FUNKCJA KWADRATOWA

FUNKCJA KWADRATOWA
Funkcję określoną wzorem
gdzie
,i
nazywamy funkcją kwadratową.
Prawą część równości (
) nazywamy trójmianem kwadratowym.
POSTACI FUNKCJI KWADRATOWEJ
Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (w tej ostatniej tylko
wtedy gdy funkcja posiada miejsca zerowe).
Postać ogólna
(
Postać kanoniczna
)
(wyróżnik trójmianu kwadratowego)
Postać iloczynowa
(
: miejsca zerowe,
)
Na podstawie postaci ogólnej możemy wyznaczyć punkt przecięcia paraboli z osią
. Jest to punkt o
współrzędnych
.
Postać kanoniczna umożliwia narysowanie wykresu funkcji (patrz niżej). Ponieważ potrafimy narysować
parabolę o danym współczynniku , której wierzchołek leży w punkcie
, umiemy również
narysować tę samą parabolę, której wierzchołek będzie miał współrzędne
.
Postać iloczynową posiada tylko funkcja kwadratowa, mająca miejsca zerowe. Z postaci iloczynowej
łatwo wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli: (
)).
MIEJSCA ZEROWE FUNKCJI KWADRATOWEJ
Funkcja kwadratowa posiada 2 miejsca zerowe gdy
, wówczas
Funkcja kwadratowa posiada jedno (podwójne) miejsce zerowe gdy
√
,
, wówczas
√
,
,
Funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych gdy
Szukanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej to po prostu rozwiązywanie równania kwadratowego
. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych to po prostu badanie znaku funkcji
kwadratowej.
WYKRES FUNKCJI KWADRATOWEJ
Wykresem funkcji kwadratowej jest krzywa zwana parabolą. Współczynnik
paraboli. Czym większa jest | | tym parabola jest „smuklejsza”. W przypadku
skierowane do góry, dla
w dół.
decyduje o rozwartości
ramiona paraboli są
DZIEDZINA I ZBIÓR WARTOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ
Dziedziną funkcja kwadratowej jest . Zbiór wartości, jak widać z wykresu, to przedział
dla
lub
dla
, gdzie
to współrzędna igrekowa wierzchołka.
Aby narysować wykres funkcji kwadratowej warto obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli oraz (jeśli
funkcja je posiada), miejsc zerowych. Do ich obliczenia niezbędny będzie następujący wzór:
Gdzie
to znany już nam wyróżnik trójmianu kwadratowego
Przykład 1. Rozwiążmy równanie
. Liczymy deltę:
√
, zatem
.
√
,
.
Przykład 2. Rozwiążmy nierówność
(zbadajmy kiedy funkcji kwadratowa
przyjmuje wartości dodatnie). Miejsca zerowe już mamy, parabola będąca wykresem ma ramiona
skierowane do góry, zatem rozwiązaniem nierówności są
.
ZAMIANA POSTACI FUNKCJI KWADRATOWEJ
Zamiana postaci kanonicznej na ogólną nie nastręcza kłopotów. Postać iloczynową (jeśli istnieje)
uzyskujemy znajdując miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Zamianę postaci ogólnej na kanoniczną bez
korzystania z wzorów, prześledzimy na przykładzie:
(
)
(
)
WZORY VIETE’A
Jeśli liczby
i
są pierwiastkami równania kwadratowego
to między pierwiastkami zachodzą zależności, nazywane wzorami Viete’a:
,
Przykład praktycznego zastosowania funkcji kwadratowej. Zbadajmy jaki prostokąt ma największe pole
przy ustalonym obwodzie? Niech obwód prostokąta wynosi . Oznaczmy jeden z boków prostokąta jako
. Ponieważ obwod wynosi , drugi bok będzie miał długość
.
Pole prostokąta
maksimum dla
(
)
. Jest to funkcja kwadratowa zmiennej , osiągająca
. Zatem szukany prostokąt to po prostu kwadrat.
ZADANIA SPRAWDZAJĄCE
1.
Znajdź postać kanoniczną funkcji kwadratowej:
a)
b)
c)
2.
3.
d)
e)
Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
a)
b)
c)
d)
e)
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej:
a)
b)
c)
5.
d)
e)
Przedstaw funkcję kwadratową w postaci iloczynowej:
a)
b)
c)
d)
e)
Znajdź przedział w którym funkcja
6.
Znajdź przedział w którym funkcja
7.
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej:
a)
b)
c)
d)
e)
Znajdź największą najmniejszą wartość funkcji i podaj jej zbiór wartości:
a)
b)
c)
d)
e)
4.
8.
jest malejąca.
jest rosnąca.
9.
Narysuj wykresy funkcji kwadratowej:
a)
b)
c)
10.
11.
12.
13.
14.
d)
e)
Znajdź wzór funkcji kwadratowej której wykres przechodzi przez punkty
i
a najmniejszą wartością funkcji jest
.
Wyznacz długości boków prostokąta który przy obwodzie
ma największe pole.
Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych jest równa
. Znajdź te liczby.
Znajdź współczynniki
funkcji kwadratowej
jeżeli do jej wykresu
należą punkty
.
Rozwiąż równania kwadratowe:
a)
b)
c)
d)
e)
(
√ )
√
f)
g)
15. Napisz wzór funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe wynoszą
i ,a
.
16. Rozwiąż nierówności kwadratowe:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) √
17. Rozwiąż równanie
jeżeli
.
18. Dla jakiej liczby całkowitej równania:
i
mają wspólny
pierwiastek?
19. Znajdź wzór funkcji kwadratowej
której wykresem jest parabola o wierzchołku w
punkcie
przechodząca przez punkt
. Otrzymaną funkcję przedstaw w
postaci kanonicznej. Wyznacz jej miejsca zerowe i narysuj wykres.
20. Podaj wzór funkcję kwadratowej
jeżeli do jej wykresu należą
punkty
.