wartości są ortogonalne.
3. Udowodnij, że dowolna liniowa kombinacja funkcji własnych operatora jest także jego funkcją własną.
4. Udowodnij, że jeżeli operatory są przemienne to istnieje zbiór funkcji, które są jednocześnie funkcjami własnymi
obu operatorów oraz wykaż twierdzenie odwrotne.
5. Wyjaśnij pojęcia: przestrzeń wektorowa, przestrzeń unitarna, przestrzeń Hilberta*, ortogonalność, ortogonalizacja,
niezależność liniowa, układ zupełny (baza zupełna), degeneracja, warunki brzegowe.
d
uwzględniając, że funkcja ψ ( x) = ψ ( x + l ) .
dx
1 d 2 d
/ r są funkcjami własnymi operatora 2
r
.
r dr dr
6. Znajdź funkcje własną i wartość własną operatora − i
7. Zbadaj, czy funkcje ϕ1 = e − ar
*
oraz ϕ 2 = e − ar
David Hilbert był niemieckim matematykiem, profesorem Uniwersytetu w Getyndze - jednego z najważniejszych
wówczas ośrodków myśli matematycznej w świecie. Prowadzone przez niego badania z dziedziny równań
całkowych doprowadziły do powstania koncepcji tzw. przestrzeni Hilberta. Prowadził także badania dotyczące
m.in. logiki, fizyki matematycznej, teorii niezmienników, teorii liczb i rachunku wariacyjnego. Po dojściu
hitlerowców do władzy załamał się psychicznie – przychodził regularnie na uczelnię, ale nie zostawił po sobie z
tego okresu nawet jednej zapisanej strony.
Max Planck (1858-1947) zapoczątkował teorię kwantów i na zawsze
zmienił podstawy fizyki wprowadzając pojęcie kwantu – elementarnej
porcji energii. Uzyskał doktorat w wieku 21 lat za rozprawę
poświęconą drugiej zasadzie termodynamiki. W 1897 opracował wzór
opisujący promieniowanie ciał doskonale czarnego odrzucając
klasyczną teorię, zgodnie z którą ciepło i światło są emitowane w
sposób ciągły. Wprowadził wtedy nową uniwersalną stałą fizyczną –
elementarny kwant działania – już wtedy nazwaną jego nazwiskiem.
Mimo sprzeczności z fizyką klasyczną praca ta została zaakceptowana,
ponieważ ku wielkiemu zaskoczeniu zapewniła zgodność teorii z
wynikami eksperymentów. W 1905 Einstein zastosował hipotezę kwantową do wyjaśnienia efektu fotoelektrycznego a
w 1913 Bohr wykorzystał stałą Plancka w swoim modelu budowy atomu. W 1933 Planck otrzymał Nagrodę Nobla "for
his work on the establishment and development of the theory of elementary quanta" ale mimo tego nigdy nie pogodził
się z następstwami teorii kwantów: nieoznaczonością czy brakiem przyczynowości. Jego życie było pełne osobistych
tragedii: dwie córki wkrótce po wyjściu za mąż zmarły w wyniku powikłań przy porodzie, jeden z synów zginał w
czasie I wojny światowej, drugi został stracony z powodu udziału w spisku przeciwko Hitlerowi. Życie Plancka
krytykującego rządy nazistowskiego terroru również było cały czas zagrożone. Pod koniec II wojny
światowej nalot bombowy aliantów zniszczył jego dom wraz z wszystkimi pracami naukowymi.
Pomimo tego pasma nieszczęść Max Planck był człowiekiem religijnym i do końca życia pozostał
człowiekiem wierzącym. Znakomicie grał na fortepianie – często akompaniował mu Einstein
grający na skrzypcach. I właśnie Einstein napisał, że praca Plancka to „jeden z najpotężniejszych
Nagroda Nobla
bodźców w rozwoju nauki”. Zmarł 4 października 1947 tuż przed dziewięćdziesiątymi urodzinami.
źródła: J. Simmons „100 najwybitniejszych uczonych wszech czasów”, Świat Książki, Warszawa 1997, L. Piela ”Idee Chemii Kwantowej”, PWN, Warszawa 2003, Wikipedia
1918
Max Planck (1858-1947) zapoczątkował teorię kwantów i na zawsze
zmienił podstawy fizyki wprowadzając pojęcie kwantu – elementarnej
porcji energii. Uzyskał doktorat w wieku 21 lat za rozprawę
poświęconą drugiej zasadzie termodynamiki. W 1897 opracował wzór
opisujący promieniowanie ciał doskonale czarnego odrzucając
klasyczną teorię, zgodnie z którą ciepło i światło są emitowane w
sposób ciągły. Wprowadził wtedy nową uniwersalną stałą fizyczną –
elementarny kwant działania – już wtedy nazwaną jego nazwiskiem.
Mimo sprzeczności z fizyką klasyczną praca ta została zaakceptowana,
ponieważ ku wielkiemu zaskoczeniu zapewniła zgodność teorii z
wynikami eksperymentów. W 1905 Einstein zastosował hipotezę kwantową do wyjaśnienia efektu fotoelektrycznego a
w 1913 Bohr wykorzystał stałą Plancka w swoim modelu budowy atomu. W 1933 Planck otrzymał Nagrodę Nobla "for
his work on the establishment and development of the theory of elementary quanta" ale mimo tego nigdy nie pogodził
się z następstwami teorii kwantów: nieoznaczonością czy brakiem przyczynowości. Jego życie było pełne osobistych
tragedii: dwie córki wkrótce po wyjściu za mąż zmarły w wyniku powikłań przy porodzie, jeden z synów zginał w
czasie I wojny światowej, drugi został stracony z powodu udziału w spisku przeciwko Hitlerowi. Życie Plancka
krytykującego rządy nazistowskiego terroru również było cały czas zagrożone. Pod koniec II wojny
światowej nalot bombowy aliantów zniszczył jego dom wraz z wszystkimi pracami naukowymi.
Pomimo tego pasma nieszczęść Max Planck był człowiekiem religijnym i do końca życia pozostał
człowiekiem wierzącym. Znakomicie grał na fortepianie – często akompaniował mu Einstein
grający na skrzypcach. I właśnie Einstein napisał, że praca Plancka to „jeden z najpotężniejszych
Nagroda Nobla
bodźców w rozwoju nauki”. Zmarł 4 października 1947 tuż przed dziewięćdziesiątymi urodzinami.
źródła: J. Simmons „100 najwybitniejszych uczonych wszech czasów”, Świat Książki, Warszawa 1997, L. Piela ”Idee Chemii Kwantowej”, PWN, Warszawa 2003, Wikipedia
1918