2014.04.24 - Wiedza, logika i informacja

Paradoksy prawdopodobieństwa
24.04.14
Paradoksu dwu kopert, c.d. na podstawie artykułu Horgana
Dystynkcja de re / de dicto
v
( n) [n = 1/2 (aktualna wielkość M)
p (O zawiera n) = 1/2]
E
wyrażenie “aktualna wielkość M” jest poza zasięgiem operatora prawdopodobieństwa p. W tym przypadku
wyrażenie “aktualna wielkość M” występuje de re.
p (O zawiera 1/2 (aktualna wielkość w M) = 1/2
Zasięg operatora p jest szerszy i mamy do czynienia z wystąpieniem wyrażenia “aktualna wielkość z M” de
dicto.
Epistemiczne prawdopodobieństwa mają charakter intensjonalny - zasadnicza teza artykułu Horgana.
Charakter intensjonalny tych prawdopodobieństw przejawia się w tym, że konteksty zdaniowe tworzone
przez operatory epistemicznego prawdop-stwa nie dopuszczają nieograniczonego zastępowania
terminów jednostkowych o tej samej denotacji salva veritate.
10
Jaś jest przekonany, że w tym koszu mamy 1024 jabłka. - zdanie prawdziwe
10
Jaś jest przekonany, że w tym koszu mamy 2 jabłek. - zdanie fałszywe
I.
P (M zawiera aktualną wielkość jaka jest z M) = 1 = zdanie prawdziwe
[
[
1024 = 2
aktualna wielkość z M = 16 - agent nie wie, jaka w rzeczywistości ilość pieniędzy znajduje się w
kopercie
P (M zawiera 16) = 1 = zdanie fałszywe
II.
P ( O zawiera 1/2 (aktualna wielkość w M)) = 1/2 = zdanie prawdziwe
P (O zawiera 8) = 1/2 zdanie fałszywe
Dystynkcja: kanoniczne / niekanoniczne terminy jednostkowe. Mogą być podstawione za zmienne kwantyfikowane i zasadniczo są niepuste.
W przypadku paradoksu 2 kopert takimi kanonicznymi terminami są liczebniki: 2, 4, 5, ...
Tym samym wyrażenie “aktualna wielkość w M” nie jest kanonicznym terminem jednostkowym w sytuacji,
gdy denotacja tego terminu nie jest znana.
Dystynkcja: standardowe / niestandardowe pojęcie użyteczności oczekiwanej.
Standardowa użyteczność oczekiwana odwołuje się do kanonicznych terminów na oznaczenie stanów,
wyników, pożądań, natomiast niestandardowa użyteczność oczekiwana korzysta z niekanonicznych
terminów.
Diagnoza Paradoksu 2 kopert postawiona przez Horgana: Niestandardowo sformułowane pojęcie
wartości oczekiwanej nie musi wymagać maksymalizacji. Inaczej: założenie, że niestandardowe pojęcie
użyteczności oczekiwanej wymaga maksymalizacji jest błędnym założeniem normatywnym.
Mind 2013, Lee
Wyróżnia 2 warianty Paradoksu 2 kopert:
I. symetryczny
II. asymetryczny
Ad I. Posiadamy prawdziwą informację, że pewna liczba n została losowo wybrana najpierw, natomiast
później albo n (pieniędzy) umieszczono w kopercie A, a 2n - w kopercie B, albo 2n w kopercie A, a n w
kopercie B, uzależniając to od wyniku rzutu rzetelną monetą.
Ad II. Posiadamy prawdziwą informację, że wielkość z kopercie A jest ustalona najpierw, a następnie
wielkość w kopercie B ustalona jest jako podwojenie lub połowa wielkości, jaka jest w A w zależności od
wyniku rzutu (rzetelną) monetą.
I.
An
A 2n
II.
Ax
Ax
B 2n
Bn
B 2x
B 1/2x
Powszechne Przekonanie (Common Belief ) jest takie, że w wariancie asymetrycznym zawsze racjonalna
jest zmiana decyzji z wyboru koperty A na wybór koperty B.
Lee argumentuje za tym, że Powszechne Przekonanie jest fałszywe.
Między innymi Lee argumentuje przeciwko stanowisku Priesta i Restala (2008), którzy wyrażają Powszechne Przekonanie.
Argumentacja Priesta i Restala:
(1) Niech x będzie wielkością w kopercie A
Wtedy mamy 2 równo prawdopodobne możliwości:
albo A zawiera a B zawiera 2x
albo A zawiera x a B zawiera 1/2 x
(2) Stąd warunkowa użyteczność oczekiwana zmiany decyzji na B (pod warunkiem, że A zawiera x) jest 5/4
x, która jest większa niż warunkowa użyteczność oczekiwana pozostania przy A (pod warunkiem, że A
zawiera x), a mianowicie x.
Tym samym, preferowana jest zmiana decyzji.
Jak Lee ustosunkowuje się do argumentacji Priesta i Restala?
Przejście od (2) do konkluzji jest interpretowany przez Lee jako przykład rozumowania, które określa on
jako rozumowanie dominujące (dominance reasoning), które oparte jest na porównywaniu warunkowych
użytecznościach oczekiwanych.
Przykład: opcja zmiany decyzji na B dominuje opcję pozostawania przy A w każdym asymetrycznym przypadku, ponieważ dla każdej wielkości x w A, warunkowa użyteczność oczekiwana zmiany decyzji na B
(pod warunkiem, że A zawiera x) jest 5/4x. Wielkość ta jest większa niż użyteczność wyniku pozostania
przy A, (pod warunkiem, że A zwiera x) a mianowicie x.