Procenty - Edupress

nauczanie matematyki
KONSPEKT LEKCJI ĆWICZENIOWEJ
Procenty
n
KRYSTYNA JAŃCZAK
podają poprawne rozwiązania – inni
sprawdzają obliczenia na swoich kartkach.
KLASA I GIMNAZJUM
n Temat
Procenty – rozwiązywanie zadań tekstowych.
n Cele
o ćwiczenie umiejętności wykonywania
obliczeń procentowych,
o powtórzenie działań na ułamkach,
o łączenie wiedzy o procentach (obliczanie jaki to procent, obliczanie procentu
danej liczby, obliczanie liczby na podstawie danego jej procentu) z właściwym ich
zastosowaniem do rozwiązywania zadań
tekstowych.
I. Oblicz 15% liczby 240.
..................................
II. a) Jakim procentem liczby 80 jest 20?
..................................
b) Jakim procentem liczby 20 jest 60?
..................................
III. Znajdź liczbę, której 20% wynosi 50.
..................................
IV. Cena butów piłkarskich wynosi 120 zł.
Oblicz cenę tych butów:
a) po obniżce o 10%,
..................................
b) po podwyżce o 10%.
..................................
n Metody
o indywidualna praca uczniów,
o praca z podręcznikiem.
n Pomoce
o kartki dla każdego ucznia do ćwiczeń
wstępnych,
o podręczniki.
n Uproszczony tok lekcji
Czynności organizacyjne
Sprawdzenie zadania domowego (obliczenia procentowe z podręcznika).
Ćwiczenia wstępne
Rozdajemy kartki do uzupełnienia. Po
wykonaniu zadania uczniowie na tablicy
4/2006
Lekcja właściwa
Indywidualne rozwiązywanie zadań przez
uczniów. Podaję treść zadań do rozwiązania. Uczniowie rozwiązują je samodzielnie, w razie wątpliwości mają w podręczniku znaleźć pomoc do rozwiązania. Nauczyciel pomaga, gdy uczeń nie umie tego
zrobić. Po rozwiązaniu każdego zadania,
jeden z uczniów przedstawia swoje rozwiązanie na tablicy, dyskutujemy nad ewentualnymi innymi rozwiązaniami lub wątpliwościami. Każde rozwiązanie przy tablicy jest ocenione – nie stawiam ocen
niedostatecznych na lekcji ćwiczeniowej
(uczeń dopiero się tego uczy i ma prawo
do błędów) dlatego jest wielu chętnych do
prezentacji swojego rozwiązania.
213
21
nauczanie matematyki
Zadania zostały tak dobrane, aby pojawiły się wszystkie typy obliczeń procentowych poznanych na wcześniejszych lekcjach.
stan konta po pierwszym roku:
Cenę telewizora, która wynosiła 1500 zł,
podwyższono przed Olimpiadą o 20%, a po
Igrzyskach nową cenę obniżono o 20%. Oblicz ostateczną cenę telewizora.
stan konta po drugim roku:
Zanim uczniowie przystąpią do rozwiązania, zwracam uwagę, że cena ostateczna będzie inna niż 1500 zł. Uczniowie często błędnie kojarzą obniżkę i podwyżkę
o ten sam procent.
Spodziewane rozwiązanie:
o cena po podwyżce: za telewizor po podwyżce zapłacimy o 20% więcej
100% + 20% = 120%
2000 zł + 120 zł = 2120 zł;
o
2120 zł + 127,20 zł = 2247,20 zł.
Odpowiedź: Stan konta po dwóch latach
wynosi 2247,20 zł.
W klasie informatycznej są tylko 4
dziewczynki, co stanowi 16% klasy. Ilu
uczniów liczy klasa?
Spodziewane rozwiązanie:
I sposób: 16% to 4 uczniów
1 uczeń to 4%
100% to 25 × 4% czyli 25.
II sposób: x – liczba uczniów w klasie
czyli
16% liczby x = 4
120% × 1500 zł = 1,2 × 1500 zł = 1800 zł;
0,16 × x = 4
cena po obniżce: za telewizor po obniżce zapłacimy o 20% mniej
o
100% - 20% = 80%
czyli
80% × 1800 zł = 0,8 × 1800 zł = 1440 zł.
Odpowiedź: Ostateczna cena telewizora
wynosi 1440 zł.
Pan Maliński wpłacił do banku 2000 zł
na konto, którego oprocentowanie wynosi
6% w stosunku rocznym. Jaką kwotę będzie
miał pan Maliński po roku, a jaką po dwóch
latach, jeżeli w tym czasie nie będzie wpłacał ani wypłacał żadnych pieniędzy?
Zwracamy uwagę, że odsetki w drugim
roku naliczane są od stanu konta po pierwszym roku, a nie od kwoty, którą wpłaciliśmy na początku.
o
Spodziewane rozwiązanie:
obliczamy odsetki po pierwszym roku:
6% × 2000 zł = 0,06 × 2000 zł = 120 zł
22
214
obliczamy odsetki po drugim roku:
6% × 2120 zł = 0,06 × 2120 zł = 127,20 zł
x = 4 : 0,16
x = 25.
Odpowiedź: Klasa liczy 25 uczniów.
Pani Jolanta dostała podwyżkę i zamiast 1600 zł zarabia 1800 zł. Podwyższyła
więc kieszonkowe swojej córki o taki sam
procent. Córka dostawała dotychczas 20 zł
kieszonkowego. Ile będzie dostawać teraz?
Spodziewane rozwiązanie:
obliczamy, o ile złotych wzrosło wynagrodzenie pani Jolanty:
1800 zł - 1600 zł = 200 zł.
o
o obliczamy, jaki to procent pierwotnego
wynagrodzenia (czyli o ile procent wzrosło wynagrodzenie pani Jolanty):
200 = 2 = 1 = 0 ,125 = 12, 5%
1600
16 8
Jeżeli córka dostawała 20 zł, to jej kieszonkowe wzrosło o 12,5 %, czyli o:
12,5% × 20 zł = 0,125 × 20 zł = 3,50 zł
matematyka
nauczanie matematyki
nowe kieszonkowe córki wyniesie więc:
20 zł + 3,50 zł = 23,50 zł.
Odpowiedź: Córka będzie teraz dostawać
23,50 zł kieszonkowego.
Podsumowanie lekcji
W oparciu o rozwiązane przykłady uczniowie rozwiązują zadanie ustne:
II. Najpierw podniosę cenę o 10%, a potem o 15%.
Zadanie pracy domowej
Uczniowie mają rozwiązać dwa zadania
tekstowe na procenty z podręcznika. Zadania wybierają sami, stosownie do swoq
ich upodobań i możliwości.
Który właściciel sklepu planuje większą
podwyżkę?
KRYSTYNA JAŃCZAK
nauczycielka Gimnazjum nr 3 w Starej Krobi
I. Podniosę cenę o 25%.
BERNOULLI BEZ INDUKCJI
Z metodą dowodzenia indukcyjnego w „nowym” liceum spotkają się już
w klasie pierwszej uczniowie uczący się matematyki w wersji rozszerzonej, natomiast inni mogą się z nią w ogóle nie zetknąć.
Spróbujmy więc udowodnić znaną nierówność Bernoullego:
(1 + x) n > 1 + nx
przy założeniu x > 0, nie korzystając explicite z zasady indukcji matematycznej.
Dowód. Niech q = 1 + x. Wówczas q > 1 i oczywiście q n > 1 dla każdej liczby
naturalnej n. Zatem:
q 2 = q × q = q(1 + x) = q + qx > q + x,
q 3 = q 2 × q = q 2(1 + x) = q 2 + q 2 x > q 2 + x,
q4 = q 3 × q = q 3(1 + x) = q 3 + q 3x > q 3 + x,
i ogólnie:
q n + 1 = q n × q = q n(1 + x) = q n + q nx > q n + x,
Mamy więc dla n > 2
q n > q n - 1 + x > q n - 2 + 2x > q n - 3 + 3x > ...
> q 2 + (n - 2)x > q + (n - 1)x = 1 + x + (n - 1)x = 1 + nx
czyli
q n > 1 + nx
Pytanie: Gdzie w tym dowodzie „schowaliśmy” indukcję?
nadesłał Janusz Karkut
4/2006
215
23