Bezprzewodowy system kompensacji odkszta∏ceƒ cieplnych Źrub

Bezprzewodowy system kompensacji odkszta∏ceƒ cieplnych Źrub

Bezprzewodowy system kompensacji
odkszta∏ceƒ cieplnych Êrub pociàgowych*)
The wireless compensation system of CNC ball screw
thermal error
JACEK ZAP¸ATA
MIROS¸AW PAJOR
KAMIL STATECZNY
Streszczenie: W artykule zaprezentowano innowacyjny system kompensacji odkszta∏ceƒ cieplnych Êrub pociàgowych
obrabiarek CNC. Dzi´ki zastosowaniu bezprzewodowego uk∏adu przesy∏u danych uproszczono proces monta˝u systemu
kompensacji oraz zwi´kszono jego trwa∏oÊç mechanicznà. W artykule przedstawiono tak˝e metodologi´ szacowania wartoÊci odkszta∏ceƒ cieplnych wprowadzanych przez ciep∏o powstajàce w wyniku ruchu osi posuwów liniowych za pomocà
metody elementów skoƒczonych.
S∏owa kluczowe: odkszta∏cenia cieplne obrabiarek, toczne Êruby pociàgowe
Abstract: The paper presents a novel set for the compensation of the CNC ball screw thermal error. With use of wireless
measuring set the mounting procedure is simplified and the durability enhanced. Moreover, the paper presents the
methodology of calculating the thermal error induced by the heat generated during movement of a CNC axes by means of
a FEM analysis.
Keywords: machine tools, the thermal error, CNC ball screws
Utrzymanie konkurencyjnoÊci na wspó∏czesnym
rynku wymaga, aby produkowaç dok∏adniej i taniej.
Twierdzi si´ [1, 2], ˝e na osiàganà podczas obróbki
dok∏adnoÊç znaczàcy wp∏yw (40 – 70%) majà zmiany
w geometrii obrabiarek powodowane odkszta∏ceniami cieplnymi. Usuni´cie tego wp∏ywu pozwala na
skrócenie czasu potrzebnego na ustabilizowanie si´
stanu temperaturowego maszyny, skutkujàc efektywniejszym wykorzystaniem maszyn obróbczych.
Jednym spoÊród podstawowych zespo∏ów, wyst´pujàcych w obrabiarkach CNC, których odkszta∏cenia cieplne majà wp∏yw na dok∏adnoÊç wymiarowo-kszta∏towà produkowanych wyrobów, sà Êruby
toczne [3, 4]. W celu ograniczenia tego wp∏ywu opracowano system kompensacji odkszta∏ceƒ cieplnych
Êrub pociàgowych, którego skutecznoÊç potwierdzono doÊwiadczalnie [5, 6]. W prezentowanym artykule przedstawiono innowacyjny, bezprzewodowy
uk∏ad pomiarowy systemu kompensacji odkszta∏ceƒ
Êrub tocznych oraz sposób oceny wp∏ywu odkszta∏ceƒ cieplnych Êrub pociàgowych na dok∏adnoÊç
pozycjonowania. Ocena ta jest konieczna w procesie
podejmowania decyzji o wdro˝eniu systemu kompensacji w nowo projektowanej obrabiarce.
System kompensacji
odkszta∏ceƒ cieplnych Êrub pociàgowych
System kompensacji odkszta∏ceƒ cieplnych Êrub
tocznych obrabiarek CNC sk∏ada si´ z warstwy po*) Prace realizowane by∏y w ramach projektu INNOTECH-K3/IN3/19/226994/NCBR/14 finansowanego przez NCBiR
Dr in˝. Jacek Zap∏ata, dr hab. in˝. Miros∏aw Pajor,
prof. ZUT, mgr in˝. Kamil Stateczny – Zachodniopomorski
Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, Wydzia∏ In˝ynierii Mechanicznej i Mechatroniki, al. Piastów 17,
70-310 Szczecin, e-mail: [email protected];
[email protected]; [email protected].
38
miaru temperatury, metody implementacji korekty
po∏o˝enia osi nap´dowej w sterowaniu obrabiarki
CNC oraz dedykowanych modeli matematycznych
obliczajàcych t´ korekt´ na podstawie danych pomiarowych. Sposób implementacji korekty po∏o˝enia
osi nap´dowej uzale˝niony jest od funkcjonalnoÊci oprogramowania dostarczanego przez producenta systemu sterowania obrabiarki [7]. Modele
matematyczne wià˝àce temperatur´ osi nap´dowej
z odkszta∏ceniami cieplnymi zosta∏y przedstawione
w publikacjach [5, 6]. Pomiar temperatury realizowany jest za pomocà czujników umieszczonych wewnàtrz Êruby tocznej osi posuwu obrabiarki.
Bezprzewodowy uk∏ad pomiarowy
Bezprzewodowy system przesy∏u danych, pomi´dzy czujnikami temperatury umieszczonymi w Êrubach tocznych zespo∏ów posuwu liniowego a uk∏adem przetwarzania danych do∏àczonym do systemu
sterowania maszyny CNC, rozszerza funkcjonalnoÊç
uk∏adu kompensacji odkszta∏ceƒ cieplnych Êrub
pociàgowych przez zwi´kszenie mechanicznej trwa∏oÊci oraz u∏atwienie monta˝u Êrub wyposa˝onych
w czujniki temperatury.
Komunikacja mi´dzy czujnikami temperatury
umieszczonymi w Êrubie tocznej a sterownikiem PLC
obrabiarki zrealizowana zosta∏a za pomocà dwóch
modu∏ów Panasonic PAN1740 Series Bluetooth LowEnergy. Pierwszy modu∏ przymocowano do obrotowej Êruby, drugi po∏àczony jest ze sterownikiem
PLC obrabiarki CNC. Modu∏y te zaopatrzone sà
w energooszcz´dny Bluetooth 4.0 Dialog Semiconductor SmartBond DA14580 zawierajàcy mikrokontroler z rdzeniem Cortex z systemem operacyjnym
czasu rzeczywistego RivieraWavesKernel.
Pomiar rozk∏adu temperatury Êruby tocznej
wykonujà miniaturowe czujniki IST TSIC wyposa˝one
we wbudowane przetworniki pomiarowe oraz cyfrowy
ROK WYD. LXXIV 앫 ZESZYT 12/2015
Rys. 1. Schemat komunikacji bezprzewodowej
systemu kompensacji odkszta∏ceƒ cieplnych
Êruby pociàgowej obrabiarki CNC
interfejs ZACwire. Czujniki zamontowano
w otworach wywierconych prostopadle
do osi Êruby. W Êrubie tocznej wykonano
centralny, przelotowy otwór poosiowy,
którym przeprowadzono okablowanie
∏àczàce czujniki temperatury z uk∏adem
PAN1740 zlokalizowanym w Êrubie
tocznej. DoÊwiadczalnie potwierdzono
niezawodnoÊç transmisji danych w opracowanym rozwiàzaniu wobec zak∏óceƒ
magnetycznych powstajàcych w wyniku
dzia∏ania nap´dów obrabiarki.
Zastosowanie dedykowanego algorytmu odczytywania i przesy∏u danych umo˝liwi∏o
ograniczenie poboru energii przez uk∏ad umiejscowiony w obrotowej Êrubie pociàgowej do poziomu
umo˝liwiajàcego zasilanie bateryjne.
Modelowanie odkszta∏ceƒ cieplnych
osi posuwu
Proces projektowania i budowy nowoczesnej obrabiarki jest zagadnieniem z∏o˝onym wymagajàcym
rozwiàzywania przez projektantów wielodyscyplinarnych problemów. O osiàgni´tym sukcesie, tj.
wydajnoÊci, niezawodnoÊci, dok∏adnoÊci wymiarowo-kszta∏towej obrabianych przedmiotów, decydujà
w∏aÊciwoÊci dynamiczne [8], b∏´dy geometrii [9] czy
cieplne w∏asnoÊci obrabiarki [10]. Badacze starajà
si´ dostarczyç kryteriów wspomagajàcych projektantów w uzyskaniu optymalnych cech obrabiarek.
W publikacji [11] opisano kryterium u∏atwiajàce
dobór liczby czujników do systemu kompensacji
odkszta∏ceƒ cieplnych Êrub pociàgowych umo˝liwiajàcy sprawne wdro˝enie systemu kompensacji
w nowo projektowanej maszynie. Proces decyzyjny
dotyczàcy zasadnoÊci wdro˝enia systemu kompensacji wymaga wykonania oszacowania przewidywanych odkszta∏ceƒ cieplnych. Korzystnie jest wykonaç takà analiz´ za pomocà modelowania MES.
Procedura wyznaczania tych odkszta∏ceƒ wymienionà metodà zosta∏a opisana w dalszej cz´Êci
pracy. W przypadku gdy znana jest geometria maszyny oraz parametry materia∏owe, g∏ównà trudnoÊç stanowi okreÊlenie warunków granicznych
analizy. Zale˝noÊci (1) – (24) pozwalajà wyznaczyç
te warunki graniczne. Obejmujà one obliczenie wartoÊci strumieni cieplnych wytwarzanych przez ∏o˝yska, przek∏adni´ tocznà, silniki i po∏àczenia prowadnicowe, oszacowania oporów cieplnych, które
nie mogà zostaç obliczone wprost z zastosowaniem analizy statycznej, poniewa˝ zespo∏y znajdujà
si´ w ruchu, oszacowanie wspó∏czynników wnikania ciep∏a na powierzchniach ruchomych i nieruchomych maszyny.
Wyznaczenia mocy êróde∏ ciep∏a
Wyznaczenia strumieni cieplnych wyst´pujàcych
podczas pracy osi posuwu wymaga znajomoÊci
wartoÊci momentów oporowych poszczególnych
podzespo∏ów osi posuwu liniowego. Na. podstawie
momentów oporowych, strumieƒ ciep∏a Q oblicza si´
z zale˝noÊci:
ROK WYD. LXXIV 앫 ZESZYT 12/2015
.
2π n
Q=M·
60
(1)
gdzie:
M – moment oporowy podzespo∏u, N,
n – pr´dkoÊç obrotowa podzespo∏u, obr./min.
Do obliczenia wartoÊci momentów oporowych
∏o˝ysk M¸ Palmgrene zaproponowa∏ zale˝noÊci
(2) – (7), [12 – 14]:
M¸ = Mo + M1
(2)
M 1 = f1 · P · d m
(3)
2
3
–7
Mo = 10 fo(ν n) dm dla νn >2000
–7
Mo = 160 · 10 fo dm dla νn <2000
(4)
(5)
gdzie:
Mo – moment tarcia zale˝ny od lepkoÊci smaru/
oleju, N·mm,
M1 – moment tarcia zale˝ny od obcià˝enia,
N·mm,
P – obcià˝enie zast´pcze ∏o˝yska, N,
f1 – wspó∏czynnik zale˝ny od typu ∏o˝yska,
fo – wspó∏czynnik zale˝ny od typu ∏o˝yska
i rodzaju smarowania,
dm – Êrednica podzia∏owa ∏o˝yska, mm,
ν – kinematyczny wspó∏czynnik lepkoÊci smaru,
mm/s2,
n – pr´dkoÊç obrotowa, obr./min.
P = X0 · P X + Y0 · P Y
(6)
gdzie:
PX – sk∏adowa poprzeczna obcià˝enia, N,
PY – sk∏adowa wzd∏u˝na obcià˝enia, N,
X0 – wspó∏czynnik spoczynkowego obcià˝enia poprzecznego,
Y0 – wspó∏czynnik spoczynkowego obcià˝enia
wzd∏u˝nego.
(7)
gdzie:
C0 – noÊnoÊç spoczynkowa ∏o˝yska,
z1 – wspó∏czynnik zale˝ny od rodzaju ∏o˝yska,
y1 – wspó∏czynnik zale˝ny od rodzaju ∏o˝yska.
WartoÊç wspó∏czynników f0, z1, y1, X0, Y0 dla typowych ∏o˝ysk mo˝na odnaleêç w êród∏ach literaturowych [12, 14] oraz w wybranych katalogach
firmowych [15].
39
Moment oporowy na styku nakr´tek, kulek i Êrub
tocznych pozwala obliczyç zale˝noÊci katalogowe [16] lub zale˝noÊci przedstawione przez Sobolewskiego [17] (8) ÷ (10). Dla Êruby tocznej z pojedynczà nakr´tkà moment oporu toczenia MS wynosi:
Ms = nk · N · sin(α ) · sin(λ ± ρ )
(8)
F
nk · sin(α ) · cos(λ)
(9)
N=
(12)
przy czym
(13)
gdzie:
N – obcià˝enie przenoszone przez pojedynczà
kulk´, N,
nk – liczba kulek,
α – kàt pracy kulki,
λ – kàt wzniosu linii Êrubowej gwintu tocznego,
ρ – kàt tarcia tocznego,
F – si∏a obcià˝ajàca przek∏adni´ poosiowo, N.
Dla Êruby tocznej z nakr´tkà napi´tà wst´pnie bez
obcià˝enia poosiowego moment oporu toczenia
wynosi [18]:
MS = nk · N · sin(ρ ) · sin(α ) · cos(λ )
(10)
gdzie:
N – si∏a Êciskajàca kulk´ pochodzàca od napi´cia wst´pnego, N.
Strumienie cieplne wytwarzane przez po∏àczenia
prowadnicowe nale˝y obliczaç zgodnie z wytycznymi
podanymi przez producenta [18]. Dla zachowania
odpowiedniej sztywnoÊci po∏àczenia prowadnicowe
sà cz´sto napinane wst´pnie. Mimo to, ciep∏o w nich
powstajàce ma zazwyczaj drugorz´dny wp∏yw na
rozk∏ad pola temperatury maszyny.
WartoÊci strumieni cieplnych wytwarzanych przez
silniki sà zale˝ne od sprawnoÊci silników, które
obcià˝one sà si∏ami wynikajàcymi z procesu skrawania, si∏ami dynamicznymi oraz momentami tarcia
w zespo∏ach osi.
(14)
gdzie:
a – pó∏oÊ eliptycznego pola kontaktu, równoleg∏a do osi X,
b – pó∏oÊ eliptycznego pola kontaktu, równoleg∏a do osi Y,
R1x – promieƒ krzywizny 1 cia∏a, w p∏aszczyênie I,
R1y – promieƒ krzywizny 1 cia∏a, w p∏aszczyênie II,
R2x – promieƒ krzywizny 2 cia∏a, w p∏aszczyênie I,
R2y – promieƒ krzywizny 2 cia∏a, w p∏aszczyênie II,
E – modu∏y Younga, indeks oznacza nr cia∏a,
ν – modu∏y Poissona, indeks oznacza nr cia∏a,
F – si∏a docisku dzia∏ajàca na pojedynczà kulk´
∏o˝yskowà,
M, N – parametry geometryczne, zdefiniowane
w [20],
P1, P2 – parametry geometryczne zdefiniowane
równaniami (13) i (14).
W celu obliczenia oporu cieplnego pomi´dzy
pojedynczà kulkà a bie˝nià ∏o˝yska pos∏u˝ono si´
zale˝noÊciami przedstawionymi w [21]:
(15)
Opory cieplne na styku kulka-bie˝nia
W celu obliczenia rozk∏adu temperatury maszyny
metodà elementów skoƒczonych nale˝y obliczyç
opory cieplne podzespo∏ów, które nie mogà zostaç
zamodelowane wprost za pomocà statycznej analizy
metodà elementów skoƒczonych. Dotyczy to opornoÊci cieplnej zespo∏ów b´dàcych w ruchu, takich
jak u∏o˝yskowania.
WartoÊç cieplnego oporu kontaktowego na styku
kulka-bie˝nia zale˝na jest od rodzaju i geometrii
u∏o˝yskowania, w∏asnoÊci smaru, wartoÊci si∏ obcià˝ajàcych u∏o˝yskowanie, wielkoÊci luzu/napi´cia
wst´pnego, stanu temperaturowego, pr´dkoÊci obrotowej. Zagadnienie modelowania cieplnego ∏o˝ysk
jest wcià˝ uwa˝ane za jedno z aktualnych wyzwaƒ
stojàcych przed wspó∏czesnymi badaczami [19]. Do
obliczenia oporów cieplnych konieczna jest znajomoÊç wielkoÊci powierzchni przylegania na styku
kulka-bie˝nia. Powierzchnia ta jest elipsoidà o wymiarach [20]:
(11)
40
gdzie:
a – pó∏oÊ eliptycznego pola kontaktu, równoleg∏a do osi X,
b – pó∏oÊ eliptycznego pola kontaktu, równoleg∏a do osi Y,
k – wspó∏czynnik przewodnoÊci cieplnej,
αdyf – wspó∏czynnik dyfuzyjnoÊci cieplnej,
V – pr´dkoÊç toczenia si´ kulki po bie˝ni.
Opór cieplny pomi´dzy bie˝nià a zespo∏em kulek
wynosi:
Rkb
Rnkb =
(16)
nk
gdzie:
nk – liczba kulek ∏o˝yskowych.
Przedstawione w publikacji [21] zale˝noÊci wyprowadzone zosta∏y przy za∏o˝eniu, ˝e przep∏yw
ciep∏a w kierunku normalnym do powierzchni kulek
jest znacznie wi´kszy ni˝ w kierunku stycznym, co jest
zasadne, gdy pr´dkoÊç ruchu kulek jest dostateczna.
Wspó∏czynniki wnikania ciep∏a
Wspó∏czynniki wnikania ciep∏a w przypadku konwekcji swobodnej mo˝na obliczyç, pos∏ugujàc si´
zale˝noÊciami przedstawionymi w [22, 23]. Dla pioROK WYD. LXXIV 앫 ZESZYT 12/2015
nowej, p∏askiej powierzchni o znacznej szerokoÊci
i wysokoÊci L, je˝eli 105 < GrL Pr < 107, liczba Nusselta
Nu wynosi:
(17)
Dla poziomej, p∏askiej powierzchni o znacznej
d∏ugoÊci i szerokoÊci L, je˝eli cieplejsza powierzchnia
skierowana jest ku górze oraz 105 < GrL Pr < 107, liczba
Nusselta Nu wynosi:
(18)
Dla poziomego nieruchomego walca o znacznej
d∏ugoÊci i Êrednicy D, je˝eli 105 < GrD Pr < 107 oraz
Pr > 0,5, liczba Nusselta Nu wynosi:
(19)
Dla poziomego walca o znacznej d∏ugoÊci, o Êrednicy D, obracajàcego si´ z cz´stoÊcià ko∏owà ω dooko∏a
swej osi, je˝eli 105 < GrL Pr < 107 oraz Re > 8000, liczba
Nusselta Nu wynosi:
(20)
gdzie:
Gr – liczba Grashofa,
Pr – liczba Prandtla,
Re – liczba Reynoldsa,
przy czym:
(21)
gdzie:
ω – cz´stoÊç ko∏owa,
l – charakterystyczny wymiar liniowy (dla
obracajàcego si´ walca równy jest on Êrednicy),
νk – kinematyczny wspó∏czynnik lepkoÊci,
(22)
gdzie:
g – przyspieszenie grawitacyjne,
l – charakterystyczny wymiar liniowy,
β – wspó∏czynnik cieplnej rozszerzalnoÊci obj´toÊciowej,
∆T – ró˝nica temperatur pomi´dzy powierzchnià cia∏a a otoczeniem,
νk – kinematyczny wspó∏czynnik lepkoÊci,
(23)
gdzie:
νk – kinematyczny wspó∏czynnik lepkoÊci,
k – wspó∏czynnik przewodzenia ciep∏a.
Znajàc wartoÊç liczby Nusselta, wspó∏czynnik wnikania ciep∏a h na powierzchniach elementów obrabiarki oblicza si´ z zale˝noÊci:
(24)
gdzie:
L – wymiar charakterystyczny,
k – wspó∏czynnik przewodzenia ciep∏a.
Wnioski
W artykule przedstawiono nowatorski system
kompensacji odkszta∏ceƒ cieplnych Êrub pociàgoROK WYD. LXXIV 앫 ZESZYT 12/2015
wych wyposa˝ony w bezprzewodowy system pomiarowy. Zastosowanie bezprzewodowej komunikacji pozwala na u∏atwienie monta˝u systemu oraz
zwi´kszenie jego odpornoÊci na mechaniczne zu˝ycie w porównaniu z uk∏adem z tradycyjnym konektorem obrotowym. W artykule zaprezentowano równie˝ zale˝noÊci pozwalajàce na przeprowadzenie
oszacowania wartoÊci odkszta∏ceƒ cieplnych wynikajàcych z pracy osi posuwu liniowego obrabiarki.
Analiza ta jest pomocna w procesie decyzyjnym
dotyczàcym wdro˝enia systemu kompensacji odkszta∏ceƒ cieplnych.
LITERATURA
1. Ahn J. Y., Chung S. C.: Real-time estimation of the temperature distribution and expansion of a ball screw system
using an observer. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part B: Journal of Engineering Manufacture,
Vol. 218.12, 2004, pp. 1667 – 1681.
2. Okafor A., Ertekin Y.: Vertical machining center accuracy
characterization using laser interferometer. Journal of Materials Processing Technology, Vol. 105, 2000, pp. 394 – 406.
3. Wu C-H., Kung Y-T.: Thermal analysis for the feed drive
system of a CNC machine center. International Journal of
Machine Tools & Manufacture, Vol. 43, 2003, pp. 1521 – 1528.
4. Otko T., Z´bala W., Âlusarczyk ¸.: Badania wp∏ywu dok∏adnoÊci uk∏adów pomiarowych drogi w obrabiarkach CNC
na dok∏adnoÊç obróbki. In˝ynieria Maszyn, t. 15, 2010,
ss. 102 – 113.
5. Pajor M., Zap∏ata J.: Intelligent machine tool – A thermal
diagnostic system for a CNC pretensioned ball screw. Solid
State Phenomena, Vol. 220-221, 2014, pp. 491 – 496.
6. Pajor M., Zap∏ata J.: Zastosowanie metod sztucznej inteligencji do kompensacji odkszta∏ceƒ cieplnych Êrub pociàgowych obrabiarek CNC. Modelowanie In˝ynierskie, t. 51,
2014, ss. 70 – 76.
7. Pietrusewicz K., Pajor M., Urbaƒski ¸.: Dynamic corrections of
the tooling errors possibilities within the mechatronic
actuator for motors with permanent magnets Archiwum
Technologii Maszyn i Automatyzacji, t. 31, 2011, pp. 181 – 190.
8. Marchelek K.: Dynamika obrabiarek. WNT, Warszawa 1991.
9. Ramesh R., Mannan M.A., Poo A.N.: Error compensation in
machine tools ¡ a review. Part I: geometric, cutting-force induced and fixture-dependent errors. International Journal of
Machine Tools & Manufacture, Vol. 49, 2000, pp. 1235 – 1256.
10. Ramesh R., Mannan M.A., Poo A.N.: Error compensation in
machine tools – a review. Part II: thermal errors. International
Journal of Machine Tools & Manufacture, Vol. 40, 2000,
pp. 1257–1284.
11. Pajor M., Zap∏ata J.: A criterion determining the number of
thermal sensors in a system compensating thermal deformations of CNC machine feed screw. Advances in Manufacturing
Science and Technology, Vol. 36, 2012, pp. 73 – 85.
12. Harris T., Kotzalas M.: Essential Concepts of Bearing Technology. Boca Raton, CRC Press Taylor 2007. Fifth edition.
13. Palmgrene A.: Ball and Roller Bearing Eng. Burbank, Philadelphia 1959, 3rd ed.
14. Biedrzycki J.: Konstrukcja przyrzàdów i urzàdzeƒ precyzyjnych. WNT, Warszawa 1996.
15. INA FAG: Rolling bearings (HR1). Schaeffler Technologies
AG & Co., Schweinfurt 2012.
16. THK: General Catalog Linear Motion Systems. THK Co. LTD.,
Tokyo 2015.
17. Sobolewski J.: Przek∏adnie Êrubowe kulkowe. WNT, Warszawa 2009.
18. HIWIN: Prowadnice z szynà profilowà. HIWIN GmbH,
Offenburg 2015.
19. Abele E., Altintas Y., Brecher C.: Machine tool spindle units.
CIRP Annals – Manufacturing Technology, Vol. 59, 2010,
pp. 781–802.
20. Bejan A.: Theory of rolling contact heat transfer. Journal of
Heat Transfer, May 1989, Vol. 111, pp. 257 – 264.
21. Burton R. A., Staph H. E.: Thermally activated seizure of
angular contact bearings. ASLE Transactions, Vol. 10, 1967,
pp. 408 – 417.
22. Kreith F., Bohn M. S.: Principles of heat transfer, seventh
edition. PWS Publishing Company, Boston 1997.
23. Holman J. P.: Heat Transfer, sixth edition. McGraw-Hill Book
Company, Singapore 1986.
41