Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Transkrypt
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa oraz realizacja ośmiu głównych kompetencji kluczowych Kategoria: Materiały z warsztatów przedmiotowych Słowa kluczowe: kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa, kompetencje kluczowe Dane autora: Piotr Janoska, Uniwersytet Śląski, [email protected] Artykuł ten zawiera wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa oraz uwagi na temat realizacji ośmiu głównych kompetencji kluczowych, które zostały przeze mnie przedstawione podczas unijnych warsztatów przedmiotowych z matematyki, zakończonych w sierpniu tego roku. Materiały te mogą zatem być pomocne nauczycielom gimnazjów oraz szkół ponadgimnazjalnych podczas realizacji projektów unijnych w szkołach. 1.Kombinatoryka: 1. permutacje bez powtórzeń, 2. permutacje z powtórzeniami, 3. kombinacje bez powtórzeń, 4. kombinacje z powtórzeniami, 5. wariacje bez powtórzeń, 6. wariacje z powtórzeniami. 2.Rachunek prawdopodobieństwa: 1. prawdopodobieństwo klasyczne, 2. prawdopodobieństwo całkowite, 3. zależność oraz niezależność zdarzeń, 4. najprostsze zmienne losowe. Ad.1Omawiając kombinatorykę staramy się przedstawiać w ciekawy sposób możliwości uporządkowania przedmiotów, wybierania elementów z danego zbioru, ustawiania przedmiotów w ciągi. Pokazujemy fragment tzw. matematyki dyskretnej używając najprostszych metod np. metody szufladkowej. Ad.1.1 Permutacje bez powtórzeń – związane z nimi pojęcia to: silnia, własności silni, silnia jako funkcja. Wykorzystujemy następujące typy zadań z tego zakresu: • rozmieszczanie układów książek na półce tak, aby wybrane książki sąsiadowały(nie sąsiadowały) ze sobą, • budowanie liczb o niepowtarzających się cyfrach, • rozmieszczanie osób przy stole prostokątnym lub okrągłym tak, aby wybrane osoby siedziały(nie siedziały) obok siebie, • ustawianie osób do zdjęć w rzędach , • obliczenia występujące w genetyce związane z tymi permutacjami. Ad.1.2 Permutacje z powtórzeniami – wprowadzamy odpowiedni wzór na tego typu permutacje, uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy w tym rozdziale użyteczność indukcji matematycznej. Wykorzystujemy następujące typy zadań z tego zakresu: • układanie „słów” z danego zbioru liter , • obliczenia występujące w genetyce związane z powtarzaniem się genów, • przestawianie liter w wyrazach(np. Missisipi, mama, matematyka, kajak) tak, aby nie było widać różnicy po tym przestawieniu , • obliczenia związane z wyznaczaniem zbioru, z którego pochodzą permutacje z powtórzeniami, na podstawie ilości tych permutacji , • układanie „sznurów” korali. Ad.1.3 Kombinacje bez powtórzeń – wprowadzamy symbol Newtona, trójkąt Pascala, dwumian Newtona, wzór na kombinacje bez powtórzeń; uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Prezentujemy następujące typy zadań związane z tym tematem: • obliczenia geometryczne(np. ile prostych przechodzi przez zadane punkty na płaszczyźnie, ile półprostych przechodzi przez nie; ile płaszczyzn przechodzi przez zadane punkty w przestrzeni trójwymiarowej, ile bryła ma przekrojów, itd.), • obliczenia związane ze zbiorem i jego podzbiorami, • wybieranie delegacji spośród pewnej grupy osób, rady klasowej spośród uczniów danej klasy, itd., • obliczenia związane z grami liczbowymi(Toto Lotek, Multi Lotek), • wybieranie określonego układu kart z całej talii. Ad.1.4 Kombinacje z powtórzeniami – wprowadzamy rzadziej używane wzory na te kombinacje, uzasadniamy ich poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Prezentujemy następujące typy zadań z tego tematu: • obliczenia związane z chemią, fizyką(rozmieszczanie cząstek rozróżnialnych i nierozróżnialnych w blokach), genetyką, • zagadnienia polegające na obliczaniu podzbiorów danego zbioru, • obliczenia urnowe(losowanie kul z urn), • wybieranie zadanego układu kart z całej talii , • obliczenia związane z wyznaczaniem zbioru, z którego pochodzą kombinacje z powtórzeniami, na podstawie ilości tych kombinacji. Ad.1.5 Wariacje bez powtórzeń – wprowadzamy wzór na te wariacje, uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Prezentujemy tzw. metodę szufladkową przy obliczaniu tych wariacji oraz zastosowanie ciągów geometrycznych. Wykorzystujemy następujące typy zadań z tego zakresu: • obliczenia związane z ustawianiem osób w kolejkach, wysiadaniem pasażerów na przystankach, wychodzeniem pasażerów z windy, itd., • budowanie liczb o niepowtarzających się cyfrach, • kolorowanie flag złożonych z układów pasów poziomych lub pionowych, • układanie „sznurów” korali, • losowanie bez zwracania kul z urn. Ad.1.6 Wariacje z powtórzeniami – wprowadzamy odpowiedni wzór, uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Pokazujemy zasadę szufladkową przy obliczaniu tych wariacji oraz zastosowanie ciągów geometrycznych, przykłady zadań brzmiących odmiennie o identycznych rozwiązaniach. Wykorzystujemy odpowiednie typy zadań: • obliczenia związane z ustawianiem osób w kolejkach, wysiadaniem pasażerów na przystankach, wychodzeniem pasażerów z windy, itd., • budowanie liczb o powtarzających się cyfrach, • kolorowanie flag złożonych z układów pasów poziomych lub pionowych, • układanie „słów” w alfabecie Morse’a , • układanie „sznurów” korali, • obliczenia związane z ilością „słów”, które można zapisać korzystając z dostępnego „alfabetu”. Ad.2.Omawiając rachunek prawdopodobieństwa staramy się przedstawiać w prosty sposób obliczanie szans wygranej, zespół pojęć z tej dziedziny oraz analizę najprostszych zmiennych losowych. Ad.2.1 Prawdopodobieństwo klasyczne – wprowadzamy wzór na prawdopodobieństwo klasyczne funkcjonujący dla zbiorów skończonych, uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Zaciekawiamy uczniów „gwarą” probabilistyczną, innymi rodzajami prawdopodobieństw(np. prawdopodobieństwem geometrycznym), paradoksami z tej dziedziny. Prezentujemy typy zadań z tego zakresu: • obliczenia związane z kombinatoryką(punkty od 1 do 6), • rachowanie prawdopodobieństw wygranych w danych grach liczbowych, • obliczanie prawdopodobieństw sensowności „słów” tworzonych z danego „alfabetu”, • rachowanie prawdopodobieństw w sytuacjach geometrycznych(np. związanych z układaniem trójkąta korzystając z danego zbioru odcinków), • porównywanie prawdopodobieństw występujących w różnych modelach probabilistycznych. Ad.2.2 Prawdopodobieństwo całkowite – wprowadzamy odpowiedni wzór, wzór Bayes’a, uzasadniamy ich poprawność; omawiamy rachunki związane z drzewami stochastycznymi. Pokazujemy następujące typy zadań z tego zakresu: • obliczenia związane z wieloetapowymi doświadczeniami losowymi, • rachunki dotyczące wielokrotnego losowania kul z urn , • obliczenia dotyczące wielokrotnych rzutów monetą, kostką itd., • porównywanie prawdopodobieństw występujących w rozważaniach dotyczących drzew stochastycznych(skończonych bądź nieskończonych; symetrycznych bądź niesymetrycznych), • prezentacja prostych metod rozwiązywania „trudnych” zagadnień. Ad.2.3 Zależność oraz niezależność zdarzeń – omawiamy te pojęcia i podajemy ich interpretację probabilistyczną. Zastanawiamy się nad ścisłym(matematycznym) ich znaczeniem oraz znaczeniem potocznym. W rozdziale tym zamieszczamy: • odpowiednie definicje dla dwóch zdarzeń, trzech zdarzeń, itd., • listę przykładów ilustrujących te pojęcia, • obliczenia związane z rzutami kostką, monetą, losowaniem układu kart z talii(ze zwracaniem, bez zwracania), • rachunki występujące w schematach urnowych , • listę kontrprzykładów ilustrujących zagadnienia związane z zależnością zdarzeń. Ad.2.4 Najprostsze zmienne losowe – definiujemy te zmienne, ilustrujemy w formie tabelek, zaciekawiamy prostymi zagadnieniami statystycznymi, podajemy interpretację wartości oczekiwanej i wariancji. W rozdziale tym zamieszczamy: • listę przykładów prostych zmiennych losowych , • obliczenia związane z rzutami kostką, monetą, itd., • rachunki występujące w schematach urnowych , • interpretację wartości oczekiwanej jako najczęściej występującego „wyniku” w danym doświadczeniu losowym, • interpretację wariancji jako pomiaru „błędu” występującego w danym doświadczeniu losowym. Dział ten jest wstępem do prostego opisu statystycznego danej zbiorowości poprzez liczenie wartości oczekiwanej i wariancji. Realizując powyższe treści, pracujemy nad wszechstronnym rozwojem następujących kompetencji kluczowych: a) porozumiewanie się w języku ojczystym –kształtowanie umiejętności poprawnego wypowiadania się w języku matematyki, b) porozumiewanie się w językach obcych –wzbogacenie wiedzy słuchaczy o niektóre zwroty i określenia z języka angielskiego, c) kompetencje matematyczne i podstawowe kompetencje naukowo-techniczne rozwijanie zdolności i chęci wykorzystywania matematycznych sposobów myślenia oraz prezentacji, d) kompetencje informatyczne –rozwijanie umiejętności obejmujących zdolności poszukiwania, gromadzenia i przetwarzania informacji matematycznych, e) umiejętność uczenia się – docieranie do nowej wiedzy i umiejętności oraz zdobywanie, przetwarzanie i przyswajanie ich, f) kompetencje społeczne i obywatelskie – rozwijanie współpracy wewnątrz grupy ćwiczeniowej(podział słuchaczy na podgrupy i prowadzenie zajęć w tych podgrupach) , g) inicjatywność i przedsiębiorczość –rozwijanie umiejętności odnoszących się do zarządzania projektami(co obejmuje np. planowanie, organizowanie, kierowanie, zlecanie zadań, analizowanie, sprawozdawczość), h) świadomość i ekspresja kulturalna – kreatywne „rozwiązywanie różnego typu pokazywanie „estetyki” poruszanych problemów. zadań” i