Zastosowanie teorii grup. Grupy symetrii w fizyce i chemii.

Zastosowanie teorii grup. Grupy symetrii
w fizyce i chemii.
Katarzyna Kolonko
Streszczenie
Usystematyzowanie grup punktowych, omówienie ich na przykładzie molekuł. Przedstawienie wkładu teorii grup w badanie struktury kryształu na przykładzie minerałów. Zdefiniowanie pojęcia grupy
przestrzennej.
1
Wstęp. Grupy punktowe.
Rozległą klasą grup, które maja ogromne znaczenie w chemii i fizyce,
są grupy symetrii. Grupę symetrii ciała fizycznego tworzą symetrie opisane
przez podanie wszystkich transformacji, które zachowują odległości pomiędzy
wszystkimi parami punktów i doprowadzają je do położenia początkowego.
Grupy te są podstawą usystematyzowania wszystkich możliwych typów symetrii molekuły czy kryształu.
Definicja 1 Kryształ to układ atomów taki, że
∃ε ­0 |k1 − k2 | ­ ε, ki — i-ty atom
oraz jest niezmienniczy względem grupy sieciowej T,
T ={
3
P
ni ti ; ni ∈ Z};
i=1
ti — to trzy liniowo niezależne wektory 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, wektory te nazywa się wektorami bazowymi sieci T.
Dowolny t ∈ T — nosi nazwę wektora prymitywnego.
Definicja 2 Grupa punktowa to skończona podgrupa 3-wymiarowej ortogonalnej grupy obrotów, która przekształca pewną sieć na siebie.
1
Twierdzenie 1 Grupa punktowa może zawierać obroty tylko o następujących krotnościach: 1, 2, 3, 4, 6.
Dowód 1 Niech dana będzie sieć o okresie translacji a, oś symetrii przechodząca przez A i prostopadła do płaszczyzny rysunku. Niech będzie dany kąt ϕ
. Poprzez obrót punkt A przechodzi w C, a B — w D. Ze względu
. ϕ = 2π
n
na symetrię translacji, odległość CD musi być wielokrotnością a.
M a = a + 2a cos(π − ϕ);
1−M
−1 6 cos ϕ =
6 1;
2
więc n = 1, 2, 3, 4, 6
M ∈ Z;
Przecięcie dwóch płaszczyzn odbicia jest osia symetrii.
Jeśli kąt między płaszczyznami wynosi π/n to oś nazywam osią n−krotną.
Niech δ będzie odbiciem względem płaszczyzny;
δh będzie odbiciem względem płaszczyzny prostopadłej do osi o najwyższej
symetrii;
δv będzie odbiciem względem płaszczyzny przechodzącej przez osi o najwyższej symetrii;
δd będzie odbiciem względem płaszczyzny przechodzącej przez osi o najwyższej symetrii i dwusieczną kąta między osiami dwukrotnymi prostopadłymi
do tej osi.
Grupy punktowe dzielą się na dwa rodzaje. Grupy pierwszego rodzaju zawierają tylko jedną oś o najwyższej symetrii. Drugiego rodzaju, to grupy
w których nie istnieje oś, w której symetria jest wyższa niż w pozostałych
osiach. Do grup pierwszego rodzaju należą:
Cn .Jest najprostszą grupą, gdzie jedynym przekształceniem jest n-krotna oś
symetrii. Grupa cykliczna rzędu n.
2
Cnv — zawiera n-krotną oś symetrii i odbicie δv względem płaszczyzny zawierającej oś obrotu. Grupa jest rzędu 2n. Dla n > 2 jest nieabelowa.
Cnh .grupa generowana przez obrót cn i odbicie δh względem płaszczyzny prostopadłej do osi obrotu. Grupa jest rzędu 2n i abelowa.
sn .Przekształceniami są obroty niewłaściwe dookoła osi n-krotnej. Dla n nieparzystych sn i Cnh są równe, więc pozostają: s2 , s4 , s6
Dn .Ggrupa generowana przez cn o pionowej osi rzędu n ­ 2 i obrót o poziomej
osi. Dla n > 2 grupa jest nieabelowa i rzędu 2n. Szczególnym przypadkiem
jest grupa abelowa, której elementami są oprócz I, trzy wzajemnie prostopadłe obroty .
Dnh . Do układu generatorów Dn dołączono odbicia δh . Grupa zawiera: n pionowych obrotów, n poziomych obrotów, n pionowych obrotów niewłaściwych,
n pionowych odbić. Grupa rzędu 4n.
Dnd . Przekształceniami są elementy grupy Dn oraz δd . Rząd grupy jest równy
4n, dla n ­ 2 jest nieabelowa.
Grupy drugiego rodzaju:
Td . Grupa składa się z obrotów i odbić czworościanu foremnego. Rząd 24.
Grupę tę obrazuje np. metan.
T . Grupa otrzymana przez odrzucenie z grupy Td odbić i obrotów niewłaściwych. Rząd równy 12.
Th .Grupa rzędu 24. Th = T × S2 .
Oh .Największa grupa punktowa — liczy 48 elementów. Grupę tę posiada sześciofluorek uranu UF6 .
O — grupa obrotów, która przeprowadza ośmiościan lub sześcian w siebie.
Zawiera 24 elementy.
2
Struktury krystaliczne
Symetria kryształu jest uzależniona od budowy wewnętrznej. Punkt obrany jako początek układu współrzędnych przesuwający się z odległością translacji (przesunięcie w jednym kierunku, o stałą odległość)tworzy prostą sieciową, z których dalej tworzy się płaszczyzna sieciowa, zaś z płaszczyzn —
sieć. Ograniczony przez węzły sieci powtarzający się równoległościan nosi nazwę komórki sieciowej. Komórka elementarna jednoznacznie określa budowe
przestrzenną kryształu. W połowie XIX wieku August Bravais wykazał, że
istnieje dokładnie 14 komórek sieciowych, należących do 7 układów krystalograficznych.
3
Układ regularny. Równoległościan elementarny układu to sześcian. Symetria tego układu jest najwyższa. Przy zwiększaniu się liczby ścian, kształt
kryształu zbliża się do kulistego. Minerałami, które charakteryzuje ten układ,
są sól kamienna, diament, granat. Zawiera klasy geometryczne: Oh , O, T , Th ,
Td .
T
t1 =
a 0 0
t1 =
0 a a
t1 =
−a a a
T
, t2 =
0 a 0
, t2 =
a 0 a
T
, t2 =
T
, t3 =
0 0 a
, t3 =
a a 0
T
a −a a
T
, t3 =
T
T
;
;
a a −a
T
.
Układ jednoskośny. Równoległościanem elementarnym jest słup prosty
o podstawie prostokąta. Krystalizują tak malachit, jadeit. Zawiera klasy geometryczne: C2h , C2 , Ch .
t1 =
a 0 0
t1 =
a b 0
T
T
√
a 3
2
, t2 =
− a2
, t2 =
0 b c
b
T
T
, t3 =
, t3 =
T
0 0 b
0 b −c
T
;
.
Układ trójskośny. Podstawą jest równoległobok. Każda z trzech krawędzi,
które spotykają się w narożu, jest ustawiona skośnie względem pozostałych.
W takim układzie krystalizuje aksynit, turkus, rodonit. Zawiera klasy geometryczne: S2 ,C1 . t1 ,t2 — dowolne.
Układ tetragonalny. Równoległościanem elementarnym jest słup o podstawie kwadratu. W ten sposób krystalizuje się cyrkon, kasyteryt. Zawiera
klasy geometryczne: D4h , D4 , C4v , C4h , D2d , S4 , C4 .
t1 =
t1 =
a 0 0
T
−a a b
, t2 =
T
, t2 =
0 a c
T
, t3 =
a −a b
T
0 0 b
, t3 =
T
;
0 a −b
T
.
Układ rombowy. Równoległościan elementarny to słup prosty o podstawie
prostokąta. W tym układzie krystalizuje się 15% minerałów np. chryzoberyl,
aragonit, zoizyt. Zawiera klasy geometryczne: D2h , D2 , C2v .
t1 =
a 0 0
t1 =
a b 0
T
T
T
, t2 =
0 b 0
, t2 =
a −b 0
4
, t3 =
T
, t3 =
0 0 c
T
0 0 c
;
T
;
T
t1 =
b 0 a
t1 =
−a b c
, t2 =
T
, t2 =
a 0 c
T
a −b c
, t3 =
T
a b 0
, t3 =
T
;
a b −c
T
.
Układ trygonalny. Równoległościan elementarny to romboedr. Krystalizują się w ten sposób: kryształ górski, ametyst. Zawiera klasy geometryczne:
D3d , D3 , C3v , S6 , C3 .
t1 =
a 0 b
T
, t2 =
− a2
√
a 3
2
b
T
, t3 =
√
− a2 − a 2 3 b
T
.
Układ heksagonalny. Równoległościan elementarny to słup prosty o podstawie sześcioboku regularnego. Tak krystalizuje 4% minerałów np. beryl,
korund (szafir, rubin). Zawiera klasy geometryczne: D6h , C6h , D3h , C6v , D6 ,
C3h , C6 .
t1 =
a 0 0
T
, t2 =
− a2
√
a 3
2
5
b
T
, t3 =
0 0 b
T
.
Rysunek 1: Układy: a) regularny: sieć prosta; przestrzennie centrowana; powierzchnowo centrowana; b) jednoskośny: sieć prosta;
z centrowanymi podstawami; c) trójskośny; d) tetragonalny: sieć
prosta; przestrzennie centrowana; e) rombowy: prosty; przestrzennie centrowana; powierzchniowo centrowana; z centrowanymi podstawami; f) romboedryczny i heksagonalny.
Mikroskopijna struktura kryształów związana jest z symetrią ich zewnętrznej, makroskopowej postaci. Przy wzroście kryształu równoległościan elementarny powtarza się wielokrotnie. W 1867 roku Aleks Wilhelmowicz Gadolin
dowiódł, że istnieją dokładnie 32 klasy krystalograficzne. Są to 32 rodzaje
zewnętrznej symetrii kryształów.
Definicja 3 Dwie sieci T1 i T2 należą do tej samej klasy Bravais’ego,jeśli
∃ S ∈ GL(3, R), T2 = ST1 = {St; t ∈ T1 } ∧ PH (T2 ) = SPH (T1 )S −1 ;
gdziePH (T1 ), PH (T2 ) -są holoedrami sieci T1 , T2 ,
PH (Ti ) = {q ∈ O(3); qt ∈ Ti , ∀t ∈ Ti },
i = 1, 2
6
Holoderie interpretuje się jako pełne wykształcenie kryształu. Zachodzi
ono gdy istnieje pełna zgodność symetrii sieci i symetrii jej motywów składowych — cząstek materialnych znajdujących się w węzłach. Klasy te są rozmieszczone nierównomiernie w poszczególnych układach: układ jednoskośny
ma 2 klasy, jednoskośny i rombowy — po 3, tetragonalny i heksagonalny —
po 7, trygonalny i regularny — po 5. Rozkład minerałów w obrębie układów
i klas krystalograficznych jest bardzo nierówny. Na siedem klas o najwyższej
w każdym z układów symetrii przypada 82% minerałów, na pozostałe 25
przypada 18%.
Łącząc działanie wszystkich elementów symetrii kryształu określa się grupę przestrzenną. Grupa przestrzenna kryształu to maksymalna grupa symetrii tego kryształu. Grupę przestrzenną określa się jako zbiór następujących
transformacji.
G = {(t+v(q), q); t ∈ T, q ∈ P, v(I) = 0}, (t+v(q), q)x = qx+t+v(q), x ∈ R3
P — grupa punktowa, v(q) — liniowa kombinacja wektorów sieciowych. Najprostsza grupa składa się z samych translacji. Pozostałe 64 z 65 zawiera
obroty i ruchy śrubowe. 22 grupy są enancjomorficzne. Geometryczny sens
sprowadza się albo do obrotu śrubowego (det q = 1), albo odbicia poślizgowego (det q = −1). Wszystkich klas grup krystalograficznych w przestrzeni
3-wymiarowej jest 230.
Obecnie krystalografowie wykorzystując teorię grup zajmują się krystalicznymi fazami metastabilnymi oraz krystalografią białek i wirusów, z pogranicza żywej i martwej materii.
Literatura
[1] J. Mozrzymas, Zastosowania teorii grup w fizyce, PWN, Warszawa 1977
[2] H. M. S. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa
1967
[3] K. Mathniak, P. Stingl, Teoria grup dla chemików, PWN, Warszawa 1978
[4] F. A. Cotton,Teoria grup zastosowania w chemii, PWN, Warszawa 1973
[5] W. Drabowicz, Zastosowania praktyczne teorii grup w fizyce ciała stałego,
Instytut Chemii Fizycznej PAN, Warszawa 1994
[6] M. Hamermesh, Teoria grup w zastosowaniu do zagadnień fizycznych,
PWN, Warszawa 1968
7
[7] H. Sylwestrzak, Odkrzemienia do piezokwarcu, PWN, Warszawa 2000
[8] M. Sachanbiński, Kamienie szlachetne i ozdobne Śląska, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław 1980
[9] Z. Kleszczewski Fizyka kwantowa, atomowa i ciała stałego, Wydawnictwo
Politechniki Śląskiej, Gliwice 1997
8