Nierówność trójkąta
Transkrypt
Nierówność trójkąta
Joanna Jaszuńska, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów 1 Nierówność trójkąta Nierówność trójkąta 1. Wewnątrz czworokąta wypukłego znajdź punkt, którego suma odległości od wierzchołków jest najmniejsza. 2. (5/9/KM SEM) Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejne boki mają długości: 48, 49, 51, 52. Wykaż, że suma długości przekątnych tego czworokąta jest większa od 100. 3. (5/III/VI OMG) Wewnątrz koła o promieniu 1 znajdują się punkty A1 , A2 , . . . , A100 . Udowodnij, że na brzegu tego koła istnieje taki punkt P , dla którego P A1 + P A2 + . . . + P A100 100. 4. (4/I/II OMG) W trójkącie √ ABC punkt M jest środkiem boku AB oraz ]ACB = ◦ 120 . Udowodnij, że CM 63 AB. Łamane — uogólniona nierówność trójkąta 5. Udowodnij uogólnienie nierówności trójkąta: dowolna łamana o końcach A i B jest dłuższa od odcinka AB lub jest równa AB, jeśli pokrywa się z tym odcinkiem. 6. (5/I/VII OMG) W pięciokącie wypukłym ABCDE kąty przy wierzchołkach B i D są proste. Wykaż, że obwód trójkąta ACE jest nie mniejszy od 2BD. 7. Odległość z Petersburga do Moskwy wynosi 660 km. Z Petersburga do miasta Likowo jest 310 km, z Likowa do Klinu jest 200 km, zaś z Klinu do Moskwy jest 150 km. Jaka jest odległość z Likowa do Moskwy? 8. W czworokącie ABCD kąt BAD jest prosty oraz AB = AD. Udowodnij, że BC + CD + DB 2AC. Zastosowania w zadaniach przestrzennych 9. (5/II/II OMG) Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS, w którym ]ASB = ]BSC = ]CSA = 20◦ . Wykaż, że obwód trójkąta ABC jest nie mniejszy od długości każdej z krawędzi AS, BS i CS. 10. (6/I/V OMG) Czworościan foremny o krawędzi 1 przecięto płaszczyzną tak, że w przekroju otrzymano czworokąt. Jaki jest najmniejszy możliwy obwód tego czworokąta? Odpowiedź uzasadnij. 11. Na przeciwległych wierzchołkach sześciennego pudła o krawędzi 1 siedzą pająk i mucha. Pająk chce przejść najkrótszą możliwą drogą po powierzchni pudła do wierzchołka, w którym jest mucha. Jak długą drogę musi pokonać? Którędy powinien iść? Ile ma do wyboru różnych najkrótszych dróg? 12. (matex 2011) Dany jest graniastosłup prosty czworokątny o podstawach ABCD, KLM N i o krawędziach bocznych AK, BL, CM, DN . Dane są długości krawędzi podstawy: AB = 11, BC = 4, CD = 9, DA = 7. Po powierzchni tego graniastosłupa poprowadzone zostały dwie drogi z punktu A do punktu M . Pierwsza to najkrótsza droga spośród dróg przecinających krawędź BL, druga to najkrótsza droga spośród dróg przecinających krawędź DN . Która z tych dwóch dróg jest krótsza? Joanna Jaszuńska, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów 2 Można zbudować trójkąt 13. Wysokości trójkąta ABC, poprowadzone z wierzchołków A, B, C mają długości odpowiednio hA , hB , hC . (a) Wykaż, że z odcinków o długościach h1A , h1B , h1C można zbudować trójkąt. (b) Wykaż, że trójkąt zbudowany w punkcie (a) jest podobny do trójkąta ABC. (c) Czy z odcinków o długościach hA , hB , hC zawsze można zbudować trójkąt? (d) Udowodnij, że z odcinków o długościach h12 , h12 , h12 można zbudować trójkąt A B C wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt ABC jest ostrokątny. 14. Punkt P leży wewnątrz trójkąta równobocznego ABC. (a) Wykaż, że z odcinków o długościach P A, P B, P C można zbudować trójkąt. (b) Wyznacz miary jego kątów, znając ]BP C = α, ]CP A = β, ]AP B = γ. 15. (8/I/X OM) Bokami trójkąta są środkowe innego trójkąta. (a) Oblicz stosunek pól obu trójkątów. (b) Czy ze środkowych dowolnego trójkąta można zbudować trójkąt? 16. (7/7/KM SEM) Wykaż, że w każdym czworościanie istnieją takie trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka, z których można zbudować trójkąt. 17. Wykaż, że w każdym pięciokącie wypukłym istnieją takie trzy różne przekątne, z których można zbudować trójkąt. 18. (2/II/LVIII OM) Dany jest pięciokąt wypukły ABCDE, w którym BC = CD, DE = EA, ]BCD = ]DEA = 90◦ . (a) Wykaż, że z odcinków o długościach AC, CE, EB można zbudować trójkąt. (b) Wyznacz miary jego kątów, znając miarę α kąta ACE i miarę β kąta BEC. 19. (matex 2010) Dany jest prostopadłościan ABCDEF GH o podstawie ABCD i krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Punkt S jest środkiem krawędzi EH. Udowodnij, że z odcinków o długościach AG, CH, 2AS można zbudować trójkąt. 20. Przeciwległe krawędzie czworościanu mają długości odpowiednio a i a0 , b i b0 oraz c i c0 . Wykaż, że z odcinków o długościach aa0 , bb0 , cc0 można zbudować trójkąt. 21. Dany jest trójkąt ABC. Czy z odcinków o długościach równych dwusiecznym jego kątów zawsze można zbudować trójkąt? √ √ √ 22. Wykaż, że z odcinków o długościach 5, 13 i 26 można zbudować trójkąt i wyznacz jego pole. √ √ 2 + c2 + d2 + 2bc, b a2 + c2 + d2 + 2ad, 23. Wykaż, że z odcinków o długościach √ 1 2 2 a + b można zbudować trójkąt i że jego pole jest równe 2 (ab + ac + bd). Zastosowania w dowodzeniu nierówności W poniższych zadaniach a, b, c, d są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi. √ √ √ √ 24. Wykaż, że a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 2(a + b + c). √ √ √ √ 25. Wykaż, że a2 + 2b2 + b2 + 2c2 + c2 + 2a2 3(a + b + c). √ √ √ 26. Wykaż, że a2 + b2 + 2c2 + b2 + c2 + 2a2 + c2 + a2 + 2b2 2(a + b + c). Zadania o dowodzeniu nierówności można znaleźć w moim artykule w piśmie Delta w styczniu 2012 (www.deltami.edu.pl). Rozwiązania większości zadań z OMG i z Koła Matematycznego SEM można znaleźć na stronie www.omg.edu.pl.