Wykład_OFII_1_Koherencja swiatla_podstawy optyki statystycznej

KOHERENCJA ŚWIATŁA –
PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ
prof. dr hab. inż. Krzysztof
Patorski
1. Właściwości statystyczne światła termicznego (“losowego”)
A. Natężenie (intensywność) promieniowania
B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy
C. Koherencja przestrzenna
2. Interferencja w świetle częściowo koherentnym
A. Interferencja dwóch wiązek częściowo koherentnych
B. Interferencja a koherencja czasowa
C. Interferencja a koherencja przestrzenna
Właściwości statystyczne światła termicznego
Promieniowanie zdecydowanej większości źródeł światła odbywa się na drodze emisji spontanicznej.
Atomy lub cząsteczki wzbudzane do wyższych stanów energetycznych przez aktywację termiczną,
elektryczną itp. przypadkowo i niezależnie powracają do stanu podstawowego i emitują światło.
Promieniowanie będące sumą licznych, niezależnych procesów nazywane jest promieniowaniem
(światłem) termicznym.
Kontrastowo różnym od promieniowania termicznego
jest stosunkowo dobrze uporządkowane
promieniowanie wymuszone, emitowane przez laser.
Dowolną falę optyczną opisuje funkcja falowa u(r,t) = Re{U(r,r)}, gdzie U(r,t) oznacza zespoloną funkcję
falową. Przykładowo, U(r,t) = U(r) exp(-i2πνt) dla światła monochromatycznego, lub też U(r,t) może być
sumą podobnych funkcji dla wielu częstotliwości występujących w świetle polichromatycznym. Dla światła
termicznego, obydwie funkcje u(r,t) i U(r,t) są funkcjami losowymi, które można charakteryzować pewnymi
średnimi statystycznymi.
A. Natężenie (intensywność) światła
Natężenie (intensywność) światła koherentnego (patrz poprzednie części wykładu) jest równe kwadratowi
modułu zespolonej funkcji falowej,
.
(1)
W przypadku światła termicznego U(r,t) jest losową funkcja czasu i położenia. Intensywność jest również
opisana funkcją losową. Intensywność średnią można zdefiniować jako
(2)
gdzie < > oznacza uśrednianie wielu wartości funkcji losowej dla różnych wartości czasu i położenia.
Wartość I(r,t) nazywamy intensywnością (w domyśle – uśrednioną), a ⎮U(r,t)⎮2 jest intensywnością
chwilową (losową). Dla światła monochromatycznego i źródła punktowego operacja uśredniania nie jest
konieczna, wszystkie realizacje (dla każdej chwili) dają ten sam wynik.
Średnia intensywność może nie zależeć od czasu lub być funkcją czasu. W pierwszym przypadku fala
optyczna jest statystycznie stacjonarna (średnia nie zależy od czasu). Intensywność chwilowa ⎮U(r,t)⎮2
zmienia się losowo w czasie, ale wartość średnia I(r) pozostaje bez zmian. Jest ona tylko funkcją
odległości od źródła. Natomiast losowa intensywność ⎮U(r,t)⎮2 zmienia się w czasie i przestrzeni.
Operację statycznego uśredniania realizuje się
zazwyczaj przez uśrednianie w czasie znacznie
dłuższym od czasu pojedynczej realizacji, tzn.
a)
IU(r,t)I2
(3)
I(r,t)
t
t
b)
IU(r,t)I2
I(r,t)
t
t
Rys. 1. Fala statystycznie stacjonarna ma niezmienną w czasie
średnią wartość intensywności; b) zmienna w czasie
intensywność fali statystycznie niestacjonarnej. Przypadek a)
odpowiada światłu lampy żarowej ze stabilizowanym zasilaniem
prądowym. Przypadek b) ilustruje zasilanie impulsem
elektrycznym.
B. Koherencja czasowa i rozkład
widmowy
Rozważmy zmiany stacjonarnego światła w
funkcji czasu dla ustalonego położenia r.
Stacjonarna, losowa funkcja U(r,t) ma stałą
intensywność I(r) = <⎮U(r,t)⎮2 >. Dla
uproszczenia, opuśćmy zależność od r (r jest
ustalone), a więc U(r,t) = U(t) i I(r) = I.
Losowe zmiany U(t) charakteryzuje statystyczna
średnia nazywana funkcją autokorelacji. Funkcja
ta opisuje zakres, w którym funkcja falowa
zmienia się zgodnie (unisono) w dwóch
oddzielnych chwilach czasowych, a więc
ustanawia skalę czasu procesu, która tkwi u
podstaw generacji funkcji falowej.
Funkcja czasowej koherencji
Funkcja autokorelacji stacjonarnej, zespolonej,
losowej funkcji U(t) stanowi średnią iloczynu
U*(t) i U(t + τ) w funkcji opóźnienia czasowego
lub
(4)
Rozważmy przypadek < U(t) > = 0. Faza fazora U(t) może przyjmować każdą wartość między 0 i 2π, patrz
rysunek niżej.
Faza iloczynu, czyli kąt między fazorami U(t) i U(t + τ), może
przyjąć dowolną wartość, a więc funkcja autokorelacji Γ (τ)
Im{U(t)}
(wartość średnia) zeruje się. W innym przypadku, jeśli dla
danego opóźnienia czasowego τ funkcje U(t) i U(t+τ) są
skorelowane,
to
faza
iloczynu
U*(t)U(t+τ)
przyjmuje
uprzywilejowaną wartość i średnia Γ(τ) ≠ 0.
W teorii koherencji pól optycznych funkcja autokorelacji
nazywana jest funkcją korelacji czasowej. Można łatwo
wykazać, że Γ(τ) posiada symetrię hermitowską Γ(-τ) =Γ*(τ), oraz
że intensywność I, dana wzorem (2), jest równa Γ(τ) jeśli τ = 0,
Re{U(t)}
I = Γ(0)
(5)
Stopień koherencji czasowej
Zmiany fazora U(t) w czasie, gdy jego argument
przyjmuje wartości w przedziale 0,2π. Średnie
wartości części rzeczywistej i urojonej są równe
zero, a więc <U(t)> = 0.
Funkcja autokorelacji Γ(τ) zawiera informację o intensywności
I = Γ(0) i stopniu korelacji (koherencji) światła (statystycznie
stacjonarnego). Miarą koherencji niezależną od intensywności
jest unormowana funkcja autokorelacji
*
γ (τ ) =
U (t )U(t + τ )
Γ (τ )
=
Γ(0 )
U * (t )U(t )
(6)
nazywana zespolonym stopniem koherencji czasowej, której wartość bezwzględna nie może przekroczyć
jedności
(7)
Wartość⎟ γ(τ)⎟ jest miarą stopnia korelacji między U(t) i U(t+τ). Jeśli światło jest monochromatyczne i
pochodzi ze źródła punktowego, tzn. U(t) = A exp(-i2πν0t), gdzie A oznacza stałą, wtedy z wzoru (6) otrzymuje
się
(8)
czyli ⎟γ(τ)⎟ = 1 dla wszystkich wartości τ. Zmieniające się wartości U(t) i U(t + τ) są całkowicie skorelowane dla
wszystkich opóźnień τ. Zazwyczaj wartość ⎮γ(τ)⎮ zmniejsza się od maksymalnej wartości ⎮γ(0)⎮= 1 ze
wzrostem τ. Dla odpowiednio dużego opóźnienia τ zmiany stają się całkowicie nieskorelowane.
Czas koherencji
Jeśli wartość⎮γ(τ)⎮zmniejsza się monotonicznie z opóźnieniem czasowym τ, to dla pewnego przyjętego spadku
zespolonego stopnia koherencji do wartości, np. równej ½ lub 1/e, wartość opóźnienia τc nazywa się czasem
koherencji (patrz rysunek niżej). Dla τ < τc fluktuacje pozostają “silnie” skorelowane, podczas gdy dla τ > τc są
“słabo” skorelowane. W ogólności τc jest szerokością funkcji ⎟γ(τ)⎟. Często do zdefiniowania czasu koherencji
stosuje się wzór
.
(9)
Czas koherencji światła monochromatycznego jest nieskończenie długi gdyż ⎟γ(τ)⎟ = 1.
a)
τc
|γ(τ)|
1
u(t)
τc
t
τ
0
b)
τc
|γ(τ)|
1
u(t)
τc
t
0
τ
Przykłady funkcji falowej, stopnia koherencji ⎟γ(τ)⎟ i czasu koherencji dla pola optycznego o krótkim (a) i długim (b) czasie
koherencji. Amplituda i faza funkcji zmieniają się losowo ze stałymi czasowymi równymi, w przybliżeniu, czasowi koherencji.
W obydwu przypadkach czas koherencji τc jest większy od czasu trwania pojedynczego cyklu. W zakresie czasu koherencji fala
jest raczej przewidywalna i może być przybliżona sinusoidą. W czasie krótszym od czasu koherencji τc nie jest możliwe
przewidzenie amplitudy i fazy fali.
Światło jest koherentne jeśli odległość cτc jest znacznie większa od wszystkich różnic dróg optycznych
występujących w układzie. Odległość
(10)
nazywa się długością koherencji promieniowania.
Gęstość widmowa mocy
W celu wyznaczenia średniego rozkładu widmowego światła termicznego oblicza się transformatę Fouriera
losowej zespolonej funkcji falowej U(t). Energia składowej zespolonej funkcji falowej dla ustalonego o
częstotliwości ν jest równa
Średnia energia w zakresie częstotliwości od ν do ν + dν wynosi <⎮V(ν)⎮2 >, a więc <⎮V(ν)⎮2 > reprezentuje
gęstość spektralną energii promieniowania (na jednostkową powierzchnię i jednostkowy przyrost
częstotliwości). Przyjęto, że zespolona funkcja falowa U(t) spełnia warunek V(ν) = 0 dla ujemnych wartości ν.
Rozważmy teraz gęstość spektralną mocy. Gęstość spektralna energii w przedziale czasu T jest równa
<⎮VT( ν)⎟2 >, gdzie
(11)
Gęstość spektralna mocy to gęstość spektralna energii na jednostkowy przedział czasowy, tzn.
(1/T) <⎟VT(ν)⎟2>. Rozszerzając przedział czasu T do nieskończoności, T = ∞ otrzymujemy
(12)
Funkcja G(ν) nosi nazwę gęstości spektralnej mocy. Ma ona niezerowe wartości tylko dla dodatnich
częstotliwości. Ponieważ U(t) zdefiniowano tak, że ⎟U(t)⎟2 reprezentuje moc na jednostkową powierzchnię lub
intensywność (W/cm2), to G(ν) dν reprezentuje średnią moc na jednostkową powierzchnię niesioną przez
częstotliwości w zakresie od ν do dν. Tak więc G(ν) odpowiada gęstości spektralnej intensywności (W/cm2-Hz),
często mówi się o gęstości spektralnej. Całkowita intensywność średnia wynosi
(13)
Funkcja autokorelacji Γ(τ) i gęstość spektralna G(ν) powiązane
są przekształceniem Fouriera
(14)
Związek ten znany jest pod nazwą twierdzenia Wienera-Chinczyna.
Szerokość spektralna
Szerokość spektralna lub szerokość linii promieniowania to szerokość Δν gęstości widmowej G(ν). Z uwagi
na związek między G(ν) i Γ(τ) poprzez przekształcenie Fouriera, szerokości tych funkcji są odwrotnie
proporcjonalne. Źródło światła o szerokim widmie ma krótki czas koherencji i odwrotnie, patrz rysunek poniżej.
τc
|γ(τ)|
G(ν)
u(t)
τc
Δν
t
τ
u(t
u(t)
)
τc
|γ(τ)|
|γ(τ)|
ν
G(ν)
τc
Δν
t
τ
ν
Dwie fale losowe, odpowiadające im moduły zespolonego stopnia koherencji czasowej i gęstości spektralne (widmowe).
W szczególnym przypadku promieniowania monochromatycznego mamy Γ(τ) = Iexp(-i2πν0τ), czyli
G(ν) = I δ (ν - ν0) zawiera tylko jedną częstotliwość ν0. W tym przypadku τc = ∞ i Δν = 0. Czas koherencji źródła
można zwiększyć stosując filtr spektralny, ale odbywa się to kosztem straty energii.
Istnieje wiele definicji szerokości widmowej. Najczęściej spotykana to tzw. szerokość połówkowa G(ν), czyli
Δν0.5. Związek między czasem koherencji a szerokością widmową zależy od profilu rozkładu widmowego.
Związek między szerokością widmową i czasem koherencji
Szerokość widmowa Δν0.5
Rozkład gęstości widmowej
Prostokątny
1/τc
Wg funkcji Lorentza
1/πτc ≈ 0.32/τc
Gaussowski
(2ln2/π)1/2 / τc ≈ 0.66/τc
Inną wygodną definicję szerokości spektralnej przedstawia wzór
(15)
z którego wynika związek
(16)
niezależnie od profilu rozkładu gęstości widmowej. Jeśli G(ν) ma rozkład prostokątny w zakresie częstotliwości
od ν0 – B/2 do ν0 + B/2, wtedy ze wzoru (15) otrzymujemy Δνc = B. Dwie definicje szerokości widmowej Δνc i
Δν0.5 ≡ Δν różnią się współczynnikiem mieszczącym się w zakresie od 1/π ≈ 0.32 do 1.
Przykładowe wartości szerokości widmowej, czasu koherencji i długości koherencji dla kilku źródeł
światła (w próżni)
Δνc (Hz)
τc = 1/Δνc
lc = cτc
Promieniowanie słoneczne (λ0 = 0.4 – 0.8 μm)
3.75 x 1014
2.67 fs
800 nm
Dioda elektroluminescencyjna (λ0 = 1 μm, Δλ0 = 50 nm)
1.5 x 1013
67 fs
20 μm
5 x 1011
2 ps
600 μm
0.67 ns
20 cm
Źródło
Niskociśnieniowa lampa sodowa
Wielomodowy laser HeNe (λ0 = 633 nm)
1.5 x 109
Jednomodowy laser HeNe (λ0 = 633 nm)
1 x 106
1 μs
300 m
Przykład: Fala zawierająca losową sekwencję falek
Światło emitowane przez źródło niekoherentne można zamodelować w postaci sekwencji falek emitowanych
losowo w skali czasu. Każda falka jest emitowana przez inny atom. Załóżmy falkę w postaci zanikającej
wykładniczo sinusoidy, tzn.
Up(t) = Ap exp(-t/τc) exp(-i2πν0t), t ≥ 0
Up(t) = 0
u(t)
t<0
τc
⏐γ(τ)⏐
τc
t
0
τ
Światło złożone z ciągu falek emitowanych w losowych odstępach czasu charakteryzuje czas koherencji równy czasowi
trwania pojedynczej falki.
Czasy emisji są całkowicie niezależne, losowo niezależne wartości fazy emisji są zawarte w Ap. Wyznaczając
charakterystyczne parametry średnie otrzymujemy, że zespolony stopień koherencji jest równy
γ(τ) = exp(-⎢τ⎢/τc)exp(-i2πν0τ). Gęstość spektralna mocy ma rozkład według funkcji Lorentza,
G(ν) = (Δν/2π)/[(ν - ν0)2 + (Δν/2)2], gdzie Δν = 1/πτc. W tym przypadku czas koherencji τc jest dokładnie równy
czasowi trwania pojedynczej falki.
C. Koherencja przestrzenna
Funkcja wzajemnej koherencji
Przestrzenne i czasowe fluktuacje losowego zaburzenia U(r, t) dobrze opisuje również funkcja korelacji
wzajemnej U(r1, t) i U(r2, t) w położeniach r1 i r2
Γ(r1, r2, τ) = < U*(r1, t) U(r2, t + τ) >.
(17)
Funkcja ta nosi nazwę funkcji koherencji wzajemnej. Jej unormowana postać
(18)
nosi nazwę zespolonego stopnia koherencji. Gdy dwa punkty pokrywają się, tzn. r1 = r2 = r, wzory (17)
i (18) dotyczą wtedy funkcji koherencji czasowej i zespolonego stopnia koherencji czasowej dla położenia r.
Dodatkowo, gdy τ = 0 mamy I(r) = Γ(r, r, 0).
Zespolony stopień koherencji przyjmujący wartości w zakresie
0 ≤⎟ γ(r1, r2, τ)⎥ ≤ 1
(19)
jest miarą stopnia korelacji między fluktuacjami w punktach r1 i r2 opóźnionymi o τ.
Przypadki szczególne: moduł zespolonego stopnia koherencji równy 0 i 1.
Zależność zespolonego stopnia γ(r1, r2, τ) od opóźnienia czasowego i odległości między położeniami r1 i r2
charakteryzuje koherencję czasową i przestrzenną promieniowania. Dwa przykłady tej zależności pokazano
na rysunkach poniżej.
a)
b)
⏐γ(r1,r2,τ⏐
⏐γ(r1,r2,τ⏐
⏐r1 - r2⏐
τ
⏐r1 - r2⏐
τ
Dwa przykłady ⎥ γ(r1, r2, τ)⎥ w funkcji odległości ⎟ r1 – r2⎟ i opóźnienia czasowego τ.
W przypadku a) maksymalna korelacja dla danego ⎟ r1 – r2⎥ występuje dla τ = 0.
W przypadku b) maksimum korelacji występuje dla⎟ r1 – r2⎥ = cτ.
Intensywność wzajemna (natężenie wzajemne)
Przestrzenną spójność promieniowania ocenia się badając zależność funkcji koherencji wzajemnej dla
ustalonej wartości opóźnienia czasowego τ, zazwyczaj τ = 0 (patrz rys. (a) powyżej). Funkcja wzajemnej
koherencji dla τ = 0,
Γ(r1, r2, 0) = < U*(r1, t) U(r2, t) >
nosi nazwę funkcji wzajemnej intensywności (natężenia wzajemnego) i jest oznaczana, dla prostoty, jako
Γ(r1, r2).
Gdy różnice dróg optycznych w układzie są << lc = cτc, promieniowanie jest czasowo w pełni koherentne i
funkcja koherencji wzajemnej jest harmoniczną funkcją czasu
Γ(r1, r2, τ) = Γ(r1, r2) exp(-i2πν0τ),
(20)
gdzie ν0 oznacza średnią częstotliwość. Przypadek oświetlenia quasi-monochromatycznego, funkcja
wzajemnej intensywności Γ(r1, r2) opisuje w pełni koherencję przestrzenną.
Zespolony stopień koherencji γ(r1, r2, 0) zapisuje się, podobnie, jako γ(r1, r2).
(21)
Stanowi on unormowaną postać intensywności wzajemnej. ⎟ γ(r1, r2)⎟ przyjmuje wartości od 0 do 1 i stanowi
miarę stopnia koherencji przestrzennej (gdy τ = 0).
Obszar koherencji
Przestrzenną koherencję światła quasi-monochormatycznego, w pewnej płaszczyźnie, w pobliżu położenia
danego wektorem r2, opisuje ⎥ γ(r1, r2)⎥ będący funkcją odległości ⎥ r1 – r2⎥. Obszar w otoczeniu r2 zakreślany
przez wektor r1, dla którego stopień koherencji jest większy od pewnej przyjętej wartości (np. ½ lub 1/e)
nazywany jest obszarem koherencji.
⏐γ(r1, r2)⏐
⏐γ(r1, r2)⏐
r1
O
r2
r1
Ac
1
O
1
r2
Ac
Dwa przykłady unormowanej wartości wzajemnego natężenia w funkcji r1 w pobliżu ustalonego punktu r2.
Obszar koherencji a wymiary poprzeczne układu optycznego.
Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jest większy od średnicy źrenicy układu optycznego, a więc ⎥ γ(r1,
r2)⎥ ≈ 1 dla wszystkich punktów źrenicy, promieniowanie można uważać za całkowicie koherentne
(“nieograniczony” obszar koherencji). Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jest mniejszy od
rozdzielczości układu optycznego, to wtedy można zapisać γ(r1, r2) = 0 praktycznie dla wszystkich r1 ≠ r2. W
tym przypadku mamy do czynienia z oświetleniem niekoherentnym.
Wzajemna gęstość widmowa (mocy)
Natężenie wzajemne Γ(r1, r2) stanowiące szczególny przypadek funkcji koherencji wzajemnej Γ(r1, r2, τ) dla τ =
0 jest dobrą miarą opisu koherencji przestrzennej światła quasi-monochromatycznego. Inne przydatne
podejście bazuje na opisie koherencji przestrzennej w domenie częstotliwości – analizuje się korelację
przestrzenną dla danej częstotliwości. Funkcja wzajemnej gęstości widmowej jest zdefiniowana jako
przekształcenie Fouriera funkcji wzajemnej koherencji Γ(r1, r2, τ) względem τ
G (r1 , r2 , ν ) =
∞
∫ Γ(r , r , τ ) exp(− i2 π ν τ ) dτ .
1
2
(22)
−∞
Gdy r1 = r2 = r, funkcja wzajemnej gęstości widmowej staje się funkcją widmowej gęstości mocy G(ν) dla
położenia r, patrz wzór (14).
Unormowaną postać wzajemnej gęstości widmowej, zespolony stopień koherencji widmowej, opisuje wzór
g (r1 , r2 , ν ) =
G (r1 , r2 , ν )
1
2
[G ( 1 , r1 , ν )G (r2 , r2 , ν )]
(23)
Wartość zespolonego stopnia koherencji widmowej zawiera się w przedziale od 0 do 1. Stanowi on miarę
stopnia koherencji przestrzennej między r1 i r2 dla częstotliwości ν.
W teorii koherencji wiele problemów zdecydowanie upraszcza się, gdy zespolony stopień koherencji
promieniowania można przedstawić jako iloczyn dwóch czynników: jednego zależnego tylko od zmiennych
przestrzennych, drugiego zależnego tylko od opóźnienia czasowego. Taką funkcję koherencji określa się jako
redukowalną. Właściwość tę można wyrazić również w równoważny sposób w dziedzinie widmowej, gdzie
definiuje się ją jako wzajemną czystość widmową. Możemy zapisać teraz G(r1, r2, ν) = Γ(r1, r2) g(ν).
Analogicznie, funkcję koherencji wzajemnej musimy teraz zapisać w postaci Γ(r1, r2, τ) = Γ(r1, r2) γ(τ), gdzie
γ(τ) stanowi odwrotną transformatę Fouriera g(ν). Jeśli przy rozdziale właściwości przestrzennych i widmowych
przyjęto ∫g(ν)dν = 1, wtedy Γ(r1, r2) = Γ(r1, r2, 0), a więc Γ(r1, r2) odpowiada intensywności wzajemnej. Czyste
widmowo światło ma dwie ważne właściwości:
 Dla pojedynczego położenia r, mamy G(r, r, ν) = Γ(r, r) g(ν) = I(r) g(ν). Widmo ma ten sam rozkład dla
wszystkich położeń. W przypadku obrazowania przez układ optyczny, obraz ma wszędzie tę samą barwę,
przy zmiennym rozkładzie natężenia w obrazie.
 Unormowana wzajemna gęstość widmowa mocy
g(r1, r2, ν) = Γ(r1, r2) / [Γ(r1, r1) Γ(r2, r2)]1/2 = γ(r1, r2)
(24)
nie zależy od częstotliwości ν. Unormowana intensywność wzajemna γ(r1, r2) opisuje koherencję
przestrzenną dla wszystkich częstotliwości.
2. Interferencja w świetle częściowo koherentnym
Interferencja wiązek częściowo koherentnych widmowo i przestrzennie
Dwa częściowo koherentne zaburzenia U1 i U2, w wyniku interferencji, dają rozkład intensywności
I = <⎥ U1 + U2⎥ 2 >=<⎥ U1⎥ 2 > + <⎥ U2⎥ 2 > + <U1* U2 > + < U1U2* > = I1 + I2 + Γ12 + Γ12* = I1 + I2 + 2 Re{Γ12}
skąd
= I1 + I2 + 2 (I1 I2)1/2 Re{ γ12},
(25)
I = I1 + I2 + 2 (I1I2)1/2 ⎥ γ12⎥ cosϕ,
(26)
gdzie ϕ = arg {γ12} jest fazą γ12. Ostatni wyraz po prawej stronie opisuje interferencję wiązek. Dwa szczególne
przypadki to γ12 = exp(iϕ) i ⎥γ12⎥ = 1, czyli oświetlenie w pełni koherentne, oraz γ12 = 0, I = I1 + I2, czyli
oświetlenie w pełni niekoherentne (brak interferencji).
Kontrast prążków interferencyjnych, definiowany ogólnie znanym wzorem C = (Imax – Imin) / (Imax + Imin),
w rozważanym przypadku jest równy
(27)
Kontrast prążków jest więc proporcjonalny do modułu unormowanej funkcji intensywności wzajemnej, tj. ⎥ γ12⎥ .
Gdy I1 = I2 mamy
(28)
C =⎟ γ12⎥.
Interferencja a koherencja czasowa
Rozważmy interferencję częściowo koherentnego zaburzenia U(t) o zespolonym stopniu koherencji czasowej γ(τ)
= < U*(t) U(t + τ) > / I0 z własną repliką przesuniętą w czasie o τ, tzn. U(t + τ). Z wzoru (26), podstawiając U1 =
U(t), U2(t + τ), I1 = I2 = I0, γ12 = < U*(t) U(t + τ)> / I0 = γ(τ), otrzymuje się
I = 2 I0 [ 1 + Re {γ(τ)} ] = 2 I0 [ 1 + ⎥ γ(τ)⎥ cosϕ(τ) ],
(29)
gdzie ϕ(τ) = arg{γ(τ)}. Wynik interferencji w rozważanym przypadku zależy od zespolonego stopnia koherencji
czasowej.
I/2I0
U
2
d1
2⏐γ(τ)⏐
d2
1
U1+U2
0
0
r=2(d2-d1)/c
I
Schemat interferometru Michelsona (Twymana-Greena) do pomiaru stopnia koherencji czasowej wiązki o płaskim czole falowym.
Rozważmy wiązkę o płaskim czole falowym o zespolonym stopniu koherencji równym γ(τ) = γa (τ) exp(-i2πν0τ).
Szerokość spektralna promieniowania wynosi Δνc = 1/τc, gdzie τc jest szerokością ⎥ γa(τ)⎥ i jednocześnie czasem
koherencji. Z ostatniego wzoru otrzymujemy
I = 2 I0 { 1 + ⎥ γa(τ)⎥ cos[2πν0τ + ϕa(τ)]},
(30)
gdzie ϕa(τ) = arg{γa(τ)}.
Zakładając Δνc<< ν0, funkcje ⎥ γa(τ)⎥ i ϕa(τ) zmieniają się bardzo wolno w odniesieniu do okresu 1/ν0, gdyż Δνc =
1/τc << ν0. Kontrast interferogramu w pobliżu danej wartości opóźnienia τ wynosi C = ⎥ γ(τ)⎥ = ⎥ γa(τ)⎥. Dla τ = 0
osiąga maksymalną wartość równą jedności i zeruje się dla τ >>τc, tzn. gdy różnica dróg optycznych jest
znacznie większa od długości koherencji lc = cτc.
Stopień koherencji czasowej wiązki ⎥ γ(τ)⎥ można wyznaczyć mierząc kontrast prążków inteferencyjnych w
funkcji opóźnienia.
Interesujący wynik otrzymuje się zapisując wzór (29) posługując się widmową gęstością mocy. Korzystając ze
związku, poprzez przekształcenie Fouriera, między Γ(τ) i G(ν) i zważywszy, że funkcja G(ν) jest funkcją
rzeczywistą oraz ∫0∞ G(ν) dν = I0, otrzymuje się
I = 2 ∫0∞ G(ν) [ 1 + cos(2πντ) ] dν.
(31)
Ostatni wzór można interpretować jako ważoną superpozycję interferogramów wytwarzanych przez każdą
monochromatyczną długość fali. Każda długość fali (częstotliwość) wytwarza interferogram o okresie 1/ν i
jednostkowym kontraście. Z powodu różnych okresów dla różnych częstotliwości w wyniku superpozycji
otrzymuje się interferogram o obniżonym kontraście.
Postać wzoru (31) sugeruje metodę wyznaczania gęstości widmowej G(ν) źródła poprzez pomiar rozkładu
intensywności interferogramu I w funkcji τ, a następnie obliczenie transformaty Fouriera. Metoda ta znana jest
pod nazwą spektroskopii fourierowskiej.
Interferencja a koherencja przestrzenna
Efekt koherencji przestrzennej na obraz interferencyjny najlepiej ilustruje sławne doświadczenie Younga
(interferometr Younga, z podziałem czoła falowego, omówiono w poprzedniej części wykładu dotyczącej
różnych typów interferometrów).
λ/θ
I/2I0
2a
θ=2a/d
z
2
x
1
λ/θ
⏐γ(r1, r2)⏐
d
0
0
x
Doświadczenie Younga. Unormowane wzajemne natężenie między otworkami jest równe γ(r1, r2). Założono równe
intensywności zaburzeń wychodzących z otworków.
W parabolicznym przybliżeniu Fresnela dwie interferujące wiązki o sferycznych czołach falowych (i równych
intensywnościach) można zapisać w postaci
(32a)
⎛
r − r2
U 2 (r, t )αU⎜⎜ r2 , t −
c
⎝
2
⎛
⎞
d + (x − a ) /2d ⎞
⎟
⎟⎟ ≈ U⎜ r2 , t −
⎜
⎟
c
⎠
⎝
⎠
(32b)
Unormowana funkcja korelacji między tymi wiązkami w punkcie r wynosi
gdzie
γ12 = < U1*(r, t) U2(r, t) > / I0 = γ (r1, r2, τx),
(33)
(34)
jest różnicą opóźnień czasowych między dwiema falami. Podstawiając (33) do (26) otrzymuje się rozkład
intensywności I ≡ I(x) w postaci
I(x) = 2 I0 [1 + ⎥ γ(r1, r2, τx)⎥ cosϕx ],
(35)
gdzie ϕx = arg{γ(r1, r2, τ)}. Wzór ten opisuje rozkład intensywności prążków interferencyjnych w płaszczyźnie
obserwacji w funkcji modułu i fazy zespolonego stopnia koherencji przy opóźnieniu czasowym τx = θx/c.
Promieniowanie quasi-mochromatyczne
Jeśli teraz możemy zapisać γ(r1, r2, τ) ≈ γ(r1, r2) exp(-i2πν0τ), to ostatnie równanie upraszcza się do postaci
I(x) = 2 I0 [ 1 + C cos{2π(θx/λ) + ϕ} ],
(36)
gdzie λ = c/ν0, C =⎥ γ(r1, r2)⎥, τx = θx/c, ϕ = arg{γ(r1, r2)}. Okres prążków o sinusoidalnym rozkładzie
intensywności wynosi λ/θ. Kontrast prążków C jest teraz determinowany przez stopień koherencji przestrzennej
między zaburzeniami emitowanymi przez dwa otworki. Położenie prążków wzdłuż osi x zależy od fazy ϕ.
Interferencja w przypadku źródła o skończonych wymiarach poprzecznych
Jeśli otworki w ekranie oświetla quasi-monochromatyczna fala płaska propagująca się wzdłuż osi z, tzn. U(r, t)
= exp(ikz) exp(-i2πν0t), to wtedy⎥ γ(r1, r2)⎥ = 1 i arg{γ(r1, r2)} = 0. Jedno z maksimów intensywności prążków o
jednostkowym kontraście pokrywa się z x = 0. W przypadku wiązki propagującej się pod małym kątem θx
względem osi z, tzn. U(r, t) ≈ exp[i(kz + kθxx)] exp(-i2πν0t), wtedy γ(r1, r2) = exp(ikθx2a). Pochylenie wiązki
oświetlającej otworki prowadzi do zmiany fazy ϕ = kθx2a = 2πθx 2a/λ i poprzecznego przesuwu prążków o
część okresu (2aθx /λ). Gdy ϕ = 2π, przesunięcie poprzeczne jest równe okresowi prążków.
Jeśli wiązka oświetlająca będzie zbiorem niekoherentnych względem siebie fal płaskich, ze źródła widzianego
pod kątem θs z płaszczyzny ekranu z otworkami, wtedy przesunięcie fazowe będzie występowało w zakresie
(+/-)2π(θs/2)2a/λ = (+/-) 2πθsa/λ i obraz w płaszczyźnie obserwacji będzie stanowił superpozycję wielu
rozkładów sinusoidalnych wzajemnie przesuniętych. Gdy θs = λ/2a faza ϕ zmienia się w zakresie (+/-)π i
wystarcza to do spadku kontrastu do zera.
(37)
Odległość
ρc ≈ λ/θs
jest miarą odległości (dlugości lub „odcinka”) koherencji w płaszczyźnie ekranu z otworkami. Przyjmijmy, że kąt
pod którym widać słońce wynosi 0.5o. Wtedy odległość koherencji dla danej długości fali jest równa ρc ≈ λ/θs ≈
115 λ. Dla λ = 0.5 μm mamy ρc ≈ 57.5 μm.
Bardziej ścisłe rozważania dyfrakcyjne (patrz kolejna część wykładu dotycząca obrazowania w oświetleniu
niekoherentnym) definiują odległość koherencji ρc dla kołowego źródła o jednorodnym rozkładzie intensywności
jako równą ρc = 1.22λ/θs.
Wpływ szerokości spektralnej na obraz prążkowy w doświadczeniu Younga
Przyjmijmy Δνc << ν0. Zespolony stopień koherencji ma teraz postać
γ(r1, r2, τ) = γa (r1, r2,τ) exp(-i2πν0τ),
(38)
gdzie γa (r1, r2, τ) oznacza wolno zmienną funkcję względem τ (w stosunku do okresu 1/ν0). Podstawiając (38)
do (35) otrzymujemy
I(x) = 2 I0 [ 1 + Cx cos {2π(θx/λśr) + ϕx } ],
gdzie Cx =⎥ γ a(r1, r2,τx)⎥, ϕx = arg{γa(r1, r2, τx)}, τx = θx/c, i λśr = c/ν0.
(39)
Okres prążków interferencyjnych wynosi teraz λśr/θ. Ich kontrast Cx i faza ϕx, proporcjonalne do modułu i fazy
zespolonego stopnia koherencji, zmieniają się z opóźnieniem czasowym τx = θx/c. Jeśli⎥ γa(r1, r2, τ)⎥ = 1 dla τ
= 0, stopień koherencji zmniejsza się ze wzrostem τ i zeruje się dla τ >> τc; kontrast Cx = 1 dla x = 0 i
zmniejsza się ze współrzędną x, zeruje się dla x >> xc = cτc/θ. Prążki są widzialne w zakresie
xc = lc / θ,
(40)
gdzie lc = cτc jest długością (drogą) koherencji, a θ jest kątem pod którym widać otworki.
I/2I0
xc =
lc
θ
2
θ
2a
d
Płaszczyzna
obserwacji
Ekran
1
0
0
x
Wiązka padająca
Kontrast prążków interferencyjnych dla współrzędnej x jest równy stopniowi koherencji w płaszczyźnie ekranu z otworkami
dla opóźnienia czasowego τx = θx/c.
W przypadku pełnej koherencji przestrzennej liczba obserwowanych prążków jest równa xc / (λśr/θ) = lc/λśr =
cτc/λśr = ν0/Δνc. Jest więc ona równa ilorazowi długości koherencji lc i średniej długości fali λśr, lub ilorazowi
średniej częstotliwości ν0 i spektralnej szerokości linii widmowej Δνc.
Jeśli ⎥ γ(r1, r2, 0)⎥ < 1, tzn., źródło nie jest przestrzennie koherentne, kontrast prążków będzie szybciej zanikał
i liczba obserwowanych prążków będzie mniejsza.