Pobierz

OCENA STOPNIA USZKODZENIA KONSTRUKCJI NA PODSTAWIE ANALIZY
JEJ CHARAKTERYSTYK DYNAMICZNYCH
Paweł Szeptyński
Politechnika Krakowska
Streszczenie
W pracy analizowany jest wpływ uszkodzenia przekroju poprzecznego belki na wartości jej charakterystyk dynamicznych. Rozpatrzono dwa modele – jednowymiarowy ciągły model belki drgającej poprzecznie oraz trójwymiarowy model MES. Analiza obydwu modeli wskazuje, że wzrost uszkodzenia konstrukcji
powoduje spadek jej częstości własnych – stopień redukcji zależy od wybranej częstości, wielkości uszkodzenia oraz położenia uszkodzonego przekroju na długości belki. Redukcja pierwszej częstości własnej
jest najsilniejsza – każda następna częstość redukowana jest w mniejszym stopniu. Ponadto redukcja
jest najmniejsza w przypadku, gdy uszkodzony przekrój znajduje się w miejscu zerowania się momentów
zginających w postaci drgań odpowiadającej analizowanej częstości. To zjawisko zostało potwierdzone
przez obserwację rzeczywistych konstrukcji.
1. Wprowadzenie – charakterystyki dynamiczne konstrukcji
Aby zrozumieć prezentowane w niniejszym artykule zagadnienie konieczna jest stosowna wiedza z zakresu mechaniki. Każdy intuicyjnie rozumie czym są częstotliwości rezonansowe – najprostszym przykładem obrazującym ten problem jest huśtawka. Aby wprowadzić huśtawkę w duże wahania konieczne
jest działanie na nią siłą zmienną okresowo, jednakże ze ściśle określoną częstotliwością – większa lub
mniejsza szybkość zmian siły wymuszającej nie spowoduje rezonansu. Innym powszechnie znanym faktem związanym z częstotliwościami własnymi konstrukcji jest konieczność przemarszu wojska przez
most luźnym krokiem, tak aby nie wzbudzić silnych drgań przęsła.
Większość układów mechanicznych można opisać odpowiednim układem równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych. Najczęściej obrazują one równowagę sił działających na dany układ,
www.think.wsiz.rzeszow.pl, ISSN 2082-1107,Nr 2 (6) 2011, s. 109-119
Ocena stopnia uszkodzenia konstrukcji na podstawie analizy jej charakterystyk dynamicznych
uwzględniając przede wszystkim siły zewnętrze, siły bezwładności oraz siły wynikające ze sprężystej deformacji elementów układu. Typowy układ równań ruchu ma ogólną postać:
gdzie M oznacza macierz bezwładności (określającą rozkład masy w konstrukcji), K to macierz sztywności (określająca zależności między siłami a odkształceniami różnych elementów konstrukcji), P to wektor
obciążeń zewnętrznych, zaś x i to odpowiednio wektory przemieszczeń i przyspieszeń. Przyjmując, że
układ wykonuje drgania swobodne (niewymuszone, P = 0), rozwiązaniem jest funkcja będąca złożeniem
wielu drgań harmonicznych (okresowo zmiennych) o różnych częstotliwościach i amplitudach:
Kwadraty kolejnych częstotliwości drgań własnych ωi są wartościami własnymi macierzy M-1·K i są podstawową charakterystyką dynamiczną konstrukcji. Dla układu wykonującego najprostsze drgania istnieje
tylko jedna taka częstotliwość
. Widać stąd, że im większa jest masa układu tym niższe są
częstotliwości własne, zaś im większa jest jego sztywność – tym te częstotliwości są wyższe. Wracając
do przykładu z huśtawką – im cięższa osoba na niej siedzi (duża masa) i im dłuższa jest huśtawka (mała
sztywność) tym niższa jest częstotliwość rezonansowa (dłuższy okres wahnięć).
Częstotliwości własne konstrukcji budowlanych można znaleźć zasadniczo na dwa sposoby – albo opisać
konstrukcję odpowiednimi równaniami (stworzyć model matematyczny wynikający z przyjętego modelu
fizycznego) i wyznaczyć częstotliwości za pomocą odpowiednich narzędzi komputerowych (układy te są
zbyt duże do analizy ręcznej – zawierają setki tysięcy równań), albo pomierzyć drgania istniejącego
obiektu za pomocą np. akcelerometrów a następnie przeprowadzić analizę częstotliwościową (np. analiza Fouriera) zarejestrowanych sygnałów i wyznaczyć częstotliwości dominujące.
2. Postawienie problemu
Rozważane zagadnienie oceny stopnia uszkodzenia konstrukcji poprzez analizę jej charakterystyk dynamicznych wpisuje się w coraz częściej poruszane zarówno w środowisku naukowym jak i wśród projektantów i wykonawców kwestie związane z szeroko pojętą diagnostyką budowli. W szczególności
chodzi o problem lokalizacji oraz oszacowania wielkości ewentualnych uszkodzeń, jakie mogą się w danej konstrukcji pojawić. Istotne jest to, że analiza charakterystyk dynamicznych nie ingeruje w samą
strukturę konstrukcji (wymaga jedynie zainstalowania niewielkich czujników) – jest to zatem tzw. nieniszcząca metoda badania obiektu. Do wykorzystania tej metody wymagana jest jednak znajomość charakterystyk dynamicznych konstrukcji nieuszkodzonych – dla nowych obiektów mogą być one mierzone
zaraz po oddaniu budowli do użytku, zaś dla obiektów istniejących mogą być one wyznaczane numerycznie, poprzez symulacje komputerowe. Omawiana metoda oceny stopnia uszkodzenia wykorzystuje
fakt, iż nawet niewielkie uszkodzenia konstrukcji powodują lokalną zmianę jej sztywności, co w konsekwencji musi prowadzić do spadku wartości jej częstotliwości drgań własnych. Celem niniejszej pracy
110
Ocena stopnia uszkodzenia konstrukcji na podstawie analizy jej charakterystyk dynamicznych
jest próba odpowiedzi na pytanie w jaki sposób na podstawie zmian częstotliwości drgań własnych konstrukcji można wnioskować o położeniu oraz wielkości uszkodzenia.
3. Aktualny stan wiedzy
Pierwszym obiektem mostowym, na którym dokładnie przeanalizowano wpływ uszkodzenia na jego
charakterystykę częstotliwościową był most Z-24 w Szwajcarii. Wyniki doświadczeń przeprowadzonych
przez J. Maeck i G. de Roeck można znaleźć m.in. w [1]. Omawiane zjawisko było przedmiotem badań
wielu zespołów. Warto przytoczyć tutaj doświadczenia przeprowadzane przez Z. Zembatego, M. Kowalskiego oraz S. Pospisil. W [2] przedstawione zostały wyniki eksperymentu, w którym analizowano pełnowymiarową ramę żelbetową (4,15m wysokości) umieszczoną na stole wstrząsowym i poddaną wymuszeniu kinematycznemu. Rezultaty tych badań obrazuje rys. 3.1. Redukcja częstotliwości własnych
była wyraźnie zauważalna (spadek wartości nawet o 10%) nawet wtedy, gdy uszkodzenia (rysy) nie były
jeszcze zauważalne gołym okiem.
Rys. 3.1 Redukcja kolejnych częstotliwości własnych w zależności od stopnia uszkodzenia [2]
Z uwagi na podobieństwo badanych próbek do modeli rozpatrywanych w niniejszej pracy warto przytoczyć także wyniki zespołu amerykańskiego G. OwolabiI, A. Swamidas, R. Seshadri. W [3] pokazali oni
wyniki badań przeprowadzonych na próbkach aluminiowych o długości L = 65 cm i przekroju kwadratowym o boku 25,4mm. Nacinane one były w siedmiu miejscach na długości belki na różną głębokość od
10% do 70% wysokości próbki – grubość rysy wynosiła ok. 0,4mm. Przebadano belki swobodnie podparte oraz obustronnie utwierdzone – przykładowe wyniki (redukcję podstawowej częstotliwości drgań
własnych dla belki swobodnie podpartej) obrazuje rys. 3.2:
111
Ocena stopnia uszkodzenia konstrukcji na podstawie analizy jej charakterystyk dynamicznych
Rys. 3.2 Redukcja podstawowej częstotliwości własnej w zależności od głębokości rysy a.
Położenie rysy: 1 – 8/16 L; 2 – 5/16 L; 3 – 3/16 L
W obydwu przytoczonych pracach wyraźnie widoczny jest wpływ uszkodzenia elementu na spadek jego
częstotliwości własnych. Istotną różnicą jest jednak charakter tej zależności – w przypadku ramy żelbetowej redukcja ta była duża już dla niewielkich uszkodzeń, zaś w przypadku beleczek aluminiowych,
dopiero znaczne uszkodzenia (powyżej 20% wysokości przekroju) dały zauważalną redukcję.
4. Analizowane modele
4.1. Ciągły model prętowy
Rozpatrywane są dwa modele – pierwszym z nich jest model pręta wykonującego niewielkie drgania
poprzeczne. Po przyjęciu szeregu upraszczających założeń (niewielkie odkształcenia, izotropia i jednorodność materiału, zasada płaskich przekrojów Bernoulliego, symetria przekroju pręta, pręt pryzmatyczny) zagadnieniem tym rządzi równanie:
wraz z odpowiednimi warunkami brzegowymi wynikającymi ze sposobu podparcia belki. W równaniu
tym ρ oznacza gęstość objętościową materiału, E jego moduł sprężystości poprzecznej, A to pole przekroju poprzecznego pręta, zaś I jego moment bezwładności. Równanie to można rozwiązać metodą separacji zmiennych Fouriera. Rozwiązanie jest wtedy liniową kombinacją drgań harmonicznych o różnych
częstotliwościach – częstotliwości te znajdujemy z warunku zerowania się wyznacznika macierzy współczynników układu równań jednorodnych jaki tworzą warunki brzegowe. Uszkodzenie pręta można zamodelować zmniejszeniem wysokości przekroju pręta h o pewną wartość c na odcinku o niewielkiej
długości t (rys. 4.1).
112
Ocena stopnia uszkodzenia konstrukcji na podstawie analizy jej charakterystyk dynamicznych
Rys. 4.1 Analizowany model pręta o zredukowanej sztywności.
Parametry równania w obszarze o zredukowanej sztywności można wyrazić za pomocą parametrów
pręta nieuszkodzonego oraz bezwymiarowego współczynnika ζ = c / h, przyjmującego wartości od 0
(pręt nieuszkodzony) do 1 (pręt zniszczony).Otrzymujemy wtedy układ równań:
z warunkami brzegowymi oraz warunkami zszycia. Warunki brzegowe wynikające z warunków podparcia (zablokowanie ugięć w oraz kątów ugięć φ):
dla belki swobodnie podpartej:
dla belki utwierdzonej:
Warunki zszycia – ciągłości ugięć i kątów ugięć w przekrojach granicznych:
113
Ocena stopnia uszkodzenia konstrukcji na podstawie analizy jej charakterystyk dynamicznych
Równowaga sił przekrojowych (momentów zginających M i sił poprzecznych Q):
Równania te tworzą liniowy układ 12 równań zależny od dwóch parametrów – parametru uszkodzenia ζ
oraz położenia rysy. Położenie to opisuje bezwymiarowy współczynnik ξ określający względną lokalizację środka odcinka o zredukowanej sztywności na długości belki – ponieważ zadanie jest symetryczne ξ
przyjmuje wartości od 0 do 0,5. Zer wyznacznika macierzy współczynników układu równań na stałe całkowania poszukiwano numerycznie przyjmując do obliczeń parametry doświadczeń prezentowanych
w [3]. Przeanalizowano modele pręta swobodnie podpartego oraz obustronnie utwierdzonego. Wyniki
obliczeń zaprezentowane są na kolejnych ilustracjach:
Rys. 4.2 Redukcja pierwszej częstotliwości własnej w zależności od położenia (ξ)
oraz stopnia uszkodzenia ζ – belka swobodnie podparta
114
Ocena stopnia uszkodzenia konstrukcji na podstawie analizy jej charakterystyk dynamicznych
Rys. 4.3 Redukcja drugiej częstotliwości własnej w zależności od położenia (ξ)
oraz stopnia uszkodzenia ζ – belka swobodnie podparta
Rys. 4.4 Redukcja trzeciej częstotliwości własnej w zależności od położenia (ξ)
oraz stopnia uszkodzenia ζ – belka swobodnie podparta
Rys. 4.5 Redukcja pierwszej częstotliwości własnej w zależności od położenia (ξ)
oraz stopnia uszkodzenia ζ – belka obustronnie utwierdzona
115
Ocena stopnia uszkodzenia konstrukcji na podstawie analizy jej charakterystyk dynamicznych
Rys. 4.6 Redukcja drugiej częstotliwości własnej w zależności od położenia (ξ)
oraz stopnia uszkodzenia ζ – belka obustronnie utwierdzona
Rys. 4.7 Redukcja trzeciej częstotliwości własnej w zależności od położenia (ξ)
oraz stopnia uszkodzenia ζ – belka obustronnie utwierdzona
Dla każdego z rozpatrywanych modeli dało się zauważyć, że redukcja częstotliwości własnej była najmniejsza w sytuacji, gdy osłabiony przekrój znajdował się w miejscu występowania zerowego momentu
zginającego w postaci drgań odpowiadającej danej częstotliwości (por. rys. 4.7 i 4.8).
Rys. 4.8 Rozkład momentów oraz postać drgań własnych odpowiadających
trzeciej częstotliwości własnej belki obustronnie utwierdzonej
116
Ocena stopnia uszkodzenia konstrukcji na podstawie analizy jej charakterystyk dynamicznych
Ponadto redukcja ta była tym większa im większy był stopień uszkodzenia i dotyczył w największym
stopniu podstawowych częstotliwości własnych. Wyniki obliczeń porównano z wynikami doświadczeń
G. Owolabi i in. z [3]. Charakter zależności był zbieżny jednak wartości były odmienne –
w rozpatrywanym zakresie uszkodzeń redukcja ta w przyjętym modelu obliczeniowym nie przekraczała
2% podczas gdy w doświadczeniach osiągała blisko 30%.
4.2. Model MES
Chcąc przekonać się czy przyjęcie dokładniejszego modelu będzie lepiej oddawać zależność między wartościami częstotliwości własnych a uszkodzeniem konstrukcji, nawiązując do wyników prezentowanych
w [2], przeprowadzono analizę modalną belki żelbetowej (traktowanej jako ciało jednorodne) o długości
6m i przekroju prostokątnym 30cm x 60cm modelowanej w programie ABAQUS przestrzennymi elementami skończonymi. Wprowadzono do modelu rysę o głębokości 1cm i szerokości 1mm, silnie dogęszczając siatkę w okolicach rysy. Wpływ tak zamodelowanego uszkodzenia na wartości częstotliwości
własnych konstrukcji był jednak pomijalnie mały. Na rys. 4.9 – 4.11 przedstawiono postacie drgań własnych odpowiadające kolejnym częstotliwościom drgań własnych:
Rys. 4.9 Pierwsza postać drgań własnych– belka z rysą obustronnie utwierdzona
117
Ocena stopnia uszkodzenia konstrukcji na podstawie analizy jej charakterystyk dynamicznych
Rys. 4.10 Druga postać drgań własnych – belka z rysą obustronnie utwierdzona
Rys. 4.11 Trzecia postać drgań własnych– belka z rysą obustronnie utwierdzona
Podsumowanie i wnioski
Wraz ze wzrostem uszkodzenia następuje coraz silniejsza redukcja wartości częstotliwości drgań własnych. Zależność ta jest trudna do opisania analitycznego – w zależności od rozpatrywanej częstotliwości i warunków brzegowych jej charakter lepiej opisywały funkcje potęgowe lub wykładnicze. Redukcja
częstotliwości jest największa w przypadku podstawowych częstotliwości własnych – każda kolejna redukowana jest w mniejszym stopniu. Jeśli przekrój o zmniejszonej sztywności znajduje się w miejscu
występowania zerowego momentu w postaci odpowiadającej danej częstotliwości, wtedy redukcja jest
minimalna. Zależności te ukazują potencjalnie duże możliwości, jakie dawałaby analiza zmian wielu częstotliwości własnych w ocenie stopnia uszkodzenia oraz lokalizacji defektów w istniejących konstrukcjach. Rozpatrywane modele obliczeniowe w nie dość dokładny sposób opisują zachowanie rzeczywistych elementów. Ponadto częstotliwości własne mogą ulegać zmianie w wyniku działania wielu czynników (temperatura, obciążenie, obecność elementów niekonstrukcyjnych) i ich wpływ istotnie utrudnia
ocenę, na ile pomierzona redukcja częstotliwości związana jest z jej uszkodzeniem, a w jakim stopniu
spowodowane jest to pozostałymi czynnikami.
118
Ocena stopnia uszkodzenia konstrukcji na podstawie analizy jej charakterystyk dynamicznych
Bibliografia
[1] J. Maeck, G. de Roeck, Damage assessment using vibration analysis on the Z24-bridge, „Mechanical
Systems and Signal Processing”, (2003) 17(1), s. 133–142.
[2] Z. Zembaty, M. Kowalski, S. Pospisil, Dynamic identification of a reinforced concrete frame in progressive states of damage, „Engineering Structures”,28 (2006), s. 668–681.
[3] G. Owolabi, A. Swamidas, R. Seshadri, Crack detection in beams using changes in frequencies and
amplitudes of frequency response functions,„Journal of Sound and Vibration”, 265 (2003), s. 1–22.
119