Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Komentarze

Transkrypt

Analiza matematyczna 2 Lista zadań
Analiza matematyczna 2
Lista zadań
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Lista 1
1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Z∞ √
Z∞
Z∞
dx
x dx
;
(b)
;
(c)
x sin x dx;
(a)
x2 + x
x+1
(d)
1
1
Z∞
Z∞
arc ctg x dx;
(e)
−∞
0
π
dx
;
2
x −4x + 13
(f)
Z∞
xe−x dx.
−∞
2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Z∞
Z∞
Z∞
dx
x(x + 1) dx
dx
√
√
;
(b)
;
(c)
;
(a)
x ( x + 1)
x+3
x4 + x + 1
9
4
(d)
Z∞
(2x + 1) dx
;
3x + 1
(e)
0
Z∞
1
(x + sin x) dx
;
x3
(f)
Z∞ √
2
π
2 + cos x dx
√
.
x−1
3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Z∞ √
( x + 1) dx
(a)
;
x (x + 1)
Z∞
(b)
1
5
Z∞ 1
e x − 1 dx;
(c)
x2 dx
√
;
x5 − 3
(d)
Z∞
1
sin
dx;
x
2
1
2
(e)
Z∞
1
x2 dx
.
x3 −sin x
1
oraz osią Ox.
x2 + 4
(b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D = (x, y) ∈ R 2 : x ­ 0, 0 ¬ y ¬ e−x .
1
(c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji y = √ (x ­ 1) wokół osi Ox ma skończoną
x x
wartość.
4. (a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =
5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
Ze
Z0
Zπ
Z5
Z1
ln x dx
dx
2x dx
dx
dx
√
√ x
; (b)
; (c)
; (d)
; (e)
.
(a)
x(x + 1)
x
x(x + 1)
sin x
2 −8
0
0
π
2
−1
3
6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
(a)
Z4
0
arc tg x dx
√
;
x x
(b)
Z2
ex dx
;
x3
0
(c)
Z4
dx
√ ;
x2 + x
(d*)
0
Z2
0
dx
√
.
16 − x4
7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
Z2
Z1 3
Zπ
Zπ
Z1 x
x + 1 dx
dx
sin3 x dx
(e − 1) dx
dx
√
√
√
√ .
;
(e*)
(a)
;
(b)
;
(d*)
;
(c)
x4
x (x2 + 1)
x2 − x
sin x
x3
0
0
π
2
0
8. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych:
Z∞ 3
Z∞ x
Z∞
x cos x dx
e dx
(a)
; (b)
; (c)
e−|x+5| dx;
x2 + 4
ex + 1
−∞
−∞
−∞
1
(d
Z9
−4
dx
p ;
|x|
1
(e)
Z1
−1
sin x
dx.
x2
Lista 2
9. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
∞
∞
∞
∞ n
X
X
X
X
1
n−1
1
5
√
;
(b)
;
(c)
;
(d)
(a)
√ .
2
6
n + 3n + 2
n!
n+1+ n
n=1
n=2
n=1
n=0
10. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:
(a)
∞
X
1
;
2
n +4
n=1
(b)
∞
X
n+1
;
n2 − n
n=2
(c)
∞
X
ln n
;
n2
n=2
(d)
∞
X
1
√
;
n n+1
n=1
(e)
∞
X
n=0
en
.
+1
e2n
11. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞ √ 2
∞
∞
∞
X
X
X
X
X
n +1
3n + 1
π
2 n + en
3n + n
(a)
sin
;
(b)
;
(c)
;
(d)
;
(e)
.
n3 + 2
n2 + 2
2n
en + 4 n
n3n + 2n
n=1
n=1
n=1
n=0
n=1
12. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
n2 + 1
en − 1
n+2
√
;
(b)
;
(c)
;
(d)
4n sin 5−n .
(a)
3+1
n−1
6−1
n
3
2n
n=1
n=1
n=0
n=1
13. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:
∞
X
2015n
(a)
;
n!
n=1
∞
X
en + 1
(b)
;
n5 + 1
n=1
∞
X
π
(c)
n sin n ;
2
n=1
2
∞
X
n!
(d)
;
n
n
n=1
∞
X
nn
(e)
.
π n n!
n=1
14. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:
2
∞
∞
∞
X
X
X
(n + 1)2n
3 n nn
2n + 3n
(a)
;
(c)
;
;
(b)
n
3n + 4n
(2n2 + 1)
(n + 1)n2
n=1
n=1
n=1
(d)
∞
X
arc cosn
n=1
1
.
n2
15. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów
uzasadnić podane równości:
n2015
= 0;
n→∞ 3n
(a) lim
nn
= 0;
n→∞ (n!)2
(b) lim
nn
= ∞;
n→∞ n!
(c) lim
16. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
p
X
X
X
π
2n
;
(c)
(−1)n tg ;
(a)
(−1)n
n2 + 1 − n ; (b)
(−1)n n
n
3
+
4
n
n=4
n=0
n=0
(d*) lim
n→∞
(d)
∞
X
(3n)!(4n)!
= 0.
(5n)!(2n)!
(−1)n+1
n=1
3n
.
n!
17. Obliczyć sumy przybliżone szeregów ze wskazaną dokładnością:
∞
∞
X
X
(−1)n+1
(−1)n
−6
(a)
,
10
;
(b)
, 10−3 .
n
n10
(2n
+
1)!
n=1
n=0
Lista 3
18. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:
n
√
∞
∞ ∞
∞
X
X
X
X
√
(−1)n n
−2n
(−1)n
;
(b)
;
(c)
;
(d)
(−1)n n e − 1 ;
(a)
n
3 +1
n+1
3n + 5
n=2
n=1
n=2
n=0
19. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
xn
(x + 3)n
(2x + 6)n
n
(a)
(5x
−
10)
;
(c)
;
(b)
;
(d)
;
nen
n!
3n − 2n
n=1
n=1
n=1
n=1
21. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:
(b) f (2015) (0), f (x) = xe−x ;
x
(d) f (10) (0), f (x) = x sin2 .
2
2
∞
X
(−2)n
.
3n + 1
n=0
∞ √
X
n(x + 1)n
(e)
.
n+1
n=1
20. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
5
x
x3
(a)
; (e) sinh x; (f) cos2 x.
; (b) sin ; (c) x2 e−x ; (d)
1 + 2x
2
16 − x2
(a) f (50) (0), f (x) = x2 cos x;
x3
;
(c) f (11) (0), f (x) =
1 + x2
(e)
′
22. Wyznaczyć szeregi potęgowe f (x) oraz
Zx
f (t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:
0
1
;
(a) f (x) =
1 + x3
2
2
(c*) f (x) = ex .
(b) f (x) = sin x ;
23. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
2n − 1
n(n + 1)
1
;
(b)
;
(c)
.
(a)
n
n
(n + 1)3
2
5n
n=2
n=1
n=0
24. Obliczyć całki oznaczone ze wskazaną dokładnością:
Z1
Z1
−x2
sin x2 dx, 0.0001.
e
dx, 0.001;
(a)
0
0
Lista 4
25. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji:
r
x2 + y 2 − 9
x2 y
y
y−2
; (d) f (x, y) = ln
; (b) f (x, y) =
;
; (c) f (x, y) = p
(a) f (x, y) =
2
y−x
x+1
16 − x2 − y 2
4 − x2 − y 2
√
√
(e) g(x, y, z) = x + 2 − z;
(f) g(x, y, z) = arc cos x2 + y 2 + z 2 − 2 .
26. Naszkicować wykresy funkcji:
p
p
(a) f (x, y) = 1 − x2 + y 2 ;
(b) f (x, y) = 3 + 2x − x2 − y 2 ;
(d) f (x, y) = sin y;
(c) f (x, y) = x2 − 2x + y 2 + 2y + 3;
(e) f (x, y) = x2 − 1;
(f) f (x, y) = 1 − |x|.
* 27. Obliczyć granice:
sin x4 − y 4
; (b)
(a)
lim
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
lim
(x,y)→(0,0)
1 − cos x2 + y 2
(x2
+
2
y2)
; (c)
xy 2
; (d)
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
lim
(x,y)→(0,0)
1
x2 + y 2 cos .
xy
28. Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu fx , fy funkcji f i pochodne cząstkowe
gx , gy , gz funkcji g we wskazanych punktach:
p
x2
x2 + z
(a) f (x, y) =
, (0, 1);
(b) f (x, y) = x6 + y 6 , (0, 0);
, (0, 1, 2).
(c) g(x, y, z) =
y
y
29. Obliczyć pochodne cząstkowe fx , fy funkcji f i pochodne cząstkowe gx , gy , gz funkcji g:
x2 + y 2
;
xy
p
(d) f (x, y) = y x2 + y 2 ;
(a) f (x, y) =
(g) g(x, y, z) =
x
;
x2 + y 2 + z 2
1 − xy
;
x+y
p
(e) f (x, y) = ln x + x2 + y 2 ;
(b) f (x, y) = arc tg
(h) g(x, y, z) = cos(x sin(y cos z));
(c) f (x, y) = e
cos x
y
;
xz
(f) g(x, y, z) = x2 +
+ yz 3 ;
y
r
q
p
2
(i) g(x, y, z) = x + y 2 + z 2 + 1.
Lista 5
* 30. Sprawdzić, że funkcja f spełnia wskazane równanie:
√
y
(a) f (x, y) = ln x2 + xy + y 2 , xfx + yfy = 2; (b) f (x, y) = x sin ,
x
xfx + yfy =
f
.
2
31. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu fxx , fxy , fyx , fyy funkcji f i pochodne cząstkowe gxx , gxy , gxz ,
gyx , gyy , gyz , gzx , gzy , gzz funkcji g i sprawdzić, że pochodne cząstkowe mieszane są równe:
y3
(b) f (x, y) = yexy ;
(c) f (x, y) = x2 + ;
(a) f (x, y) = cos x2 + y 2 ;
x
y
x
;
(f) g(x, y, z) = ln x + y 2 + z 3 + 1 .
(e) g(x, y, z) = √
(d) f (x, y) = y ln ;
2
2
y
1+x +z
3
32. Obliczyć pochodne cząstkowe:
(a) hxyy ,
h(x, y) = sin xy;
(b) hyyxy ,
33. Sprawdzić, że funkcje:
y
(a) z = arc tg ;
x
spełniają równanie
(b) z = x +
r
x
;
y
h(x, y) =
x+y
;
x−y
(c) hxyz ,
y
(c) z = x + ln 1 +
;
x
h(x, y, z) =
(d) z = x +
x2 y 3
.
z
√
xy
x2 zxx + 2xyzxy + y 2 zyy = 0, (x, y > 0).
34. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:
p
(b) z = ex+2y , (x0 , y0 , z0 ) = (2, −1, z0);
(a) z = x2 y + 1, (x0 , y0 , z0 ) = (1, 3, z0 );
!
√
arc sin x
1
3
(c) z =
(d) z = xy , (x0 , y0 , z0 ) = (2, 4, z0 ).
, (x0 , y0 , z0 ) = − ,
, z0 ;
arc cos y
2 2
35. (a) Na wykresie funkcji z = arc tg
x
wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do
y
płaszczyzny x + y − z = 5.
(b) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = x2 + y 2 , która jest prostopadła do prostej
x = t, y = t, z = 2t, t ∈ R.
Lista 6
36. (a) Wysokość i promień podstawy walca zmierzono z dokładnością ±1 mm. Otrzymano h = 350 mm oraz
r = 145 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość V tego walca?
(b) Krawędzie prostopadłościanu mają długości a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczyć w przybliżeniu, jak zmieni
się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm.
(c) Oszacować błąd względny δV objętości prostopadłościamu V , jeżeli pomiaru jego boków x, y, z dokonano z
dokładnością odpowiednio ∆x , ∆y , ∆z .
* 37. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania:
z
(b) z = xf (sin(x − y)) , zx + zy = ;
(a) z = f x2 + y 2 , yzx − xzy = 0;
x
y
y x
n
, xzx + yzy = nz (n ∈ N); (d*) z = g(x) + h
, xyzxy + y 2 zyy + xzx + 2yzy = 0.
(c) z = x f
x
y
x
38. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
!
√
p
1
3
(a) f (x, y) = x2 + y 2 , (x0 , y0 ) = (0, 0), v =
;
,
2 2
√ √ !
2
2
√
(b) f (x, y) = 3 xy, (x0 , y0 ) = (1, 0), v =
;
,
2
2
3 4 12
(c) g(x, y, z) = x2 + yz, (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0), v =
.
, ,
13 13 13
39. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
12 5
;
,
(a) f (x, y) = x2 + y 2 , (x0 , y0 ) = (−3, 4), v =
13 13
y
3 4
(b) f (x, y) = x − 2 + y, (x0 , y0 ) = (1, 1), v =
;
,−
x
5 5
√ !
1
3
3
(c) g(x, y, z) = exyz , (x0 , y0 , z0 ) = (−1, 1, −1), v =
.
,− ,
2 4 4
1
2
40. (a) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = y − x + 2 ln(xy). w punkcie − , −1 w kierunku
2
wersora v tworzącego kąt α z dodatnim zwrotem osi Ox. Dla jakiego kąta α pochodna ta ma wartość 0, a dla
jakiego przyjmuje wartość największą?
√
(b) Wyznaczyć wersory v, w kierunku których funkcja f (x, y) = ex x + y 2 w punkcie (0, 2) ma pochodną
kierunkową równą 0.
4
Lista 7
41. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:
(a) f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 51x − 24y;
(b) f (x, y) = xe−y +
1
+ ey ;
x
√
(d) f (x, y) = y x − y 2 − x + 6y;
(e) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy;
(g) f (x, y) = xy + ln y + x2 ;
(h) f (x, y) = 4xy +
1
1
+ ;
x y
(c) f (x, y) = xy 2 (12 − x − y) (x, y > 0);
8 x
+ + y (x, y > 0);
x y
2
2
(i) f (x, y) = x − y 2 + y − x2 .
(f) f (x, y) =
42. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki:
(a) f (x, y) = x2 + y 2 , 3x + 2y = 6;
(b) f (x, y) = x2 + y 2 − 8x + 10, x − y 2 + 1 = 0;
(c) f (x, y) = x2 y − ln x, 8x + 3y = 0;
(d) f (x, y) = 2x + 3y, x2 + y 2 = 1.
43. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
(a) f (x, y) = 2x3 + 4x2 + y 2 − 2xy, D = (x, y) ∈ R2 : x2 ¬ y ¬ 4 ;
(b) f (x, y) = x2 + y 2 − 6x + 4y, D = (x, y) ∈ R2 : x + y ¬ 4, 2x + y ¬ 6, x ­ 0, y ­ 0 ;
(c) f (x, y) = x2 + y 2 , D = (x, y ∈ R2 : |x| + |y| ¬ 2 ;
(d) f (x, y) = xy 2 + 4xy − 4x, D = (x, y) ∈ R2 : −3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0 ;
(e) f (x, y) = x4 + y 4 , D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ 9 .
44. (a) W trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znaleźć punkt M = (x0 , y0 ), dla którego
suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
(b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V ,
aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?
(c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:
x + y − 1 = 0,
k:
z+1
= 0,
l:
x − y + 3 = 0,
z−2
= 0.
(d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m3 . Do budowy ścian magazynu używane są płyty w
cenie 30 zł/m2 , do budowy podłogi w cenie 40 zł/m2 , a sufitu w cenie 20 zł/m2 . Znaleźć długość a, szerokość b i
wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
(f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zł i 2000 zł za sztukę. Koszt
wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi
K(x, y) = x2 − xy + y 2 [zł].
Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk?
Lista 8
45. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:
ZZ
ZZ
2
(a)
x + xy − x − 2y dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]; (b)
dxdy
, R = [0, 2] × [0, 1];
(x + y + 1)3
(c)
e2x−y dxdy, R = [0, 1] × [−1, 0].
R
ZZ
(x sin xy) dxdy, R = [0, 1] × [π, 2π];
(d)
R
46. Całkę podwójną
równaniach:
R
ZZ
R
ZZ
f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi o
D
(a) y = x2 , y = x + 2;
(b) x2 + y 2 = 4, y = 2x − x2 , x = 0 (x, y ­ 0);
(c) x2 − 4x + y 2 + 6y − 51 = 0;
(d) x2 − y 2 = 1, x2 + y 2 = 3 (x < 0).
47. Obliczyć całki iterowane:
5
(a)
Z2
dx
1
Zx
2
y
dy;
x2
(b)
Z4
1
x
dx
Z2x
2√
x
x
y − x dy;
(c)
Z2
dx
−2
Narysować obszary całkowania.
√
Z4−x2
3
x +y
3
0
dy;
(d)
Z3
0
Zy p
y 2 + 16 dx.
dy
0
48. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach:
(a)
Z1
−1
Z|x|
dx f (x, y) dy;
√
Z2
(d)
(b)
0
dy
√
f (x, y) dx;
y 2 −1
− 2
dx
−1
y2
2
Z
Z1
(e)
Zπ
−
dx
π
2
√
Z0
f (x, y) dy;
(c)
Z4
0
1−x2
sin
Z x
f (x, y) dy;
(f)
cos x
Ze
1
dx
√
dx
√
2
Z x
f (x, y) dy;
4x−x2
Z1
f (x, y) dy.
ln x
49. Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi:
ZZ
ZZ
√
1
(a)
xy 2 dxdy, D : y = x, y = 2 − x2 ;
(b)
x2 y dxdy, D : y = −2, y = , y = − −x;
x
D
D
√
x, x = 0, y = 1;
(d)
D
ZZ
ZZ
(f)
ZZ
(xy + x) dxdy, D : x = 0, y = −1, y = 3 − x2 (x ­ 0);
ZZ
(2x − 3y + 2) dxdy, D : y = 0, y = π, x = −1, x = sin y.
(c)
ZZ
(e)
x2 exy dxdy, D : y = x, y = 1, x = 0;
ZZ
ex dxdy, D : y = 0, y = 2x, x =
x
e y dxdy, D : y =
D
D
(g)
xy + 4x2 dxdy, D : y = x + 3, y = x2 + 3x + 3;
D
2
√
ln 3;
D
(h)
D
* 50. Obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach:
ZZ
ZZ
(a)
min(x, y) dxdy, D = [0, 1]×[0, 2]; (b)
⌊x + y⌋ dxdy, D = [0, 2]×[0, 2];
(c)
D
ZZ
D
(d)
ZZ
D
|x − y| dxdy, D = (x, y) ∈ R2 : x ­ 0, 0 ¬ y ¬ 3 − 2x ;
sgn x2 − y 2 + 2 dxdy, D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ 4 .
D
Uwaga. Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei ⌊u⌋ oznacza część całkowitą liczby u.
51. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:
h πi
(a) f (x, y) = sin x cos y, D = [0, π] × 0, ; (b) f (x, y) = x + y, D : 0 ¬ y ¬ π, 0 ¬ x ¬ sin y.
2
* 52. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
ZZ
(x + y)2
(a)
dxdy, D : x + y = −1, x + y = 1, x − y = 1, x − y = 3;
(x − y)3
D
(b)
ZZ
1
dxdy
, D : y = x, y = 2x, y = − x + 1, y = −2x + 4;
y
2
(c)
ZZ
xy dxdy, D : xy = 1, xy = 2, y = x2 , y = 3x3 ;
D
D
(d*)
ZZ
D
x4 − y 4 dxdy, D : x2 + y 2 = 3, x2 + y 2 = 5, x2 − y 2 = 1, x2 − y 2 = 2 (x ­ 0, y ­ 0).
Lista 9
53. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
6
(a)
(c)
(e)
ZZ
D
ZZ
2
2
xy dxdy, D : x + y ¬ 1,
y 2 ex
D
ZZ
2
+y
2
√
¬ y ¬ 3x;
(b)
2
dxdy, D : x ­ 0, y ­ 0, x2 + y 2 ¬ 1;
2
x +y
D
x
√
3
2
2
dxdy, D : y ­ 0, y ¬ x + y ¬ x;
(d)
(f)
ZZ
D
ZZ
D
ZZ
xy 2 dxdy, D : x ­ 0, 1 ¬ x2 + y 2 ¬ 2;
x2 dxdy, D : x2 + y 2 ¬ 2y;
y dxy, D : x2 + y 2 ¬ 2x (y ¬ 0).
D
Obszar D naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych.
54. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
(a) y 2 = 4x, x + y = 3, y = 0 (y ­ 0);
(b) x2 + y 2 − 2y = 0, x2 + y 2 − 4y = 0;
√
(d) x2 + y 2 = 2y, y = 3|x|.
(c) x + y = 4, x + y = 8, x − 3y = 0, x − 3y = 5;
55. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:
(a) y = z, y = 2x, y = 2, z = 0, x = y;
(b) x2 + y 2 + z 2 = 4, z = 1 (z ­ 1);
(c) x2 + y 2 − 2y = 0, z = x2 + y 2 , z = 0;
(e*) (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1, z = xy, z = 0;
(d) z = 5 − x2 + y 2 , x = 0, y = 0, x + y = 1, z = 0;
(f*) 2z = x2 + y 2 , y + z = 4.
56. Obliczyć pola płatów:
(a) z = x2 + y 2 , x2 + y 2 ¬ 1; (b) x2 + y 2 + z 2 = R2 , x2 + y 2 − Rx ¬ 0, z ­ 0; (c) z =
57. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:
(a) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x , σ(x, y) = x;
(b) D = (x, y) ∈ R2 : 1 ¬ x2 + y 2 ¬ 4, y ­ 0 , σ(x, y) = |x|.
58. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych:
(a) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ y ¬ 4 − x2 ;
(b) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin2 x ;
(c) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ 1, |y| ¬ ex ;
(d) D — trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;
(e) D — trójkąt równoboczny o boku 2a, do którego dołączono półkole o promieniu a;
(f) D — kwadrat o boku 1, z którego wycięto półkole o średnicy a.
59. Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
p
(a) D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ R2 , y ­ 0 , oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x2 + y 2 ;
(b) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ y ¬ 1 − x2 , oś symetrii obszaru, przyjąć σ(x, y) = x2 ;
(c) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x , oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x;
(d) D — jednorodny kwadrat o masie M i boku a, przekątna kwadratu;
(e) D — jednorodny trójkąt równoboczny o masie M i boku a, oś symetrii.
Lista 10
60. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:
ZZZ
x dxdydz
, U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];
(a)
yz
U
ZZ
Z
(b)
(x + y + z) dxdydz, U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];
(c)
ZZUZ
sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, U = [0, π] × [0, π] × [0, π];
ZZZ
(x + y)ex+z dxdydz, U = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
U
(d)
U
7
p
x2 + y 2 , 1 ¬ z ¬ 2.
61. Całkę potrójną z funkcji g(x, y, z) po obszarze U zamienić na całki iterowane, jeżeli U jest ograniczony powierzchniami o podanych równaniach:
p
p
(a) z = 2 x2 + y 2 , z = 6;
(b) x2 + y 2 + z 2 = 25, z = 4, (z ­ 4);
(c) z = x2 + y 2 , z = 20 − x2 − y 2 .
* 62. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania:
√ 2 2
4−x −y
3−3x− 23 y
2−2x
Z
Z
Z2
Z0
Z1
Z
f (x, y, z) dz;
(b)
dx
dy
f (x, y, z) dz;
(a)
dx
dy
√
√
0
−2
2
0
0
2
2
− 4−x
(c)
√
√
Z3
dz
Zz
dx
√
0
− z
√
Zz−x2
f (x, y, z) dy;
(d)
Z1
0
− z−x2
dx
−
√
Z1−x2
dy
0
Z1
4−x −y
f (x, y, z) dz.
x2 +y 2
63. Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach:
(a) g(x, y, z) = ex+y+z , U : x ¬ 0, −x ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ −x;
(b) g(x, y, z) =
1
, U : x ­ 0, y ­ 0, 0 ¬ z ¬ 1−x−y;
(3x+2y +z +1)4
(c) g(x, y, z) = x2 + y 2 , U : x2 + y 2 ¬ 4, 1 − x ¬ z ¬ 2 − x;
(d) g(x, y, z) = x2 y 2 , U : 0 ¬ x ¬ y ¬ z ¬ 1.
* 64. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne:
ZZZ
(a)
x(x + y)2 (x + y + z)3 dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez płaszczyzny: x = 0, x = 1, x + y = 1,
U
x + y = 2, x + y + z = 2, x + y + z = 3;
ZZZ 2
y
dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez powierzchnie: y = x, y = 2x, xy = 1, xy = 4, z = y +2,
(b)
x
U
z = y + 3, x > 0;
ZZZ
x2 + y 2 dxdydz, U jest torusem, tj. bryłą powstałą z obrotu wokół osi Oz koła (x − R)2 + z 2 ¬ r2 ,
(c*)
U
y = 0, 0 < r ¬ R.
Lista 11
65. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach:
ZZZ
2
x2 + y 2 + z 2 dxdydz, U : x2 + y 2 ¬ 4, 0 ¬ z ¬ 1;
(a)
U
(b)
ZZZ
(c)
ZZZ
U
(d)
U
ZZ
Z
xyz dxdydz, U :
p
p
x2 + y 2 ¬ z ¬ 1 − x2 − y 2 ;
x2 + y 2 dxdydz, U : x2 + y 2 + z 2 ¬ R2 , x2 + y 2 + z 2 ¬ 2Rz;
(x + y + z) dxdydz, U : x2 + y 2 ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − x − y.
U
66. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach:
ZZZ
dxdydz
p
(a)
, U : 4 ¬ x2 + y 2 + z 2 ¬ 9;
x2 + y 2 + z 2
U
ZZ
Z
p
p
x2 + y 2 dxdydz, U : x2 + y 2 ¬ z ¬ 1 − x2 − y 2 ;
(b)
U
(c)
ZZZ
z 2 dxdydz, U : x2 + y 2 + (z − R)2 ¬ R2 (R > 0);
U
8
(d)
ZZZ
x2 dxdydz, U : x2 + y 2 + z 2 ¬ 4x.
U
67. Obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:
(a) x2 + y 2 = 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;
(b) x = −1, x = 2, z = 4 − y 2 , z = 2 + y 2 ;
1
, z = 0, x2 + y 2 = 1;
1 + x2 + y 2
(c) z =
(d) x2 + y 2 + z 2 = 2, y = 1 (y ­ 1).
68. Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
(a) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], γ(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;
(b) U : x2 + y 2 + z 2 ¬ 9, γ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
69. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
(a) U : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;
p
(c) U : x2 + y 2 ¬ z ¬ 2 − x2 − y 2 .
70. Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M :
(a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
(c) kula o promieniu R, względem osi symetrii.
Lista
12
71. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace’a funkcji:
(a) 2t − 1;
(b) sin 2t;
(c) t2 ;
(d) te−t ;
y
(g)
(e) e2t cos 2t;
y
(h)
y = f (t)
(f) sinh t;
y
(i)
y = g(t)
1
y = h(t)
1
1
t
1
1
t
2
1
t
72. Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace’a mają postać:
1
s
1
(a)
;
(b) 2
;
(c) 2
;
s+2
s + 4s + 5
s − 4s + 3
s+2
s2 + 1
s+9
(d)
;
(e)
;
;
(f) 2
2
2
2
2
(s + 1)(s − 2) (s + 4)
s + 6s + 13
s (s − 1)
(g)
s3
2s + 3
;
+ 4s2 + 5s
(h)
3s2
2;
(i)
(s3 − 1)
e−s
.
s+1
73. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach:
(a) y ′ − y = 1, y(0) = 1;
(b) y ′ − 2y = sin t, y(0) = 0;
(c) y ′′ + y ′ = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 1;
(d) y ′′ + 3y ′ = e−3t , y(0) = 0, y ′ (0) = −1;
(e) y ′′ − 2y ′ + 2y = sin t, y(0) = 0, y ′ (0) = 1;
(f) y ′′ − 2y ′ + y = 1 + t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0;
(g) y ′′ + 4y ′ + 4y = t2 , y(0) = 0, y ′ (0) = 0;
(h) y ′′ + 4y ′ + 13y = te−t , y(0) = 0, y ′ (0) = 2.
* 74. Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a obliczyć transformaty funkcji:
(a) sin4 t;
t
(e) te cos t;
(b) cos 4t cos 2t;
3t
2
(f) e sin t;
(c) t2 cos t;
(d) t sinh 3t;
(g) 1(t − 2) sin(t − 2);
(h) 1(t − 1)et−1 .
9
* 75. Obliczyć sploty par funkcji:
(a) f (t) = et , g(t) = e2t ;
(b) f (t) = cos 3t, g(t) = cos t;
(c) f (t) = 1(t), g(t) = sin t;
(d) f (t) = et , g(t) = t.
* 76. Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami:
1
1
1
s
(a)
; (b)
; (c) 2 2
; (d)
2.
2
(s + 1)(s + 2)
(s − 1)2 (s + 2)
s (s + 1)
(s + 1)
Lista 13
77. Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji:

π
(

 cos t dla |t| ¬ ,
sin t dla |t| ¬ π,
2
(a) f (t) =
(b) f (t) =
π

0
dla |t| > π;
 0
dla |t| > ;
2
(
2
t dla |t| ¬ 1,
(d) f (t) =
(e) f (t) = e−|t| ;
0 dla |t| > 1;
r
Z∞
π
−at2
.
Wskazówka. (f*) Wykorzystać równość
e
dt =
a
(c) f (t) =
(
t
0
dla |x| ¬ 1,
dla |x| > 1;
2
(f*) f (t) = e−at , a 6= 0.
−∞
78. Niech c, h ∈ R oraz δ > 0. Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji
y
h
c
c−
δ
2
c+
t
δ
2
79. Pokazać, że jeżeli F {f (t)} = fˆ(ω), to:
i
i
1 hˆ
1 hˆ
f (ω − α) + fˆ(ω + α) ; (b) F {f (t) sin αt} =
f (ω − α) − fˆ(ω + α) .
(a) F {f (t) cos αt} =
2
2i
80. Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty funkcji:
(a) f (t) = e−3|t−1| ;
(
t
cos
dla
(d) f (t) =
2
0
dla
(b) f (t) = te−|t| ;
(
2 cos t
(e) f (t) =
0
|t| ¬ π,
|t| > π;
2
(c) f (t) = e−4t
dla
dla
t
(g) f (t) = 1(t) · e−t cos t;
(h) f (t) = e−|t| cos ;
2
0 dla t < 0,
Uwaga. 1(t) =
– funkcja Heaviside’a.
1 dla t ­ 0
|t| ¬ π,
−4t−1
;
(f) f (t) = [1(t) − 1(t − 4)] · t;
|t| > π;
(i) f (t) = e−|t| sin 2t.
* 81. Korzystając z zadania 80 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji:
(b)
(a)
y
y
2
2
−2
2
t
−2 −1
1
t
2
* 82. W obwodzie RLC, napięcie x(t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym (rys.).
+
+
x(t)
−
R
L
C
y(t)
−
Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t).
′′
′′′
83. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji t2 f (t) + 2f (t), jeżeli fˆ(ω) =
10
1
.
1 + ω2
84. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać:
(a)
1
;
1 + 2iω
(b)
1
;
4 + ω2
(c)
e2iω
;
1 + iω
(e)
sin ω cos ω
;
2ω
(f)
1
(1 +
ω 2 ) (4
+ ω2)
;
85. Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera:
(a) f (t) = g(t) = 1(t) − 1(t − 1),
(b) f (t) = 1(t) − 1(t − 1), g(t) = 1(t + 1) − 1(t),
2
(c) f (t) = 1(t) · e−t , g(t) = 1(t) · e−2t ,
(d) f (t) = g(t) = e−t .
Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów
W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia (podać założenia i tezę), napisać zastosowane
wzory ogólne (z wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z
pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane.
I kolokwium
Zestaw A
Z∞ √
1. Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju
3−x dx.
0
2. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n2n + 1
.
n3n + 1
n=1
3. Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
(x + 5)n
√
.
n+2
n=0
4. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif (x, y) = arc sin
przecięcia z osią Oz.
1
+ x2 − y
2
w punkcie jego
Zestaw B
Z∞ √ 2
x + 1 dx
1. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej
.
x3 + 1
2
2. Uzasadnić zbieżność szeregu
∞
X
(−1)n
n=2
2
ln(n + 1)
.
n
x
rozwinąć w szereg Maclaurina. Podać wraz z uzasadnieniem przedział zbieżności.
1 + 4x
√
4. Narysować dziedzinę funkcji f (x, y) = y − x · ln 9 − x2 − y 2 i obliczyć jej pochodne cząstkowe pierwszego
rzędu.
3. Funkcję f (x) =
Zestaw C
1. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej drugiego rodzaju
Z1
(x + 1) dx
√
√ .
x (1 + x)
0
2. Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu
3. Napisać rozwinięcie funkcji f (x) =
∞
X
arc tg 2n
.
4n2 + 1
n=1
e2x + 1
w szereg Maclaurina, a następnie obliczyć f (101) (0).
e3x
4. Napisać równanie płaszczyny stycznej do powierzchni (x + 2)2 + (y − 3)2 + z 2 = 6 w punkcie (0, 2, −1).
11
Zestaw D
√
n+1
.
1. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu
(−1)
n
n=1
∞
X
n
1
oraz jej pochodną f ′ (x) rozwinąć w szeregi Maclaurina i podać promienie ich
+1
∞
X
n
(−1)n n .
zbieżności. Następnie obliczyć sumę szeregu
4
n=1
2
3. Na powierzchni z = y ln 1 + x + y znaleźć taki punkt, aby płaszczyzna styczna do tej powierzchni w tym
punkcie była równoległa do płaszczyzny z − y ln 2 = 0.
√
x
4. Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f (x) =
w kierunku wersora
y
√
√
2/2, 2/2 przyjmuje wartość 0.
2. Funkcję f (x) =
4x2
II kolokwium
Zestaw A
1. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = x2 − y e2y−x w punkcie (x0 , y0 ) = (1, 1) w kierunku
wersora tworzącego kąt α = π/3 z dodatnią częścią osi Ox.
2. Znaleźć wszystkie ekstrema funkcji f (x, y) =
x y+1
+ √ .
y
x
3. Jednorodna figura składa się z kwadratu o boku 2 i dołączonego do niego półkola o promieniu 1. Wyznaczyć
położenie środka masy tej figury.
4. Obliczyć objętośc bryły U ograniczonej powierzchniami:
p
x2 + y 2 = 1, z = x2 + y 2 − 3, z = 5 − x2 + y 2 .
Zestaw B
1. Znaleźć wartości najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = x2 − y 2 w trójkącie
T = (x, y) ∈ R2 : x ­ 1, y ­ 1, x + y ¬ 4 .
2. Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a. Obliczyć moment bezwładności płytki względem jej osi symetrii.
ZZ
y dxdy
3. Obliczyć całkę
, gdzie D = (x, y) ∈ R2 : 1 ¬ x2 + y 2 ¬ 9, y ¬ 0 .
3
(x2 + y 2 )
D
4. Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji f (t) = e−t .
Zestaw C
1. Uzasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V , sześcian ma najmniejsze pole powierzchni
całkowitej.
2. Zmienić kolejność całkowania w całce
Z2
0
dy
−2+
Z1
f (x, y) dx. Naszkicować obszar całkowania.
√
2y−y 2
3. Obliczyć całkę z funkcji f (x, y, z) = z po obszarze V ograniczonym płaszczyznami x + y = 1, x + y = 2,
x = 0, y = 0, z = 0, z = 1. Naszkicować obszar V .
4. Rozwiązać równanie różniczkowe y ′′ + 2y ′ + 5y = −5 z zerowymi warunkami początkowymi.
12
Zestaw D
y
spełnia warunek x2 zxx + 2xyzxy + y 2 zyy = 0, gdzie x, y > 0.
x
2. Całkę podwójną z funkcji f (x, y), po obszarze D ograniczonym krzywymi y = 2 − x2 , x = |y|, y = −2
zamienić na całki iterowane na dwa sposoby. Narysować obszar D.
1. Sprawdzić, że funkcja z = arc tg
3. Obliczyć pole części powierzchni sfery x2 + y 2 + z 2 = 3 leżącej wewnątrz paraboloidy 2z = x2 + y 2 . Sporządzić
rysunek.
4. Obliczyć całkę potrójną z funkcji f (x, y, z) = x po obszarze V : x2 + y 2 + z 2 ¬ 16, x ­ 0, y ¬ 0, z ­ 0.
Sporządzić rysunek. Zastosować współrzędne sferyczne.
Egzamin podstawowy
Zestaw A
1. Obliczyć całkę niewłaściwą
Z∞
0
e−x dx
√
.
1 + e−x
2. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
3n (x − 2)n
√
.
n+1
n=0
√
y
8
3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y x + √ + 2 .
x y
p
p
4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:z = 25 − (x2 + y 2 ), z = 1 + x2 + y 2 .
5. Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku 2 i dołączonego do niego półkola o promieniu
1. Wyznaczyć położenie środka masy tej figury.
6. Znaleźć przekształcenie Laplace’a funkcji f (t) = t − 1.
Zestaw B
1. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach
9 1 2
x + y2 .
z = x2 + y 2 , z = +
2 2
Sporządzić rysunek.
2. Znaleźć wszystkie ekstrema funkcji f (x, y) = x + y 2 − 2 ln(xy).
3. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce
Z16
1
4. Zbadać zbieżność szeregu
dx
log
Z2x
f (x, y) dy.
log 4 x
∞
X
(n!)2
.
(2n)!
n=1
5. Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu 4, z którego boku wycięto półkole o promieniu 1. Wyznaczyć
położenie środka masy tej figury.
6. Metodą transformaty Laplace’a rozwiązać zagadnienie początkowe y ′ + 2y = et , y(0) = −1.
Egzamin poprawkowy
Zestaw A
1. Obliczyć całkę niewłaściwą
Z∞
x dx
.
x4 + 1
1
2. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
5n + 3n
.
n!
n=1
3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = e3−y + ex + ey−x .
13
4. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej
Z1
dx
2
2+x
Z
f (x, y) dy.
√
0
x
5. Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym
R.
6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach: x2 + y 2 = 1, z = 4 − x2 + y 2 , z = 2.
Zestaw B
1. Obliczyć całkę niewłaściwą
Z∞
2
2. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
dx
.
x2 − x
arc ctg n.
n=1
√
4
.
3. Znaleźć wszystkie ekstrema funkcji f (x, y) = (y + 2) x +
xy
4. Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce
Z12
−1
dx
2
xZ
−2x
f (x, y) dy.
|x|−3
5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach
1p 2
1 2
z=
x + y2 .
x + y2, z = 6 −
2
4
Sporządzić rysunek.
p
6. Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) = y 3 + 1 − x2 y 2 w punkcie jego przecięcia
z osią Oy.
Egzamin na ocenę celującą
Zestaw z 2013 r.
1. Jednorodna bryła jest ograniczona paraboloidą z = a x2 + y 2 (a > 0) oraz płaszczyzną z = 1 (rysunek).
Dla jakich wartości parametru a bryła ta, dowolnie położona na boku, powróci do stanu z pionową osią
symetrii, czyli będzie wańką-wstańką
2. Przekątne czworokąta wypukłego mają długość p i q oraz są prostopadłe. W jakim stosunku powinny się one
przecinać, aby obwód czworokąta był najmniejszy?
3. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n=2
2−
n
√
n
n .
4. Niech [a, b], [c, d] będą przedziałami w R. Pokazać, że jeżeli dla dowolnego wielomianu W stopnia 2013 zachodzi równość
Zb
Zd
W (x) dx = W (x) dx,
a
c
to [a, b] = [c, d].
14
Zestaw A z 2014 r.
1. Samochód firmy Google z kamerą do fotografowania otoczenia jedzie drogą (oś Ox). Równolegle do drogi, w
odległości 1, stoi reklama o długości 1.
Reklama
1
αn
1
2
n
x
Kamera
Niech αn (n ∈ N) oznacza kąt widzenia reklamy w chwili, gdy kamera jest w punkcie n drogi. Uzasadnić, że
∞
X
szereg
αn jest zbieżny i wyznaczyć jego sumę.
n=1
2. Pokazać, że funkcja f (x, y) = y 2 + x2 (1 + y)3 ma tylko jeden punkt stacjonarny, a w nim – minimum lokalne
właściwe, ale w R2 nie przyjmuje wartości najmniejszej.
π
3. Obliczyć całkę
Z2
0
√
dϕ
4 .
√
sin ϕ + cos ϕ
4. Jednorodny czworościan foremny o masie M ma krawędź a. Obliczyć moment bezwładności czworościanu
względem prostej zawierającej jego wysokość.
Zestaw B z 2014 r.
1. Symbol {x} oznacza część ułamkową liczby x, tj. {x} = x − ⌊x⌋ . Zbadać zbieżność szeregu:
∞
X
{log5 (3n + 4n + 5n )} .
n=1
2. Wjazd na parking położony na wysokości h ma kształt powierzchni śrubowej, która przebiega między walcami
o promieniach r i R (r < R) (rysunek). Obliczyć pole tej drogi.
z
y
r
h
R
x
3. Zbadać zbieżność całki
Z∞
3
5x dx
.
2 x4
0
4. Pokazać, że ze wzorów
x1 + x2 + . . . + xn
y1 + y2 + . . . + yn
, yC =
(n ­ 3)
n
n
można wyznaczyć współrzędne środka masy dowolnego jednorodnego n-kąta wypukłego z wierzchołkami
(x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , . . . (xn , yn ) tylko dla n = 3.
xC =
15