Lista 08 - wmiRepo
Transkrypt
Lista 08 - wmiRepo
GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 8 16.5. Na płaszczyźnie występują dwa rodzaje „symetrii” (tj. izometrii będących inwolucjami): ◦ symetria osiowa, która zmienia orientację, i ◦ symetria środkowa, która orientację zachowuje (bo jest obrotem o π). W przestrzeni trójwymiarowej są trzy rodzaje: ◦ symetria płaszczyznowa (zmieniająca orientację), ◦ symetria osiowa (obrót o π) i ◦ symetria środkowa. a) Czy ta ostatnia zachowuje orientację? b) Jak myślisz, ile będzie rodzajów symetrii w przestrzeni czterowymiarowej? (A ile ich było na prostej?) c) A w przestrzeni n-wymiarowej dla jakiegoś dużego n? d) Ile z nich (i które) zachowuje orientację? 16.6. Jak wygląda analog twierdzenia o czterech odbiciach w przestrzeni czterowymiarowej? A n-wymiarowej? 17.1. Czym jest złożenie dwóch symetrii obrotowych w równoległych płaszczyznach? 17.2. Czym jest złożenie dwóch symetrii z poślizgiem w tej samej płaszczyźnie? 17.3. Złożenie pewnych dwóch symetrii (płaszczyznowych) jest a) translacją o wektor (−2, 0, 4); b) obrotem o π/3 wokół osi Oz; c) obrotem o π wokół prostej {(0, 0, 3) + t(0, 2, 1)}. Jakie mogą być równania tych płaszczyzn? Napisz po jednym przykładzie dla każdego podpunktu. 17.4. Podaj przykład pięciu różnych izometrii, których złożenie (wszystkich pięciu, w pewnej kolejności) jest identycznością. 17.5. Niech Z1 i Z2 będą dwoma sześcianami o krawędziach długości 1 i równoległych do osi układu współrzędnych, mającymi jeden wspólny wierzchołek (patrz rysunek). Opisz możliwie dużo izometrii przekształcających Z1 na Z2 . 17.6. Zauważ, że: a) symetria obrotowa z kątem obrotu π jest symetrią środkową (gdzie ma środek?); b) złożenie obrotów wokół tej samej osi jest obrotem wokół tej samej osi o kąt równy sumie odpowiednich kątów obrotu. Wywnioskuj z tego, że każdą symetrię obrotową można przedstawić jako złożenie symetrii środkowej i obrotu.