∀ ∀ ∃ - IM PAN

NOTATKI DO ĆWICZEŃ Z
ANALIZY FUNKCJONALNEJ I TOPOLOGII
Zbiory gęste w Lp (X, Ω, µ)
Niech przestrzeń Lp (X, Ω, µ) będzie zadana z σ-skończoną miarą µ i niech
1 6 p < ∞. Wówczas zbiór funkcji prostych całkowalnych
S(Ω) = lin{1E ∈ Lp : E ∈ Ω, µ(E) < ∞} ⊆ Lp
jest || · ||p -gęsty w Lp (X, Ω, µ). Istotnie. Niech ε > 0 będzie dowolny.
Pokażemy, że dla każdej funkcji f ∈ Lp można znaleźć funkcję sε ∈ S(Ω)
taką, że ||f − sε ||p < ε. Jeśli f > 0, to weźmy niemalejący ciąg nieujemnych
funkcji prostych (sn ) zbieżny punktowo do funkcji f . Wtedy z nierówności
|f −sn |p = (f −sn )p 6 f p ∈ L1 i tw. Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej
mamy limn ||f −sn ||p = 0 i kładziemy sε = sN , gdzie N jest odpowiednio duże
(aby zapewnić ||f − sN ||p < ε). Oczywiście sN ∈ S(Ω), bo 0 6 sN 6 f ∈ Lp .
Dla dowolnej funkcji f ∈ Lp wystarczy teraz zastosować powyższy wynik dla
każdego ze składników funkcji f = (Re f )+ − (Re f )− + i((Im f )+ − (Im f )− ).
Jeśli o mierze założyć więcej, można pokazać nieco więcej.
Definicja
Miara µ określona na σ-ciele Ω jest ośrodkowa, jeśli istnieje przeliczalny
podzbiór ∆ ⊆ Ω gęsty w Ω w pseudometryce ”miara róznicy symetrycznej”,
tzn.
µ(E4D) < ε.
∀∀ ∃
ε>0 E∈Ω D∈∆
(n-wymiarowa miara Lebesgue’a jest ośrodkowa; ośrodkiem jest pierścień
generowany przez diadyczne kostki - nietrywialne ćwiczenie z teorii miary)
Twierdzenie: µ jest ośrodkowa ⇔ Lp (X, Ω, µ) jest ośrodkowa.
Dowód:
e⊆Ω
(⇐) Najpierw pokażemy, że istnieje δ > 0 i nieprzeliczalny podzbiór Σ
(oczywiście wystarczy ograniczyć się do nieskończonych σ-ciał) o własności:
e zachodzi µ(A4B) > δ.
(∗) dla dowolnych różnych A, B ∈ Σ
Niech Σn , n ∈ N, będzie ⊆-maksymalnym podzbiorem Ω o następującej
własności (∀A, B ∈ Σn )(A 6= B ⇒ µ(A4B) > n1 ) (takie Σn -y istnieją na
1
mocy lematu Kuratowskiego-Zorna;
łatwe ćwiczenie na sprawdzenie założeń
S
lematu). Wówczas zbiór Σ = n∈N Σn jest gęsty w pseudometryce µ(·4·).
Istotnie, niech E ∈ Ω i ε > 0 będą dowolne. Weźmy n ∈ N takie, że n1 < ε.
Wówczas: jeśli E ∈ Σn , to kładąc D = E ∈ Σn mamy µ(E4D) = 0 < n1 < ε;
jeśli zaś E ∈
/ Σn , to z Σn ( Σn ∪ {E} i ⊆-maksymalności Σn wnioskujemy o
istnieniu D ∈ Σn spełniającego µ(E4D) < n1 < ε. Podsumowując, zbiór Σ
jest µ(·4·)-gęsty, co - wraz z nieośrodkowościa µ - pociąga istnienie N ∈ N
e = ΣN i
takiego, że zbiór ΣN jest nieprzeliczalny. Stąd dostajemy zbiór Σ
1
δ = N spełniające warunek (∗). Co więcej, z powodu σ-skończoności miary
e są skończonej miary.
µ możemy założyć w.l.o.g., że wszystkie zbiory z Σ
1
1
Kończąc dowód implikacji, zauważmy, że ||1A − 1B ||p = (µ(A4B)) p > δ p
e Zatem poniższa rodzina
dla dowolnych różnych A, B ∈ Σ.
1 p1
p
e
B 1D , δ
⊂ L (X, Ω, µ) : D ∈ Σ
3
jest nieprzeliczalną rodziną rozłącznych kul.
ośrodkowa.
Zatem Lp (X, Ω, µ) nie jest
(⇒) Niech ∆ ⊆ Ω będzie ośrodkiem miary µ. Znowu możemy zakładać (bo
miara µ jest σ-skończona), że zbiory z ∆ są skończonej miary. Pokażemy, że
poniższy zbiór (zespolono-)wymiernych kombinacji liniowych
SQ (∆) = linQ {1D ∈ Lp (X, Ω, µ) : D ∈ ∆} ⊆ Lp
jest ośrodkiem Lp (X, Ω, µ). Oczywiście SQ (∆) jest przeliczalny, bo jest kodowany
przez skończone ciągi o wyrazach z przeliczalnego zbioru. Żeby pokazać
gęstość SQ (∆) weźmy dowolną funkcję f ∈ Lp (X, Ω, µ) i ε > 0. Wiemy
z rozważań poprzedzających
Pn twierdzenie, że istnieje s ∈ S(Ω) o własności
ε
||f − s||p < 3 ; niech s = k=1 αk 1Ek , gdzie Ek ∈ Ω i µ(Ek ) < ∞, 1 6 k 6 n.
Wybierzmy teraz dla naszych Ek zbiory Dk ∈ ∆, które są odpowiednio
µ(·4·)-bliskie, a ściślej, żeby
p
ε
µ(Ek 4Dk ) <
dla 1 6 k 6 n.
3n|αk |
P
Wówczas funkcja s∆ = nk=1 αk 1Dk ∈ S(Ω) jest 3ε − || · ||p -blisko s, bo
||s−s∆ ||p 6
n
X
k=1
|αk | ||1Ek −1Dk ||p =
n
X
k=1
1
p
|αk |(µ(Ek 4Dk )) <
n
X
k=1
|αk |
ε
ε
= .
3n|αk |
3
Wykorzystując następnie gęstość liczb (zespolono-)wymiernych, znajdujemy
funkcję s∆,Q ∈ SQ ({D1 , . . . , Dn }) ⊆ SQ (∆) taką, że ||s∆ − s∆,Q ||p < 3ε .
2
To kończy dowód gęstości i całego twierdzenia, ponieważ
||f − s∆,Q ||p 6 ||f − s||p + ||s − s∆ ||p + ||s∆ − s∆,Q ||p < ε.
TBC
3
Twierdzenie 2 (zad.2.7) Niech 1 6 p < ∞ i (X, Ω, µ) będzie σ-skończoną
przestrzenią z miarą. Załóżmy, że funkcja Ω ⊗ Ω-mierzalna K : X × X → C
spełnia poniższy warunek
∀ ∀
()
K(x, ·)f ∈ L1 .
f ∈Lp x∈X
Wtedy operator okreśony wzorem
Z
T (f )(x) = K(x, y)f (y)dµ(y) (f ∈ Lp , x ∈ X)
jest dobrze okreśony na Lp . Załóżmy dodatkowo, że T [Lp ] ⊆ Lp .
Wówczas operator T : Lp → Lp jest ograniczony.
Dowód:
Najpierw pokażemy, że warunek () implikuje (i de facto jest równoważny)
warunkowi () (∀x ∈ X)(K(x, ·) ∈ Lq ). Ustalmy najpierw ciąg Ω-mierzalnych
(który
S istnieje na mocy σ-skończoności miary µ) podzbiorów Xn ⊆ X takich,
że n Xn = X i µ(Xn ) < ∞, n ∈ N; możemy ponadto
S zakładać, że ciąg (Xn )
jest wstępujący, zastępując ewentuanie Xn przez nk=1 Xk . Oznaczmy
Lq (Xn , Ωn , µn ) = {f ∈ Lq (X, Ω, µ) : f (X \ Xn ) ≡ 0},
gdzie Ωn = {E ∩ Xn : E ∈ Ω} i µn = µ Ωn , n ∈ N. Dla ustalonego x ∈ X z
() wynika, że K(x, ·)1Xn ∈ L1 (Xn , Ωn , µn ) ⊆ Lq (Xn , Ωn , µn ) ⊆ Lq (X, Ω, µ).
Zatem funkcje K(x, ·)1XRn wyznaczają ciągłe funkcjonały liniowe ϕn na Lp
dane wzorem ϕxn (f ) = K(x, ·)1Xn f dµ z normą ||ϕxn || = ||K(x, ·)1Xn ||q ,
n ∈ N (tw. o reprezentacji funkcjonałów na Lp ). Korzystając znowu z (),
mamy:
Z
Z
x
|ϕn (f )| 6 |K(x, ·)1Xn f |dµ 6 |K(x, ·)f |dµ < ∞.
∀
n∈N
Stąd i z tw. Banacha-Steinhausa dostajemy ():
Z
q
|K(x, ·)|
1q
Z
= sup
n∈N
|K(x, ·)1Xn |
q
Żeby pokazać T ∈ B(Lp ) skorzystamy z tw.
równoważności:
1q
= sup ||ϕxn || < ∞.
n∈N
o wykresie domkniętym i
Lp
Lp
T ograniczony ⇔ T ma domk. wykres ⇔ jeśli fn −→ 0 i T (fn ) −→ g, to g = 0 p.w.
4
Jeśli ciąg (T (fn )) jest Lp -zbieżny, to istnieje podciąg (T (fnk )) zbieżny punkLp
Lp
towo do funkcji g. Jeśli dodatkowo fn −→ 0, to także fnk −→ 0 i z ()
otrzymujemy
Z
k
|T (fnk )(x)| 6 |K(x, y)fnk (y)|dµ(y) 6 ||K(x, ·)||g ||fnk ||p −
→ 0.
∀
x∈X
Stąd ciąg (T (fnk )) zbiega punktowo do funkcji 0. Na koniec korzystamy z
jedyności (p.w.) granicy punktowej, dostając g = 0 (p.w.), co kończy dowód
twierdzenia.
Twierdzenie 3 (zad.2.11) Niech 1 < p < ∞, (X, Ω, µ) będzie σ-skończoną
przestrzenią z miarą oraz (fn ) ⊆ Lp (X, Ω, µ) będzie ustalonym ciągiem funkcji.
p
Wówczas poniższy warunek (q = p∗ = p−1
)
Z
()
lim
fn gdµ = 0
∀
n→∞
g∈Lq
jest równoważny koniunkcji następujących warunków
(N) sup ||fn ||p < +∞
(H)
i
n∈N
∀
E ∈Ω
µ(E) < ∞
Z
lim
n→∞
fn dµ = 0.
E
Dowód:
[() ⇒ (H)] : wystarczy podstawić g = 1E ∈ Lq dla E ∈ Ω, µ(E) < ∞.
[() ⇒ (N)]
R : dla n ∈ N definiujemy funkcjonały liniowe Fn na Lq wzorem
Fn (g) = fn gdµ, g ∈ Lq . Z tw. o reprezentacji funkcjonałów na Lq i
(fn ) ⊆ Lp wynika, że Fn -y są ciągłe oraz ||Fn || = ||fn ||p , n ∈ N. Następnie, () impikuje, że dla każdego g ∈ Lq ciągi (Fn (g)) są ograniczone (bo
są zbieżne). Stąd i z tw. Banacha-Steinhausa (Lq to p.Banacha, Fn ∈ L∗q ,
punktowa ograniczoność Fn -ów) wynika, że ciąg (||Fn ||) jest ograniczony,
czyli mamy (N).
[(N)∧(H) ⇒ ()] : oznaczmy M = supn∈N ||fn ||p i ustalmy gP∈ Lq . Wybierzmy
ε
s ∈ S(Ω) (p. notatki) taką, że ||g − s||q < 2M
; niech s = m
k=1 αk 1Ek , gdzie
Ek ∈ Ω, µ(Ek ) < ∞, 1 6 k 6 m, m ∈ N. Warunek (H) implikuje, że istnieje
N ∈ N takie, że dla n > N zachodzi
Z
X
Z
Z
m
X
m
ε
fn sdµ = αk
fn dµ 6
|αk | fn dµ < .
2
Ek
Ek
k=1
k=1
Wówczas dla takich n-ów jak wyżej zachodzi
Z
Z
Z
fn gdµ 6 fn sdµ+ |fn (g − s)| dµ < ε +||fn ||p ||g−s||q < ε +M ε = ε,
2
2
2M
co kończy dowód twierdzenia.
5