Przyspieszony kurs rachunku ró˙zniczkowego czyli co to jest

Przyspieszony kurs rachunku różniczkowego
czyli co to jest pochodna i calka oraz jak z nich korzystać
Pochodne
Poniższy tekst nie jest w żadnym razie ani matematycznie rygorystyczny, ani pewnie
nawet matematycznie poprawny, ale jest prawdziwy w sensie, który Wam, jako fizykom
be‘dzie przydatny i da Wam poprawne wyobrażenie o poruszonych tu problemach. Bardziej
poprawny/rygorystyczny wyklad znajdziecie w podre‘cznikach Analizy matematycznej lub
innych źródlach, ja podaje‘ tu tyko tyle ile nam be‘dzie potrzeba i nic ponad to na razie nie
be‘dzie wymagane – dalsze informacje be‘da‘ wprowadzane w ramach potrzeb później.
Na pocza‘tek oznaczenia: y = f (x), czyli y jest pewna‘ funkcja‘ zmiennej x. Wtedy
(prawie) formalna definicja pochodnej funkcji po jej argumencie:
∆y
dy
= lim
dx ∆x→0 ∆x
czyli pochodna jest granica‘ (lim) przyrostu funkcji (∆y) podzielonego przez odpowiadaja‘cy
mu przyrost argumentu (∆x) przy zmianie (przyroście) argumentu zmierzaja‘cym do zera
(∆x → 0). Jeśli funkcja f jest funkcja‘ tylko jednej zmiennej to stosowane jest oznaczenie
dy
y ′ = dx
na pochodna‘ tej funkcji po jej argumencie, oznaczenie be‘dzie w dalszej cze‘ści
stosowane wielokrotnie. Taka granica, a wie‘c i pochodna moga‘ nie istnieć w pewnych
przypadkach, ale póki co nie bierzemy tego pod uwage‘.
Interpretacja geometryczna pochodnej: prosze‘ zwrócić uwage‘ na fakt, iż iloraz różnicowy w definicji pochodnej jest niczym innym jak wspólczynnikiem nachylenia siecznej
wykresu funkcji f (x) przechodza‘cej przez punkty (x, f (x)) oraz x + ∆x, f (x + ∆x), a
przejście do granicy ∆x → 0 sprowadza sie‘ to otrzymania wspólczynnika kierunkowego
stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x :-) Tak wie‘c wartość pochodnej w danym
punkcie jest wartoscia‘ wspólczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w tym
punkcie.
Niech f (x) i g(x) be‘da‘ dwiema funkcjami tej samej zmiennej, wtedy obowia‘zuja‘ naste‘puja‘ce wlasności pochodnej (jeśli mamy jedna‘ zmienna‘ niezależna‘ (argument funkcji) to
w dalszej cze‘ści dla krótkości zapisu be‘de‘ pomijal także ten argument, o ile nie be‘dzie to
prowadzilo do problemów z interpretacja‘ wzorów :-)
– pochodna sumy lub różnicy dwu funkcji tej samej zmiennej jest suma‘ (różnica‘) pochodnych tych funkcji:
(f (x) ± g(x))′ = f ′ (x) ± g ′ (x)
– pochodna iloczynu dwu funkcji dana jest wzorem:
(f (x)g(x))′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
– pochodna ilorazu funkcji dana jest wzorem:
f ′
g
=
f ′g − f g′
g2
– pochodna funcji zlożonej g(f (x)) (czyli funkcja g jako funkcja argumentu be‘da‘cego
inna‘ funkcja‘ f , np. (ax + b)n jest n–ta‘ pote‘ga‘ funkcji liniowej ax + b, czy
odwrotność funkcji kwadratowej):
(g(f (x))′ =
1
ax2 +bx+c
-
dg df
df dx
czyli pochodna funkcji zewne‘trznej (g) po argumencie f traktowanym jakby byl zmienna‘ niezależna‘ (argumentem) razy pochodna funkcji wewne‘trznej po jej argumencie.
n
2
d(1/y) d(ax +bx+c)
) df
1
.
Dla przykladów powyżej: ((ax + b)n )′ = d(y
dy dx oraz ax2 +bx+c =
dy
dx
Do udowodnienia powyższych wlasności przeważnie wystarcza definicja pochodnej, podob-
nie jak z tej definicji możemy pokazć, że dwie funkcje różnia‘ce sie‘ jedynie stala‘ maja‘ te‘
sama‘ pochodna‘ oraz wyliczyć pochodna‘ jednomianu (xn ):
(x + ∆x)n − xn
d(xn )
= lim
∆x→0 (x + ∆x) − x
dx
aby wyliczyć powyższa‘ granice‘ stosujemy wzór na rozwiniee‘cie n-tej pote‘gi dwumianu (o
ile sie‘ nie myle‘ wzór ten nosi nazwe‘ wzoru dwumiennego Newtona (prosza‘ to sprawdzić) i
dość bywa przydatny wie‘c wart jest zapamie‘tania):
n
(a + b) =
n X
n
i=0
i
ai bn−i
(wzór ten znaczy: suma po wszystkich calkowitych i od 0 do n wyrażeń postaci ai bn−i ze
n!
wspólczynnikami liczbowymi nk = k!(n−k)!
, a wie‘c jest to zawsze wielomian stopnia n w
wyrażeniach a i b ze wspólczynnikami calkowitymi :-) stosuja‘c powyższy wzór do licznika
wzoru poprzedniego dostajemy:
xn + nxn−1 ∆x + n(n − 1)xn−2 (∆x)2 + dalsze − xn
d(xn )
= lim
∆x→0
dx
∆x
w wyrażeniu tym dalsze oznacza skończona‘ liczbe‘ wyrazów, w których mamy coraz niższe
pote‘gi x i coraz wyższe ∆x, aż do ostatniego (∆x)n . W wyrażeniu w liczniku wyrazy xn
kasuja‘ sie‘ dla dowolnego x i n, a pozostale wyrazy moge‘ zgrupować do postaci: nxn−1 ∆x+
(inne) × (∆x)2 gdzie inne jest skończonej dlugości wielomianem w xi i (∆x)n−i . Podstawiaja‘c to do definicji dostajemy:
d(xn )
nxn−1 ∆x + (inne) × (∆x)2
= lim
= lim (nxn−1 + (inne)∆x) = nxn−1
∆x→0
∆x→0
dx
∆x
czyli pokazaliśmy, że (xn )′ = nxn−1 , ska‘d od razy widać, że pochodna funkcj stalej (n = 0
:-) jest zero (0) co można zobaczyć także wprost z definicji bo mamy tam granice‘ wyrażenia
zawsze równego zero dzielonego przez coś niezerowego co także w granicy daje zero :-)
Podane na pocza‘tku wlasności pochodnej umożliwiaja‘ nam wyliczenia pochodnych
bardziej skomplikowanych wyrażeń. Np. by wyliczyć pochodna‘ funkcji axn korzystam z
wlasności iloczynu i znanej mi już wartości pochodnej jednomianu: (axn )′ = a′ xn + a(xn )′ ,
ale już wiem, że a′ = 0 oraz (xn )′ = nxn−1 wie‘c od razu dostaje‘: (axn )′ = anxn−1 . Maja‘c
wartość takiej pochodnej i wiedza‘c jak wyraża sie‘ pochodna sumy mam od razu pochodna‘
dowolnego wielomianu :-)
Przy okazji możemy także sprawdzić konsystencje‘ tego czego już sie‘ dowiedzieliśmy o
pochodnych próbuja‘c sprawdzić jak wygla‘da pochodna funkcji xn dla n < 0 – jeśli ktoś
tego jeszcze nie zauważyl w moim wyprowadzeniu powyżej tkwilo zalożenie, że n > 0 bo
tylko dla takich n mamy poprawność wzoru dwumiennego :-) Tak wie‘c dla n < 0 moge‘
albo przyja‘ć stosowalność tego wzoru wyprowadzonego powyżej, pomimo że wiem, że dla
niego sam dowód jest nie za bardzo porawny, albo moge‘ sprawdzić czy wzór ten sie‘ stosuje
korzystaja‘c z (no dobrze nie udowodnionych, ale prawdziwych :-) wlasności podanych
powyżej. A rozumowanie może przebiegać tak: jeśli n < 0 to |n| > 0, a wiem, że dla pote‘g
calkowitych mam naste‘puja‘ca‘ ich wlasność: x−k = x1k dla dowolnych k > 0, czyli ujemna
pote‘ga calkowita jakiejkolwiek liczby to odwrotność tej liczby do pote‘gi be‘da‘cej modulem
wykladnika. Tak wie‘c dla n < 0 mamy (xn )′ = (1/(x|n| )′ i ponieważ |n| > 0 to moge‘
już skorzystać z udowodnionego wzoru oraz wzoru na pochodna‘ ilorazu funkcji (albo na
funkcje‘ zlożona‘, wynik powinien być ten sam – prosze‘ to sprawdzić :-) Dostaje‘ wtedy:
(xn )′ =
0 × x|n| − |n|x|n|−1
= −|n|x|n|−1 /x2|n| = −|n|x|n|−1−2|n| = −|n|x−|n|−1
2|n|
x
ale to już jest nic innego jak nxn−1 bo dla n < 0 −|n| = n :-) Tak wie‘c udowodniliśmy, że
wzór na pochodna‘ jednomianu jest prawdziwy nie tylko dla n > 0, ale także i dla n < 0.
Wiedza mocno na wyrost: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = − sin x, istnieje takie e > 1, że
(ex )′ = ex – Ci którzy nie wiedza‘ co to za funkcje na razie nie musza‘ :-)
Calki nieoznaczone
R
Calka nieoznaczona funkcji (oznaczana jako f (x)dx to operacja odwrotna do obliczania
pochodnej w sensie:
Z
d
f (x)dx = f (x)
dx
ponieważ dwie funkcje różnia‘ce sie‘ stala‘ maja‘ te‘ sama‘ pochodna‘ to widać z powyższej
definicji, że calka nieoznaczona wyznaczona jest niejednoznacznie, a dokladniej wyznaczona
jest z dokladnościa‘ do stalej. Uwaga ta nie dotyczy calki oznaczonej – o tym co to jest i
jaka‘ ma interpretacje‘ być może też kiedyś pomówimy. Prosze‘ sie‘ zastanowić czy powyższa
R (x)
definicja pocia‘ga za soba‘, że dfdx
dx = f (x)?
A skoro wiemy już ile jest pochodna funkcji xn to wiemy także ile jest calka nieoznaczona funkcji takiej postaci :-) Prosze‘ sprawdzić, używaja‘c wlasności pochodnych, że
R n
1
xn+1 + c, gdzie c jest dowolna‘ stala‘. Calka nieoznaczona sumy czy różnicy
x dx = n+1
R
R
R
funkcji ma te‘ sama‘ wlasność co pochodna tj. (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx
czyli umiemy policzyć calke‘ dowolnego wielomianu, i tyle nam na razie wystarczy :-)