c) ( ) x d) ( ) x ( )3 c) ( ) 3 x f) ( ) ( ) x e) ( ) xx

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF
9. Funkcje (badanie funkcji)
1. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji
sin 2 x
a) f ( x ) = 2 x 3 − 15x 2 + 36 x − 14 ;
e) f ( x ) = sin x +
;
2
x
b) f ( x ) = 2
;
f) f ( x ) = x − 3 x ;
x +4
c) f ( x ) = x x ;
g) f ( x ) = e x sin x .
1
x
d) f ( x ) = x ;
2. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych funkcji
a) f ( x ) = x 4 − 6 x 2 − 6 x + 1 ;
d) f ( x ) = sin 2 x ;
x2
b) f ( x ) =
;
(x − 1)3
c) f ( x ) = e
3
x
e) f ( x ) = x 2 ln x ;
f) f ( x ) = (1 + x 2 )e x .
;
3. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji a następnie sporządzić ich wykresy
x
a) f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 4 ;
d) f ( x ) =
;
1 − x2
ln x
b) f ( x ) =
;
e) f (x ) = x ln x ;
x
2
c) f ( x ) = e − x ;
f) f ( x ) = x 2 e − x .
4. Rozwiąż zadania
a) Pod jakim kątem powinien być nachylony płaski dach przykrywający dom o ustalonej
szerokości, aby krople deszczu spływały po nim najszybciej? ( α = π 4 )
b) W którym miejscu na linii bocznej boiska trzeba ustawić piłkę, aby szansa trafienia nią do
bramki była największa? Przyjąć, że szansa trafienia jest największa, gdy kąt widzenia bramki
jest największy. Szerokość boiska wynosi a = 64m , a szerokość bramki b = 7m . ( x = 31.8m )
c) W kulę o promieniu R wpisano walec o największej objętości. Znaleźć wymiary tego walca.
d) Dwa samochody poruszają się ze stałymi szybkościami v1 = 120 km/h , v 2 = 80 km/h po
autostradach przecinających się pod kątem prostym. Położenia początkowe samochodów
wynoszą d1 = 50 km i d 2 = 20 km (d – odległość samochodu od osi jezdni, po której porusza
się drugie auto). Kiedy odległość między samochodami będzie najmniejsza? ( t = 0.36 h )