1 Indukcja matematyczna. Ciagi.

1
Indukcja matematyczna. Cia̧gi.
Przygotowala Izabela Wardach
1
Indukcja matematyczna
Jest to metoda dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych. Niech Tn oznacza twierdzenie
dotycza̧ce liczby naturalnej n. Metoda ta opiera siȩ na nastȩpuja̧cej zasadzie:
Zasada indukcji matematycznej:
1. sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n=1,
2. zakladamy prawdziwość twierdzenia dla n=k
teza → zalożenie indukcyjne,
3. z powyższego powinna wynikać prawdziwość twierdzenia dla n=k+1
dowód indukcyjny
Niech k ∈ N ∪ {0}. Symbol k! (czyt. k silnia) definiujemy nastȩpuja̧co:
0! = 1, 1! = 1, k! = 1 · 2 · 3 · 4 · ... · k, k ≥ 2
(1)
n
Symbol Newtona k (czyt. n nad k lub n po k) definiujemy nastȩpuja̧co:
n
n
n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)
= 1,
=
, k≥1
0
k
k!
Symbole Newtona spelniaja̧ warunek:
n
n
n+1
+
=
k
k+1
k+1
(2)
(3)
Jeeli n ∈ C i n ≥ k to
oraz
n
n!
=
k
k!(n − k)!
n
n
=
k
n−k
(4)
(5)
Wartości symboli Newtona możemy ustawić w nastȩpuja̧c{a tabelȩ - trójka̧t Pascala:
0
0
1
1
0 2 1 2 2
0
3 1 3 2 3
3
0
1
2
3
......................................
.........................................
1
na podstawie:
1. W.Leksiński, B.Macukow, W. Żakowski Matematyka dla maturzystów - definicje, twierdzenia, wzory,
przyklady, WNT, Warszawa 1994.
2. W.Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,
Warszawa 1994.
1
Ponieważ
n
0
= 1 oraz
n
n
= 1, dla n ∈ N ∪ 0 ,
wiȩc wszystkie wyrazy skrajne w tyn trójka̧cie sa równe 1. Ponadto, zgodnie z 2, ka].zdy z
pozostalych wyrazów tr’ójka̧ta Pascala jest suma̧ najbliższych dwóch wyrazów znajduja̧cych
siȩ nad nim. Dziȩki temu latwo odtwożyć z pamiȩci:
1
1
1
1
2
1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
.............................
Każda̧ naturalna̧ potȩgȩ dwumianu (a+b) można wyrazić w postaci wzoru dwumianowego
Newtona:
n n n
n n−1
n n−2 2
n n X n n−k k
n
(a + b) =
a +
a
b+
a
b + ... +
b =
a
b
(6)
0
1
2
n
k
k=0
CIA̧GI:
Cia̧giem nieskończonym nazywamy funkcjȩ f , która odwzorowuje zbiór N liczb naturalnych w pewien niepusty zbiór Y .
V
Cia̧g (an ) jest rosna̧cy ⇔ n∈N an+1 > an
Cia̧g (an ) jest maleja̧cy ⇔
V
n∈N
Cia̧g (an ) jest nierosna̧cy ⇔
V
Cia̧g (an ) jest niemaleja̧cy ⇔
Cia̧g (an ) jest ograniczony ⇔
W
M
an+1 < an
n∈N
V
an+1n
n∈N
V
n∈N
an+1n
|an | < M
Cia̧giem arytmetycznym nazywamy cia̧g liczbowy, dla którego spelnoiny jest warunek:
an+1 = an − r czyli an = a1 + (n − 1)r
Liczbȩ r nazywamy różnia̧ cia̧gu artymetycznego. Cia̧g artymetyczny jest rosna̧cy jeżeli
r > 0 a maleja̧cy jeżeli r < 0. Każdy środkowy wyraz (z wyja̧tkiem pierwszego i ostatniego)
jest średnia̧ arytmetyczna̧ wyrazów sa̧siednich:
an =
an+1 +an−1
2
Wzór na sumȩ n pocza̧tkowych wyrazów cia̧gu arytmetycznego:
Sn =
a1 +an
2 n
Cia̧giem geometrycznym nazywamy cia̧g liczbowy, dla którego spelnoiny jest warunek:
an+1 = an · q czyli an = an−1
1
2
Liczbȩ q nazywamy ilorazem cia̧gu geometycznego. Każdy środkowy wyraz (z wyja̧tkiem
pierwszego i ostatniego) spelnia warunek:
a2n = an+1 · an−1
Wzór na sumȩ n pocza̧tkowych wyrazów cia̧gu arytmetycznego:
Sn = a1 ·
1−q n
1−q
dla q 6= 1
Sn = n · a1 dla q = 1
Granica cia̧gu nieskończonego.
Liczbȩ g nazywamy granica̧ cia̧gu nieskończonego, jeżeli prawie wszystkie wyrazy tego cia̧gu
leża̧ w otoczeniu liczby g:
V
W V
lim an = g ⇔ >0 δ n>δ |an − g| <
x→∞
epsilon Cia̧g, który posiada granicȩ nazywamy zbieżnym, a ten, kóry jej nie posiada rozbieżnym.
Twierdzenia o dzialaniach na granicach cia̧gów:
Jeżeli lim an = a i lim bn = b, to:
x→∞
x→∞
lim (an + bn ) = a + b
x→∞
lim (an − bn ) = a − b
x→∞
lim (k · an ) = k · a
x→∞
lim (an bn ) = ab
x→∞
Jeżeli ponadto b 6= 0, oraz bn 6= 0, to:
lim an
x→∞ bn
=
lim 1
x→∞ n
=0
a
b
Zachodza̧ równości :
lim C = C, C-stala
x→∞
lim
√
n
lim
√
n
x→∞
x→∞
a=1
n=1
Liczba e jako granica cia̧gu:
lim 1 +
x→∞
1 n
n
=e
Twierdzenie o trzech cia̧gach:
Jeżeli lim an = lim cn = g oraz an ≤ bn ≤ cn , to:
x→∞
x→∞
lim bn = g
x→∞
3
Twierdzenie:
Jeżeli lim an = 0 oraz cia̧g bn jest ograniczony, to:
x→∞
lim an bn = 0
x→∞
Szereg geometryczny:
Niech dany bȩdzie nieskończony cia̧g geometryczny:
a1 , a1 q, a1 q 2 , ...a1 q n−1 , ...
Cia̧g Sn o wyrazach:
S1 = a1 , S2 = a1 + a1 q, ..., Sn = a1 + a1q + a1 q 2 + ... + a1 q n−1 ,...
nazywamy cia̧giem sum czȩściowych nieskończonego cia̧gu geometrycznego lub szeregiem
geometrycznym. Gdy cia̧g ten ma granice S, to jest to suma szeregu geometrycznego i
szereg ten jest wówczas zbieżny.
Twierdzenie: Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy |q| < 1 lub a1 = 0 i wówczas
S = 0, gdy a1 = 0
S=
a1
1−q
dla |q| < 1
natomiast jest rozbieżny, gdy |q| ≥ 1 i a 6= 0.
4