Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku
prawdopodobieństwa oraz realizacja ośmiu głównych
kompetencji kluczowych
Kategoria: Materiały z warsztatów przedmiotowych
Słowa kluczowe: kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa, kompetencje kluczowe
Dane autora: Piotr Janoska, Uniwersytet Śląski, [email protected]
Artykuł ten zawiera wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa
oraz uwagi na temat realizacji ośmiu głównych kompetencji kluczowych, które zostały przeze
mnie przedstawione podczas unijnych warsztatów przedmiotowych z matematyki,
zakończonych w sierpniu tego roku. Materiały te mogą zatem być pomocne nauczycielom
gimnazjów oraz szkół ponadgimnazjalnych podczas realizacji projektów unijnych w szkołach.
1.Kombinatoryka:
1. permutacje bez powtórzeń,
2. permutacje z powtórzeniami,
3. kombinacje bez powtórzeń,
4. kombinacje z powtórzeniami,
5. wariacje bez powtórzeń,
6. wariacje z powtórzeniami.
2.Rachunek prawdopodobieństwa:
1. prawdopodobieństwo klasyczne,
2. prawdopodobieństwo całkowite,
3. zależność oraz niezależność zdarzeń,
4. najprostsze zmienne losowe.
Ad.1Omawiając kombinatorykę staramy się przedstawiać w ciekawy sposób możliwości
uporządkowania przedmiotów, wybierania elementów z danego zbioru, ustawiania
przedmiotów w ciągi. Pokazujemy fragment tzw. matematyki dyskretnej używając
najprostszych metod np. metody szufladkowej.
Ad.1.1 Permutacje bez powtórzeń – związane z nimi pojęcia to: silnia, własności silni, silnia
jako funkcja.
Wykorzystujemy następujące typy zadań z tego zakresu:
•
rozmieszczanie układów książek na półce tak, aby wybrane książki sąsiadowały(nie
sąsiadowały) ze sobą,
•
budowanie liczb o niepowtarzających się cyfrach,
•
rozmieszczanie osób przy stole prostokątnym lub okrągłym tak, aby wybrane osoby
siedziały(nie siedziały) obok siebie,
•
ustawianie osób do zdjęć w rzędach ,
•
obliczenia występujące w genetyce związane z tymi permutacjami.
Ad.1.2 Permutacje z powtórzeniami – wprowadzamy odpowiedni wzór na tego typu
permutacje, uzasadniamy jego poprawność oraz pokazujemy w tym rozdziale użyteczność
indukcji matematycznej.
Wykorzystujemy następujące typy zadań z tego zakresu:
•
układanie „słów” z danego zbioru liter ,
•
obliczenia występujące w genetyce związane z powtarzaniem się genów,
•
przestawianie liter w wyrazach(np. Missisipi, mama, matematyka, kajak) tak, aby nie
było widać różnicy po tym przestawieniu ,
•
obliczenia związane z wyznaczaniem zbioru, z którego pochodzą permutacje z
powtórzeniami, na podstawie ilości tych permutacji ,
•
układanie „sznurów” korali.
Ad.1.3 Kombinacje bez powtórzeń – wprowadzamy symbol Newtona, trójkąt Pascala,
dwumian Newtona, wzór na kombinacje bez powtórzeń; uzasadniamy jego poprawność oraz
pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej.
Prezentujemy następujące typy zadań związane z tym tematem:
•
obliczenia geometryczne(np. ile prostych przechodzi przez zadane punkty na
płaszczyźnie, ile półprostych przechodzi przez nie; ile płaszczyzn przechodzi przez
zadane punkty w przestrzeni trójwymiarowej, ile bryła ma przekrojów, itd.),
•
obliczenia związane ze zbiorem i jego podzbiorami,
•
wybieranie delegacji spośród pewnej grupy osób, rady klasowej spośród uczniów
danej klasy, itd.,
•
obliczenia związane z grami liczbowymi(Toto Lotek, Multi Lotek),
•
wybieranie określonego układu kart z całej talii.
Ad.1.4 Kombinacje z powtórzeniami – wprowadzamy rzadziej używane wzory na te
kombinacje, uzasadniamy ich poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji
matematycznej.
Prezentujemy następujące typy zadań z tego tematu:
•
obliczenia związane z chemią, fizyką(rozmieszczanie cząstek rozróżnialnych i
nierozróżnialnych w blokach), genetyką,
•
zagadnienia polegające na obliczaniu podzbiorów danego zbioru,
•
obliczenia urnowe(losowanie kul z urn),
•
wybieranie zadanego układu kart z całej talii ,
•
obliczenia związane z wyznaczaniem zbioru, z którego pochodzą kombinacje z
powtórzeniami, na podstawie ilości tych kombinacji.
Ad.1.5 Wariacje bez powtórzeń – wprowadzamy wzór na te wariacje, uzasadniamy jego
poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Prezentujemy tzw.
metodę szufladkową przy obliczaniu tych wariacji oraz zastosowanie ciągów
geometrycznych.
Wykorzystujemy następujące typy zadań z tego zakresu:
•
obliczenia związane z ustawianiem osób w kolejkach, wysiadaniem pasażerów na
przystankach, wychodzeniem pasażerów z windy, itd.,
•
budowanie liczb o niepowtarzających się cyfrach,
•
kolorowanie flag złożonych z układów pasów poziomych lub pionowych,
•
układanie „sznurów” korali,
•
losowanie bez zwracania kul z urn.
Ad.1.6 Wariacje z powtórzeniami – wprowadzamy odpowiedni wzór, uzasadniamy jego
poprawność oraz pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Pokazujemy zasadę
szufladkową przy obliczaniu tych wariacji oraz zastosowanie ciągów geometrycznych,
przykłady zadań brzmiących odmiennie o identycznych rozwiązaniach.
Wykorzystujemy odpowiednie typy zadań:
•
obliczenia związane z ustawianiem osób w kolejkach, wysiadaniem pasażerów na
przystankach, wychodzeniem pasażerów z windy, itd.,
•
budowanie liczb o powtarzających się cyfrach,
•
kolorowanie flag złożonych z układów pasów poziomych lub pionowych,
•
układanie „słów” w alfabecie Morse’a ,
•
układanie „sznurów” korali,
•
obliczenia związane z ilością „słów”, które można zapisać korzystając z dostępnego
„alfabetu”.
Ad.2.Omawiając rachunek prawdopodobieństwa staramy się przedstawiać w prosty sposób
obliczanie szans wygranej, zespół pojęć z tej dziedziny oraz analizę najprostszych zmiennych
losowych.
Ad.2.1 Prawdopodobieństwo klasyczne – wprowadzamy wzór na prawdopodobieństwo
klasyczne funkcjonujący dla zbiorów skończonych, uzasadniamy jego poprawność oraz
pokazujemy użyteczność indukcji matematycznej. Zaciekawiamy uczniów „gwarą”
probabilistyczną, innymi rodzajami prawdopodobieństw(np. prawdopodobieństwem
geometrycznym), paradoksami z tej dziedziny.
Prezentujemy typy zadań z tego zakresu:
•
obliczenia związane z kombinatoryką(punkty od 1 do 6),
•
rachowanie prawdopodobieństw wygranych w danych grach liczbowych,
•
obliczanie prawdopodobieństw sensowności „słów” tworzonych z danego „alfabetu”,
•
rachowanie prawdopodobieństw w sytuacjach geometrycznych(np. związanych z
układaniem trójkąta korzystając z danego zbioru odcinków),
•
porównywanie prawdopodobieństw występujących w różnych modelach
probabilistycznych.
Ad.2.2 Prawdopodobieństwo całkowite – wprowadzamy odpowiedni wzór, wzór Bayes’a,
uzasadniamy ich poprawność; omawiamy rachunki związane z drzewami stochastycznymi.
Pokazujemy następujące typy zadań z tego zakresu:
•
obliczenia związane z wieloetapowymi doświadczeniami losowymi,
•
rachunki dotyczące wielokrotnego losowania kul z urn ,
•
obliczenia dotyczące wielokrotnych rzutów monetą, kostką itd.,
•
porównywanie prawdopodobieństw występujących w rozważaniach dotyczących
drzew stochastycznych(skończonych bądź nieskończonych; symetrycznych bądź
niesymetrycznych),
•
prezentacja prostych metod rozwiązywania „trudnych” zagadnień.
Ad.2.3 Zależność oraz niezależność zdarzeń – omawiamy te pojęcia i podajemy ich
interpretację probabilistyczną. Zastanawiamy się nad ścisłym(matematycznym) ich
znaczeniem oraz znaczeniem potocznym.
W rozdziale tym zamieszczamy:
•
odpowiednie definicje dla dwóch zdarzeń, trzech zdarzeń, itd.,
•
listę przykładów ilustrujących te pojęcia,
•
obliczenia związane z rzutami kostką, monetą, losowaniem układu kart z talii(ze
zwracaniem, bez zwracania),
•
rachunki występujące w schematach urnowych ,
•
listę kontrprzykładów ilustrujących zagadnienia związane z zależnością zdarzeń.
Ad.2.4 Najprostsze zmienne losowe – definiujemy te zmienne, ilustrujemy w formie tabelek,
zaciekawiamy prostymi zagadnieniami statystycznymi, podajemy interpretację wartości
oczekiwanej i wariancji.
W rozdziale tym zamieszczamy:
•
listę przykładów prostych zmiennych losowych ,
•
obliczenia związane z rzutami kostką, monetą, itd.,
•
rachunki występujące w schematach urnowych ,
•
interpretację wartości oczekiwanej jako najczęściej występującego „wyniku” w danym
doświadczeniu losowym,
•
interpretację wariancji jako pomiaru „błędu” występującego w danym doświadczeniu
losowym.
Dział ten jest wstępem do prostego opisu statystycznego danej zbiorowości poprzez liczenie
wartości oczekiwanej i wariancji.
Realizując powyższe treści, pracujemy nad wszechstronnym rozwojem następujących
kompetencji kluczowych:
a) porozumiewanie się w języku ojczystym –kształtowanie umiejętności
poprawnego wypowiadania się w języku matematyki,
b) porozumiewanie się w językach obcych –wzbogacenie wiedzy słuchaczy o
niektóre zwroty i określenia z języka angielskiego,
c) kompetencje matematyczne i podstawowe kompetencje naukowo-techniczne rozwijanie zdolności i chęci wykorzystywania matematycznych sposobów
myślenia oraz prezentacji,
d) kompetencje informatyczne –rozwijanie umiejętności obejmujących zdolności
poszukiwania, gromadzenia i przetwarzania informacji matematycznych,
e) umiejętność uczenia się – docieranie do nowej wiedzy i umiejętności oraz
zdobywanie,
przetwarzanie i przyswajanie ich,
f) kompetencje społeczne i obywatelskie – rozwijanie współpracy wewnątrz grupy
ćwiczeniowej(podział słuchaczy na podgrupy i prowadzenie zajęć w tych podgrupach) ,
g) inicjatywność i przedsiębiorczość –rozwijanie umiejętności odnoszących się do
zarządzania projektami(co obejmuje np. planowanie, organizowanie, kierowanie, zlecanie
zadań, analizowanie, sprawozdawczość),
h) świadomość i ekspresja kulturalna – kreatywne „rozwiązywanie różnego typu
pokazywanie „estetyki” poruszanych problemów.
zadań” i