metoda Newtona (stycznych) Metoda Newtona (stycznych)

Metody Numeryczne
Laboratorium 3
Iteracje dla równań nieliniowych - metoda Newtona (stycznych)
Metoda Newtona (stycznych) jest metoda̧ obliczania zer funkcji , polegaja̧ca̧ na startowaniu z pewnego przybliżenia pocza̧tkowego x0 i w kolejnych krokach metody - znajdowaniu k − tego przybliżenia xk , które jest punktem przeciȩcia stycznej do wykresu funkcji
f w punkcie (xk−1 , yk−1 ). Ponieważ równanie stycznej do krzywej w punkcie (xk−1 , yk−1 )
jest postaci:
y(x) = f (xk−1 ) + f 0 (xk−1 )(x − xk−1 ),
otrzymujemy wiȩc wzór:
xk = xk−1 −
f (xk−1 )
.
f 0 (xk−1 )
Aby metoda Newtona była dobrze zdefiniowana musimy założyć, że f 0 (xk−1 ) 6= 0.
Bła̧d w k − tej iteracji metody Newtona:
x∗ − xk = x∗ − xk−1 +
f (xk−1 )
.
f 0 (xk−1 )
Ze wzoru Taylora
f (x∗ ) ≈ f (xk−1 ) + (x∗ − xk−1 )f 0 (xk−1 ) +
(x∗ − xk−1 )2 00
f (ξk−1 ).
2
gdzie punkt ξk−1 ∈ (xk−1 , x∗ ).
f (x∗ ) = 0, f (xk−1 ) = 0, oraz zakładaja̧c, że f 0 (x∗ ) 6= 0 i wyznaczaja̧c x∗ − xk−1 z ostatniego równania i wstawiaja̧c do równania na bła̧d metody w k − tej iteracji otrzymujemy:
x∗ − xk = −
(x∗ − xk−1 )2 00
f (ξk−1 ).
2f 0 (xk−1 )
Z równania tego wynika, że zbieżność metody Newtona jest kwadratowa. Metoda
Newtona jest wiȩc metoda̧ iteracyjna̧, która dla zer jednokrotnych jest zbieżna szybciej
niż liniowo.
1
Zadania
1. Proszȩ wyprowadzić wzór na k-te przybliżenie metody Newtona.
2. Proszȩ udowodnić równość na bła̧d metody Newtona w k-tej iteracji.
3. Proszȩ napisać w OCTAVE program N ewton(f, df, x0, blad) realizuja̧cy metodȩ
Newtona rozwia̧zywania równań nieliniowych.
Uwaga. To zadanie wykonuja̧ wszyscy studenci.
4.Proszȩ rozwia̧zać poniższe równania stosuja̧c program Newton.m :
a) x5 − 3x3 − x − 4 = 0, x0 = 0.
b) 3x3 − x + 4 = 0, x0 = −1.
c) x3 − x2 + ex = 0, x0 = −1.
d) ex + x sin(x) = 0, x0 = 0.
5.Proszȩ rozwia̧zać powyższe równania, stosuja̧c instrukcjȩ wewnȩtrzna̧ OCTAVE
fzero( ) i porównać otrzymane wyniki z wynikami z zadania 4.
6.Proszȩ obliczyć wartość
√
5 startuja̧c z punktu x0 = 5.
7.Proszȩ sprawdzić, że funkcja f (x) = x2 sin(x) + 2x − 3 ma dokładnie jedno miejsce
zerowe w przedziale (0, 2) i znaleźć to miejsce z dokładnościa̧ nie wiȩksza̧ niż 10−5 .
8.Proszȩ sprawdzić, że funkcja f (x) = x4 − 5x3 + 22
x2 − 116
x + 89 ma miejsca zerowe: α1
3
27
w przedziale (0, 1), i α2 w przedziale (1, 4). oraz znaleźć te miejsca metoda̧ bisekcji.
9.Proszȩ wykonać w OCTAVE za pomoca̧ instrukcji wewnȩtrznej plot( ) wykres funkcji
f (x) = tan(x) + tanh(x) = 0 i znaleźć najmniejsze przedziały zawieraja̧ce jej miejsca
zerowe. Stosuja̧c metodȩ bisekcji proszȩ znaleźć te miejsca z dokładnościa̧ ε = .01.
10.Wymiary nóg rozkładanego na piknik stołu spełniaja̧ równanie:
w sin(θ) − h cos(θ) − b = 0, gdzie w - szerokość rozłożonych nóg równa 0.8 m, h - wysokość
równa 0.7 m, b -wymiary materiału 0.1 m. Proszȩ znaleźć ka̧t nachylenia nóg stołu θ do
płaszczyzny podłoża.
11.Równanie van der Waals odkryte w roku 1873 przez duńskiego fizyka Johanes Diderik
vander Waals ma postać:
2
P + nV 2a (V − nb) = nRT , gdzie a, b stałe charakterystyczne dla danego gazu sa̧ wyznaczone eksperymentalnie. Na przykład dla tlenu O2 : a = 1.36, b = 0.0318. Proszȩ znaleźć
objȩtość 1 mola O2 , jeżeli n oznacza ilość moli , P ciśnienie w atmosferach, V objȩtość w
litrach, T temperaturȩ w Kelwinach, R = 0.0820 litr ∗ atm ∗ deg −1 ∗ mol−1 − stała̧ gazowa̧
,zaś objȩtość jednego mola gazu idealnego w warunkach normalnych(1atm, 273K) wynosi
2
22.415 litrów.
12.Proszȩ znaleźć objȩtość jednego mola tlenku azotu N2 O. Dla N2 O : a = 3.78, b =
0.0441.
13 Proszȩ znaleźć objȩtość jednego mola dwutlenku siarki SO2 . Dla SO2 : a = 6.71,
b = 0.0564.
14.Proszȩ znaleźć wartość siły F działaja̧cej na wisza̧cy kabel linii telefonicznej, jeżeli dla
danej długości s kabla w metrach i odległości miȩdzy słupami x w metrach, s = F sinh( Fx ).
Proszȩ przyja̧ć s = 100m, x = 97m.
15.Odległość piłki x(t) rzuconej z punktu pocza̧tkowego x0 z prȩdkościa̧ pocza̧tkowa̧ v0
, w zależności od oporu powietrza proporcjonalnego do jej prȩdkości, opisuje równanie:
x(t) = ρ−1 (v0 + vr )(1 − e−ρ∗t ) − vr ∗ t + x0 , gdzie ρ współczynnik oporu powietrza, vr = ρg ,
(g- przyśpieszenie ziemskie)- prȩdkość graniczna.
Proszȩ znaleźć x(t) piłki, przyjmuja̧c dane: x0 = 0, v0 = 20 ms , ρ = 0.35, g = 9.81 sm2 i czas
t = 10s.
16.Proszȩ znaleźć azymut θ okrȩtu, jeżeli 1.732 sin(θ) − cos(θ) + 0.25 = 0.
17.Proszȩ znaleźć natȩżenie Q przepływu cieczy przez rurȩ poła̧czona̧ dwoma rezerwuarami, jeżeli: 12Q3 + 5Q − 40 = 0 i 0 ≤ Q ≤ 2.
18. Proszȩ znaleźć przemieszczenie d układu dwóch sprȩżyn, jeżeli:
√
4( 9 + d2 − 3) −
√
9+d2
d
= 0.
3