Ćwiczenia

Kurs letni
„Matematyka finansowa w pakiecie MATLAB”
Ćwiczenia, część IV i V
Ćw. 1. [Na podst. 1, zad. 9.1. str. 356] Napisz funkcję cena forward, która dla danych ceny początkowej, rocznej stopy procentowej wolnej od ryzyka oraz terminu rozliczenia
kontraktu (w latach) będzie wyznaczała cenę sprawiedliwą kontraktu forward. Korzystając z tej funkcji, przy wolnej od ryzyka stopie procentowej wynoszącej 10%, oblicz
cenę sprawiedliwą w kwartalnym kontrakcie forward na 100 akcji niegenerujących
żadnych dochodów (dywidend), których cena początkowa wynosi 50 zł.
Ćw. 2. Napisz funkcję, która dla danych ceny początkowej, wysokości rocznej stopy procentowej oraz zakresu dla czasu trwania kontraktu będzie rysować wykres prezentujący
zależność ceny sprawiedliwej od czasu trwania kontraktu.
Ćw. 3. [Na podst. 1, zad. 9.1. str. 356] Zmodyfikuj funkcję z ćw. 1. tak, aby uwzględniała
możliwość wypłacania z tytułu posiadania akcji dywidendy w sposób ciągły według
stopy d w skali rocznej. Dla danych z ćw. 1. wyznacz cenę sprawiedliwą kontraktu, jeśli
z tytułu posiadania akcji wypłacane są dywidendy w sposób ciągły według rocznej
stopy 1%.
Ćw. 4. Rozważmy europejską opcję kupna na akcje. Napisz funkcję, która dla danych ceny
zakupu opcji oraz ceny wykonania opcji na jednym wykresie przedstawi zależność
zysku posiadacza i zysku wystawcy opcji od ceny rynkowej akcji.
Ćw. 5. Rozważmy model jednookresowy dwustanowy. Napisz funkcję prosta wycena, która
dla danych wolnej od ryzyka stopy procentowej, początkowej ceny akcji, dwóch możliwych cen tej akcji w momencie końcowym oraz ceny wykonania opcji wyznaczy ceny
europejskiej opcji kupna i europejskiej opcji sprzedaży na tę akcję. Korzystając z tej
funkcji, porównaj ceny europejskich opcji kupna i europejskich opcji sprzedaży na
– akcję o cenie początkowej 100 zł, możliwych cenach w momencie końcowym 150
zł lub 90 zł,
– akcję o cenie początkowej 100 zł, możliwych cenach w momencie końcowym 180
zł lub 60 zł,
– akcję o cenie początkowej 100 zł, możliwych cenach w momencie końcowym 130
zł lub 70 zł,
– akcję o cenie początkowej 100 zł, możliwych cenach w momencie końcowym 150
zł lub 50 zł.
przyjmując cenę wykonania 120 zł i wolną od ryzyka stopę procentową w wysokości
2%.
1
Ćw. 6. Rozważmy 3-okresowy, 3-letni model CRR o współczynniku zmienności ceny akcji
równym 3% i rocznej stopie procentowej równej 2%. Dla akcji o cenie początkowej
250 zł wykonaj drzewo dwumianowe. Podaj wartość końcową ceny w przypadku,
gdy akcja odnotowała same spadki. Zamień wartości zmienności ceny akcji i stopy
procentowej miejscami i zobacz, jaki otrzymasz efekt. Czym jest on spowodowany?
Ćw. 7. Dla pierwszego modelu z ćw. 6. wyceń europejską opcję kupna i europejską opcję
sprzedaży o cenie wykonania
a) 235 zł,
b) 260 zł.
Ćw. 8. Wykonaj polecenia z ćw. 7. dla przypadku opcji amerykańskich. Porównaj wyniki
i sprawdź, czy potwierdzają one następujący wniosek ([2, Wniosek 2.6.6 str. 85]):
Ceny amerykańskiej i europejskiej opcji kupna są równe.
Ćw. 9. [Na podst. 1, Zad. 9.17. str. 359] Napisz funkcje kupnonasprzedaz i sprzedaznakupno,
które dla danych ceny początkowej akcji, wolnej od ryzyka rocznej stopy procentowej, terminu wykonania opcji (w latach) oraz ceny wykonania będą zamieniały
odpowiednio cenę europejskiej opcji kupna na cenę europejskiej opcji sprzedaży oraz
cenę europejskiej opcji sprzedaży na cenę europejskiej opcji kupna. Korzystając z napisanej funkcji, rozwiąż poniższe zadanie.
Obecnie akcja kosztuje 100 zł, a wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 10%
w skali roku. Dla kwartalnych opcji europejskich z ceną wykonania 110 zł oblicz cenę
opcji sprzedaży, jeśli opcja kupna kosztuje 3 zł oraz cenę opcji kupna, jeśli opcja
sprzedaży kosztuje 9 zł.
Ćw. 10. Wiadomo, że cena początkowa akcji o 3-letnim terminie wykupu jest równa 300 zł,
wolna od ryzyka roczna stopa procentowa wynosi 0,1, a zmienność 20%. Utwórz
portfel składający się z
a) europejskiej opcji sprzedaży o cenie wykonania 340 zł,
b) europejskiej opcji kupna o cenie wykonania 280 zł,
c) amerykańskiej opcji sprzedaży o cenie wykonania 290 zł,
d) amerykańskiej opcji kupna o cenie wykonania 320 zł.
Dokonaj wyceny tego portfela drzewkiem 12-okresowym.
Ćw. 11. Rozważmy 3-okresowy, 3-letni model CRR o współczynniku zmienności ceny akcji
równym 3% i rocznej stopie procentowej równej 2%. Dla akcji o cenie początkowej 250
zł wyceń amerykańską opcję kupna i amerykańską opcję sprzedaży o cenie wykonania
a) 235 zł,
2
b) 260 zł,
używając funkcji binprice.
Ćw. 12. Przyjmijmy, że roczna stopa procentowa wynosi 2%, a współczynnik zmienności cen
akcji 3%. Dla europejskiej opcji kupna i europejskiej opcji sprzedaży na akcję o cenie
początkowej 250 zł i 3-letnim terminie wykupu dokonaj wyceny w modelu BlackaScholesa, używając funkcji optstockbybls i blsprice, akcji o cenie wykonania
a) 235 zł,
b) 260 zł.
Ćw. 13. Załóżmy, że aktualna, tzn. z 9 lipca 2010 roku, cena akcji wynosi 200 zł, zmienność
jest równa 10%, a roczna stopa procentowa wynosi 4%. Rozważmy europejską opcję
kupna o cenie wykonania 220 zł i terminie wykonania 9 lipca 2012 roku. Wyznacz
cenę Blacka-Schoelsa tej opcji, korzystając z funkcji blsprice. Następnie napisz funkcję przyblizenie, która w zależności od n będzie dokonywała wyceny tej samej opcji
drzewkiem n-okresowym. Na wykresie liniowym przedstaw zależność błędu wyceny
opcji od liczby okresów drzewa dla 1 ¬ n ¬ 100.
Ćw. 14. Utwórz opisaną w skrypcie funkcję my montecarlo. Następnie dla europejskiej opcji
kupna na akcje o cenie początkowej 100 zł, cenie wykupu 90 zł po 1 roku, przy wolnej
od ryzyka stopie procentowej równej 10% i zmienności 15% narysuj wykres liniowy
prezentujący błąd wyceny tej akcji przy użyciu funkcji my montecarlo w stosunku
do rzeczywistej ceny Blacka-Schoelsa. Funkcję my montecarlo wywołaj dla n od 100
do 100 000 z krokiem co 100.
Ćw. 15. Utwórz opisane w skrypcie funkcje Wiener i gWiener generujące trajektorie odpowiednio procesu Wienera i geometrycznego procesu Wienera. Narysuj trajektorie
tych procesów na przedziale [0,5], przyjmując kolejno n = 100, 1000 i 10 000. Następnie napisz, również opisaną w skrypcie, funkcję służącą do wyceny opcji kupna
typu lookback. Korzystając z tej funkcji, wyznacz cenę 2-letniej opcji kupna na akcję
o cenie początkowej 200 zł, przy wolnej od ryzyka stopie procentowej równej 10%
i zmienności 15%.
Bibliografia:
[1] Maria Podgórska, Joanna Klimkowska: Matematyka finansowa, PWN, Warszawa 2005.
[2] Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych, SCRIPT, Warszawa 2006.
3