Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty

Transkrypt

Metody statystyczne kontroli jakości i
niezawodności
Lekcja II: Karty kontrolne.
Marek Skarupski
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Marek Skarupski
Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne.
Karty kontroli jakości: przypomnienie
Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę. Może to być np.
długość produkowanych prętów, grubość wytwarzanych płyt wiórowych,
itp. Technik dokonuje pomiarów i zbiera dane w bazie danych.
Marek Skarupski
itp. Technik dokonuje pomiarów i zbiera dane w bazie danych. Na
typowej karcie kontrolnej widnieją trzy linie:
Marek Skarupski
Górna Linia Kontrolna (Upper Control Limit UCL)
Marek Skarupski
Linia Centralne (Central Line CL)
Marek Skarupski
Dolna Linia Kontrolna (Lower Control Limit LCL)
Marek Skarupski
Dolna Linia Kontrolna (Lower Control Limit LCL)
Marek Skarupski
Poznane karty kontrolne: x-karta
Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu, np. chcemy
kontrolować średnią długość ciętych prętów stalowych.
Marek Skarupski
kontrolować średnią długość ciętych prętów stalowych. Po wykonaniu
pierwszych cięć wybieramy losowo n próbek: x1 , x2 , ..., xn i liczymy ich
średnią:
n
1X
x1 =
xk .
n
k=1
Marek Skarupski
średnią:
n
1X
x1 =
xk .
n
k=1
Powtarzamy schemat m-krotnie, tzn. po każdym cięciu po raz kolejny
wybieramy próbki i liczymy średnią. W konsekwencji dostajemy m
wartości średnich: x 1 , x 2 , ..., x m .
Marek Skarupski
średnią:
n
1X
x1 =
xk .
n
k=1
wartości średnich: x 1 , x 2 , ..., x m .Liczymy średnią ze średnich:
x=
m
1 X
xk.
m
k=1
Marek Skarupski
średnią:
n
1X
x1 =
xk .
n
k=1
wartości średnich: x 1 , x 2 , ..., x m .Liczymy średnią ze średnich:
x=
m
1 X
xk.
m
k=1
Ta wartość będzie stanowiła linię centralną.
Marek Skarupski
x-karta
Z każdej próbki oprócz średniej wartości x k , k = 1, ..., m, wybieramy
także wartości największą i najmniejszą i liczymy ich rozstęp:
(1)
(1)
R1 = xmax
− xmin .
Marek Skarupski
x-karta
(1)
(1)
R1 = xmax
− xmin .
W ten sposób dostajemy m wartości rozstępów dla każdej z próbek:
R1 , ..., Rm .
Marek Skarupski
x-karta
(1)
(1)
R1 = xmax
− xmin .
W ten sposób dostajemy m wartości rozstępów dla każdej z próbek:
R1 , ..., Rm .Liczymy średni rozstęp:
R=
m
1 X
Rk .
m
k=1
Marek Skarupski
x-karta
Ustalamy linie kontrolne:
UCL = x + A2 R,
LCL = x − A2 R,
gdzie A2 = d2 3√n jest pewną stałą zależną od rozmiaru próby. Jest ona
podana w specjalnych tablicach. Niemniej jednak dla prób n > 25 można
ją uzyskać wprowadzając pojęcie relatywnej rangi:
W =
R
.
σ
R
Wtedy okazuje się, że zachodzi zależność d2 = , gdzie s jest
s
odchyleniem standardowym z próby.
Marek Skarupski
R-karta
Wraz z kartą do średniej używana jest równolegle karta do kontroli
rozstępu. Linię centralną stanowi tam wartość R.
Marek Skarupski
R-karta
rozstępu. Linię centralną stanowi tam wartość R. W przypadku
poszczególnych linii kontrolnych dostajemy:
UCL = D4 R,
LCL = D3 R,
gdzie D4 , D3 są stałymi podanymi w tablicach.
Marek Skarupski
R-karta
rozstępu. Linię centralną stanowi tam wartość R. W przypadku
poszczególnych linii kontrolnych dostajemy:
UCL = D4 R,
LCL = D3 R,
gdzie D4 , D3 są stałymi podanymi w tablicach. Powyższą zależność
można też zapisać jako
UCL = R + 3
d3
R,
d2
LCL = R − 3
d3
R,
d2
gdzie d2 jest stałą jak poprzednio, zaś d3 uzyskuje się poprzez policzenie
odchylenia standardowego z rozstępu: d3 = sRRd2 .
Zwróćmy uwagę, że karta dla badania rozstępu nie jest symetryczna!
Marek Skarupski
Projektowanie kart kontrolnych dla odchylenia
standardowego s
Pomimo, że x-karty i R-karty są powszechnie stosowane, czasami lepiej
jest zamiast rozstępu kontrolować odchylenie standardowe z próby.
Marek Skarupski
standardowego s
Pomimo, że x-karty i R-karty są powszechnie stosowane, czasami lepiej
jest zamiast rozstępu kontrolować odchylenie standardowe z próby.
Przypomnijmy: wariancją z proby nazywamy wielkość
n
1 X
s =
(xk − x)2 ,
n−1
2
(1)
k=1
gdzie x jest wcześniej wyznaczoną średnią z próby.
Odchyleniem standardowym z próby nazywamy wielkość
√
s = s 2.
Marek Skarupski
(2)
standardowego s
Karty kontroli dla odchylanie standardowego są preferowane w
przypadkach gdy:
Marek Skarupski
standardowego s
przypadkach gdy:
Rozmiar próby jest duży. Liczenie rozstępu w takich przypadkach,
aby wyznaczać wariancję traci wtedy znaczenie statystyczne.
Marek Skarupski
standardowego s
przypadkach gdy:
Rozmiar próby n jest zmienny.
Marek Skarupski
standardowego s
przypadkach gdy:
Rozmiar próby n jest zmienny.
W takich wypadkach proces kontroluje się wykorzystując x-kartę oraz
kartę odchylenia standardowego: s-kartę.
Marek Skarupski
Projektowanie s-karty
Cel: Chcemy kontrolować wariancję procesu.
Marek Skarupski
Cel: Chcemy kontrolować wariancję procesu. Przypuśćmy, że znana jest
wartość odchylania standardowego każdej z próbki (a nie całego
procesu!) i ma ona wartość σ. Wtedy pokazuje się, że linią centralną s
karty jest wartość CL = c4 σ gdzie c4 jest współczynnikiem zależnym od
rozmiaru proby i jest podany w tablicach.
Marek Skarupski
rozmiaru proby i jest podany w tablicach. Pozostałe linie kontrolne to
q
q
UCL = c4 σ + 3σ 1 − c42 , LCL = c4 σ − 3σ 1 − c42 .
Marek Skarupski
rozmiaru proby i jest podany w tablicach. Pozostałe linie kontrolne to
q
q
UCL = c4 σ + 3σ 1 − c42 , LCL = c4 σ − 3σ 1 − c42 .
p
p
Oznaczmy B5 = c4 − 3 1 − c42 , B6 = c4 + 3 1 − c42 . Wtedy
UCL = B6 σ,
Marek Skarupski
LCL = B5 σ.
Problem pojawia się, gdy nie znamy wartości teoretycznej wariancji lub
odchylenia standardowego. Należy wtedy je estymować, czlyli przybliżyć
ich nieznaną wartość .
Marek Skarupski
ich nieznaną wartość . Po pobraniu losowo n próbek: x1 , x2 , ..., xn liczymy
ich wariancję:
s12 .
Marek Skarupski
ich wariancję:
s12 .
Powtarzamy schemat m-krotnie. W konsekwencji dostajemy m wartości
2
wariancji: s12 , s22 , ..., sm
. Potem liczymy odchylenia standardowe z każdej
próby: s1 , s2 , ..., sm
Marek Skarupski
ich wariancję:
s12 .
Powtarzamy schemat m-krotnie. W konsekwencji dostajemy m wartości
2
wariancji: s12 , s22 , ..., sm
. Potem liczymy odchylenia standardowe z każdej
próby: s1 , s2 , ..., sm Linią centralną karty będzie średnie odchylenie
standardowe
m
1 X
CL = s =
si .
m
i=1
Marek Skarupski
Aby ustalić linie UCL i LCL należy wpierw policzyć, w jaki sposób wahają
się odchylenia standardowe, czyli policzyć odchylenie standardowe z
odchyleń standardowych.
Na szczęście dobrym przybliżeniem tej wielkości
p
jest wielkość cs4 1 − c42 , gdzie c4 jest współczynnikiem zależnym od
rozmiaru proby i jest podany w tablicach.
Marek Skarupski
p
rozmiaru proby i jest podany w tablicach. . Dostajemy wtedy
q
q
s
s
UCL = s + 3
1 − c42 , LCL = s − 3
1 − c42 .
c4
c4
Marek Skarupski
p
q
q
s
s
UCL = s + 3
1 − c42 , LCL = s − 3
1 − c42 .
c4
c4
Oznaczmy
B3 = 1 −
3
c4
q
1 − c42 ,
Marek Skarupski
B4 = 1 +
3
c4
q
1 − c42 .
p
q
q
s
s
UCL = s + 3
1 − c42 , LCL = s − 3
1 − c42 .
c4
c4
Oznaczmy
B3 = 1 −
3
c4
q
1 − c42 ,
B4 = 1 +
3
c4
Wtedy:
UCL = B4 s,
Marek Skarupski
LCL = B3 s
q
1 − c42 .
Wpływ na x-kartę
Po wyliczeniu linii dla s-karty, można zauważyć, że ma to wpływ na
x-kartę. Można na niej wyznaczyć linie kontrolne korzystając z
wyliczonego odchlenia standardowego:
s
UCL = x + 3 √ ,
c4 n
Marek Skarupski
s
LCL = x − 3 √
c4 n
Wpływ na x-kartę
s
UCL = x + 3 √ ,
c4 n
s
LCL = x − 3 √
c4 n
Oznaczmy
A3 =
3
√
c4 n
.
Marek Skarupski
Wpływ na x-kartę
s
UCL = x + 3 √ ,
c4 n
s
LCL = x − 3 √
c4 n
Oznaczmy
A3 =
3
√
c4 n
.Wtedy:
UCL = x + A3 s,
Marek Skarupski
LCL = x − A3 s
Właściwy dobór stałych
Zauważmy, że do obliczania odchylenia standardowego wykorzystujemy
wzór
sP
n
2
i=1 (xi − x)
.
s=
n−1
Niektórzy wykorzystują jedank inny wzór:
r Pn
2
i=1 (xi − x)
.
s=
n
Powoduje to różnice w doborze stałych.
Marek Skarupski
Właściwy dobór stałych
Zauważmy, że do obliczania odchylenia standardowego wykorzystujemy
wzór
sP
n
2
i=1 (xi − x)
.
s=
n−1
Niektórzy wykorzystują jedank inny wzór:
r Pn
2
i=1 (xi − x)
.
s=
n
Powoduje to różnice w doborze stałych.
Zamiast stałych c4 , B3 , B4 , A3 bierze się z tablic odpowiednio stałe
c2 , B1 , B2 , A1 .
Marek Skarupski
Karta dla indywidualnych pomiarów
W produkcji występuje wiele sytuacji, w których nie można pobrać więcej
niż jednej próbki, czyli n = 1. W takich wypadkach wykorzystuje się kartę
kontrolną dla indywidualnych pomiarów.
Marek Skarupski
Ranga krocząca
W konstrukcji kart dla indywidualnych pomiarów wykorzystuje się
wielkość nazywaną rangą kroczącą (ang. moving range.)
Marek Skarupski
Ranga krocząca
W konstrukcji kart dla indywidualnych pomiarów wykorzystuje się
wielkość nazywaną rangą kroczącą (ang. moving range.)
MRi = |xi − xi−1 |.
Można także skonstruować kartę dla rangi kroczącej (MR-kartę).
Marek Skarupski
Projektowanie karty dla indywidualnych pomiarów
Cel: Chcemy kontrolować średnią wartość procesu mając możliwość
pobrania tylko jednej próbki w każdym podejściu.
Marek Skarupski
Po wykonaniu m powtórzeń dysponujemy m próbkami: x1 , x2 , ..., xm i
liczymy ich średnią:
m
1 X
x1 =
xk .
m
k=1
Marek Skarupski
m
1 X
x1 =
xk .
m
k=1
Liczymy też rangi kroczące MR2 , MR3 , ..., MRn oraz ich średnią:
MR =
m
1 X
MRk .
m
k=1
Marek Skarupski
m
1 X
x1 =
xk .
m
k=1
Liczymy też rangi kroczące MR2 , MR3 , ..., MRn oraz ich średnią:
MR =
m
1 X
MRk .
m
k=1
Linię centralną karty będzie stanowiła wartość CL = x.
Marek Skarupski
Ponieważ ranga krocząca wyliczana jest na podstawie dwóch pomiarów,
więc dobieramy stałą dla n = 2.
Ustalamy linie kontrolne:
UCL = x +
3
MR,
d2
gdzie d2 = 1, 128.
Marek Skarupski
LCL = x −
3
MR,
d2
Projektowanie MR-karty
Linię centralną będzie tu stanowiła średnia z rang kroczących: CL = MR.
Marek Skarupski
Dobieramy linie kontrolne:
UCL = D4 MR,
gdzie stałe dobieramy dla n = 2.
Marek Skarupski
LCL = D3 MR,
Dobieramy linie kontrolne:
UCL = D4 MR,
LCL = D3 MR,
gdzie stałe dobieramy dla n = 2. Stąd D3 = 0, D4 = 3, 267 oraz
UCL = D4 MR,
Marek Skarupski
LCL = 0
Zmiana rozmiaru próbki
Wielokrotnie w trakcie procesu produkcyjnego zdarza się, że technicy
postanowili dokonać korekty pomiarów. Jedną z możliwości jest
pobieranie innej ilości próbek w każdym badaniu.
Marek Skarupski
Jak już zauważyliśmy w tym wypadku technicy bardzie preferują x-karty i
s-karty, które są jak najbardziej wskazane w takich sytuacjach.
Marek Skarupski
Jak już zauważyliśmy w tym wypadku technicy bardzie preferują x-karty i
s-karty, które są jak najbardziej wskazane w takich sytuacjach.
Załóżmy jednak, że mamy do czynienia ze stałą zmianą wywołaną np.
”cięciem kosztów” kontroli jakości, ustabilizowaniem się procesu,
zmniejszeniem podaży produktu itp.
Marek Skarupski
Wprowadźmy oznaczenia:
R stare - średni rozstęp dla starego rozmiaru
Marek Skarupski
R nowe - średni rozstęp dla rowego rozmiaru
Marek Skarupski
nstare - stary rozmiar próbki
Marek Skarupski
nnowe - nowy rozmiar próbki
Marek Skarupski
d2 (stare) - współczynnik d2 dla starego rozmiaru
Marek Skarupski
d2 (stare) - współczynnik d2 dla starego rozmiaru
d2 (nowe) - współczynnik d2 dla nowego rozmiaru.
Marek Skarupski
Dla x-karty nowe linie kontrolne mają wtedy postać:
UCL = x + A2
d2 (nowe)
R stare ,
d2 (stare)
LCL = x − A2
d2 (nowe)
R stare ,
d2 (stare)
linia centralna się nie zmienia, a stała A2 brana jest dla nowego rozmiaru
próbki.
Marek Skarupski
Dla x-karty nowe linie kontrolne mają wtedy postać:
UCL = x + A2
d2 (nowe)
R stare ,
d2 (stare)
LCL = x − A2
d2 (nowe)
R stare ,
d2 (stare)
linia centralna się nie zmienia, a stała A2 brana jest dla nowego rozmiaru
próbki.
Dla R-karty nowe linie kontrolne mają wtedy postać:
UCL = D4
d2 (nowe)
Rstare ,
d2 (stare)
LCL = max{0, D3
d2 (nowe)
R stare },
d2 (stare)
gdzie D4 , D3 są brane dla nowego rozmiaru próbki, zaś linia centralna
również jest zmieniana na
CL = R nowe =
d2 (nowe)
R stare
d2 (stare)
.
Marek Skarupski
Zmianny rozmiar próbek dla x-karty i s-karty
x-karta i s-karta są relatywnie łatwe w użyciu w przypadku, gdy rozmiary
próbki są zmienne w sposób dynamiczny.
Marek Skarupski
W takim wypadku używa się średniej ważonej przy liczeniu x oraz s.
Marek Skarupski
Niech ni będzie liczbą obserwacji w i-tej próbce. Wtedy:
Marek Skarupski
Pm
ni x i
x = Pi=1
m
i=1 ni
Marek Skarupski
Pm
ni x i
x = Pi=1
m
i=1 ni
Pm
2
i=1 (ni − 1)s i
s = P
.
m
i=1 ni − m
2
Marek Skarupski
Pm
ni x i
x = Pi=1
m
i=1 ni
Pm
2
i=1 (ni − 1)s i
s = P
.
m
i=1 ni − m
2
Tych wartości używa się jako linii centralnych na odpowiednich kartach.
Marek Skarupski
Pm
ni x i
x = Pi=1
m
i=1 ni
Pm
2
i=1 (ni − 1)s i
s = P
.
m
i=1 ni − m
2
Tych wartości używa się jako linii centralnych na odpowiednich kartach.
Do wyliczania UCL i LCL używamy odpowiednich stałych podanych
wcześniej, ale dobranych dla rozmiaru każdej grupy z osobna.
Marek Skarupski
Literatura
Douglas C. Montgomery, Introduction to Statistical Quality Control,
John Willey & Sons Inc., 6th edition, 2009.
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski,
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w
zadaniach, cz. II, PWN, wyd. VIII, 2010.
Marek Skarupski
Podziękowania
Dziękuję za uwagę
Marek Skarupski

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty

Transkrypt

Podobne dokumenty

Historia 14.01.2016r. godz. 8.00 poziom rozszerzony 180 min. sala 59

Niezwykła historia życia i pontyfikatu papieża Polaka! Zobacz jak

Statystyczna kontrola jakości Zakres tematyczny

OECD iLibrary - jest biblioteką internetową Organizacji Współpracy

Szczegółowy plan zajęć – Diagnostyka i niezawodność Robotów

Scenariusz obchodów Światowego Dnia Książki i

Uwaga trzecioklasiści!!! klasa dzień Nr lekcji 3aah poniedziałek 6

Statystyczne sterowanie procesem