Materiały pomocnicze do realizacji programu zajęć pozaszkolnych

Komentarze

Transkrypt

Materiały pomocnicze do realizacji programu zajęć pozaszkolnych
„ TYLKO OSZLIFOWANY DIAMENT ŚWIECI ”
MATERIAŁY POMOCNICZE
DO REALIZACJI
PROGRAMU ZAJĘĆ POZASZKOLNYCH Z MATEMATYKI
DLA UCZNIÓW ZDOLNYCH
SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH
ALEKSANDER RYBSKI
NOWY SĄCZ - 2009
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
METODA PROJEKTU W NAUCZANIU
„ Powiesz – zapomnę,
pokażesz – zapamiętam,
przeż yję, doświadczę – zrozumiem.‖
Metoda projektu jest interdyscyplinarną metodą nauczania matematyki, uczy
poszukiwania informacji i autoprezentacji. Odwołuje się do zainteresowań ucznia i pozwala
na poszerzenie jego wiedzy.
Projekt uczy samodzielności i współdziałania w sposób planowy i konsekwentny,
wyrabia nawyki samokształceniowe – rozwija samodzielne myślenie i kreatywność uczniów.
Odwołuje się do zainteresowań ucznia i pozwala na poszerzenie jego wiedzy. Ma charakter
odkrywczy. Wymusza realizację pełnego procesu badawczego: planowanie przebiegu badań
przez zdobywanie informacji, stosowanie rozmaitych strategii rozwiązywania problemu,
opracowanie wniosków, stawianie dobrych pytań. Uczy jak radzić sobie z nadmiarem
informacji – jak je gromadzić, selekcjonować, odrzucać , uczy umiejętności dokonywania
stosownych wyborów. Jako aktywna metoda uczenia pozwala tak organizować proces
nauczania, że uczeń z biernego odbioru wiedzy staje się aktywnym poszukiwaczem. To
wyzwala odwagę, uczy przedsiębiorczości , zaradności i samodzielności.
Najważniejszymi cechami metody projektu są:
 samodzielne planowanie i przeprowadzanie pracy przez uczniów,
 zerwanie z zasadą dominacji nauczyciela,
 uczenie się poprzez rozwiązywanie problemów,
 zdobywanie wiedzy z jednoczesnym jej wykorzystaniem w praktyce,
 korzystanie z różnych źródeł informacji,
2
 stwarzanie sytuacji sprzyjających przeżywaniu i doświadczaniu życia,
 wspieranie rozwoju charakteru,
 efektywne współdziałanie w zespole,
 poszukiwanie i porządkowanie informacji,
 rozwijanie osobistych zainteresowań,
 rozwijanie dociekliwości poznawczej,
 ocenianie własnej nauki.
Realizując projekt prowadzący pozostawia dużą swobodę uczniom głównie w
sposobie rozwiązania problemu. Jednocześnie należy czuwać nad prawidłową realizacją
programu projektu.
3
ZAŁOŻENIA DYDAKTYCZNE I WYCHOWAWCZE
KONCEPCJI
PROJEKTU
 Rozwiązanie nietypowych zadań proponowanych przez uczniów,
 Rozwijanie emocjonalne, intelektualne, światopoglądowe i praktyczne uczniów,
 Rozwijanie motywacyjne sprzyjające aktywnemu uczestnictwu
w
działaniu i
podejmowaniu decyzji przez uczniów,
 Kształtowanie elementarnych zasad wnioskowania,
 Rozwiązywanie problemów w sposób twórczy,
 Kształtowanie umiejętności i postaw pozwalających na funkcjonowanie w świecie
stale dokonujących się zmian wymagających permanentnego doskonalenia się,
 Wyrabianie umiejętności takich, jak: planowanie, organizowanie, ocenianie własne,
kształcenie i branie za nie odpowiedzialności,
 Prezentowanie własnego punktu widzenia, uwzględnianie poglądów innych ludzi i
porozumiewanie się w różnych sytuacjach,
 Współdziałanie w zespole, podejmowanie decyzji i zachowanie obowiązujących
norm,
 Poszukiwanie, porządkowanie i wykorzystanie informacji z różnych źródeł oraz
posługiwanie się wszelkimi środkami multimedialnymi,
 Stosowanie w praktyce przyswojonej wiedzy oraz
wyrabianie
odpowiednich
nawyków,
 Rozwijanie sprawności intelektualnych i zainteresowań,
 Przejmowanie odpowiedzialności za własne życie i rozwój osobowy,
 Stwarzanie sytuacji do odkrywania pojęć i stosowania metod wyzwalających
aktywność uczniów,
4
 Dostrzeganie problemów w środowisku, w którym przebywają uczniowie. Ujęcie i
interpretowanie ich w pewnym modelu matematycznym,
 Wyciąganie odpowiednich wniosków,
 Dochodzenie do rozumienia przekazywanych treści,
 Rozwijanie zdolności dostrzegania związków i zależności,
 Kształtowanie umiejętności w sprawnym operowaniu pojęciami matematycznymi,
biegłym rozwiązywaniu zadań o zwiększonym stopniu trudności,
 Rozszerzenie wiadomości z matematyki (nie objętych) programem szkoły średniej,
 Nabycie umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy , korzystania z różnych
źródeł,
 Uporządkowanie i uzupełnienie wiadomości i umiejętności dotyczących materiału
objętego programem nauczania,
 Rozwijanie myślenia analitycznego i syntetycznego.
Szczegółowe cele edukacyjne – kształcenia i wychowania
Nadrzędnym celem pracy edukacyjnej każdego nauczyciela jest dążenie do
wszechstronnego rozwoju ucznia oraz przygotowanie go do rozumienia współczesnego
świata i aktywnego uczestnictwa w życiu oraz do wyrabiania nawyku samodzielnego
zdobywania wiedzy na dalszych etapach edukacji.
Zgodnie z podstawą programową uczniowie kształcą swoje umiejętności w celu
wykorzystania zdobytej wiedzy we współczesnym świecie, a nauczyciele tworzą uczniom
warunki do nabywania następujących umiejętności:
5
- rozwijania logicznego myślenia i konstruowania własnych strategii postępowania,
kształcenia postawy samodzielności, dociekliwości i krytycyzmu w stosunku do swoich
działań,
- planowania, organizowania i właściwego interpretowania zebranych informacji oraz
oceniania własnej nauki, przyjmowania za nią odpowiedzialności oraz kształcenia nawyku
dobrej organizacji pracy,
- skutecznego porozumiewania się w różnych sytuacjach, prezentacji własnego punktu
widzenia i uwzględniania poglądów innych ludzi, poprawnego posługiwania się językiem
ojczystym, przygotowania do publicznych wystąpień,
- efektywnego współdziałania w zespole, budowania więzi międzyludzkich, podejmowania
indywidualnych i wspólnych decyzji, skutecznego działania na gruncie obowiązujących
norm, kształcenia postawy otwartości i
szacunku dla pomysłów i poglądów innych
uczestników projektu, prowadzenia dyskusji, prezentowania wyników własnej pracy,
tolerancji i szacunku dla poglądu innych, dzielenie się w grupie rolami i zadaniami,
- poszukiwania kompromisu,
- planowania, układanie harmonogramu działań, poszukiwanie sojuszników, którzy wsparliby
realizację planowanych działań,
- rozwiązywania problemów w sposób twórczy, stawiania pytań i dochodzenia do wniosków,
- przygotowania do dostrzegania różnych problemów i zjawisk społecznych, ekonomicznych,
przyrodniczych, fizycznych, elektronicznych, astronomicznych i technicznych, analizowania
ich i opisywania z wykorzystaniem wiedzy matematycznej i języka matematyki,
- poszukiwania, porządkowania i wykorzystywania informacji z różnych źródeł,
projektowania obliczeń i ich wykonywania; budowania modeli matematycznych i ich
wykorzystania do rozwiązywania problemów praktycznych; efektywnego posługiwania się
technologiami informatycznymi i komunikacyjnymi,
- odnoszenia do praktyki zdobytej wiedzy oraz tworzenia potrzebnych doświadczeń i
nawyków; odbioru i interpretacji tekstu matematycznego; odczytywania, gromadzenia,
interpretacji danych; logicznego wnioskowania i uzasadniania,
6
- rozwijania sprawności umysłowych oraz osobistych zainteresowań poprzez kształcenie
wyobraźni
przestrzennej;
sprawnego posługiwania się regułami
wnioskowania i
algorytmami oraz językiem matematycznym,
- przyswajania metod i technik negocjacyjnego rozwiązywania konfliktów i problemów
społecznych,
- zapoznania uczniów z zagadnieniami wychodzącymi poza program szkoły średniej, a
wymaganymi na studiach.
Treści nauczania matematyki
Zamieszczone w tym projekcie treści nauczania matematyki oparte są na
obowiązującej podstawie programowej realizującej program nauczania matematyki
na
poziomie rozszerzonym oraz uwzględniają treści nauczania obowiązujące na pierwszych
latach studiów na kierunkach związanych z matematyką.
Przedstawiony poniżej podział treści nauczania jest tylko propozycją, a ostateczna
decyzja co do rozkładu treści należy do nauczyciela prowadzącego dany moduł . Kolejność
realizowania modułów jest dowolny – wybór należy do nauczyciela prowadzącego projekt.
Uczniowie wykonują zadania obejmujące pewną partię materiału przez samodzielne
sformułowanie tematu i samodzielne poszukiwanie rozwiązania pod „niezauważalną‖ opieką
nauczyciela. Projekt wymaga wykorzystania wiedzy z różnych przedmiotów nauczania –
fizyki, biologii, astronomii, ekonomii, geografii, polityki itp.
Metoda projektu rozwija kreatywność uczniów i samodzielne myślenie. Prowadzący
projekt musi pozostawić dużą swobodę uczniom głównie w sposobie rozwiązywania
problemu, a jednocześnie musi czuwać nad prawidłową realizacją przyjętego programu
nauczania.
7
I MODUŁ PROJEKTOWY
„Zastosowania twierdzeń matematycznych”
1) Wprowadzenie do modułu:
Najciekawszą częścią matematyki są twierdzenia i konstrukcje geometryczne.
Twierdzenia mogą być łatwe i trudne, takie do których udowodnienia trzeba najpierw
udowodnić twierdzenia pomocnicze tzw. lematy.
Wiele twierdzeń czekało wieki na ich udowodnienie a ci, którzy uczynili to pierwsi
,zostali na stałe wpisani do historii matematyki. Nie wszystkie problemy matematyczne
,znalazły pozytywne rozstrzygnięcie, jak np. „kwadratura koła‖, to znaczy konstrukcja
kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła. Zadanie to sprowadza się w istocie do
konstrukcji odcinka długości
Dopiero w XIX wieku wykazano niemożliwość tej
konstrukcji a dokonali tego Pierre Wantzel oraz Ferdinand Lindemann. Był to jeden z trzech
głównych problemów starożytnej matematyki greckiej , obok „trysekcji kąta‖ tzn. podziału
kąta na trzy równe części oraz „podwojenia sześcianu‖, czyli zbudowaniu sześcianu o
objętości dwa razy większej od danego sześcianu. Dawno w programie matematyki szkoły
ponadgimnazjalnej zostały wykreślone treści związane z klasycznymi konstrukcjami
geometrycznymi tzn. tylko przy użyciu cyrkla i linijki. Są to bardzo ciekawe konstrukcje ,jak
chociażby „złoty podział‖ odcinka, których poprawność należy wykazać , poznając przy
okazji wiele ciekawych twierdzeń geometrii i algebry.
Większość twierdzeń ma zapis zgodny z logiką, dlatego też ich dowody opieramy na
zasadach logicznych.
Bo czymże jest reguła wnioskowania, jak nie prawem przechodniości implikacji, albo dowód
nie wprost – kontrapozycją, połączoną z prawem przechodniości implikacji. Reguła
wnioskowania niestety nie zdaje egzaminu w twierdzeniach i wzorach określanych dla
dowolnej liczby naturalnej, bo co prawdziwe jest dla skończonej ilości nawet bardzo
wielkiej, może okazać się nieprawdziwe w nieskończoności, stąd konieczny jest dowód
indukcyjny.
Chyba najciekawszym sposobem dowodzenia twierdzeń dotyczących własności w
zbiorze liczb naturalnych jest zasada szufladkowa Dirichleta. W oparciu o zasadę możliwe
jest wykazanie, że w Warszawie mieszkają przynajmniej dwie osoby , które mają taką samą
ilość włosów na głowie. (Dorosły człowiek ma ich nie więcej niż 500 000).
8
2) Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach:
Treści nauczania
Cele operacyjne modułu
1.Elementy logiki: alternatywa, koniunkcja, Uczeń potrafi:
implikacja, równoważność, kontrapozycja,
-odczytywać zdania zapisane z użyciem
reguła odrywania. Prawa rachunku zdań.
symboli matematycznych
2.Hipoteza i twierdzenie. Kontrprzykład.
Budowa twierdzenia, rodzaje twierdzeń.
Kwadrat
logiczny
i
zamknięty
układ
symboliką
-posługiwać
się
alternatywa,
koniunkcja,
logiczną:
implikacja
i
równoważność zdań oraz form zdaniowych
twierdzeń. Twierdzenie proste i odwrotne
oraz twierdzenie przeciwne i przeciwstawne. -stosować do zapisu zdań symbole logiki
Dowody twierdzeń: wprost i nie wprost.
matematycznej
3.Dowód indukcyjny.
-stosować prawa logiczne
4.Zasada szufladkowa Dirichleta.
-odnaleźć regułę „modus ponens‖ (reguła
5.Dwody
dedukcyjne.
Główne
schematów
wnioskowań.
wnioskowania
a
Schematy
wnioskowania.
Metody
wnioskowania
(wnioskowanie
tollens,
Schematy
twierdzenia
wnioskowania
odrywania), „modus tollens‖ (modus tollendo
rodzaje
pomocy
logiczne.
a
poprawności
zaprzeczający
zaprzeczenia),
„modus
przy
tollendo
zaprzeczenie) w tautologii rachunku zdań
logicznego
i -zastosować prosty schemat wnioskowania
wnioskowanie wprzód).
6.Dowody
sposób
ponens‖ (łac. sposób potwierdzający przez
reguły
wstecz
łac.
dedukcyjnego
konstrukcji -podać kontrprzykład pokazujący fałszywość
geometrycznych w oparciu o twierdzenia danej hipotezy
geometrii euklidesowej.
-podać budowę twierdzenia
-wskazać założenie i tezę twierdzenia
-uzasadnić
na
czym
polega
dowód
które
należy
matematyczny
-rozpoznać
9
twierdzenia,
dowodzić nie wprost
-odnaleźć dowód Euklidesa na istnienie
nieskończenie wielu liczb pierwszych
-odnaleźć różne dowody niewymierności
klasyczne
-wykonać
konstrukcje
geometryczne przy pomocy cyrkla i linijki,
wraz z dowodem poprawności konstrukcji
-przeprowadzić dowód twierdzenia wprost i
nie wprost
-zastosować własności twierdzeń
-wskazać warunek konieczny i wystarczający
-rozróżniać twierdzenia
-zapisywać twierdzenia przy pomocy symboli
matematycznych
-wyszukać twierdzenia w algebrze, geometrii,
trygonometrii i w kombinatoryce
-wyjaśnić
pojęcie
zasady
indukcji
matematycznej
-stosować
indukcję
matematyczną
w
prowadzeniu rozumowań, w szczególności w
dowodzeniu twierdzeń
-zauważyć które twierdzenia dowodzić za
pomocą zasady szufladkowej Dirichleta
-przeprowadzić dowód wykorzystując zasadę
szufladkową Dirichleta
-opisać językiem matematyki twierdzenia w
10
innych
dziedzinach
niekoniecznie
w
matematyce
3) PROJEKT 1: Jakie mają zastosowania twierdzenia logiczne w matematyce?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- Jaka jest budowa twierdzenia?
- Jakie są sposoby zapisywania twierdzeń ?
- Jakie znasz rodzaje twierdzeń w logice?
- Jaka jest różnica w dowodach twierdzeń w logice, algebrze, geometrii
i trygonometrii?
- Jaki związek ma twierdzenie „wprost‖ z kontrapozycją i dowodem „nie
wprost‖?
- Jak konstruujemy twierdzenie odwrotne do danego?
- W jaki sposób dowodzimy równoważność w logice, a jak w innych
dziedzinach
matematyki?
- Jakie potrafisz znaleźć reguły logiczne, które można zastosować w innych
dziedzinach?
11
b) przykładowe zadania :
Zadanie 1.
Znajdź prawa rachunku zdań w Internecie i przeprowadź dowody
ważniejszych praw rachunku zdań, np.:
 prawo kontrapozycji

prawo odrywania (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe,
to drugie należy uznać za prawdziwe)
prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus
ponendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy potwierdzenia)

prawo eliminacji implikacji

prawo zaprzeczenia implikacji

prawo redukcji do absurdu (reductio ad absurdum)

prawo Fregego
12
Zadanie 2.
Reguły wnioskowania – na podstawie poniższego tekstu, znajdź
problemy związane z życiem codziennym, w których możemy zastosować
opisane tu reguły:
Reguła odrywania – oparta na prawie rachunku zdań modus ponens reguła przekształcania
jednych formuł zdaniowych w inne formuły zdaniowe przyjmowana na gruncie rachunku
zdań. W pierwotnej formie sformułowana w logice stoików. Część autorów termin „reguła
odrywania‖ rozumie szerszej, mianowicie regułę odrywania dla równoważności o
analogicznej do reguły odrywania (dla implikacji) postaci.
Modus ponens (reguła odrywania), wnioskowanie logiczne, to reguła logiki mówiąca że jeśli
zaakceptujemy że z x wynika y, oraz x (jest prawdziwe), to musimy zaakceptować też y.
 prawo pustego spełniania: 0  q ; nie ma co wtedy martwić się nieprawdą; stąd zał.
zał. , że prawdą są wszystkie! przesłanki w dowodach założeniowych ; kończąc dowód tezy
– udowadniamy tautologię.
Modus tollens (modus tollendo tollens, łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia)
– wnioskowanie logiczne, reguła logiki mówiąca, że jeśli zaakceptujemy że z X wynika Y,
oraz że Y jest fałszywe, to musimy zaakceptować też fałszywość X.
"Modus tollendo tollens – tryb obalający [...] przez obalenie [...]. Jest to inna postać
"sylogizmu kategoryczno-hipotetycznego". Zastosowania: Jeżeli nie ma śladów uderzeń na
13
zwłokach, a przy tym gdyby zmarły był bity przed śmiercią, to by były ślady uderzeń na
zwłokach, tedy nieprawda, że zmarły był bity przed śmiercią."
Modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przez zaprzeczenie) – tautologia
rachunku zdań i analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego.
Tautologia rachunku zdań mówi, że jeśli uznajemy alternatywę i fałszywość jednego z jej
członów, musimy uznać prawdziwość drugiego członu:
Analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego ma postać:
p lub q,
nie p.
Zatem: q.
Modus ponendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przez potwierdzenie) – Jest to tautologia
rachunku zdań mówiąca o właściwościach dysjunkcji – na podstawie prawdziwości jednego
ze zdań składowych prawdziwej dysjunkcji można orzekać o fałszywości drugiego.
Analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego ma postać
Jeżeli: bądź p bądź q,
i p.
Zatem: nieprawda, że q.
14
Zadanie 3.
Na podstawie wybranych
podanych
poniżej
rodzajów
przykładów
sporządź
reguł wnioskowania i
uproszczony
algorytmu działania maszyny wnioskującej wprzód
schemat
i wstecz.
1) Reguła odrywania oparta na prawie "modus ponens" zgodnie z którym jeśli uznany
(prawdziwy) jest okres warunkowy (implikacja) i jego poprzednik, wolno zawsze uznać
(za prawdziwy) jego następnik. "Modus ponens" polega na wnioskowaniu w przód,
tzn. z przyczyny wnioskujemy o skutkach.
Przykład z życia maturzystki:
przesłanka 1: Maturzystka otrzymała w teście 20 punktów.
przesłanka 2: Jeżeli maturzystka otrzymała 20 punktów to maturzystka zaliczyła
przedmiot.
wniosek: Maturzystka zaliczyła przedmiot.
2) Reguła oparta na prawie "modus tollens" polegającego także na wnioskowaniu
wprzód.
Przykłady z życia maturzystki:
a)
przesłanka 1: Jeżeli maturzystka otrzymała w teście ponad 20 punktów to
maturzystka zaliczyła przedmiot.
przesłanka 2: Maturzystka nie zaliczyła przedmiotu.
wniosek: Maturzystka nie otrzymała na teście ponad 20 punktów.
b)
przesłanka1: Jeżeli rodzice maturzystki wysłali na jej konto 500 zł to maturzystka
kupi sobie skórzane buty.
przesłanka 2: Maturzystka nie kupiła sobie skórzanych butów.
wniosek: Rodzice maturzystki nie wysłali na jej konto 500 zł.
Wnioskowanie wprzód
15
Na podstawie dostępnych reguł i faktów należy generować nowe fakty tak długo, aż
wśród wygenerowanych faktów znajdzie się postawiona hipoteza.
Zadanie 4.
Sporządź algorytm poniższego wnioskowania wprzód:
Krok 1:(START) Weź hipotezę ze szczytu zadań.
Krok2: Jeśli w bazie wiedzy na liście faktów jest odpowiedź na postawioną hipotezę
przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym wypadku przejdź do Krok-u 4
Krok3: Sformułuj odpowiedz (STOP)
Krok4 :Określ reguły, których przesłanki znajdują się na liście faktów
Krok5: Wybierz regułę, stosując strategię wnioskowania
Krok6: Jeśli nie istnieje reguła, którą można uaktywnić przejdź do Krok-u 3, w
przeciwnym wypadku przejdź do Krok-u 7
Krok7: Uaktywnij wybraną regułę
Krok8: Dopisz nowe fakty do listy faktów
Krok9: Zaznacz użycie uaktywnionej reguły
Krok10: Wróć do Krok-u 2
Zadanie 5.
Wnioskowanie wstecz
Polega na wykazaniu prawdziwości hipotezy głównej na podstawie prawdziwości
przesłanek.
Sporządź algorytm poniższego wnioskowania wstecz:
16
Poszczególne
kroki
algorytmu
działania
maszyny
wnioskującej
wstecz
Krok1: (START) Załaduj bazę wiedzy
Krok2: Sprawdź składnię bazy wiedzy
Krok3: Zwolnij struktury danych, które reprezentowały bazę wiedzy w poprzednim
wnioskowaniu
Krok4: Utwórz listę reguł przez odczytywanie bazy wiedzy i utworzenie odpowiednich
struktur
Krok5: Utwórz listę faktów na podstawie listy reguł według określonych zadań
Krok6: Postaw hipotezę przez odczytanie jej z bazy wiedzy lub wyprowadź nową
hipotezę
Krok7: Szukaj odpowiedzi na postawioną hipotezę
Krok8: Jeśli jest następna hipoteza, przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym razie przejdź
do Krok-u 10
Krok10: Jeżeli chcesz załadować następną bazę przejdź do Krok-u 1, w przeciwnym
wypadku zakończ działanie (STOP)
Zadanie 6.
Istnieje więcej reguł wnioskowania – znajdź je w Internecie.
Zadanie 7.
Wiemy, że nie istnieje problem „kwadratury koła”. Rozwiąż „kwadraturę
trójkąta” tzn. skonstruuj kwadrat o polu równym polu trójkąta równobocznego o
danym boku a.
17
Zadanie 8.
Spróbuj ustalić, czy „zasada złotego podziału” może być traktowana jako
matryca nie tylko dla świata materialnego, ale również dla świata duchowego ? (Czy
złota proporcja odnosi się tylko do ilości, czy także do idei ?) - złoty podział odcinka,
dowód konstrukcji – trójkąt wpisany w kwadrat.
Jeżeli kwadrat o boku 1 wpisze się trójkąt o podstawie równej 1 i wysokości h= 1, to styczna
poprowadzona do koła wpisanego w ten trójkąt i równoległa do podstawy, podzieli 2 boki
kwadratu w złotym podziale a utworzony prostokąt będzie złotym prostokątem.
Jeżeli w ten sam kwadrat wpisze się trójkąt o podstawie 1 i wysokości h =
, to styczna
poprowadzona do koła wpisanego w te trójkąt i równoległa do podstawy, podzieli boki
kwadratu w srebrnym stosunku a utworzony prostokąt będzie srebrnym prostokątem.
18
Zadanie 9.
Geometria Greków – odszukaj stosowanie złotego podziału w architekturze np.:
Partenon, katedra Notre Dame, gmach ONZ itp., czy sztuce: Pierro della Francesca,
Leonardo da Vinci, Velazquez, Dali itp.
Zadanie 10.
Czy ciąg Fibonacciego pozwolił na odkrywanie złotych zależności w naturze,
szczególnie zaś w biologii, fizyce, astronomii, czy nawet ekonomii ?
4) PROJEKT 2: Znajdź twierdzenia z różnych dziedzin, które nie
można udowodnić wprost?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- na czym polega dowód nie wprost?
- z jakimi twierdzeniami w logice kojarzymy dowód nie wprost?
- czy dowód wprost można zastąpić dowodem nie wprost?
- jakie są sposoby dowodu niewymierności liczby
?
- jak udowodnić niewymierność liczby π?
- jaki jest dowód na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych?
- w jakich działach matematyki stosowane są dowody nie wprost?
19
- jak udowodnić przestępność liczby π oraz e?
b) przykładowe zadania :
Zadanie 1.
Znajdź dowód niewymierności liczby e podany przez J.Fouriera i przez Eulera .
Wskazówka:
Dowód niewymierności liczby e; używający szeregu ( odszukaj jakiego? ), który został
najprawdopodobniej podany przez J. Fouriera, a więc jest o około sto lat późniejszy od
naszkicowanego dowodu podanego przez Eulera. Jest on następujący: niech e = p/q; gdzie p i
q są liczbami naturalnymi. Mnożąc szereg przez q! otrzymamy jawną sprzeczność (książka
Eli Maora).
Zadanie 2.
Przeprowadź dowód niewymierności liczby π.
Zadanie 3.
Liczba algebraiczna to taka , która jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o
współczynnikach wymiernych. Liczba przestępna to liczba ,która nie jest algebraiczna.
Udowodnij przestępność liczby π.
Zadanie 4.
Znajdź średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną dla dowolnych
dwóch
liczb dodatnich i określ zależności między nimi : która z nich jest największa a która
jest
najmniejsza.
Przeprowadź dowód nie wprost tej zależności.
Czy możliwy jest dowód nie
wprost
średnich określonych dla skończonej ilości dodatnich liczb rzeczywistych?
20
5) PROJEKT 3: Jakie są metody dowodzenia twierdzeń określone
dla zmiennej naturalnej, występujące w różnych dziedzinach?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- co to jest dedukcja?
- jakie są etapy związane z indukcją matematyczną?
- jaki jest związek indukcji matematycznej ze zbiorem liczb
naturalnych a jaki z dominem?
- do czego służy indukcja matematyczna?
- na czym polega zasada szufladkowa Dirichleta?
- czy dowód indukcyjny można zastąpić dowodem dedukcyjnym?
- jakie jest zastosowanie indukcji matematycznej w teorii ciągów?
- jakie są zastosowania indukcji matematycznej w geometrii?
- co ma wspólnego podzielność liczb naturalnych z indukcją
matematyczną?
b) przykładowe zadania :
Zadanie 1.
Sprawdzając monotoniczność ciągu poprzez wyznaczenie skończonej ilości kolejnych
jego wyrazów, można zauważyć, że ciąg jest malejący , co może okazać się nieprawdą dla
całego ciągu.
Wyznacz monotoniczność ciągu an =n3-(10100-1020)n2-10120n.
21
Zadanie 2.
Udowodnij prawdziwość nierówności 2n>n2 dla każdej liczby naturalnej n≥3.
Zadanie 3.
Udowodnij : liczba naturalna złożona z n jednakowych cyfr np. 777…7 = ⁷⁄₉(10n-1).
Zadanie 4.
Udowodnij podzielność 6l n3 - n .Czy podzielność tą można wykazać bez użycia
indukcji?
Zadanie 5.
Odszukaj w literaturze matematycznej nierówność Bernoulli‘ego i udowodnij ją na
podstawie indukcji.
Zadanie 6.
Korzystając z ciągu Fibonacciego określonego rekurencyjnie
u0=0, u1=1,
un+2=un+un+1
udowodnij równość u2n=un2+ un+12
Zadanie 7.
Na ile rozłącznych figur n prostych podzieli płaszczyznę? Znajdź wzór i udowodnij
go.
Zadanie 8.
Na podstawie Zasady szufladkowej Dirichleta przedstawionej poniżej, wykaż, że w
Warszawie mieszkają dwie osoby mające te sama liczbę włosów na głowie.
Sformułowanie: Mamy k szufladek i n królików, gdzie n > k. Jeżeli powsadzamy króliki do
szufladek, to w przynajmniej jednej znajda sie przynajmniej dwa króliki.
22
Dowód: Jeżeli w każdej szufladce byłby co najwyżej jeden królik, to w sumie byłoby ich co
najwyżej k - sprzeczność z założeniami.
Sformułowanie w innym języku:
Niech X będzie n - elementowym zbiorem. Zbiór X
przedstawmy w postaci sumy k parami rozłącznych zbiorów (X = X 1[ X 2[. . .[ X k ). Jeśli n
> k, to przynajmniej jeden ze zbiorów Xi ma co najmniej dwa elementy.
Sformułowanie w jeszcze innym języku: Niech X i Y będą zbiorami mającymi odpowiednio n
i k elementów. Jeśli n > k, to żadna funkcja f : X ! Y nie jest różnowartościowa.
Uogólniona wersja zasady szufladkowej: Jeśli mamy k szufladek i n > mk królików, to jeśli
poupychamy króliki w szufladkach, to w przynajmniej jednej będzie przynajmniej m + 1
królików.
Dowód: Jeśli byłoby inaczej, czyli w każdej szufladce byłoby co najwyżej m królików, to w
sumie byłoby ich nie więcej niż mk - sprzeczność z założeniami.
Zadanie:
Na sali znajduje sie 47 osób. Udowodnić, ze na sali znajdzie sie 7 osób urodzonych tego
samego dnia tygodnia.
Dowód: Dni tygodnia to szufladki, osoby to króliki. Mamy 7 szufladek i 47 > 42 = 6 · 7
królików.
Zatem z uogólnionej zasady szufladkowej, znajdzie sie przynajmniej 7 królików w
przynajmniej jednej klatce, czyli przynajmniej 7 osób urodzonych tego samego dnia tygodnia.
Wskazówka:
Wygodnie tutaj jest spojrzeć na sytuacje przy użyciu funkcji. Niech X będzie zbiorem
mieszkańców stolicy, a Y — zbiorem liczb naturalnych od 0 do, powiedzmy, 500000 (grube
oszacowanie górne możliwej liczby włosów na głowie). Niech f : X ! Y będzie funkcja, która
przypisuje obywatelowi liczbę jego włosów. Ponieważ |X| > |Y |, wiec f nie może być
różnowartościowa — a wiec przynajmniej jedna wartość jest przypisana co najmniej dwóm
argumentom. Wracając do zwykłego języka: przynajmniej dwie osoby maja taka sama liczbę
włosów na głowie.
23
Literatura i inne źródła informacji
 1.Lev Kurlyandchik, Złote rybki w oceanie matematyki
 2.Henryk Pawłowski, Kółko matematyczne dla olimpijczyków
 3.The Pigeon Hole Principle
http://www.mathpages.com/home/kmath389.htm
 4.Matematyka Dyskretna dr Edyta Szymańska
http://atos.wmid.amu.edu.pl/~edka/mad_sz/mat.html
 5. Matematyka Dyskretna Uniwersytet Zielonogórski
http://www.muzg.uz.zgora.pl/pliki/mde.pdf
 6. http://aragorn.pb.bialystok.pl/~radev/logic/plewako/glosar.htm#reguly
 7. http://www.wsip.com.pl/serwisy/czasmat/mat599/mat5991.htm
 8. http://www.wom.opole.pl/dla_nauczycieli/awans.doc
 9. Tadeusz Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i
metodologii nauk
 10. http://www.katedra.uksw.edu.pl/posiedzenia/pos21.htm
 11.http://WWW.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node67.html
24
II MODUŁ PROJEKTOWY
„Zastosowania liczby e”
1) Wprowadzenie do modułu:
Niewątpliwie jedną z najciekawszych liczb w matematyce jest liczba e. Zwana także
liczbą Napiera. Została wymyślona przez szkockiego matematyka i astronoma Johna Napiera
(Nepera) w XVI wieku ,który zastosował ją do logarytmów, układając tablice logarytmiczne
na potrzeby astronomii.
Oznaczenie liczby literą e wprowadził w 1736 roku Euler, porządkując stałe w
matematyce. Liczbę e definiujemy jako granicę ciągu
.
W 1873 roku Charles Hermite wykazał przestępność liczby e. Liczba ta jest ponadto
niewymierna i niealgebraiczna. Jej wartość z dokładnością do 10 miejsc po przecinku wynosi
e=2,7182818284… .
Można jej wartość obliczyć z dowolną dokładnością, gdyż daje się ona łatwo rozwinąć w
szereg odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych:
e=
korzystając z rozwinięcia funkcji wykładniczej ex w szereg Maclaurina.
W informatyce stosujemy zapis ex = exp (x).
Zastosowanie tej liczby jest wielkie, nie tylko jako podstawa logarytmu naturalnego, bo
dzięki technice komputerowej powoli logarytmy odchodzą w niepamięć. Liczbę e spotykamy
w bankowości, w przyrodzie, w społeczeństwie, gdzie przy jej pomocy określamy rozwój
rośliny czy rozwój danej populacji. Stosuje się ją również w analizie zespolonej,
do
przedstawienia liczby zespolonej w postaci wykładniczej jak również w elektronice do
określenia natężenia prądu zmiennego.
25
2) Cele operacyjne modułu uwzględnione we wszystkich projektach
modułu
Treści nauczania
Cele operacyjne modułu
1.Ciągi i szeregi liczbowe.
Pojęcie
ciągu,
ciągów.
Uczeń potrafi:
sposoby
Ciągi
geometryczne.
definiowania -opisać ciąg różnymi sposobami
arytmetyczne
Sumy
i
skończonej
początkowej liczby wyrazów ciągu. Ciągi
-zbadać czy ciąg jest arytmetyczny czy
geometryczny
monotoniczne i ograniczone. Zbieżność -obliczyć
ciągów. Granica ciągu w punkcie
nieskończoności.
Granice
i
jego
geometryczne.
zbieżności.
Suma
n
wyrazów
ciągu
w arytmetycznego i geometrycznego
ciągów
wymiernych. Własności granic. Pojęcie
szeregu
sumę
-wyznaczać granicę ciągu
Szeregi -zastosować liczbę e do obliczania odsetek przy
nieskończonego lokatach bankowych
szeregu geometrycznego.
- narysować wykres funkcji exponens (czyli
) i odczytać własności na podst. wykresu
2.Funkcje odwrotne i odwracalne.
3.Funkcje wykładnicze.
-podać przybliżenie liczby
4.Funkcje logarytmiczne.
-zastosować arkusz kalkulacyjny do podania
5.Wykresy
funkcji
wykładniczej
i
przybliżenia liczby
, korzystając ze wzoru
logarytmicznej.
6.Skala wykładnicza i logarytmiczna.
- odnaleźć wzór
7.Funkje trygonometryczne.
8.Funkcje hiperboliczne.
oraz zapisać go za pomocą
-wyjaśnić pojęcie logarytmu naturalnego i jego
26
związku z liczbą
-narysować wykres logarytmu naturalnego
-zastosować skalę wykładniczą i logarytmiczną
-odnaleźć różne zastosowania liczby
-wyjaśnić które funkcje posiadają funkcje
odwrotne
-wskazać funkcje odwracalne
-rysować wykresy danych funkcji i funkcji do
nich odwrotnych
-zauważyć związek funkcji hiperbolicznych i
liczby
-narysować wykresy funkcji hiperbolicznych
-korzystać z wykresów funkcji do opisywania
zagadnień
matematycznych
związanych
z
matematycznymi
innymi
–
i
zjawisk
dziedzinami
znaleźć
nie
zastosowania
liczby w różnych dziedzinach
-zauważyć skąd się wzięła liczba
-odnaleźć w jakich funkcjach algebraicznych
występuje liczba
27
3) PROJEKT 1: Skąd się wzięła liczba e?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- jakie jest pochodzenie liczby e?
- co łączy matematyków: Leonharda Eulera i Daniela Bernoulli‘ego?
- co ma wspólnego liczba e z ciągami?
- co ma wspólnego liczba e z szeregami?
- co to znaczy ciąg zbieżny, a co to znaczy szereg zbieżny?
- w jaki sposób obliczyć przybliżoną wartość liczby e?
- czy istnieje związek między liczbami e oraz π?
- czy można skonstruować odcinek długości e?
b) przykładowe zadania :
Zadanie 1.
Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego
znajdź przybliżenie liczby e
n
1
2,00000000000000000000
28
- utwórz arkusz podobny do poniższego i
11
2,60419901189753000000
21
2,65626321392611000000
31
2,67569630591468000000
41
2,68585634753775000000
51
2,69210220891500000000
61
2,69633049628226000000
71
2,69938286996830000000
81
2,70168999138346000000
91
2,70349510285585000000
101
2,70494597748515000000
111
2,70613757203900000000
121
2,70713368818801000000
itd.
e = 2,7182818284904....
Zadanie 2.
Uzupełnij zdanie:
Oznaczenie
liczby
e
wprowadził
w
1736r.
szwajcarski
matematyk
…………………….……… , a jej przybliżoną wartość obliczył w 1728r. szwajcarski
matematyk ………………………………….. .
Zadanie 3.
Poniżej przeprowadzono dowód twierdzenia. Na podstawie przedstawionego dowodu :
29
 Wyjaśnij pojęcia: ciąg rosnący, ciąg ograniczony, ciąg zbieżny, szereg geometryczny
 Podaj pojęcie silnii i jego związku z liczbą e
 Wyjaśnij kolejne kroki przedstawionego dowodu
 Znajdź inny dowód na zbieżność ciągu
Tw. Ciąg ( en ) o wyrazie ogólnym
jest zbieżny.
Dowód.
1.
Dla dowolnego n  N+ : en+1 – en =
czyli ciąg jest rosnący.
2. Dla dowolnego n  N+ zachodzi:
czyli
,
.
en =
Prawa strona tej nierówności jest sumą
liczby 1 i n-tej sumy częściowej ciągu
geometrycznego, w którym a1 = 1 i q =
, więc:
30
en 
.
Korzystając z tego i z tego, że: e1 =
i
(en ) jest rosnący mamy: dla
dowolnego n  N+ zachodzi: 2  en <3, czyli ciąg ( en ) jest ograniczony.
Ciąg ( en ) jest ograniczony i rosnący, więc jest zbieżny.
Granicę tego ciągu oznaczamy literą e .
Zadanie 4.
Znajdź dowód twierdzenia przedstawionego poniżej:
Prawdziwe jest również twierdzenie:
4) PROJEKT 2: W jakich funkcjach algebraicznych występuje liczba e?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- jaką funkcję nazywamy wykładniczą a jaką logarytmiczną?
- jaka jest różnica między funkcją odwrotną a odwracalną?
- czy do każdej funkcji istnieje funkcja odwrotna?
- jakie są sposoby wyznaczania funkcji odwrotnej do danej?
31
- jakie są wykresy funkcji y = ex oraz y = ln x?
- czy istnieje związek między funkcjami wykładniczymi i potęgowymi?
- funkcje hiperboliczne to funkcje algebraiczne czy trygonometryczne?
-
w
jaki
sposób
obliczamy pochodną
funkcji
wykładniczych
i
logarytmicznych?
- co to są funkcje polowe, jaki jest ich związek z funkcjami hiperbolicznymi?
b) przykładowe zadania :
Zadanie 1.
Wyznacz wzory i wykresy funkcji odwrotnych do funkcji:
f(x)=x2 – 7x + 6
g(x)= 0,5exp(2x – 1) h(x)= 2sin(0,5x – π/2) – 1
k(x)= x3 – x
Zadanie 2.
Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji logarytmicznych. Który z nich to
wykres y= ln(x) ? Czy taki rysunek jest wystarczający do określenia wzorów funkcji ,które są
na nim przedstawione?
32
Zadanie 3.
Narysuj wykresy funkcji hiperbolicznych.
Funkcjami hiperbolicznymi nazywamy cztery funkcje: cosinus hiperboliczny, sinus
hiperboliczny, tangens hiperboliczny i cotangens hiperboliczny, które są zdefiniowane
poniżej. Jak widać, w definicjach tych występuje funkcja exponens (czyli
33
).
Zadanie 4.
Odszukaj
związek
między
rozwinięciem
dwumianu
Newtona:
, a liczbą e.
Zadanie 5.
Znajdź zależność funkcji trygonometrycznych z funkcjami wykładniczymi.
5)PROJEKT 3: Jakie są zastosowania liczby e w różnych
dziedzinach?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania do tematu projektu:
- w jaki sposób budujemy tablice logarytmiczne?
- do czego służą tablice logarytmiczne?
- co to jest skala wykładnicza a jaka jest logarytmiczna?
- jakie jest zastosowanie skali logarytmicznej ?
- czy trzęsienie Ziemi można przewidzieć?
34
- co to jest procent składany?
- co mają wspólnego odsetki od oszczędności z liczbą e?
- jakie jest zastosowanie liczby e w zbiorze liczb zespolonych?
- jaki związek mają funkcje trygonometryczne z funkcją wykładniczą y= ex?
- jakie jest zastosowanie funkcji wykładniczej w elektronice?
b) przykładowe zadania :
Zadanie 1.
Zbuduj tablice logarytmów naturalnych dla argumentów z przedziału [1;10] z
krokiem 0,1. W jaki sposób można to zrobić?
Zadanie 2.
Skonstruuj skalę logarytmiczną. Znajdź przykłady stosowania tej skali.
Zadanie 3.
Stosując logarytmy oblicz wartość wyrażenia x :
x = [ (3547634x
)/( 9872419x
)] x sin758⁰17‘
Spróbuj obliczyć x przy pomocy kalkulatora.
35
Zadanie 4.
Pewien bank daje za roczny depozyt 100% zysku. Odsetki mogą być doliczane do
kwoty w różny sposób:
a)Na przykład odsetki mogą być doliczone na koniec roku. Wówczas inwestując 1 zł, na
koniec roku będziemy mieć 2 zł.
b)Jeśli odsetki doliczane są co pół roku (są dwa okresy kapitalizacji), to na koniec roku
będziemy mieć ( 1+ )2 = 2,25 [zł].
c)Jeśli kapitalizacja odbywałaby się co kwartał, wówczas na koniec roku mielibyśmy
( 1+ )4 = 2,44 [zł].
d)Jeśli kapitalizacja odbywałaby się co miesiąc, mielibyśmy ( 1+
codziennie : ( 1+
)12 = 2,62 [zł], a jeśli
)365 = 2,71 [zł].
e)Gdyby zaś kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły ( czyli liczba okresów
kapitalizacji dążyłaby do nieskończoności ), wówczas na koniec roku mielibyśmy
[zł]
Na podstawie wyżej podanego przykładu znajdź bank w Nowym Sączu, w którym jest
najkorzystniej ulokować nasze oszczędności.
36
Zadanie 5.
W którym z banków w Nowym Sączu wziąłbyś kredyt?
Zadanie 6.
Na podstawie danych w Internecie znajdź bank w Polsce, w którym podają
najkorzystniejsze warunki oszczędzania i kredytowania.
Zadanie 7.
Znajdź zastosowanie liczby e w mechanice – do czego służy wzór:
?
Literatura i inne źródła informacji
 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1,
PWN, W-wa, 1994,
 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972,
 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk.
UAM, Poznań 1993,
 4.Siwek
E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu
Śląskiego, Katowice, 1976,
 http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_wykladnicze
37
 http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje _logarytmiczne
 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej,
WNT, W-wa ,1976,
 6. Liczba_e\Liczba e.mht
 7.Miś B. Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki, WNT, W-wa,
1989,
38
III MODUŁ PROJEKTOWY
„Układy równań i nierówności – czy jest to dział algebry, a może
geometrii czy trygonometrii ”?
1)Wprowadzenie do modułu:
Układy równań i nierówności to podstawowe narzędzie matematyka i nie tylko
matematyka do rozwiązywania wszelkich problemów począwszy od zadań tekstowych
poprzez geometrię, trygonometrię, rachunek prawdopodobieństwa, analizę matematyczną aż
do analizy zespolonej. Układy równań liniowych można rozwiązywać na różne sposoby:
algebraiczne i geometryczne, stosując wyznaczniki i układy współrzędnych oraz wektory.
Ciekawa jest interpretacja układów równań przy pomocy wektorów , jak również zapis
macierzowy. Temu zagadnieniu poświęcony jest wielki dział algebry wyższej. W tym module
zajmiemy się jedynie najciekawszymi metodami rozwiązywania układów równań, oraz ich
zastosowaniami.
Układy równań służą również do zapisu krzywych w postaci parametrycznej a układy
nierówności do opisywania figur płaskich, lub przestrzennych.
Ponieważ dział ten jest bardzo obszerny, prowadzący musi uważać , wybierając tylko
niektóre zastosowania, by uczniowie byli w stanie ogarnąć istotę układów równań, układów
nierówności a nie zajęli się samymi macierzami, czy obliczaniem powierzchni i objętości
przy pomocy całek , bo na to mają jeszcze czas.
39
2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach:
Treści nauczania
1.Równania
liniowe,
wykładnicze,
Cele operacyjne modułu
kwadratowe, Uczeń potrafi:
logarytmiczne
i
trygonometryczne.
Geometryczna
wykładnicze,
interpretacja
logarytmicznych i trygonometrycznych.
liniowe,
wykładnicze,
kwadratowych,
wykładniczych,
kwadratowe, logarytmicznych i trygonometrycznych
logarytmiczne
i
-rozwiązać nierówności liniowe, kwadratowe,
wykładnicze,
interpretacja
logarytmiczne
i
nierówności trygonometryczne
liniowych, kwadratowych, wykładniczych,
logarytmicznych i trygonometrycznych.
-podać
geometryczną
interpretację
liniowych,
kwadratowych,
nierówności
3.Układy równań liniowych, kwadratowych, wykładniczych,
wykładniczych,
i
-podać geometryczną interpretację równań
liniowych,
trygonometryczne.
Geometryczna
logarytmiczne
równań trygonometryczne
liniowych, kwadratowych, wykładniczych,
2.Nierówności
-rozwiązać równania liniowe, kwadratowe,
logarytmicznych
trygonometrycznych.
logarytmicznych
i
i trygonometrycznych
-rozwiązać
układy
równań
Geometryczna interpretacja układów równań kwadratowych,
liniowych,
wykładniczych,
liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych
logarytmicznych i trygonometrycznych.
4.Geometria
przestrzenna.
płaska,
analityczna
-podać geometryczną interpretację układów
i równań
liniowych,
wykładniczych,
kwadratowych,
logarytmicznych
i
trygonometrycznych.
-rozwiązać układ równań i nierówności
liniowych,
kwadratowych,
logarytmicznych
40
i
wykładniczych,
trygonometrycznych
różnymi sposobami
-odnaleźć w jakich działach matematyki
spotykamy układy równań i nierówności
-opisać językiem matematycznym za pomocą
równań i nierówności zależności z różnych
dziedzin
poza
matematycznych
–
zastosowania układów równań i nierówności
w fizyce, chemii itp.
-opisać
figury
geometrii
płaskiej
i
przestrzennej za pomocą układów równań
bądź nierówności
3) PROJEKT 1: W jakich działach matematyki spotykamy układy równań i
nierówności?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- jaka jest różnica między wykresami funkcji jednej zmiennej a wykresami
równań dwóch zmiennych?
- jakie są wykresy funkcji występujących w szkole ponadgimnazjalnej?
- jakie znasz sposoby rozwiązywania układów równań stopnia 1 z dwoma i z
trzema niewiadomymi?
- jaka jest różnica rozwiązywania układów nierówności od układów równań
stopnia 1 z dwoma niewiadomymi?
- czy możliwe jest graficzne rozwiązanie układu nierówności stopnia 1 z
trzema niewiadomymi?
41
- co to jest równanie i nierówność przestępna?
- jak rozwiązuje się układy równań i nierówności wykładniczych i
logarytmicznych?
- jak rozwiązać układy równań trygonometrycznych?
- co to jest dziedzina układu równań i nierówności?
b)przykładowe zadania:
Zapoznaj się z poniższym tekstem matematycznym i na jego podstawie
rozwiąż zad.1 i zad.2 :
Układem równań nazywamy koniunkcję takich równań i oznaczamy :
 ax  by  c, gdzie a 2  b2  0

2
2
dx  ey  f , gdzie d  e  0
DEFINICJA: Rozwiązaniem układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema
niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania
układu. Rozwiązać układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi, to
znaczy wyznaczyć wszystkie jego rozwiązania, albo stwierdzić, że zbiór rozwiązań jest pusty.
Zauważmy, że układ równań liniowych określony jest jednoznacznie przez podanie jego
współczynników. A zatem układ równań :
 ax  by  c

dx  ey  f
umiemy opisać w ten sposób, że podajemy jego współczynniki zapisane w prostokątnej
a b
tablicy (zwanej macierzą): 
d e
c
.
f 
W praktyce okazuje się, że łatwiej posługiwać się macierzami kwadratowymi.
W naszym przypadku będą one wyglądać następująco:
42
 a b
d e ,


c
f

b
,
e 
a
d

c
.
f 
Każdej macierzy kwadratowej przypisuje się pewną liczbę, która nazywa się wyznacznikiem.
 a b
DEFINICJA: Wyznacznikiem macierzy 
 nazywamy liczbę ae – db,
d e 
którą oznaczamy
a b
a b
. Mamy więc
 ae  db.
d e
d e
Wróćmy do naszego układu równań :
 ax  by  c

dx  ey  f
i wprowadźmy następujące oznaczenia :
WYZNACZNIK GŁÓWNY (charakterystyczny) UKŁADU
W
a b
d e
WYZNACZNIK ZE WZGLĘDU NA ZMIENNĄ x
Wx 
c
f
b
e
WYZNACZNIK ZE WZGLĘDU NA ZMIENNĄ y
Wy 
a
d
c
f
Jeśli znamy te trzy wyznaczniki, to możemy określić zbiór rozwiązań układu
 ax  by  c

.
dx  ey  f
TWIERDZENIE:
Mówi o tym następujące twierdzenie :
Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
 ax  by  c, gdzie a 2  b2  0

2
2
dx  ey  f , gdzie d  e  0
43
1. ma tylko jedno rozwiązanie
Wx

x


W ,

Wy
y 

W
2. ma nieskończenie wiele rozwiązań,
jeśli W  0.
jeśli W = Wx = Wy=0
3. nie ma rozwiązań, jeśli W = 0 i przynajmniej jeden z wyznaczników Wx , Wy jest
różny od zera, co można zapisać następująco : W = 0  ( Wx  0  Wy  0 ).
Metoda wyznacznikowa jest bardzo wygodna przy rozwiązywaniu układów równań z
parametrem.
Zadanie 1.
Rozwiąż układ równań liniowych z niewiadomymi x, y
 x  3y  1

5 x  2 y  2
Zadanie 2.
Rozwiąż układ równań liniowych z niewiadomymi x, y i przeprowadź dyskusję
 mx  y  2
liczby rozwiązań układu ze względu na parametr m, jeśli : 
.
 x  my  m
Zadanie 3.
Rozwiąż układ równań zapisany przy użyciu macierzy
x
=
44
Zadanie 4.
Sporządź schemat blokowy algorytmu rozwiązywania układów równań.
Schemat blokowy algorytmu
START
W=0
Nie
Układ
oznaczony
Tak
Wx = 0
i
Wy = 0
Nie
Układ równao
sprzecznych
Tak
Układ
nieoznaczony
STOP
45
Zadanie 5.
Twierdzenie.
Jeżeli liczby p, q, r spełniają układ równań :
to p, q, r są pierwiastkami równania
x3 – ax2 + bx – c = 0
Korzystając z powyższego twierdzenia , rozwiąż układ równań:
4) PROJEKT 2: Jakie są zastosowania układów równań i nierówności w
różnych dziedzinach? (np. w fizyce, chemii)
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- w jaki sposób zapisać punkty kratowe układu współrzędnych w postaci
układu równań?
- jaki związek mają układy równań z macierzami?
- jaki jest związek wektorów z układami równań?
- co to jest metoda Kramera rozwiązywania układów równań?
- w jaki sposób krzywe np. okrąg , parabola można przedstawić w postaci
układu
parametrycznego?
- w jakich działach fizyki znajdziemy zastosowanie układów równań?
- czy w biologii, chemii i geografii można spotkać układy równań?
46
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Punkt kratowy to taki punkt na płaszczyźnie kartezjańskiej, którego obie
współrzędne są całkowite.
Wyznacz wszystkie punkty kratowe, które są rozwiązaniem układu nierówności:
Zadanie 2.
Wyprowadź równanie okręgu a następnie przedstaw go w postaci układu
parametrycznego.
Zadanie 3.
Jaką figurę na płaszczyźnie przedstawia układ równań:
Gdzie t jest parametrem rzeczywistym?
Zadanie 4.
Przy pomocy Internetu wyszukaj zastosowania układów równań w dziedzinach
niematematycznych.
47
Zadanie 5.
Przeanalizuj rzut ukośny korzystając z układu równań:
gdzie x i y oznaczają drogę w kierunku poziomym i pionowym ,
natomiast
oraz
prędkość w kierunku poziomym i pionowym.
48
5)PROJEKT 3: W jaki sposób opisać figury geometrii płaskiej i przestrzennej
układami równań, bądź nierówności?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- jaki jest związek układów nierówności z płaskimi figurami geometrycznymi?
- co jest wykresem równania z 3 niewiadomymi?
- czy kulę można opisać układem nierówności a może równaniem?
- jaki jest związek brył z układami nierówności?
- co to jest łuk krzywej i jak go można opisać układem równań?
- w jaki sposób w postaci układu równań opisać powierzchnie w przestrzeni np.
sferę?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Opisz układami nierówności podstawowe figury geometrii płaskiej: koło, trójkąt
równoboczny, kwadrat, romb, wielokąt foremny.
Zadanie 2.
Wyprowadź równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 różne punkty
A(
,
,
),B
,
,
),C
,
,
). Wyznacz w postaci układu nierówności
ostrosłup prawidłowy czworokątny , którego wszystkie krawędzie mają długość 6.
Zadanie 3.
49
Czy łuk okręgu , elipsy , paraboli itp. można opisać równaniem a może układem
równań? Przedstaw na wybranych przykładach.
Zadanie 4.
W jaki sposób przedstawić fragmenty brył np. odcinek kuli, czy wycinek kuli w
postaci układu nierówności?
Zadanie 5.
Co jest wykresem zbioru :
{(x, y, z); x, y, z Є R; x2 + y2 ≤ r2 i ‫׀‬z‫} ≤ ׀‬.
Spróbuj w podobny sposób określić inne bryły obrotowe.
50
Literatura i inne źródła informacji
 1. Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1,
PWN, W - wa, 1994.
 2. Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej,
WNT, W - wa ,1976.
 3. A.Pardała, Wyobraźnia przestrzenna uczniów w warunkach nauczania
szkolnej matematyki. Teoria problemy, propozycje, "Fosze", Rzeszów
1995.
 4. G. Polya, Jak to rozwiązać?, PWN, Warszawa 1993.
 5. G. Polya, Odkrycie matematyczne, WN-T, Warszawa 1975.
 6. Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej. Cz. 1.
Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002.
 7. Andrzej Herdegen: Wykłady z algebry liniowej i geometrii. Kraków:
Discepto, 2005.
51
IV MODUŁ PROJEKTOWY
„Z miasta A do miasta B. Czy mechanika jest częścią fizyki czy
matematyki?”
1)wprowadzenie do modułu:
Mechanika klasyczna a zwłaszcza kinematyka w wielu krajach świata jest działem
matematyki a nie fizyki. Dlatego zadania związane zwłaszcza z ruchem, przeniknęły również
i u nas do matematyki. Wielu uczniom spędzają sen z powiek zadania zaczynające się od słów
„ z miasta A do miasta B‖.
Problem zaczyna się gdy mamy wytłumaczyć pojęcia prędkości chwilowej, czy
przyspieszenia chwilowego bez użycia pochodnej . Albo jak wyprowadzić równanie drogi w
ruchu jednostajnie przyspieszonym
bez pomocy całki. Jak wygląda droga w ruchu
jednostajnym po okręgu?
Wszystkie te wzory oparte na równaniach zmiennej t, można wyprowadzić w prosty
logiczny sposób, oczywiście pod warunkiem, że poznamy podstawy rachunku różniczkowego
i całkowego.
Zadania te wielokrotnie prowadzą do układów równań, z których rozwiązaniem już
nie powinno być problemu.
Takie pojęcia jak styczna do wykresu funkcji ,czy pole obszaru ograniczonego
wykresem funkcji zmiennej t, to przecież nie tylko pojęcia matematyczne, ale również pojęcia
kinematyki jak prędkość, przyspieszenie, droga.
Natomiast ruch po okręgu ma olbrzymie zastosowanie w astronomii. Przecież nie
potrafimy określić prędkości liniowej poruszającej się gwiazdy, stąd prędkość kątowa.
Stajemy się mądrzejsi, gdy rozumiemy otaczający nas Świat a
zrozumieć stosując prawa fizyki i matematyki.
52
potrafimy wiele
2) Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach:
Treści nauczania
Cele operacyjne modułu
1.Rodzaje ruchów. Pojęcie drogi, prędkości i Uczeń potrafi:
przyspieszenia w ruchu jednostajnym i
niejednostajnym. Związek między drogą,
-podać rodzaje ruchów
-wyznaczać i stosować
prędkością i przyspieszeniem.
wzory dotyczące
drogi, prędkości i przyspieszenia w ruchu
2.Prędkość średnia i chwilowa.
jednostajnym i niejednostajnym
3.Przyspieszenie średnie i chwilowe.
4.Równanie ruchu.
wykresy
-rysować
drogi,
prędkości
i
przyspieszenia
5.Iloraz różnicowy funkcji. Interpretacja -podać
fizyczna ilorazu różnicowego.
interpretację
wykresów
drogi,
prędkości i przyspieszenia
6.Pochodna funkcji. Interpretacja fizyczna -rozróżniać prędkość chwilową od prędkości
średniej
pochodnej.
7.Druga
pochodna
funkcji.
Interpretacja -rozróżniać
przyspieszenie
fizyczna drugiej pochodnej.
przyspieszenia średniego
8.Całka funkcji. Interpretacja fizyczna całki.
-stosować
9.Rachunek różniczkowy i całkowy do
interpretację
chwilowe
fizyczną
od
ilorazu
różnicowego jako prędkość średnią
wyznaczania wielkości fizycznych.
- obliczyć średnią harmoniczną
10.Ruch jednostajny i niejednostajny.
-opisać zapis matematyczny i fizyczny
-stosować interpretację fizyczną pochodnej
jako prędkość chwilową
-opisać językiem matematyki zagadnienia z
fizyki i mechaniki
-odnaleźć
53
definicję
przyspieszenia
jako
pochodną prędkości po czasie (jest to miara
zmienności prędkości), przyspieszenie jest
wielkością
równą
wartości
pochodnej
prędkości względem czasu w danej chwili
-znaleźć wzór
i podać jego interpretację
-odnaleźć zastosowanie pochodnej i całki w
mechanice
równanie
-wyprowadzić
drogi
w
ruchu
jednostajnie przyspieszonym, a może jeszcze
w innym ruchu
-stosować
metody
informatyczne
i
wykorzystać Internet do pozyskiwania i
rozwiązywania problemów fizycznych
54
3)PROJEKT 1:Jakie mogą być zastosowania funkcji zmiennej t w mechanice
,a może jeszcze w innych działaniach fizyki?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- jakie wielkości fizyczne są przedstawione w postaci funkcji liniowej a jakie w
postaci funkcji kwadratowej zmiennej t?
- jaka jest różnica między prędkością średnią, chwilową, kątową?
- czy ta sama funkcja zmiennej t np. kwadratowa może przedstawiać różne
pojęcia kinematyki drogę, prędkość, przyspieszenie?
- jaki jest geometryczny związek wykresu funkcji v(t )= at + v0
w przedziale [t0;t1] z drogą w tym ruchu?
- w jakim ruchu prędkość jest funkcją kwadratową zmiennej t?
- jaka jest zależność energii kinetycznej od prędkości w danym ruchu?
- jakie jest zastosowanie średniej harmonicznej z prędkością średnią?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Pociąg i balon wyruszają jednocześnie z tego samego punktu. Pociąg porusza się
po linii prostej z prędkością 50 km/h, balon wznosi się pionowo do góry z prędkością 10
km/h. Z jaką prędkością oddalają się od siebie?
55
Zadanie 2.
Ciało o masie 2 kg porusza się ruchem prostoliniowym określonym funkcją
st  
1 2
t  t  1 gdzie s to droga w metrach, a t czas w sekundach. W której sekundzie
2
ruchu energia kinetyczna ciała będzie wynosiła 4 J?
Energia kinetyczna –energia, którą posiada każde poruszające się ciało. Wartość tej energii
zależy od masy ciała i jego prędkości.
Zadanie 3.
Punkt M oddala się od nieruchomego punktu A po linii prostej tak, że odległość
AM rośnie proporcjonalnie do kwadratu czasu. Po upływie 2 minut od chwili
rozpoczęcia ruchu odległość AM wynosiła 12 m. Oblicz prędkość w 3 minucie ruchu.
Zadanie 4.
Ruch punktu opisują równania parametryczne x  ct , y  a  bt , przy czym a, b,
2
c są stałe.
a) Obliczyć składowe prędkości i przyspieszenia.
b) Wyznaczyć tor ruchu punktu przyjmując a  0 , b 
1
g , c  v0 .
2
Zadanie 5.
Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km.
Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z
miasta B do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w
połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.
56
Zadanie 6.
Odległość miedzy miejscowościami A i B wynosi 19 km. Z A do B wyjechał kolarz
z pewną stałą prędkością.. W 15 minut po nim, w tym samym kierunku, wyjechał
samochód i po 10 minutach jazdy dogonił kolarza. Samochód nie zatrzymując się,
pojechał dalej do B i zaraz zawrócił. W drodze powrotnej, po upływie 50 minut od
wyjazdu z A, spotkał ponownie kolarza. Wyznacz prędkość kolarza i samochodu.
Zadanie 7.
Pewien kierowca podzielił trasę, którą miał przejechać na trzy odcinki. Trzeci
odcinek był dwa razy dłuższy od każdego z poprzednich. Pierwszy przejechał z
prędkością 80 km/h, drugi z prędkością 60 km/h , a trzeci – 90 km/h. Oblicz średnią
prędkość z jaką kierowca pokonał trasę. Wynik podaj z dokładnością 0,01 km/h.
Wskazówka: Możesz zastosować wzór na średnią harmoniczną czterech liczb.
Zastanów się dlaczego to jest możliwe?
Zadanie 8.
Łyżwiarz 1/3 trasy jedzie z prędkością 12 km/h, połowę pozostałej trasy z
prędkością 10 km/h, a resztę, aż do mety, z prędkością 6 km/h. Jaka jest jego średnia
prędkość na tej trasie?
Zadanie 9.
Z miejscowości A do B jednocześnie wyjechały dwie ciężarówki. Pierwsza połowę
czasu przeznaczonego na przebycie drogi jechała z prędkością 50 km/h, a drugą połowę
czasu – z prędkością 40 km/h. Natomiast druga ciężarówka połowę drogi jechała z
prędkością 40 km/h, a pozostałą część – z prędkością 50 km/h. Rozstrzygnij, która z
ciężarówek była pierwsza w miejscowości B.
57
4)PROJEKT 2: Jakie jest zastosowanie pochodnej i całki w mechanice?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- jakie są definicje pochodnej funkcji w punkcie?
- jakie są interpretacje pochodnej funkcji w punkcie?
-jaka jest różnica między pochodną funkcji a pochodną funkcji w punkcie?
- jaka jest definicja funkcji pierwotnej czyli całki nieoznaczonej?
- jaka jest interpretacja całki nieoznaczonej?
- co to jest całka oznaczona i jakie są jej zastosowania?
-jakie są zastosowania fizyczne pochodnej?
- jakie są zastosowania fizyczne całki?
b)przykładowe zadania:
1. Podstawowe pojęcia z zakresu rachunku różniczkowego.
58
DEF 1.
Jeżeli f jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej, określoną w pewnym
otoczeniu punktu x0, i jeśli istnieje skończona granica ilorazu różnicowego
f ( x)  f ( x0 )
, przy x  x0 , to f nazywa się funkcją różniczkowalną w punkcie x0, a
x  x0
wartość tej granicy nazywa się pochodną funkcji w punkcie x0 i oznacza symbolem
f ( x0 ) :
f ( x0 )  lim
x x0
f ( x )  f ( x0 )
f ( x 0  h )  f ( x0 )
;
 lim
h0
x  x0
h
x0 – punkt różniczkowalności funkcji f.
DEF 2.
Otoczeniem punktu x0 nazywamy każdy przedział otwarty, do którego należy punkt
x0.
DEF 3.
Jeśli dziedziną X funkcji f jest przedział otwarty (lub ogólniej: suma pewnej liczby
przedziałów otwartych) i jeśli f ma pochodną w wszystkich punktach, to f nazywa się
funkcją różniczkowalną w zbiorze X, a funkcja X  x  f (x) nazywa się funkcją
pochodną (lub krócej: pochodną) funkcji f w tym zbiorze. Tak więc pochodna
funkcji w punkcie jest liczbą, a w zbiorze jest funkcją, oznaczoną symbolem f  ; inne
oznaczenie:
df
.
dx
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie.
59
Rys. 1.
A0=(x0, f(x0))
A1=(x0+h1, f(x0+h1))
A3=(x0+h3, f(x0+h3))
f ( x0  h1 )  f ( x0 )
 tg 1  a1
h1
Tym samym:
f ( x0  h2 )  f ( x0 )
 tg  2  a 2
h2
A2=(x0+h2, f(x0+h2))
f ( x0 )  a  tg
f ( x0  h3 )  f ( x0 )
 tg  3  a3
h3
Pochodna funkcji w punkcie x0 równa się współczynnikowi kierunkowemu a prostej
stycznej do wykresu w punkcie Ao=(x0, f(x0)). Tym samym równanie stycznej do krzywej
w punkcie A0 ma postać:
y  f x0   f x0 x  x0 
DEF 4.
Jeżeli funkcja f : X  R jest różniczkowalna w zbiorze X oraz jej pochodna
f  : X  R jest również różniczkowalna w zbiorze X, to mówimy, że funkcja f jest
dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze X.

Funkcję f    f  nazywamy drugą pochodną funkcji.
10
Y
f(x)
f`(x)
f``(x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
-10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Created with an unregistered version of Advanced Grapher - http:/ / www.serpik.com/ agrapher/
Rys. 2
60
Rysunek
2
przedstawia
wykres
funkcji f ( x)  x 3  4 x  1 ,
jej
pierwszej
(f`)
i drugiej (f``) pochodnej.
2. Różne interpretacje pochodnej
 Interpretacja geometryczna. Równanie stycznej
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną f ‘(x0), to do
wykresu tej funkcji istnieje w punkcie (x0, f(x0)) styczna o równaniu
y-f(x0)=f ’(x0)(x- x0).
Styczna ta jest granicą siecznych przechodzących przez punkty A(x0, f(x0)) oraz
B(x0+h, f(x0+h)) przy h zmierzającym do 0. Fakt ten ilustruje poniższy rysunek.
y
f
sieczna
B
f(x0+h)
A
f(x0)
styczna
α
C
α
x0
x0+h
x
Rys. 3
Długość odcinka BC jest równa przyrostowi wartości funkcji f odpowiadającego
przyrostowi argumentu o h (długość odcinka AC). Iloraz różnicowy funkcji jest więc
stosunkiem długości odcinków BC do AC. Jest on zatem równy tangensowi kąta α nachylenia
siecznej AB do osi OX, co oznacza, że w sensie geometrycznym jest on równy
współczynnikowi kierunkowemu siecznej AB.
61
Jeżeli przyrost argumentu h maleje do zera, to punkt B zbliża się do punktu A. Przy
przejściu do granicy (czyli do pochodnej) punkt ten pokryje się z punktem A, a sieczna stanie
się już styczną (im mniejszy przyrost argumentu h, tym bardziej sieczne zbliżają się do
stycznej). Zatem pochodną
w punkcie x0 możemy interpretować geometrycznie jako
współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o współrzędnych (x0,
f(x0)).
 Interpretacją kinematyczną (fizyczną) pochodnej jest prędkość chwilowa w
ruchu prostoliniowym.
Przypuśćmy, że ciało porusza się po linii prostej, przebywając pewną drogę od punktu
początkowego O. Prędkość średnia tego ciała w odstępie czasu  t
wyliczmy z dobrze
znanego nam wzoru
Vśr 
 s s(t 0   t )  s(t 0 )

t
t
Ale jeśli byśmy chcieli znać dokładną wartość prędkości ciała w momencie t0 musielibyśmy
liczyć ją, gdy przyrost czasu  t jest znikomy, tzn. gdy t  0 , czyli
V (t 0 )  lim
t 0
s(t 0   t )  s(t 0 )
t
Oznacza to, że prędkość ciała w dowolnym momencie jest pochodną funkcji s(t), której
wartość określa drogę przebytą w czasie t (zob. definicja pochodnej funkcji)
3. Zapis pochodnej w kinematyce, prędkość i przyspieszenie
Mimo iż pojęcie pochodnej w matematyce i w fizyce niczym się nie różni, to forma
zapisu w nauce zajmującej się własnościami i prawami materii nieco odbiega od tej, jaką
stosujemy na matematyce w szkole średniej. Dla pokazania różnicy można przytoczyć prosty
przykład ukazujący pochodną iloczynu stałej i funkcji:
 zapis od strony matematycznej (szkoła średnia): (cf )  cf 
62
 zapis od strony fizycznej:
d
df
(cf )  c
dx
dx
Poniżej ukazane są fizyczne zapisy najczęściej stosowanych twierdzeń dotyczących
obliczania pochodnych:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
dx
1
dx
d
ax   a dx
dx
dx
d
u  v   du  dv
x
dx dx
d m
x  mx m 1 , m  C \ 0
dx
d
1
ln x  , x  0
dx
x
d
uv   u dv  v du
dx
dx
dx
u, v – funkcje różniczkowalne
a – parametr
Prędkość.
Prędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu.
Prędkość stała.
Jeśli samochód porusza się ze stałą prędkością v, to odległość, jaką przebywa w czasie
t jest równa x = vt. Jeśli w czasie to znajdował się w punkcie xo, to
63
x  xo  vt  t o  ,
czyli:
v
x  xo
, t  t 0 (stała prędkość, gdzie v jest stałą)
t  to
Ta zależność między x i t jest wykreślona na rysunku 3. Wielkość może być dodatnia
albo ujemna, jej znak wskazuje kierunek ruchu. Jeśli v jest ujemne, to ruch odbywa się
w stronę malejących x.
x
x0
t0
t
Rys. 3
Wykres położenia samochodu w funkcji czasu dla samochodu poruszającego się ze
stałą prędkością.
Prędkość chwilowa.
Jeżeli samochód przyspiesza lub zwalnia, to wskazania szybkościomierza nie zgadzają
się z wynikiem, chyba, że użyjemy bardzo małych wartości x  xo . Takie bardzo małe
64
wartości x  xo będziemy oznaczać przez x , a bardzo małe odstępy czasu, w których
samochód przebył drogę x , będziemy oznaczać jako t .
DEF 1.
Prędkość chwilowa jest granicą x t , gdy t dąży do zera, czyli
xt  t   xt 0 
 x 
v  lim    lim 0
 x`t 0 
t
t 0  t 
t 0
(Symbol „  ” oznacza „jest zdefiniowany jako”).
co zapisujemy jako:
v
dx
 x`t 0  .
dt
Przyspieszenie.
Wszyscy w jakościowy sposób rozumiemy, co to jest przyspieszenie. Możemy
wywołać przyspieszenie samochodu naciskając pedał gazu. Im bardziej ten pedał wciskamy,
tym jest większe przyspieszenie. Gdy trwa przyspieszenie prędkość rośnie. Naciśnięcie na
pedał hamulca daje podobny efekt, tyle tylko, że teraz mamy przyspieszenie ujemne (zwane
opóźnieniem). Przyspieszenie jest tempem zmian prędkości.
Przyspieszenie jednostajne.
Z definicji ciało porusza się z jednostajnym, czyli stałym przyspieszeniem, gdy jego
prędkość rośnie jednostajnie z czasem. Przyspieszenie a jest stałe, gdy
v  vo  at ,
czyli:
65
a
v  vo
(stałe przyspieszenie),
t
gdzie v  vo  jest wzrostem prędkości w czasie t.
Przyspieszenie chwilowe.
Jeżeli przyspieszenie zmienia się z czasem, musimy wtedy zmierzyć zmianę prędkości
w ciągu krótkiego odstępu czasu t .
DEF 2.
Przyspieszenie chwilowe jest granicą v t , gdy t dąży do zera, czyli
 v 
a  lim   ,
t 0 t
 
co zapisujemy jako:
a
dv d 2 x
 2  x (t )
dt
dt
66
Zadanie 1.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=3x2-5 w punkcie A(1,-2).
Ponieważ x0=1 i f(x0)=f(1)=-2. Aby skorzystać z podanego wzoru stycznej, brakuje nam
tylko wartości f‘(1). W tym celu policzmy pochodną
f‘(x)= 6x oraz f‘(1)= 6∙1=6. Na
podstawie podanego wzoru stycznej otrzymujemy y-(-2)=6(x-1) czyli równane stycznej do
funkcji w punkcie A(1,-2) ma postać y=6x-8.
Zadanie 2.
Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = 4+3x2-x3.
Wskazówka:
Funkcja ta jako funkcja wielomianowa jest różniczkowalna. Oblicz jej
pochodną i wykorzystaj tekst matematyczny podany powyżej punkt 4/4.
Zadanie 3.
Zbadaj ekstrema funkcji f(x)=2x3+3x2-36x+15
Wskazówka: Funkcja ta jako funkcja wielomianowa jest różniczkowalna. Oblicz jej pochodną
i wykorzystaj tekst matematyczny podany powyżej punkt 4/5. Badamy teraz znak pochodnej.
W tym celu narysujmy jej przybliżony wykres.
y
y = 6 (x2+x-6)
-3
0
2
x
67
Widzimy więc, że w punkcie x=-3 funkcja ma maksimum (znak pochodnej zmienia się z +
na - ) równe fmax(-3)=96, a punkcie x=2 funkcja ma minimum (znak pochodnej zmienia się z na + ) równe fmin(2)=-19.
Zadanie 4.
Zbadaj jaką najmniejszą i jaką największą wartość przyjmuje funkcja y = x33x2-9x+7 w przedziale [-2,1].
Zadanie 5.
Zbadaj wypukłość i wyznacz punkty przegięcia wykresu funkcji f(x) = 2x3+3x24x+10.
Wskazówka: Policz pochodne (pierwszą i drugą), wykorzystaj tekst matematyczny podany
powyżej punkt 4/6 :
f‘(x) = 6x2+6x-4
f‘‘(x) = 12x+6 = 6 (2x+1)
i narysuj przybliżony wykres drugiej pochodnej
-1/2
0
1
Zatem widać, że wykres funkcji f jest wypukły w przedziale (-1/2, +∞) (druga pochodna
funkcji f jest dodatnia), natomiast w przedziale (-∞,-1/2) wklęsły (druga pochodna funkcji f
jest ujemna).
Ponieważ w punkcie x0=-1/2 druga pochodna zeruje się i zmienia w otoczeniu tego punkty
znak, to punkt x0=-1/2 jest punktem przegięcia wykresy tej funkcji.
68
Zadanie 6.
Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji
f x   x 2 w punkcie P2, 4 ,
Zadanie 7.
Z prostokątnego kawałka blachy o szerokości 80 cm i długości 120 cm robi się
opakowanie w ten sposób, że w rogach wycina się kwadraty, następnie zagina wystające
brzegi i lutuje na krawędziach. Zbadać, jak wielkie należy wyciąć kwadraty, aby
otrzymać opakowanie o możliwie największej pojemności.
Zadanie 8.
Jaki powinien być stosunek wymiarów puszki do konserw w kształcie walca, aby
przy danej objętości zużyć na jej wyrób jak najmniej blachy ?
Zadanie 9.
Wartość produkcji zakładu kształtuje się według funkcji f x   50 x  2 x  1 zł za
2
x roboczogodzin. Znaleźć wydajność krańcową przy zatrudnieniu 5-ciu robotników.
Zadanie 10.
Prędkość w pewnym ruchu wyraża się wzorem v(t) = t2 + 2t + 3 .
Wyznacz :
a) przyspieszenie w chwili t0 = 4
b)drogę , jaką przebył punkt materialny w czasie od t0 = 4 do t1 = 10
69
5)PROJEKT 3: W jaki sposób można wyprowadzić równanie drogi w
ruchu jednostajnie przyśpieszonym, a może w jeszcze innym ruchu?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu:
- jakie znasz rodzaje ruchów w fizyce?
- w jaki sposób wyznaczamy prędkość w ruchu ?
- jak wyprowadzamy wzór na przyspieszenie?
- w jaki sposób opisujemy drogę w ruchu po okręgu?
- jak się wyznacza prędkość a jak przyspieszenie w ruchu po okręgu?
- w jaki sposób z funkcji zmiennej t określającej przyspieszenie wyprowadzamy
równanie prędkości?
- jak z równania prędkości wyprowadzić wzór na równanie
drogi?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Wiedząc, że droga w pewnym ruchu wyraża się wzorem s(t) = -2t2 + 3t +4
wyprowadź wzór na prędkość i przyspieszenie w tym ruchu. Czy prędkość może być
ujemna? Co oznacza ujemne przyspieszenie a co dodatnie?
70
Zadanie 2.
Jaki ruch przedstawiają równania :
Znajdź w podręczniku do fizyki te wzory i wyprowadź wzory na prędkość i
przyspieszenie w tym ruchu.
Zadanie 3.
W ruchu niejednostajnie zmiennym po okręgu wyprowadź równanie drogi
kątowej w zależności od prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego w zależności od
drogi kątowej.
Zadanie 4.
W jaki sposób określać ruch krzywoliniowy przestrzenny np. po linii śrubowej?
Jak wyznaczyć w takim ruchu drogę, prędkość i przyspieszenie?
71
Literatura i inne źródła informacji
 J. Orear, Fizyka, Wydawnictwo Naukowo techniczne, Warszawa 1990.
 R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971.
 H. Pańkowska (red. nacz.), Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne
i Pedagogiczne, Warszawa 1988.
 K. Cegiełka, J. Przyjemski, K. Szamański, Matematyka. Podręcznik dla klasy III
liceum oraz klasy III technikum, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa
1994.
 A. Śnieżek, P. Tęcza, Zbiór zadań z matematyki dla szkół średnich. Część trzecia,
Oddział Doskonalenia Nauczycieli w Rzeszowie, Rzeszów 1986.
 S. Ćwiok, M. Zwoliński, P. i M. Hensel, Zbiór zadań z fizyki dla trzeciej i czwartej
klasy liceum ogólnokształcącego i technikum, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,
Warszawa 1998.
 D. Halliday, R. Resnick, Fizyka. Tom 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa 1974.
 J. Kalisz, M. Massalska, J.M. Massalski, Zbiór zadań z fizyki z rozwiązaniami.
Część I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987.
 Advanced Grapher, http://www.serpik.com/agrapher (wykresy).
 A. Cewe, H. Nahorska, I. Pancer, Tablice matematyczne, Wydawnictwo Podkowa,
Gdańsk 1999.
72
V MODUŁ PROJEKTOWY
„Krzywe stożkowe a może jeszcze inne krzywe – wykres funkcji
czy równania”
1) Wprowadzenie do modułu:
Krzywe jako wykresy równań algebraicznych mają bardzo szerokie zastosowanie, nie
tylko w matematyce. Bo gdyby nie krzywe stożkowe, nie znalibyśmy pór roku, długości dnia,
odległości Ziemi od Księżyca i wiele innych pojęć z astronomii. Skąd wiedzielibyśmy ,czy
kometa Halley‘a będzie znowu widoczna z Ziemi gołym okiem i kiedy to nastąpi, gdyby nie
to, że jej torem jest elipsa. Gdyby torem komety była parabola lub hiperbola, jej pobyt w
pobliżu Ziemi byłby pojedynczym incydentem w historii ludzkości.
Anteny satelitarne są zbudowane na bazie krzywych stożkowych. Powstają one
przez obrót krzywej dookoła osi symetrii, stąd antena satelitarna eliptyczna, paraboliczna czy
hiperboliczna. Wiedza o tym gdzie krzywa stożkowa ma ognisko, pozwala na odbiór fal,
dzięki którym możemy oglądać TV.
Krzywe służą również do projektowania karoserii samochodu i wielu innych
przedmiotów codziennego użytku, a nowoczesne budowle są oparte na bryłach obrotowych ,
powstałych przez obrót figur ograniczonych krzywymi stożkowymi i innymi krzywymi.
To tylko niektóre zastosowania, ale wystarczą do tego , by zainteresować się
krzywymi, nie tylko stożkowymi a ich przepiękny wygląd , może być źródłem inspiracji
twórczych.
73
2) Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach:
Treści nauczania
Cele operacyjne modułu
1.Krzywe stopnia drugiego: okrąg, elipsa, Uczeń potrafi:
parabola, hiperbola.
-narysować krzywą stopnia drugiego: okrąg ,
2.Funkcje elementarne i odwrotne do nich.
elipsę, parabolę, hiperbolę
3.Krzywe wykładnicze i logarytmiczne.
-opisać krzywą równaniem lub układem
parametrycznym
4.Krzywe trygonometryczne.
-rozróżniać wykres równania od wykresu
5.Krzywe kołowe (cyklometryczne).
funkcji
6.Krzywe hiperboliczne.
-odnaleźć
zastosowania
krzywych
w
krzywą
wykładniczą
i
krzywą
trygonometryczną,
7.Ognisko, kierownice i osie krzywych.
astronomii i technice
8.Całka oznaczona.
-narysować
logarytmiczną
9.Długość łuku krzywej.
10.Pole
krzywych.
figury
ograniczonej
łukami
-narysować
cyklometryczną i hiperboliczną
-podać ogniska, kierownice i osie krzywych
-stosować pojęcie całki oznaczonej
-obliczać długość łuku krzywej
-obliczać pole figury ograniczonej łukami
krzywej
-podać wytłumaczenie pojęć astronomicznych
na gruncie matematyki
-korzystać z technologii informatycznych do
rozwiązywania problemów
-opisać językiem matematycznym krzywe
oraz zjawiska w otaczającym nas Świecie –
74
zagadnienia z astronomii: dzień, noc, pory
roku, rok przestępny
-uzasadnić
poprawność
rozumowania
używając fachowej terminologii
-rejestrować, dokumentować i prezentować
wyniki
obserwacji,
dotyczące
obserwacji
zjawisk w otaczającym nas Świecie
3) PROJEKT 1: Jak zmierzyć długość łuku krzywej?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe:
- skąd się wzięła nazwa krzywe stożkowe?
- w jaki sposób powstają krzywe stożkowe?
- ile jest różnych typów krzywych stożkowych?
- co to są krzywe stożkowe niewłaściwe?
- czy prosta jest krzywą stożkową?
- dlaczego krzywe stożkowe nazywane są też krzywymi stopnia 2?
- w jaki sposób definiujemy krzywe stożkowe?
- jaki jest związek elipsy z okręgiem?
- jakie elementy posiadają krzywe stożkowe?
75
- czy definicja krzywej stożkowej pozwala zbudować przyrząd do jej
konstrukcji?
- jak zmierzyć długość krzywej stożkowej lub jej fragment?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Wyjaśnij pojęcia: mimośród, ognisko, kierownica
Rys.2
Rys.3
Zadanie 2.
Dopasuj podpisy do podanych krzywych stożkowych(rys.1 - 6):
rys.1
rys.2
rys.3
76
rys.4
Elipsa,
rys.5
rys.6
Okrąg: płaszczyzna do osi stożka,
Punkt: płaszczyzna przechodząca wyłącznie przez wierzchołek stożka,
Parabola: płaszczyzna  do boku stożka, Para przecinających się prostych,
Pojedyncza prosta: płaszczyzna styczna do stożka,
Zadanie 3.
Kierownica paraboli to ………………………., z których parabolę widad pod kątem
prostym. Kierownice to linie prostopadłe do osi dużej elipsy i hiperboli w odległości
ich środka. Używając terminów półosi dużej
i mimośrodu
(
od
), kiedy poruszamy
się od środka elipsy (hiperboli) wzdłuż osi dużej, otrzymujemy co następuje:
ognisko jako odległośd …………….. od środka elipsy (hiperboli)
wierzchołek jako odległośd ………….. od środka elipsy (hiperboli)
kierownicę jako odległośd (……………….) od środka elipsy (hiperboli).
Zadanie 4.
Załóżmy, że przecinająca płaszczyzna tworzy kąt ostry α z osią stożka i niech kąt
ostry między ścianą stożka a jego osią wynosi β (zobacz rys.5).
77
rys.5
Wtedy mamy (wpisz warunek):
a.
b.
c.
d.
okrąg, jeśli ……………….….
elipsę, jeśli …………………..
parabolę, jeśli ……………………..
hiperbolę, jeśli ……………………..
Zadanie 5.
Równanie:
przedstawia:
a. okrąg, jeśli ………. (specjalne przypadki: wykresem jest punkt lub wykres nie
istnieje)
b. parabolę, jeśli równanie ………….. jest z jedną zmienną w drugiej potędze a z drugą
w pierwszej
c. elipsę, jeśli …….. i ……. są albo dodatnie, albo ujemne (specjalny przypadek:
pojedynczy punkt lub wykres nie istnieje)
d. hiperbolę, jeśli …….. i …… mają przeciwne znaki (specjalny przypadek: pojedynczy
punkt albo wykres nie istnieje)
e. prostą, jeśli ……. i …….. są równe zero oraz …… i ……… są różne od zera.
78
Zadanie 6.
Nazwij krzywe stożkowe (rys.6):
Krzywe stożkowe: A -………., B -………, C -……….., D -…………. .
Zadanie 7.
W oparciu o definicję skonstruuj przyrząd do rysowania elipsy.
Zadanie 8.
Oblicz długości łuków określonych niżej:
a) prosta y = 4 dzieli okrąg x2 + y2 = 36 na dwa łuki ,jaka jest ich długość?
b) jaka jest długość elipsy 9x2 + 16y2 = 144 ?
c) jaka jest długość paraboli y = x2 w przedziale [0 ; 2] ?
d) jaka jest długość hiperboli xy = 1 w przedziale [1 ; 10] ?
79
4)PROJEKT 2:Jakie są zastosowania krzywych stożkowych w różnych
dziedzinach?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe:
- jakie jest zastosowanie krzywych stożkowych w astronomii?
- dlaczego dla ciał niebieskich, prędkość ich przemieszczania się określamy przy
pomocy prędkości kątowej?
- czy prędkość kątowa pozwala na wyznaczenie długości toru planety?
Poszukaj przykłady.
-w jaki sposób określamy pory roku?
- jak wyznaczyć długość konkretnego dnia?
- co to jest rok przestępny?
- jak skonstruować antenę satelitarną paraboliczną, a jak hiperboliczną?
- jakie są zastosowania krzywych stożkowych w innych dziedzinach?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Przeczytaj uważnie tekst
“Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych.”
80
Słońce ulokowane jest w ognisku orbity eliptycznej a nie w środku orbity jak mogliśmy
przypuszczać. Okazuje się, że jeśli orbita jest określona równaniem
to wtedy punkty elipsy najdalsze i najbliższe ―słońcu‖ występują na osi ―x‖, na lewo i na
prawo od początku układu współrzędnych, odpowiednio (rys.1).
Rys. 1
Najbliższy punkt nazywamy perygeum (punkt przysłoneczny) a najdalszy – apogeum (punkt
odsłoneczny).
Teoretycznie, kometa może mieć eliptyczną, paraboliczną lub hiperboliczną orbitę poruszając
się dookoła Słońca. Jeśli orbita jest paraboliczna lub hiperboliczna, wtedy możemy zobaczyć
kometę maksymalnie dwukrotnie. Jednakże, jeśli orbita jest eliptyczna, wtedy kometa może
pokazywać się okresowo. Najlepiej ilustrującym przykładem takiej komety jest kometa
Halley‘a, która ma okres około 76 lat. Kometa Halley‘a pojawiła się ponownie w 1985-1986
r. A jej perygeum wystąpiło 9 lutego 1986 r. Sztuczny satelita nie może mieć żadnej z trzech
wymienionych wyżej orbit. Jest on umiejscawiany na orbicie kołowej.
Jak określić kiedy może pojawić się kometa Halley’a?
81
Zadanie 2.
Algorytm pozwalający wyznaczyć dzień Wielkiej Nocy ułożony został przez
Carla Friedricha Gaussa (żył 78 lat) . Był to genialny matematyk (metoda przybliżonego
całkowania, krzywa dzwonowa Gaussa - rozkład normalny, konstrukcja
siedemnastokąta i wiele innych dokonań), astronom (wiekowe perturbacje planet),
geodeta (odwzorowania kartograficzne) i fizyk (prawo Gaussa dla pola elektrycznego i
dla pola magnetycznego, absolutny elektromagnetyczny układ jednostek, badania nad
włoskowatością i wiele innych dokonań). Stawiany na równi z Archimedesem i
Newtonem - znajdź algorytm, przy pomocy którego można wyznaczyć dzień
w którym będzie w danym roku Wielkanoc, a w jakim "Tłusty Czwartek".
Zadanie 3.
W jaki sposób obliczyć długość toru po którym Ziemia obiega Słońce?
Zadanie 4.
Zaprojektuj antenę satelitarną paraboliczną lub hiperboliczną.
Zadanie 5.
Masz gotową antenę satelitarną (talerz) wyprowadź wzór krzywej stożkowej na
bazie której powstała ta antena.
82
5)PROJEKT 3: Gdzie można znaleźć inne krzywe niż te, o których uczyłeś
się na lekcjach matematyki i jak je zastosować ?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a) szczegółowe pytania problemowe:
- co to są krzywe cyklometryczne?
- jak definiujemy funkcje hiperboliczne?
-jaki jest związek funkcji kołowych z kołem?
- jaki jest związek funkcji hiperbolicznych z hiperbolą?
- co to jest krzywa wykładnicza a co logarytmiczna?
-w jaki sposób konstruuje się krzywe Lissajous?
- skąd się wzięły krzywe Béziera i jakie jest ich zastosowanie?
b)Przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Znajdź zastosowania krzywych cyklometrycznych.
Zadanie 2.
Jak wygląda krzywa łańcuchowa? Wykonaj wykresy funkcji hiperbolicznych i
poszukaj ich zastosowanie np. w fizyce.
83
Zadanie 3.
Znajdź zastosowanie krzywej wielomianowej Béziera
(Pierre Bézier to francuski matematyk, pracownik firmy Renault. W ramach prac
projektowych nad nowymi karoseriami samochodowymi opracował model opisu krzywych.
Krzywe Béziera są parametrycznymi krzywymi trzeciego stopnia i znajdują szerokie
zastosowanie w modelowaniu kształtu figur i powierzchni. Przykładem może tu być
modelowanie kształtu nadwozi samochodów. Są one podstawą działania wszystkich
poważniejszych programów do tworzenia i edycji rysunków wektorowych (Corel DRAW,
Adobe Ilustrator).)
Zadanie 4.
Znajdź zastosowanie poniżej przedstawionych krzywych:
Przykłady krzywych Lissajous o parametrach
1.
a = 1, b = 2
a = 3, b = 2
, a – nieparzyste, b – parzyste, | a − b | =
a = 3, b = 4
a = 5, b = 4
a = 5, b = 6
a = 9, b = 8
Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Krzywa_Lissajous‖
Zadanie 5.
Znajdź przykłady krzywych przestrzennych np. linia spiralna.
84
Literatura i inne źródła informacji
 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1,
PWN, W-wa, 1994,
 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972,
 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk.
UAM, Poznań 1993,
 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu
Śląskiego, Katowice,1976,
 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej,
WNT, W-wa ,1976
 6. E.Kącicki, D.Sadowska, L.Siewierski Geometria analityczna w
zadaniach WN PWN , W-wa, 1993,
 7. http://portalwiedzy.onet.pl/75982,,,,stozkowe_krzywe,haslo.html
 8. www.mini.pw.edu.pl/~pkamins/pdf/geom_stoz.pdf
 9. www.wsipnet.pl/oip/msl/cz2/u/wgks.html
 10. http://corel.wodip.opole.pl/krzywe_beziera/krzywe_beziera.htm
 11. http://jaroslawlinder.webpark.pl/grawit.html
 12. http://pl.wikipedia.org/wiki/Krzywa_Lissajous
85
VI MODUŁ PROJEKTOWY
„Wielomiany – czy przydałyby się na giełdzie?
1)Wprowadzenie do modułu:
Wielomiany to jedne z najciekawszych funkcji, nie tylko matematyki szkoły średniej
ale również matematyki wyższej.
Doczekały się wiele opracowań, a zajmowali
się nimi tacy matematycy jak : Bezoute,
Cardano,Fourier, Hermite, Horner, Kronecker, Lagrange, Laurent i wielu innych.
Istnieje cały dział algebry zajmujący się wielomianami jednej i wielu zmiennych.
Poszukiwanie pierwiastków wielomianów można porównać do szukania igły w stogu siana.
Tylko niektóre specjalnie dobrane wielomiany mają pierwiastki ,które dają się wyznaczyć
albo poprzez wzory albo jeżeli są całkowite lub wymierne, to bez trudu je znajdziemy.
Wzory na pierwiastki wielomianów kończą się na trzecim stopniu
chyba, że
wielomian wyższego stopnia poprzez podstawienie ,da się sprowadzić do wielomianu stopnia
co najwyżej trzeciego.
Zastosowanie wielomianów jest bardzo szerokie, m.in. w rozwinięciu funkcji w szereg
potęgowy mamy do czynienia z wielomianem stopnia nieskończonego, ale do zastosowań
można ten stopień ograniczy do skończonego, bez straty dokładności przybliżenia.
Ciekawym zastosowaniem wielomianu jest gra giełdowa. Gdybyśmy notowania
pewnej spółki giełdowej wybrali z danego przedziału czasowego, to liczby te utworzyłyby
wykres słupkowy. Końce tych słupków są punktami wykresu pewnego wielomianu.
Znajomość wzoru wielomianu pozwoliłaby nam poznać własności tego wielomianu , takie jak
monotoniczność czy ekstrema, co pozwoliłoby osiągać zyski na giełdzie. Wiedząc, że w
analogicznym przedziale czasowym wielomian jest funkcją rosnącą, to kupujemy akcje gdy
wielomian osiąga minimum a sprzedajemy gdy osiąga maksimum. Niestety nasza giełda jest
zbyt młoda i mało przewidywalna, żeby można było zbyt szybko na niej się wzbogacić.
86
Niemniej warto poznać wielomiany, przybliżone metody poszukiwania pierwiastków i poznać
ludzi, którzy zajmowali się wielomianami.
2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach:
Treści nauczania
Cele operacyjne modułu
1.Pojęcie wielomianu. Wykres wielomianu. Uczeń potrafi:
Miejsca
zerowe
wielomianu.
Monotoniczność i ekstrema
wielomianu.
-narysować wykres wielomianu
Wykres wielomianu.
2.Pojęcie
pochodnej.
funkcji -podać miejsca zerowe wielomianu
Pochodna
wielomianowej. Własności wielomianu na
podstawie wykresu. Wyznaczanie wzoru
wielomianu
pochodnej.
na
podstawie
Monotoniczność
Lagrangea.
Wielomian
-określić
monotoniczność
wielomianu
na
podstawie wykresu
wykresu
i
ekstrema -podać ekstrema wielomianu na podstawie
wielomianu na podstawie pochodnej.
3.Interpolacja.
-podać typy wielomianów
wykresu
interpolacyjny -określić własności funkcji wielomianowej na
podstawie wykresu pochodnej
-podać ekstrema wielomianu na podstawie
wykresu pochodnej
-określić
monotoniczność
wielomianu
na
podstawie wykresu pochodnej
-wyznaczyć wzór wielomianu w oparciu o
wykres
-wyznaczyć wzór wielomianu przy pomocy
danych giełdowych
-wykorzystać własności wielomianów do gry
giełdowej
87
-prześledzić notowania spółki giełdowej przez
miesiąc
-sporządzić
wykres
działania
giełdowej
korzystając
z
tej
spółki
wielomianu
interpolacyjnego Lagrangea
-określić na podstawie w/w wykresu i na
podstawie monotoniczności wykresu określić
kiedy warto kupić akcje, kiedy jest tendencja
zwyżkowa i spadkowa spółki itp.
-opisać językiem matematyki przy użyciu
badania
wielomianów
zależności
ekonomiczne
3)PROJEKT 1:Jakie są typy wielomianów i jak je rysować?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- jakie są sposoby przedstawienia wielomianu?
- jakie są metody poszukiwania dokładnych pierwiastków wielomianu?
- czy istnieją wzory na pierwiastki wielomianów?
- co to są metody przybliżone poszukiwania pierwiastków?
- jak wykorzysta komputer do obliczania pierwiastków wielomianu?
-jak rozkładać wielomian na czynniki?
88
- jakie jest zastosowanie rachunku pochodnej do określenia własności
wielomianu?
- czy na podstawie wykresu wielomianu można wyznaczyć jego wzór?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Rozłóż wielomian W(x) = x4 + x3 – 6x2 – 4x + 8 na czynniki liniowe stosując różne
sposoby rozkładu.
6
4
Jak rozłożyć wielomiany
P(x) = x4 + x2 - 1
oraz
2
Q(x) = x – 2x + 4x - 8
Zadanie 2.
Wyznacz dokładną i przybliżoną wartość pierwiastka wielomianu
W(x) = x3 + x – 1 i uzasadnij, że wielomian ten ma tylko jeden pierwiastek.
Zadanie 3.
Stosując metody przybliżonego wyznaczania pierwiastków wielomianu znajdź
pierwiastek wielomianu W(x) = x3 + 2x2 + 3
a) metodą średnich arytmetycznych,
b) metodą siecznych,
c) metodą stycznych,
d) graficznie.
Zadanie 4.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji i narysuj bardzo dokładnie wykres
wielomianu W(x) = x3 - 2x2 – 4x + 8
Zadanie 5.
89
Spróbuj wykorzystując komputer , znaleźć przynajmniej jeden pierwiastek
wielomianu W(x) = x5 - x4 – x3 + x2 – 2x + 1
Zadanie 6.
Na poniższych rysunkach podane są wykresy czterech wielomianów, znajdź ich
wzory.
90
4)PROJEKT 2: Jakie zależności z różnych dziedzin, przedstawione
graficznie, i nie tylko, można opisać wzorem wielomianowym?
Materiały pomocnicze do realizacji tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- jakie elementy potrzebne są do wyznaczenia wzoru wielomianu?
- ile punktów wystarczy do wyznaczenia wzoru wielomianu, wiedząc którego
stopnia jest wielomian?
- w jakich zagadnieniach ekonomicznych występuje wielomian?
- w jakich działach fizyki stosuje się wielomiany?
- jakie przekształcenia geometryczne stosujemy do rysowania wielomianów?
-jakie własności wielomianu są przydatne do zagadnień ekonomicznych?
- jaki związek jest między wielomianem a funkcją wymierną?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Odszukaj zastosowania wielomianów Hermite’a w fizyce.
Zadanie 2.
Jakie jest zastosowanie wielomianów Legendre’a do przedstawienia potencjału
elektrycznego.
Zadanie 3.
91
Jak korzystając z wykresu wielomianu W(x) = x3 – x2 – 2x narysować wykres
wielomianu V(x) = (x-1)3 – (x-1)2 – 2(x-1) – 3
Zadanie 4.
Korzystając z komputera porównaj wykresy funkcji
f(x) = sin x oraz g(x) = x -
+
-
Co zaobserwowałeś, jaki jest związek między tymi funkcjami?
Zadanie 5.
Przy pomocy kalkulatora graficznego przedstaw wykres funkcji f(x) = x3 + 2x2 –
3x + 1 i spróbuj odczytać jego pierwiastki.
5)PROJEKT 3: Jak można wykorzystać wielomiany do gry giełdowej?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- co to jest bessa, a co hossa?
- na czym polega wzrost gospodarczy?
- gdzie mamy do czynienia z popytem i podażą?
- w jaki sposób analizując wydatki domowe można określić budżet domowy?
- do czego służy wielomian interpolacyjny Lagrange‘a?
- co to jest czułość i elastyczność funkcji? Gdzie znajdziemy ich zastosowanie?
92
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Jesteś Prezesem firmy DIAMENT. Jak poniższe notatki i przykłady pomogą Ci w
zarządzaniu firmą?
Dochód, a wzrost popytu,
Funkcja kosztów
Niech K(x) oznacza funkcje kosztów, tzn. oznacza koszt całkowity wyprodukowania x
jednostek pewnego produktu. Wtedy iloraz różnicowy tej funkcji oznacza koszt przeciętny
wytworzenia jednostki produktu, przy zwiększeniu produkcji od x0 do x0+h. Natomiast iloraz
K p (x) 
K(x)
x
jest kosztem przeciętnym przypadającym na jednostkę produkcji.
Jeżeli funkcja K(x) posiada pochodną, to funkcję K‘(x) nazywamy funkcją kosztów
krańcowych.
Pochodna K‘(x0) funkcji kosztów K(x) w punkcie x0 nazywamy kosztami
krańcowymi w punkcie x0. Pochodną tę interpretujemy jako prędkość zmian kosztów przy
poziomie produkcji x0.
Ponieważ
K (x0+h)- K (x0) ≈ K‘(x0)∙h,
to w szczególności przyjmując h=1 mamy
K (x0+1)- K (x0) ≈ K‘(x0)∙
co oznacza, że podniesienie produkcji o jedną jednostkę powoduje zwiększenie kosztów
produkcji o K‘(x0). Koszty krańcowe w punkcie x0 są zatem równe w przybliżeniu wartości
nakładów zużytych na wyprodukowanie dodatkowej jednostki produktu w stosunku do
poziomu wyjściowego x0.
93
Przykład.
Koszt całkowity wytworzenia x jednostek pewnego produktu określony jest wzorem
K(x)=2500+50x-0,01x3.
Wtedy funkcja kosztów krańcowych ma postać
K‘(x)= 50-0,03x2.
Przy wysokości produkcji x=10 koszt krańcowy wynosi K‘(10)= 50-0,03∙100= 47
jednostek pieniężnych, natomiast przy x=20 koszt ten jest równy K‘(x)= 50-0,03∙400=38
jednostek pieniężnych.
Tak więc przybliżony koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki przy poziomie
produkcji x=10 wynosi K‘(10)= 47, a przy poziomie produkcji x=20 wynosi K‘(20)= 38.
Można to zinterpretować, że produkcja 20 jednostek jest korzystniejsza niż 10
jednostek.
Elastyczność funkcji
Jeżeli mamy daną funkcję f określoną dla x>0, przyjmującą tylko dodatnie wartości i
różniczkowalną w dziedzinie, to liczbę określoną wzorem
x
 f ' (x)
f (x)
nazywamy elastycznością funkcji f w punkcie x i oznaczamy symbolem Exf.
Elastyczność funkcji f w punkcie x jest przybliżoną miarą procentowego przyrostu
(wzrostu lub spadku) wartości funkcji odpowiadającemu przyrostowi argumentu x o 1%.
Przy przyjętych założeniach x0>0 i f(x0)>0, czyli znak elastyczności zależy tylko od znaku
pochodnej f‘(x0). Stąd, elastyczność funkcji rosnącej w otoczeniu x0 jest dodatnia w punkcie
x0, natomiast elastyczność funkcji malejącej w otoczeniu x0 jest ujemna.
94
Przykład.
Ustalono, Ze pomiędzy popytem y na pewne dobro a przeciętnymi dochodami miesięcznymi
x ludności istnieje zależność funkcyjna
y
18 x
x  27
Obliczmy elastyczność dochodową na dane dobro. Łatwo sprawdzić, że
y' 
18  27
x  272
Elastyczność dochodowa popytu na dane dobro wynosi więc
Ex f 
Jeżeli np. x=3, to E3f =
27
18  27
x
27


2
18 x x  27 
x  27
x  27
/30 =0,9. Zatem przy dochodzie miesięcznym równym 3 (np. 3
tysiące złotych) wzrost dochodu o 1% pociąga za sobą wzrost popytu na dane dobro o 0,9%.
Zadanie 2.
1. Poniższa tabela przedstawia możliwości produkcyjne firmy DIAMENT.
wielkość produkcji dobra X
0
1
2
3
4
5
wielkość produkcji dobra Y
10
8
6
4
2
0
2. Na podstawie tabeli wykreśl krzywą możliwości produkcyjnych firmy DIAMENT.
3. Jaki jest koszt alternatywny
4. drugiej jednostki dobra X
 czwartej jednostki dobra X
 dwóch jednostek dobra X
 czterech jednostek dobra X
 zwiększenia produkcji dobra X z poziomu 2 sztuk do 4 sztuk?
5. Oblicz i zinterpretuj krańcową stopę transformacji dobra X w dobro Y
6. Oblicz i zinterpretuj krańcową stopę transformacji dobra Y w dobro X
95
7. Firma DIAMENT wprowadziła technologię, dzięki której przy takich samych
nakładach można wyprodukować o 40% więcej dobra X.
 Przedstaw powyższą sytuację na rysunku
 Ile wyniesie koszt alternatywny, jeżeli firma DIAMENT zdecyduje się
produkować wyłącznie dobro X?
Zadanie 3.
Przeczytaj uważnie poniższy tekst, a następnie na podstawie zebranych danych,
sporządź krzywą Englaco i odpowiedz na pytanie czy rodzice wśród których
prowadziliście badania budżetów domowych żyją w luksusie ?
Krzywa Engla - to wykorzystywana w ekonomii zależność pomiędzy dochodem konsumenta
a ilością konsumowanego przez niego dobra, przy założeniu stałych cen wszystkich towarów
oraz innych zmiennych (ceteris paribus). Graficznie krzywą Engla zazwyczaj przedstawia się
w układzie współrzędnych kartezjańskich z dochodem na osi odciętych i ilością
konsumowanego dobra na osi rzędnych. Kształt krzywej Engla pozwala zilustrować
graficznie dochodową elastyczność popytu danego dobra, a zatem określić czy jest ono
podrzędne, normalne czy luksusowe. Nazwa krzywej pochodzi od nazwiska niemieckiego
ekonomisty, Ernsta Engla.
Średnie kroczące pełnią dwie funkcje:
a) pokazują średnią wartość kursu,
b) generują sygnały kupna i sprzedaży akcji.
Jeśli średnia o mniejszym współczynniku k przetnie od dołu średnią o większym
współczynniku k, oznacza to sygnał kupna. Przecięcie od góry oznacza sygnał sprzedaży.
Także, jeśli wykres notowań przetnie średnią od dołu, jest to sygnał kupna, jeśli od góry —
sygnał sprzedaży. Dzięki temu inwestor może podjąć decyzję o zakupie akcji na początku
trendu wzrostowego i wycofać się z inwestycji na początku trendu spadkowego.
96
Zadanie 4.
Wejdź na stronę www.gpwinfostrefa.pl. Wybierz jedną ze spółek i obserwuj jej
notowania przez kwartał danego roku.
Następnie wygeneruj te notowania do arkusza kalkulacyjnego. W arkuszu kalkulacyjnym:
a) Wybierz ceny zamknięcia kursów.
b) Oblicz prostą średnią kroczącą z 5 oraz z 15 kursów.
c) Oblicz wykładniczą średnią kroczącą z 5 kursów.
d) Narysuj wykres zawierający datę, kurs zamknięcia oraz średnie z podpunktów b) i c).
Zadanie 5.
Na podstawie danych oraz wykresów uzyskanych w zadaniu 1. wyciągnij wnioski
dotyczące zachowania się notowań giełdowych wybranej spółki. Spróbuj porównać średnią
prostą ze średnią wykładniczą.
Zadanie 6.
Seria zadań do samodzielnego wykonania:
Zadanie a.
Dana jest krzywa popytu: XD = 6 – P. Na podstawie funkcji wypełnij tabelę oraz
wykonaj wykres krzywej D oraz TR.
P
6
5
4
3
2
1
0
X
TR = TE
MR
Zadanie b.
Rysunek przedstawia krzywe popytu i podaży na rynku dobra X. Podpisz osie i
wykresy.
97
Na podstawie rysunku podkreśl prawidłowe odpowiedzi w poniższym zdaniu:
Popyt w punkcie równowagi jest słabo/silnie elastyczny, natomiast podaż charakteryzuje się
współczynnikiem cenowej elastyczności mniejszym/większym od 1. Podniesienie w tej
sytuacji ceny spowodowałoby wzrost/spadek całkowitych wydatków konsumentów na to
dobro (przychodów przedsiębiorstw z tytułu sprzedaży tego dobra).
Zadanie c.
Wiedząc, że współczynnik dochodowej elastyczności popytu na dobro Ź wynosi Edi =
1,5 podkreśl prawidłowe odpowiedzi:
Dobro Ź jest dobrem niższego rzędu/luksusowym/podstawowym, co oznacza, że procentowa
zmiana popytu jest większa/mniejsza od procentowej zmiany dochodu. Gdyby w tej sytuacji
dochód wzrósł o 1 % to popyt spadłby/wzrósłby o 5% / 2% / 1,5%.
Zadanie d.
Krzywe popytu i podaży dane są równaniami: P = 5 – X i P = 1 + X. Krótko omów,
jak wpłynęłoby na rynek ustalenie ceny administracyjnej na poziomie 4 jednostek
pieniężnych.
Zadanie e.
Wiedząc, że krzywa możliwości produkcyjnych jest funkcją liniową oraz że firma jest
w stanie wyprodukować maksymalnie 5 jednostek dobra A lub 10 jednostek dobra B, oblicz
krańcową stopę transformacji dobra A w dobro B i krańcową stopę transformacji dobra B w
dobro A. Wyniki zinterpretuj.
Zadanie 7.
a)Na podstawie miesięcznej obserwacji pewnej wybranej spółki giełdowej, sporządź
wykres jej działania korzystając z wielomianu interpolacyjnego Lagrangea.
b) Podaj wzór wielomianu i na podstawie pochodnej określ jej monotoniczność i ekstrema.
c)Na podstawie zgromadzonych danych, odpowiedz na pytania:
98
- Kiedy warto kupić akcje tej spółki?
- Kiedy jest tendencja zwyżkowa, a kiedy spadkowa tej spółki?
99
Literatura i inne źródła informacji
 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1,
PWN, W-wa, 1994,
 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972,
 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk.
UAM, Poznań 1993,
 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu
Śląskiego, Katowice, 1976,
 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej,
WNT, W-wa ,1976
 , WNT, W-wa ,1976
 6. http://mfiles.pl/pl/index.php/Doch%C3%B3d
 7. http://www.math.uni.wroc.pl/~aracz/dydaktyka/mik08/mik08-l3.pdf
 8. www.seria.home.pl/2007_zeszyt4/8_dudek.pdf
 9.J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadao z analizy matematycznej,
Warszawa, WNT, 1997
 10. B.P. Demidowicz, Zbiór zadao i dwiczeo z analizy matematycznej, M.
Nauka, 1971
 11. L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, t. 1, 2, WUJ,
Kraków, 1995
 12. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2, 3,
Warszawa, PWN, 1986
 13. W.Kaczor, M.Nowak, Zadania z analizy matematycznej, Warszawa,
PWN, 2005
 14.W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1982.
 15. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Warszawa, PWN, 1986.
100
VII MODUŁ PROJEKTOWY
„Co to znaczy zwinąć w szereg, a co to znaczy rozwinąć funkcję w
szereg ”
1)Wprowadzenie do modułu:
Szeregi to kolejny dział analizy matematycznej mający szerokie zastosowanie w
różnych dziedzinach , nie tylko w matematyce. Stosowana w tym dziale symbolika
wprowadza ucznia w świat matematyki wyższej i pozwala nie tylko operować tymi
symbolami , ale daje poczucie własnej wartości. Uczeń nagle stwierdza, że matematyka
wcale nie jest taka straszna.
W szkole średniej przy okazji ciągu geometrycznego rozważa się szereg geometryczny
i rozwiązuje się wiele zadań na zastosowanie tego szeregu.
Ale przecież mamy nie tylko
szereg geometryczny. Istnieją różne rodzaje szeregów. Oczywiście poznamy tylko te
najważniejsze.
Ponadto w szkole uczymy się działania jednostronnego, czyli obliczenia wartości
sumy szeregu geometrycznego liczbowego lub funkcyjnego. Działanie to popularnie jest
nazywane zwijaniem szeregu. Dla pełności wiedzy powinniśmy nauczyć się również
rozwijania niektórych liczb, czy funkcji w szereg , co wydaje się o wiele ciekawsze. W
każdym działaniu w matematyce powinno nam towarzyszyć „sprzężenie zwrotne‖ : masz
funkcję, to rozwiń ją w szereg, masz szereg funkcyjny, to go zwiń w funkcję. Podobnie jak
we wcześniejszym module: masz funkcję , to narysuj jej wykres, ale masz wykres funkcji, to
wyznacz jej wzór.
Rozwijanie niektórych funkcji w szereg pozwoli zrozumieć konstrukcje tablic
logarytmicznych, trygonometrycznych, czy wreszcie obliczyć z dużą dokładnością stałe
matematyczne takie jak liczby e i
.
101
2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach:
Treści nauczania
Cele operacyjne modułu
1.Ciąg geometryczny. Granica ciągu.
2.Szereg
geometryczny.
Uczeń potrafi:
szeregu -rozpoznać ciąg geometryczny
Suma
geometrycznego.
-rozpoznać kiedy ciąg geometryczny jest
3.Szereg potęgowy.
zbieżny
4.Kryterium zbieżności szeregów.
-policzyć granicę ciągu geometrycznego
7.Funkcje wykładnicze. Funkcja
.
8.Funkcje trygonometryczne.
9.Funkcje kołowe (cyklometryczne).
10.Wzór Taylora i Mclaurina.
11.Pochodna funkcji.
12.Pochodne wyższych rzędów.
-obliczyć pochodne wyższych rzędów
-obliczyć sumę szeregu geometrycznego i
niektórych szeregów potęgowych
-wskazać funkcje cyklometryczne - odwrotne
do funkcji trygonometrycznych
-omówić własności funkcji cyklometrycznych
-określić warunki zbieżności
-określić kryteria zbieżności szeregu
-zwinąć szereg trygonometryczny
-określić warunki przy, których można zwinąć
szereg trygonometryczny
-rozwinąć
każdą
funkcję
elementarną
różniczkowalną w szereg (jeżeli jest to
możliwe)
-stosować pochodne wyższych rzędów do
rozwijania funkcji
102
-rozwijać funkcje
i arctgx w szereg
-konstruować tablice wartości sinusa
-stosować wzór Taylora i Mclaurina
-wyznaczyć dokładną wartość liczby
i liczby
-stosować
technologie
informatyczne
prowadzące do rozwiązania problemu
3) PROJEKT 1: Jaki szereg i przy jakich warunkach można zwinąć?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- jakie znasz rodzaje ciągów?
- które ciągi są związane z szeregami?
- w jaki sposób zapisujemy szeregi?
- jakie znasz rodzaje szeregów?
- co oznaczają słowa szereg zbieżny?
- czy każdy szereg można zwinąć ?
- jakie są kryteria zbieżności szeregów?
- czy wiedząc, że szereg jest zbieżny, potrafimy wyznaczyć jego sumę?
103
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Obliczyć promień zbieżności szeregu i zbadać zbieżność na krańcach przedziałów
zbieżności

(1)  x

1
(2)  x n
n 1 n
n
n 1


nn n
x
n
n 1 2
(7) 
(8) 
n 1

xn
n
2n



(5)  nx
xn
(6) 
n 1 n!
n
n 1

xn
n
n 1 n  5

3n n
x
n 1 n  1
(9) 


 2n  n
(4)  
 x
n 1  3n  2 
1
(3)  2 x n
n 1 n
n2
xn
n
n 1
n 1 3  4
(10) 
(11) 
n
5 n
x
n
n 1 n
(12) 


n!
(13)  n x n (15)  n! x n
n 1 10
n 1


n! n
(16) 
x
n 1 ( 2n)!


2n n
(17)  x
n 1 n!

n
1
x 2  2x  5
n
n 1 5 n
(18) 
Zadanie 2.


xn
xn
Zbadać zbieżność szeregów (1)  2
(2) 
oraz zbieżność szeregów
n 1 n
n 1 n
utworzonych z pochodnych wyrazów tego szeregu.
Zadanie 3.
Wyznaczyć dziedziny funkcji określonych w następujący sposób
e  nx
2
n 1 1  n

(1) f ( x)  

(2) g ( x)   ( x 2  x  6) n
n 1
Zadanie 4.
Rozwiąż równanie

 (1  x)
n
 3.
n 1
104
4) PROJEKT 2:W jaki sposób można rozwinąć funkcję w szereg?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- co oznacza rozwinięcie funkcji w szereg?
- czy każdą funkcję można rozwinąć w szereg?
- w jaki szereg można rozwinąć większość funkcji?
- które funkcje można rozwinąć w szereg potęgowy?
- do czego potrzebny jest wzór Taylora?
- jak stosujemy wzór Maclaurina?
- po co we wzorach Taylora i Maclaurina określa się reszty?
- czy suma , różnica , iloczyn i iloraz funkcji , które dają się rozwinąć w szereg,
też są funkcjami dającymi się rozwinąć w szereg?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Napisz wzór Taylora z resztą Lagrange’a dla f(x)=
f(x)=
x
,
x 1
f ‘(x)=
1
,
( x  1) 2
x
, a =2 i n=3.
x 1
f(2)=2,
f ‗(2)=-1
105
f ‘‘(x)=
2
( x  1)3
f ‗‘‘(x)=
6
( x  1) 4
f ‗‗(2)=2,
f ‗‘‗(c)=
6
(c  1) 4
f ' ( x0 )
f ' ' ( x0 )
f ' ' ' (c )
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2 
( x  x0 )3 
1!
2!
3!
f ' (2)
f ' ' (2)
f ' ' ' (c )
 f (2) 
( x  2) 
( x  2) 2 
( x  2)3 
1!
2!
3!
1
( x  2)3
 2  ( x  2)  ( x  2) 2 
 ( x  2)3  x 2  5 x  8 
(c  1)
(c  1)
f ( x)  f ( x0 ) 
c jest pewną liczbą między 2 i x.
Zadanie 2.
Rozwiń w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y = sin x. Oblicz pochodne i ich
wartości w zerze.
y(0)  0
y' cos x , y' (0)  1
y' '   sin x , y' ' (0)  0
y' ' '   cos x , y' ' ' (0)  1
y IV  sin x , y IV (0)  0
y V  cos x , y V (0)  1
y VI   sin x , y VI (0)  0
y VII   cos x , y VII (0)  1
...
Widać, że powtarzają się sekwencje liczb 0,1,0,-1, 0,1,0,-1, ....
W związku z tym mamy
106

1
0 2 1 3 0 4 1 5 0 6 1 7
(1) n 2 n1
sin x  0  x  x  x  x  x  x  x  ...  
x
.
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
n 0 (2n  1)!
Łatwo sprawdzić, że przedziałem zbieżności tego szeregu jest również cała oś liczbowa, więc
(1) n 2 n 1
x
.
n  0 ( 2n  1)!

dla każdego x rzeczywistego prawdziwy jest wzór sin x  
Zadanie 3.
Podobnie rozwijając w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y=cosx otrzymamy
(1) n 2 n
x .
n  0 ( 2n)!

prawdziwy na całej osi liczbowej wzór cos x  
Zadanie 4.
Rozwiń w szereg potęgowy Maclaurina funkcję
y
1
 (1  x) 1 , x  1.
1 x
Oblicz kolejne pochodne i ich wartości w zerze.
y(0)  1
y'  (1  x) 2 , y' (0)  1  1!
y' '  2(1  x) 3 , y' ' (0)  2  2!
y' ' '  6(1  x) 4 , y' ' ' (0)  6  3!
y IV  24(1  x) 5 , y IV (0)  24  4!
y V  120(1  x) 6 , y V (0)  120  5!
y VI  720(1  x) 7 , y VI (0)  720  6!
...
Mamy
y
1
1!
2!
3!
4!
5!
 1  x  x 2  x 3  x 4  x 5  ...  1  x  x 2  x 3  x 4  x 5  ... 
1 x
1!
2!
3!
4!
5!

 (1)
n
xn.
n 0
107
Sprawdzimy w jakim zbiorze jest prawdziwy powyższy wzór. W tym celu wyznaczymy
promień zbieżności. Policzmy lim n  1  1 , więc przedziałem zbieżności tego szeregu jest
n
n 
zbiór (-1,1). Łatwo można sprawdzić, że dla x=-1 i dla x=1 szereg potęgowy jest rozbieżny.

1
Wobec tego wzór
  (1) n x n jest prawdziwy tylko dla x  (1,1) .
1  x n 0
Zadanie 5.
Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję y 
1
wykorzystaj zadanie 4.
1  2x 2

 (1) n x n zamiast x wstawimy 2x 2 i dostaniemy
W szeregu
n 0
ostatecznie

1

(1) n (2 x 2 ) n i

2
1  2x
n 0

1

(1) n 2 n x 2 n .Obliczamy promień zbieżności powstałego szeregu :

2
1  2x
n 0
lim n (1) n 2 n  2 , więc r 
n 
1
1
. Korzystając twierdzenia 5 dostajemy, że x 2  , więc
2
2



2 2
2 2
1
n n 2n
 , czyli wzór


jest
prawdziwy
dla
x   
,
x


(

1
)
2
x

2

 2 , 2 .
2
2
1

2
x
n

0




Czyli

1

(1) n x 2 n dla x  (1,1).

2
1 x
n 0
Zadanie 6.
Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x)=

1
 1  x  x 2  x 3  ...   x n
1 x
n 0
x
wykorzystaj rozwinięcie
3 x
dla |x|<1
Zajmijmy się najpierw rozwinięciem
1

3 x
2
3

1
x  x
 x
1
 (1         ...    
x
3
3 3
3
n0  3 
3(1  )
3
1
n 1
xn .
108

1
1
A teraz f(x)= x 
 x   
3 x
n 0  3 
n 1

1
x   
n 0  3 
n 1
n
 x n 1 .
Obliczamy promień zbieżności
n
1
1
powstałego szeregu : lim n    , więc r=3.
n 
3
 3

Czyli szereg
1
 

n 0  3 
n 1
 x n 1 jest zbieżny
dla |x|<3
Zadanie 7.
Posługując się twierdzenia 9 rozwiniemy w szereg Maclaurina funkcję y=arctgx.
1
Zwrócić uwagę, że pochodna tej funkcji (arctgx )' 
.
1 x2
Z poprzedniego przykładu wiemy, że

1

(1) n x 2 n .

2
1 x
n 0
Całkując obustronnie w obrębie przedziału zbieżności (1,1) dostajemy :
arctgx  
2 n 1




1
(1) n 2 n1
n 2n
n
2n
n x
dx

(

1
)
x
dx

(

1
)
x
dx

(

1
)

x
 C.





2n  1 n  0 2 n  1
1 x2
n 0
n 0
n 0
(1) n 2 n 1
x
 C x=0 dostajemy, że C=0.
n  0 2n  1

Podstawiając do obu stron równania arctgx  
(1) n 2 n 1
x
w przedziale (-1,1), ponieważ przy całkowaniu
n  0 2n  1
promień zbieżności a tym samym przedział zbieżności nie zmienia się.

Ostatecznie, więc arctgx  
5)PROJEKT 3: Jak zastosować rozwinięcie funkcji w szereg?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
109
- do czego są potrzebne rozwinięcia funkcji w szereg?
- w jaki sposób obliczyć wartość liczby e z zadaną dokładnością?
- jak wyznaczyć przybliżoną wartość liczby π z dokładnością np. do 0,000001?
-jak zbudować tablice funkcji trygonometrycznych np. y = sin x ?
- w jaki sposób wykonać tablice funkcji y = ln x ?
- do czego są potrzebne reszty w szeregu?
- co to jest promień zbieżności szeregu i do czego jest potrzebny?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Rozwiń w szereg Maclaurina funkcję y  e x . Pochodna dowolnego rzędu tej
funkcji jest tą samą funkcją, tzn. (e x ) ( n )  e x czyli funkcja jest gładka oraz e 0  1 , więc
wzór jest następujący:
ex  1

1
1
1
1
1
x  x 2  x 3  ...  x n  ...   x n .
1!
2!
3!
n!
n 0 n!
Wyznaczymy promień zbieżności powstałego szeregu potęgowego.
1
n!
1
(n  1)!
Mamy lim
 lim
 lim
 0 , czyli r=  i przedziałem zbieżności jest cała
n 
n  ( n  1)!
n  n  1
1
n!

1
oś liczbowa, więc funkcja y  e x rozwija się w szereg potęgowy postaci  x n na całej osi
n 0 n!
liczbowej.
W szczególności jeśli za x podstawimy 1 to otrzymamy wartość liczby e.

1
1 1 1
 11  
 ... .
2 6 24
n 0 n!
e
110
a jeśli chcemy obliczyć wartość e z dokładnością do 0.001 sumujemy wyrazy których
wartość bezwzględna jest większa od 0.001. Stąd
1 1 1 1 1
1
e  1  1       2.718 ponieważ  0.0001984 <0.001 .
2! 3! 4! 5! 6!
7!
1
z dokładnością do 0,01 należy w rozwinięciu y  e x za x=-2 , stąd
2
e
1
1
1
1
1
1
e  2  1  1  (2)   (2) 2   (2) 3   (2) 4   (2) 5   (2) 6   (2) 7  0.13
2!
3!
4!
5!
6!
7!
1
wystarczy dodać osiem kolejnych razów gdyż  (2) 8  0.006349 <0.01.
8!
Aby policzyć wartość
Zadanie 2.
Korzystając z rozwinięcia funkcji f(x) = arctgx wyznacz przybliżoną wartość
liczby π.
Zadanie 3.
Rozwiń funkcję f(x) =
w szereg a następnie oblicz przybliżoną wartość
.
Zadanie 4.
Wyznacz tablice wartości tangensów dla kątów z przedziału
[0; ] z krokiem 0,1.
Zadanie 5.
Obliczyć:
(1)sin
1
z dokładnością do 0,0001,
4
(2)cos
1
z dokładnością do 0,00001
4
(3)1/e z dokładnością do 0,001
111
posługując się rozwinięciem odpowiedniej funkcji w szereg potęgowy.
Zadanie 6
Oszacuj dokładność podanych wzorów przybliżonych
(1) e x  1  x 
(2) sin x  x 
x2
2
dla 0<x<0,1.
x3 x5

6 120
dla |x|1
x x2

2 8
dla |x|
(3) 1  x  1 
1
4
112
Literatura i inne źródła informacji
 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa,
1994,
 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972,
 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM,
Poznań 1993,
 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego,
Katowice, 1976,
 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa
,1976
 6. http://www.math.uni.wroc.pl/instytut/skrypty/marcinkowska/index1
 7. http://math.uni.lodz.pl/~kowalcr/Analiza4/analiza4_zestaw1.pdf
 8. www.impan.pl/~lysik/Fourier-series.pdf
 9.J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, WNT,
1997
 10. B.P. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej, M. Nauka, 1971
 11. L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, t. 1, 2, WUJ, Kraków, 1995
 12. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2, 3, Warszawa, PWN,
1986
 13. W.Kaczor, M.Nowak, Zadania z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 2005
 14.W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1982.
 15. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Warszawa, PWN, 1986.
113
VIII MODUŁ PROJEKTOWY
„Budujemy osiedle mieszkaniowe – czy budowle mogą mieć nietypowe
kształty?”
1)Wprowadzenie do modułu:
Każdy w dzieciństwie lubił bawić się klockami, a jeżeli przy okazji powstawały
ciekawe budowle, to radość była jeszcze większa. Mając do dyspozycji takie narzędzie jak
geometria przestrzenna, możemy wykonywać projekty w sposób profesjonalny, przy okazji
uczymy się ciekawych pojęć, związanych z architekturą i budownictwem.
Wielką rolę odgrywają też : sprawność manualna, zdolności artystyczne ,
przewidywanie i chyba najtrudniejsza sprawność rachunkowa.
Gdy staniemy nad makietą osiedla zaplanowanego w całości przez nas, złożonego z
budynków i obiektów wykonanych własnoręcznie, radość jest jeszcze większa. A powodem
do dumy będzie również umiejętność obliczenia kubatury, powierzchni elewacji czy
powierzchni dachów, tych najbardziej wymyślnych w kształcie kopuł, hiperboloid itp.
Przez pewien czas będziemy i dziećmi i architektami i budowniczymi czy wreszcie
matematykami. Powodzenia!
114
2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach:
Treści nauczania
1.Wielościany. Graniastosłupy. Ostrosłupy.
Cele operacyjne modułu
Uczeń potrafi:
2.Bryły obrotowe. Powierzchnia. Kubatura -obliczać
Audyt.
3.Elipsoida, paraboloida, hiperboloida.
4.Pole powierzchni brył.
5.Objętość brył
6.Całka oznaczona.
7.Zastosowanie całki oznaczonej.
pole
powierzchni
i
objętość
graniastosłupów,
ostrosłupów
oraz
brył
obrotowych
-podać określenia pojęć kubatura i audyt
-konstruować modele brył
-stosować
całki
do
obliczania
pola
powierzchni i objętości brył obrotowych
językiem
-opisywać
technicznym
matematycznym
zagadnienia
związane
z
budownictwem
-wyszukać
bryły
do
budowy
osiedla
mieszkaniowego
-uzasadnić do czego jest potrzebne pole
powierzchni i objętość brył obrotowych z
których zbudowano osiedle
-zauważyć w jaki sposób obliczać pole
powierzchni i objętość brył obrotowych
-stosować całkę oznaczoną do obliczania pól
powierzchni i objętości brył obrotowych
-wykorzystać
wiedzę
matematyczną
do
zagadnień architektonicznych,ekonomicznych
i inżynierskich
115
-utworzyć plan i makietę osiedla
-stosować fachową terminologię do opisu
otaczającego nas Świata
-wykorzystać narzędzia matematyki i Internet
do rozwiązywania problemu
3) PROJEKT 1: Jakie bryły można wykorzystać do budowy osiedla
mieszkaniowego?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- jaka jest różnica między bryłą a wielościanem?
- jakie są rodzaje wielościanów?
- co to są wielościany foremne i ile ich jest?
-w jaki sposób powstają bryły obrotowe?
- co to są przekroje brył ?
- kiedy bryła jest wpisana a kiedy opisana na innej bryle?
- co powstaje z podziału bryły na części płaszczyzną albo powierzchnią
przestrzenną?
116
- w jaki sposób powstają: odcinek kulisty, wycinek kulisty, warstwa kulista czy
kąt kulisty?
- czy każda bryła może być użyta do planowania budowli?
- jakie bryły obrotowe otrzymamy wykonując obroty figur płaskich
ograniczonych poznanymi wcześniej krzywymi?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Z jaką bryłą kojarzymy kulę ziemską czyli geoidę?
Jakie są jej wymiary?
117
Zadanie 2.
Z obrotu jakich figur płaskich powstają poniższe bryły?
TORUS
KAPSUŁA
BECZKA
STOŻEK ŚCIĘTY
Zadanie 3.
Planujemy domy mieszkalne do naszego osiedla DIAMENT. Każdy z uczniów
wykonuje jeden model w skali 1 : 200.
Zadanie 4.
Planujemy szkołę , przedszkole, sklep MINIMARKET, kościół . Wszystkie
modele w skali 1 : 200.
Modele brył wykonują uczniowie dobierając się w grupy 2 lub
3 osobowe.
Zadanie 5.
Przygotowujemy
w formie powierzchni wypukło-falistej teren pod budowę.
Używamy do tego płyty pilśniowej w skali
1 : 200. Na tym terenie umieszczamy
wykonane przez uczniów bryły budowli.
118
4)PROJEKT 2: Do czego jest nam potrzebne pole powierzchni
i objętości brył z których zbudowano osiedle?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- w jaki sposób obliczamy objętość wielościanów ?
- jak obliczamy pole powierzchni wielościanów?
- co to jest kubatura budynku?
- jak obliczamy powierzchnię fasad budynków?
- jak obliczamy powierzchnię dachów?
- w jaki sposób obliczamy pola przekrojów?
- do czego są potrzebne bryły wpisane i opisane na innej bryle?
- co to jest kosztorys i do czego służy w budownictwie?
119
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Oblicz kubaturę każdego budynku z osobna i wszystkich razem.
Zadanie 2.
Oblicz powierzchnię wszystkich elewacji.
Zadanie 3.
Oblicz powierzchnię wszystkich dachów i każdego osobno.
Zadanie 4.
Wykonaj kalkulację kosztów malowania elewacji wszystkich budynków. Należy
odwiedzić sklep z farbami i przynieść cennik wraz z normami użycia farb to znaczy
jakiej są wielkości pojemniki z farbą i ile się zużywa farby w przeliczenie na m2.
Zadanie 5.
Wykonaj kalkulację kosztów pokrycia dachów różnymi materiałami : blacho
dachówką lub dachówkami ceramicznymi. W tym celu należy postępować analogicznie ,
jak w przypadku malowania elewacji.
120
5)PROJEKT 3: W jaki sposób obliczamy pole powierzchni i objętości
nietypowych brył np. obrotowych?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- jak obliczamy długość łuku krzywej?
- jak obliczamy objętość bryły obrotowej?
- w jaki sposób obliczamy pole powierzchni bryły obrotowej?
- jaki jest związek równania krzywej z postacią parametryczną w formie układu
równań z parametrem?
- który wzór jest korzystniejszy do obliczeń objętości i pola , czy w postaci
ogólnej , czy w postaci układu parametrycznego?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Jak obliczyć pole powierzchni i objętość powyższych brył obrotowych?
KAPSUŁA
BECZKA
STOŻEK ŚCIĘTY
TORUS
121
Zadanie 2.
Wyprowadź wzór na długość łuku krzywej, objętość i pole powierzchni kuli
korzystając z całki oznaczonej.
Aby
wyznaczyć,
ograniczone
przy
pomocy
przez
całki,
daną
pole
krzywą.
Obliczamy pole zawarte między sinusoidą y = sinx i
osią x, w zakresie od 0 do π (zakreskowane na
rysunku).
π
π
P = ∫ sinx dx = (- cosx)
0
= ( - cos π ) - ( - cos 0 ) = 1 + 1 = 2
0
Szukane pole równe jest 2.
Takie wykorzystanie całki do obliczania pola to najprostsze z jej zastosowań.
W innych przypadkach, niezależnie od rozwiązania
samej
całki,
trzeba
najpierw
opisać
zadanie
odpowiednim równaniem.
Aby obliczyć długość L krzywej będącej wykresem
jakiejś funkcji y = f(x), w zakresie od x1 do x2:
x2
L = ∫ dL
x1
(suma nieskończenie wielu
nieskończenie małych elementów
dL)
Patrząc na rysunek obok, możemy zapisać (na podstawie twierdzenia Pitagorasa):
(dL)2 = (dx)2 + (dy)2 , czyli (dL)2 = (dx)2 + (y' . dx)2 = (dx)2 . [1 + (y')2]
dL = [ 1 + (y')2 ]1/2 . dx
122
Aby znaleźć szukaną długość krzywej, trzeba będzie najpierw obliczyć pochodną y', a
następnie całkę oznaczoną
x2
L = ∫ [ 1 + (y')2 ]1/2 . dx
x1
Aby
obliczyć
objętość
bryły:
obliczamy objętość górnej połowy kuli z
rysunku obok (dla z w zakresie od 0 do R,
R = promień
gdzie
Dzielimy
kulę
na
okrągłe
kuli).
"plasterki"
prostopadłe do osi z i sumujemy ich objętości.
Objętość takiego elementarnego "plasterka"
to:
dV = π r2 . dz
( dz możemy nazwać jego wysokością lub grubością )
Średnica i promień "plasterka" zależy od jego położenia na osi z (z twierdzenia Pitagorasa):
r2 = R2 - z2
Mamy więc: dV = π (R2 - z2) dz ,
a szukaną przez nas objętość połowy kuli możemy zapisać:
R
V = ∫ π (R2 - z2) dz
0
Rozwiązanie tej całki nie powinno sprawić trudności (pamiętamy, że stałe można wyłączyć
przed znak całki, a całka sumy równa jest sumie całek):
123
R
R
R
V = π R2 ∫ dz - π ∫ z 2 dz = (π R2 . z)
0
0
- (π .
0
1.
3
R
z3)
0
Po podstawieniu z = R (wartości obydwu wyrażeń zerują się dla dolnej granicy całkowania
z = 0) otrzymamy:
V = π R3 -
1
.
3
π R3 =
2
3
.
π R3
czyli objętość całej bryły wynosi:
4
3
.
π R3
Zadanie 3.
Krzywa
y=
, -1 ≤ x ≤ 1, jest łukiem okręgu x2 + y2 = 4. Obliczyć pole
powierzchni otrzymanej przez obrót tego łuku wokół osi x.
Zadanie 4.
Oblicz objętość bryły otrzymanej przez obrót obszaru ograniczonego krzywymi
y = x3, y = 8 oraz x = 0 wokół osi y.
Zadanie 5.
Oblicz objętośd odcinka kuli i jego pole powierzchni, jeżeli kulę o promieniu R
przetniemy płaszczyzną odległą od środka kuli o a.
124
Zadanie 6.
Oblicz objętość
bryły powstałej przez
obrót figury ograniczonej elipsą
b2x2 + a2x2 = a2b2 dookoła
a) osi 0x
b) osi 0y
Literatura i inne źródła informacji
 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1,
PWN, W-wa, 1994,
 2.Minorski W.P. :Zbiór zadao z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972,
 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk.
UAM, Poznao 1993,
 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu
Śląskiego, Katowice, 1976,
 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadao z analizy matematycznej,
WNT, W-wa ,1976
 6.http://images.google.pl/images?hl=pl&source=hp&q=elipsoida&lr=&u
m=1&ie=UTF-8&ei=C3QtS9_SDYP 7. http://bryla.gazetadom.pl/bryla/0,85304.html?tag=nietypowe
 8.http://dzamik13.republika.pl/bryly/index.html
 9. http://jknow.republika.pl/pochodna/pochodna.html
125
X MODUŁ PROJEKTOWY
„Statystyka – prawda czy fałsz?”
1) Wprowadzenie do modułu:
Nikt sobie nie wyobraża funkcjonowania w obecnym Świecie bez statystyki i narzędzi ,
które zawarte są w chyba najnowszym dziale matematyki.
Planujemy budżet domowy,
planujemy budżety państw, porównujemy banki, uczelnie,
szkoły,
nawet przedszkola
organizując różnego rodzaju rankingi.
Nawet, gdy nauczyciel przygotowuje sprawdzian wiedzy z danego przedmiotu, to
przygotowuje zadania, standaryzuje test, opracowuje skalę ocen i na końcu „ obrabia‖
wyniki, by móc obliczyć średnią, porównać wyniki w klasach w których uczy , aby stwierdzić
czy dobrze wykonuje swoją pracę. Potem te wyniki weryfikuje życie, gdy nasi uczniowie
radzą sobie w szkołach wyższego typu, rozwijają się , osiągają sukces.
Ale statystyka jest również na usługach polityki, te same dane można przedstawić w
mniej lub bardziej korzystny sposób, stosując różne skale, czy biorąc pod uwagę inny punkt
odniesienia. Można komuś pomóc ale można też zaszkodzić. Stąd tytuł modułu „statystyka –
prawda czy fałsz?‖
Spróbujmy trochę poznać
prawdę, trochę pomanipulować
, stosując narzędzia
statystyczne bez których nie może się obejść ekonomista, czy nowoczesny polityk.
126
2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach:
Treści nauczania
Cele operacyjne modułu
1.Średnia arytmetyczna, średnia ważona, Uczeń potrafi:
średnia harmoniczna, średnia geometryczna.
-stosować
pojęcia:
średnia
2.Moda i mediana. Stanina.
ważona, harmoniczna
3.Wariancja i odchylenie standardowe.
-obliczyć
4.Rodzaje diagramów. Diagram słupkowy i
kołowy.
5.Zmienna losowa.
6.Wykresy funkcji.
7.Krzywa Gaussa.
modę,
arytmetyczna,
medianę,
wariancję
i
odchylenie standardowe
-sporządzać diagramy słupkowe, kołowe,
liniowe
-wyszukać pojęcie Staniny
-wykonać samodzielnie zadanie (zna wzory)
-dokonać interpretacji wyników
-interpretować obliczenia
na
-wnioskować
podstawie
otrzymanych
wyników
-przedstawić wyniki sposobem graficznym
-rozróżniać średnie
-zbierać i przetwarzać dane statystyczne
-budować modele statystyczne
-zbierać i przetwarzać dane prasowe dla
potrzeb statystyki
-odczytać
i
interpretować
diagramy
umieszczone w Internecie
127
przetworzone
-wykorzystać
dane
w
zagadnieniach ekonomicznych i bankowości
-obrabiać
przy
pomocy
narzędzi
statystycznych zjawiska ekonomiczne i z
życia wzięte
-uzasadnić
poprawność
rozumowania
używając fachowej terminologii
3)PROJEKT 1: Co to znaczy „ lepsza klasa z matematyki”? W jaki sposób
na podstawie analizy końcowych ocen z matematyki w dwóch wybranych
klasach, można dokonać takiego wyboru?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- jakie są średnie w matematyce i statystyce?
- co to jest moda mediana?
- czym się różni skala ocen „szkolna” i „staninowa”?
- co to jest wariancja i odchylenie standardowe?
- jakie są sposoby przedstawiania danych statystycznych?
- na jakiej podstawie oceniamy , która klasa jest lepsza tzn. osiąga wyższe
wyniki w nauce?
- w jaki sposób porównać wyniki na maturze z tego samego przedmiotu w
dwóch kolejnych latach?
- co to jest przyrost wiedzy uczniów danej klasy i jak go zbadać ?
128
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Dwóch nauczycieli oceniało aktywność pewnych uczniów na lekcji matematyki
przydzielając uczniom punkty w skali od 3 do 15. Wyniki podane są w poniższej tabeli
Uczeń
Ola Roman
Ada
Basi
a
Ani
a
Ew
a
Paweł Tome
k
Zuzi
a
Al
a
Kub
a
m
Liczba
punktów
przyznanyc
h przez I
nauczyciela
12
8
3
15
6
4
9
13
11
10
7
Liczba
punktów
przyznanyc
h przez II
nauczyciela
15
12
9
11
5
3
8
10
14
7
6
Który z uczniów oceniany jest jako najbardziej ‖przeciętny‖( oblicz medianę liczby punktów)
i czy u obu nauczycieli jest to ten sam uczeń.
Zadanie 2.
Przeprowadź dogłębną analizę porównawczą w dwóch klasach np. drugich o
podobnym profilu, ze wszystkich przedmiotów. Wykonaj diagramy słupkowe z każdego
przedmiotu dla obu klas. Oblicz średnie, medianę i modę oraz odchylenie standardowe. Na
podstawie otrzymanych wyników porównaj klasy globalnie, jak również z każdego
przedmiotu osobno.
129
Zadanie 3.
Przeanalizuj wyniki uczniów w przeciągu pobytu w szkole tzn. po pierwszej, po
drugiej i po trzeciej klasie ze wszystkich przedmiotów. Wykonaj odpowiednie diagramy
słupkowe, oblicz średnie i odchylenie standardowe i na tej podstawie porównaj wyniki za
poszczególne lata nauki. Czy na tej podstawie można określić przyrost wiedzy klasy i
poszczególnych uczniów z różnych przedmiotów i globalnie?
4)PROJEKT 2: Co to znaczy „twarda waluta”? Jak ocenić na podstawie
notowań euro i dolara do złotego, w okresie np. kwartału, która z walut jest
mocniejsza?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- czy warto analizować kursy walut?
-co jest bardziej opłacalne inwestowanie w waluty czy w surowce?
- która z walut euro czy dolar ma większe znaczenie ekonomiczne?
-wolałbyś aby Polska była w strefie euro czy dolara a może złoty powinien
pozostać jako środek płatniczy?
- czy elementy statystyki można stosowa na giełdzie?
- czy porównywanie średnich notowań walut i notowań spółek giełdowych może
by przydatne w przewidywaniu krachu finansowego poszczególnych państw?
130
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Na podstawie obserwacji (okres np. kwartał) notowań euro i dolara do złotego
określ która z tych walut jest mocniejsza – wykorzystanie metod statystycznych. Co to znaczy
„twarda waluta”?
Korzystając np. ze strony: http://www.bankier.pl/inwestowanie/waluty/
Tab. nr 247/A/NBP/2009
z dn. 2009-12-18
USD
2.9038 -0.23%
EUR
4.1806 -0.03%
Zadanie 2.
Korzystając z Internetu przeanalizuj notowania złota, srebra i ropy naftowej w ciągu
ostatnich dwóch lat. Wykonaj odpowiednie diagramy. Oblicz średnie, odchylenie
standardowe i przyrost wartości . Który z tych surowców uznałbyś za twardą walutę. Czy
mając do dyspozycji gotówkę wolałbyś zainwestować w dolary, euro czy w któryś z
surowców?
Zadanie 3.
Zbierz odpowiednie dane z banków i na ich podstawie oceń co to znaczy bank
wiarygodny. Czy narzędzia statystyczne pomogą nam w tej ocenie.
131
5)PROJEKT 3: W jaki sposób wyniki statystyczne opracowane przy użyciu
średnich i odchylenia standardowego, można interpretować?
Do czego
służą diagramy?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- jakie są diagramy przedstawiające dane statystyczne?
- czy średnia arytmetyczna wystarcza do porównania wyników statystycznych?
- do czego potrzebna jest wariancja i odchylenie standardowe?
- co to jest zmienna losowa?
- do czego służy rozkład zmiennej losowej?
- co to jest krzywa Gaussa?
- czy się różni rozkład punktowy od ciągłego?
- jak stosować rozkład w badaniach statystycznych?
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Na podstawie wyników matur 10-ciu klas oblicz średnią, wariancję i odchylenie
standardowe z poszczególnych przedmiotów, sporządź wykres słupkowy i określ z jakiego
przedmiotu klasy zdały maturę najlepiej. Porównaj wyniki ze Staninami podanymi na
stronie CKE (zdawalność poszczególnych przedmiotów w skali standardowej dziewiątki)
Stopień Opis stopnia skali
9
najwyższy
8
bardzo wysoki
7
wysoki
132
6
5
4
3
2
1
wyżej średniego
średni
niżej średni
niski
bardzo niski
najniższy
Zadanie 2.
Na podstawie wyników z matury np. z matematyki rozszerzonej
w dwóch
kolejnych latach , wykonaj diagramy kołowe i słupkowe, biorąc pod uwagę klasy z
rozszerzonym programem matematyki. Oblicz średnie ocen w skali od 1 do 9. Wyznacz
modę, medianę i wariancję wraz z odchyleniem standardowym. Na podstawie
powyższych obliczeń oceń, który rocznik był lepszy.
Literatura i inne źródła informacji
 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa,
1994,
 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972,
 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM,
Poznań 1993,
 4.A.Plucińska,
E.Pluciński
:Probabilistyka.
Rachunek
prawdopodobieństwa.
Statystyka. Procesy stochastyczne. WNT, W-wa 2009
 5.W.Krysicki,J.Bartos,W.Dyczka,K.Królikowska,M.Wasilewski:
Rachunek
prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe
PWN W-wa 2008
 http://www.bankier.pl/inwestowanie/waluty/
133
X MODUŁ PROJEKTOWY
„Gdy niemożliwe staje się możliwe – liczby zespolone”
1)Wprowadzenie do modułu:
Są pojęcia w matematyce, które są jasne, logiczne zgodne z rzeczywistością, ale i takie
które kłócą się ze zdrowym rozsądkiem. Wiemy z historii nauk ścisłych, że inność,
nietypowe rozumowanie, nawet wbrew logice prowadziły do postępu wiedzy i odkryć nie
tylko naukowych.
Swoistą część rozwiązywanych zadań, czy określanych twierdzeń stanowią założenia.
Założenia te często ograniczają zakres prawdziwości twierdzenia, a czasami są niezbędne by
twierdzenie mogło funkcjonować jako twierdzenie prawdziwe . Zmiana założeń może
prowadzić do sprzeczności, ale może też być motorem postępu. Niektóre założenia są tylko
po to , by dane zagadnienie miało zastosowanie w innych dziedzinach. Założenia te określam
założeniami z „wygody‖. Bo przecież istnieje funkcja wykładnicza f(x) = (-2)x
ale jej
przydatność jest znikoma, stąd definiujemy funkcje wykładnicze o podstawie dodatniej
i różnej od 1.
Inaczej wygląda sytuacja z pierwiastkiem kwadratowym. W szkole definiujemy
pierwiastek kwadratowy , tylko z liczby nieujemnej. Natomiast w matematyce wyższej łamiąc
pewne zasady, wprowadzamy definicją
= i czyli tzw. jednostkę urojoną i dzięki temu
powstał olbrzymi dział matematyki „analiza zespolona‖. W której podstawowym zbiorem
liczbowym jest zbiór liczb zespolonych, będącym rozszerzeniem zbioru liczb rzeczywistych.
Bez funkcji zmiennej zespolonej niemożliwy byłby postęp w elektronice a co za tym
idzie we wszystkich dziedzinach w których potrzebny jest prąd.
134
2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele wszystkich projektów:
Treści nauczania
Cele operacyjne modułu
1.Równania kwadratowe.
Uczeń potrafi:
2.Definicja liczb zespolonych, pojęcie liczb -rozwiązywać
zespolonych – Bombelli, Gauss, Hamilton.
3.Interpretacja
równania
kwadratowe
w
zbiorze liczb rzeczywistych
liczb -odnaleźć ciekawostki historyczne dotyczące
geometryczna
zespolonych.
odkrycia liczb zespolonych
4.Działania na liczbach zespolonych.
-znaleźć jednostkę rzeczywistą i urojoną
5.Postać
trygonometryczna
liczby
zespolonej.
6.Wzór de Moivre‘a – Potęga i pierwiastek
liczby zespolonej.
7.Postać wykładnicza liczby zespolonej.
liczby zespolonej
-wykonać działania dodawania, mnożenia i
dzielenia na liczbach zespolonych
-przedstawić w postaci trygonometrycznej
liczbę zespoloną
-obliczyć potęgę i pierwiastek z liczby
zespolonej
-rozwiązywać
równania
kwadratowe
w
zbiorze liczb zespolonych
-przedstawić liczbę zespoloną w różnych
postaciach
-wykonać działania na liczbach zespolonych
przedstawionych w różnych postaciach
-przedstawia przekształcenie geometryczne w
postaci funkcji zespolonej
135
-odnaleźć
związek
zespolonymi
i
między
funkcjami
przekształceniami
geometrycznymi
-odnaleźć związki geometrii i trygonometrii z
liczbami zespolonymi
-rozwijać matematyczne myślenie
-dostrzegać prawidłowości matematyczne w
otaczającym Świecie
-korzystać z podręczników akademickich i
Internetu
3)PROJEKT 1 : Jak rozwiązać równanie x2 + px + q = 0 ?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- co to jest równanie kwadratowe?
- jakie są sposoby rozwiązywania równań kwadratowych?
- wyprowadź wzory na pierwiastki równania kwadratowego?
-czy równanie kwadratowe musi mieć pierwiastek?
-czy przy pomocy wzorów Viete‘a można wyznaczyć pierwiastki trójmianu?
- co to jest jednostka urojona a co liczba zespolona?
- czy znając liczby zespolone można zawsze rozwiązać równanie kwadratowe?
- jak rozwiązać równanie kwadratowe o współczynnikach zespolonych?
136
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Wyprowadź wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego y=ax2+bx+c oraz
y= x2+px+q o współczynnikach rzeczywistych.
Zadanie 2.
Wiedząc, że Δ<0 w trójmianie o współczynnikach rzeczywistych, Wyprowadź
wzory na pierwiastki zespolone.
Zadanie 3.
Rozwiąż równania:
x2 + 2x +5 = 0 oraz x2 +ix +(i - ) = 0
Zadanie 4.
Rozwiąż równanie x3 + x + 1 = 0 w zbiorze liczb zespolonych.
Zadanie 5.
Udowodnij twierdzenie :
założenie: ax2 + bx +c = 0 ; a, b, c Є R; Δ<0
teza: pierwiastki równania są liczbami zespolonymi sprzężonymi.
137
4)PROJEKT 2 : Jak wykonać działania na liczbach
zespolonych, przedstawionych w różnych postaciach?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
- jakie są sposoby przedstawienia liczby zespolonej?
- co to jest płaszczyzna zespolona?
- co to jest cześć rzeczywista i cześć urojona liczby zespolonej?
- co to jest moduł a co argument liczby zespolonej?
- co to znaczy że zbiór liczb zespolonych jest domknięty ze względu na
podstawowe działania?
- co to są wzory de Moivre’a?
- w jaki sposób podnosimy liczbę zespoloną do kwadratu?
- jak wykonuje się pierwiastkowanie liczby zespolonej?
- jaki jest związek zbioru liczb rzeczywistych ze zbiorem liczb zespolonych?
b)przykładowe zadania:
Liczby zespolone - liczby składające się z części rzeczywistej ( ) i części urojonej ( )
zapisywane w postaci a+bi gdzie a i b
są liczbami rzeczywistymi zaś liczbę nazywamy liczbą urojoną.
Definicja liczby urojonej i =
; i2=-1 ;i4= 1
138
Liczby zespolone możemy interpretować geometrycznie jako punkty płaszczyzny.
Płaszczyznę, na której umieszczamy liczby zespolone nazywamy płaszczyznę Gaussa.
Liczbę zespoloną
możemy przedstawić na płaszczyźnie Gaussa pamiętając, że
(część rzeczywista) oraz
(część urojona).
Liczba zespolona przeciwna do liczby
:
Liczbę zespoloną sprzężoną do liczby zespolonej
nazywamy liczbę w postaci
.
Liczba zespolona
Jej sprzężenie
.
.
Moduł liczby zespolonej
to liczba w postaci
.
Moduł liczby zespolonej w interpretacji geometrycznej jest odległością liczby zespolonej
od
środka płaszczyzny Gaussa.
Istnieje pewna zależność pomiędzy liczbą zespoloną a jej sprzężeniem: ‫׀‬z‫=׀‬
ponieważ:
139
Dzięki zależnością pomiędzy kątem modułem oraz wartościami a i b możemy wyznaczyć
postać trygonometryczną liczby zespolonej.
więc
więc
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
.
Podstawowe działania na liczbach zespolonych:
- dodawanie liczb zespolonych:
- odejmowanie liczb zespolonych:
- mnożenie liczb zespolonych:
- dzielenie liczb zespolonych:
140
Zadanie 1.
Zaznacz w układzie współrzędnych następujące punkty:
a\
b\ spełniające zależność
.
Zadanie 2.
Dane są następujące liczby zespolone:
a=5+2i ; b=i+3; c=i ; d=2
Wykonaj działania:
a +b=?
b -c=?
=?
(a+c)(b-c) =?
a2=?
=?
Zadanie 3.
Wyznacz moduły i argumenty liczb zespolonych :
z1=3 – 3i
z2 =1 +
i
z3 = 2i
Zadanie 4.
Udowodnij, że następujące związki są prawdziwe:
141
Zadanie 5.
Przedstaw liczbę zespoloną z =
oblicz z4 oraz
+ i w postaci trygonometrycznej i następnie
.
5)PROJEKT 3 : Jakie istnieją związki geometrii i
trygonometrii z liczbami zespolonymi?
Materiały pomocnicze do tematu projektu:
a)szczegółowe pytania problemowe:
-jaka jest różnica pomiędzy płaszczyzną kartezjańską a zespoloną?
- co ma wspólnego postać geometryczna liczby zespolonej z punktami na
płaszczyźnie?
-czym się różni argument główny od argumentu liczby zespolonej?
- jaki jest związek pomiędzy mnożeniem i dzieleniem liczb zespolonych a ich
argumentami?
- w jaki sposób przy pomocy liczb zespolonych wyprowadzić wzór na sinus
sumy kątów?
- jaki jest związek funkcji zmiennej zespolonej z przekształceniami
geometrycznymi?
- jak
przy pomocy funkcji zmiennej zespolonej wyprowadzić wzory na
przekształcenia izometryczne na płaszczyźnie?
142
b)przykładowe zadania:
Zadanie 1.
Znajdź w układzie współrzędnych zbiory opisane następującymi nierównościami:
a)‫׀‬z‫ ≥׀‬4
b) ‫׀‬z – 2 + 3i‫ <׀‬2
c) ‫׀‬z‫≤׀‬1 i Re z ≥ 0
Zadanie 2.
Korzystając z mnożenia liczb zespolonych w postaci trgonometrycznej
wyprowadź wzór sin(α+β)= sinαcosβ + cos α sinβ
Zadanie 3.
Zapisz poniższe przekształcenia przy pomocy funkcji analitycznych zmiennej
zespolonej:
a)symetrii względem punktu S(a,b)
b) symetrii względem osi 0x
c)translacji o wektor [a,b]
d)jednokładności o środku 0(0,0) i skali k≠0
korzystając ze wzorów analitycznych w których obrazem punktu A(x,y) jest punkt
punkt A’(x’,y’) .
143
Zadanie 4.
Jaki
jest związek liczb zespolonych
w postaci wykładniczej z funkcjami
trygonometrycznymi?
Zadanie 5.
Wyznacz obraz liczby z= -
+ 2i w obrocie dookoła punktu 0 o kąt 120⁰.
Literatura i inne źródła informacji
 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa,
1994,
 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972,
 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM,
Poznań 1993,
 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego,
Katowice, 1976,
 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa
,1976
 T.Trajdos : Matematyka: Cześć 3. Liczby zespolone. Wektory. Macierze. Wyznaczniki.
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne ,W-wa 2004
144
PROCEDURY
OSIĄGANIA CELÓW
Nauczanie matematyki metodą projektu
ma wspierać ucznia w zakresie
samodzielnego zdobywania wiedzy, operowania obiektami abstrakcyjnymi, budowania i
stosowania modeli matematycznych, projektowania i wykonywania obliczeń oraz kształcić
jego logiczne myślenie. W procesie nauczania – uczenia się aktywną stroną ma być uczeń.
Nauczyciel powinien być przede wszystkim organizatorem działalności uczniów. Powinien
stwarzać takie sytuacje dydaktyczne, które zachęcą do nauki, zainteresują przedmiotem,
wskażą że matematyka jest wszędzie wokół nas. Wiadomości zdobyte przez uczniów w czasie
ich aktywnej działalności są o wiele trwalsze niż bierne przyswajanie wiedzy. Podczas
realizacji modułów mamy doskonałe warunki do tego, aby uczyć kultury dyskusji. Bardzo
często uczniowie będą przedstawiali różne metody rozwiązania tego samego problemu, wtedy
obowiązkiem prowadzącego jest wysłuchanie wszystkich propozycji i wspólnie z zespołem
podjęcie decyzji w jaki sposób dany problem ostatecznie rozwiązać. Należy zwracać też
uwagę na język wypowiedzi, precyzyjne formułowanie myśli, logiczną konstrukcję
wypowiedzi.
W trakcie realizacji projektu uczniowie pracują w grupach, więc cały czas rozwijają
następujące umiejętności:
 podejmowania decyzji grupowych
 wyrażania własnych opinii i słuchanie opinii innych
 poszukiwania kompromisu
 dzielenia się w grupie rolami i zadaniami
 rozwiązywania konfliktów
 poszukiwania kompromisu
 stosowania różnych sposobów prezentacji wyników pracy grupy
 dokonywania oceny pracy grupy i jej członków
 dokonywania samooceny
W wyniku realizacji projektu uczeń samodzielnie planuje, rozwiązuje problemy i wnioskuje.
Odważnie i z pewnością zgłasza propozycje rozwiązań różnych problemów.
145
OPIS ZAŁOŻONYCH OSIĄGNIĘĆ UCZNIA
I PROPOZYCJE METOD ICH OCEN
Przewidywane osiągnięcia ucznia
Uczeń powinien umieć :
 posługiwać się pojęciami, własnościami i algorytmami dotyczącymi : logiki, liczb
rzeczywistych, funkcji, funkcji liniowej i kwadratowej, równań, nierówności
liniowych i kwadratowych, układów równań i nierówności, wielomianów i funkcji
wymiernych, funkcji trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych, ciągów,
szeregów, ciągłości i pochodnej funkcji, całki nieoznaczonej, całki oznaczonej,
wektorów, przekształceń izometrycznych i jednokładności, podobieństwa, planimetrii,
rachunku prawdopodobieństwa, stereometrii ;
 stosować posiadaną wiedzę do rozwiązywania zadań praktycznych ,np. :
1. wykorzystać ciąg arytmetyczny (geometryczny) jako matematyczny model
sytuacji praktycznej i rozwiązać w tym modelu problem – modele
ekonomiczne, analiza finansowa-lokaty i kredyty, kursy walut, pożyczki
długoterminowe, fundusze emerytalne;
2. korzystać z pochodnej i całki w wielu dziedzinach nauki (fizyki, biologii,
ekonomii) oraz w życiu;
3. dokonywać obliczeń miarowych – obwodów, pól, objętości – budujemy
osiedle –jakie bryły wykorzystamy(siatka kuli, objętość kuli za pomocą całki),
obrót elipsy wzdłuż krótszej i dłuższej osi - Ziemia, a elipsoida – objętość kuli
jako szczególny przypadek elipsoidy, ;
4. stosować wiadomości matematyczne w astronomii – pory roku, kometa
Halleya kiedy pojawi się znów?
5. rozwiązać problem spółki giełdowej za pomocą gromadzenia (statystyka) i
przetwarzania danych (korzystając z wielomianu Lagrangea i pochodnej)
sporządzić wykres i na podstawie wykresu(korzystając z monotoniczności)
odpowiedzieć na pytanie kiedy warto kupić akcję? – kiedy nastąpi tendencja
zwyżkowa?; zjawiska masowe – zjawiska społeczne – gromadzenie i
opracowywanie danych na przykładzie najbliższego otoczenia- obserwacja
przez miesiąc spółki;
146
6. podać przybliżenie liczby
i
– rozwinąć funkcję
i
w szereg
7. wyprowadzić za pomocą całki np. wzór na drogę w ruchu jednostajnie
przyspieszonym – z miasta A do miasta B;
8. stosować
modele matematyczne do rozwiązania problemów fizycznych i
mechanicznych - wykorzystać średnie statystyczne - wahadło, średnie
wychylenie sprężyny, przyciąganie ziemskie, wskazywanie południka - średnia
harmoniczna; 1 i 9 jednakowe średnie: arytmetyczna, geometryczna i
harmoniczna;
9. wyszukać twierdzenia w algebrze, geometrii, trygonometrii i w kombinatoryce
- stosować różne rodzaje dowodów matematycznych;
 formułować zależności, wyciągać wnioski i uzasadniać ich prawdziwość;
 dobierać odpowiedni model matematyczny czy algorytm do sytuacji problemowej
i weryfikować uzyskane wyniki ;
 stosować definicje i twierdzenia w rozwiązywaniu problemów ;
 argumentować i przeprowadzać pełne rozumowanie dedukcyjne;
 wykorzystywać urządzenia techniczne i multimedialne, jak kalkulator, komputer,
projektor, wizualizer, tablica interaktywna itp.
W trakcie przedstawiania odpowiednich modułów projektu przez grupy pozostali
uczniowie uczestniczący w projekcie również się uczą. Aby ta nauka była skuteczna
prezentacje przez poszczególne grupy muszą być solidnie przygotowane i przeprowadzone.
Wspólnie z uczniami prowadzący dokonuje oceny pracy grupy.
Najistotniejsze jest koordynowanie prac uczniów na etapie powstawania projektu. W
przypadku prezentacji multimedialnych należy zwrócić uwagę na poprawność zapisu symboli
matematycznych, doboru treści do tematu oraz wykorzystania szaty graficznej, podkładu
muzycznego i animacji, które mogą być konsultowane z nauczycielem technologii
informacyjnej. Bardzo ważnym elementem jest przygotowanie instrukcji dla każdej grupy kontraktu między nauczycielem a uczniami, w którym szczegółowo określi się cele, temat i
zadania do realizacji.
147
Przed przystąpieniem do projektu należy zapoznać uczniów z zasadą pracy w grupach:
1. Będziecie pracować w grupie, a zatem wspólnie musicie dążyć do celu. Każdy niech
stara się pracować intensywnie, na miarę swoich możliwości – musi jednak ciągle
mieć na uwadze dbałość o wspólne interesy grupy.
2. Wybierzcie spośród siebie Lidera, Sekretarza i Sprawozdawcę.
Lider
 organizuje i kieruje pracą grupy,
 dba o to, aby wszyscy pracowali, aby każdy miał swój udział w rozwiązywaniu
zadania,
 pilnuje, aby grupa nie poświęcała uwagi kwestiom ubocznym, nieistotnym dla
osiągnięcia celu,
 nie narzuca swoich poglądów, ale dba o to, aby wszyscy mogli się
wypowiedzieć – ustali kto w danej chwili mówi,
 upewni się, czy wszyscy zrozumieli postawione przed grupą zadanie.
Sekretarz
 pilnuje, aby nie umknęły jego uwadze i pamięci ciekawe pomysły zgłaszane w
czasie pracy nad zadaniem,
 zapisze końcowe rozwiązanie.
Sprawozdawca
 stara się wyłowić w trakcie pracy grupy ważne ustalenia,
 uzgodni z grupą rezultaty pracy i przedstawi publicznie efekt pracy zespołu.
3. Przed przystąpieniem do pracy uzgodnijcie plan działania.
4. Po wykonanej pracy dokonajcie samooceny i porozmawiajcie przez chwilę o
przyczynach sukcesów bądź niepowodzeń.
148
Aby praca w zespole przebiegała sprawnie i bez zakłóceń członkowie zespołu muszą
się wykazać wieloma umiejętnościami. Omawiając z uczniami zasady współpracy w grupie
należy zwrócić uczniom uwagę na umiejętności:
 uważne słuchanie każdej osoby;
 pilnowanie kolejności zabierania głosu;
 powracanie do zadania, kiedy tylko ktoś spostrzeże, że grupa odbiega od tematu;
 uprzejme wyrażanie niezgody;
 proszenie o pomoc;
 udzielanie wsparcia;
 dbanie, by wszyscy byli zaangażowani w pracę;
 parafrazowanie, czyli powtarzanie myśli przedmówcy własnymi słowami, zanim
wygłosi się własne zdanie;
 wyrażanie szczerego wzajemnego podziwu;
 słuchania z empatią;
 hamowanie mało twórczych zachowań członków grupy;
 dbanie, by każdy w grupie czuł się ważny;
 utrzymywanie kontaktu wzrokowego.
Podział zadań w zespole
Lp.
Kiedy
Zadanie
(co trzeba
wykonać?)
Kto zrobił
Co jest do tego
zostanie
potrzebne?
wykonane?
(terminarz)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
149
7.
8.
Uczniowie przy współpracy z nauczycielem ustalają zasady pracy w zespole:
USTALENIE ZASAD PRACY W ZESPOLE
1.Kto będzie przewodniczącym zespołu (tzw. liderem) ?
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
2.Jak podzielimy odpowiedzialność za realizację zadań ?
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
3.Jak będziemy podejmować decyzje ?
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
4.W jaki sposób będziemy rozwiązywać konflikty, spory ?
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
5.Gdzie i w jakim czasie będą odbywały się spotkania naszego zespołu ?
150
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
6.Jakie zasady będą obowiązywały w naszej grupie, aby dobrze nam się pracowało ?
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
Uczeń może opracować materiał nie zawsze tak jak tego oczekujemy, lecz czas spędzony
przez ucznia na samodzielnym wyszukiwaniu informacji może sprawić, że wiedza którą
zdobędzie przez osobiste doświadczenia może przyczynić się do jej lepszego zapamiętania
przez ucznia.
151
EWALUACJA PROJEKTU
Ewaluacja
Evaluate - (j. ang.) - oceniać, szanować.
Ewaluacja edukacyjna stanowi systematyczne badanie lub szacowanie wartości
jakiegoś obiektu. Ewaluacja to systematyczne gromadzenie różnorodnych informacji, które są
pomocne w określaniu, jak i czy w ogóle nastąpiła modyfikacja uczenia się. To proces
zmierzający do stwierdzenia, w jakim stopniu zamierzone cele edukacyjne są rzeczywiście
realizowane.
To systematyczne badanie zdarzeń, które mają miejsce w ramach realizowanego
programu bądź stanowią jego konsekwencję. Badania te mają przyczynić się zarówno do
usprawnienia tego programu, jak i innych programów zmierzających do tych samych celów.
To dostarczanie informacji potrzebnych do podjęcia decyzji, np. jak dalej uczyć, żeby
było lepiej.
Po wdrożeniu programu wskazane jest przeprowadzenie ewaluacji w celu uzyskania
informacji zwrotnej o tym w jakim stopniu zaproponowane treści umożliwią realizację zadań
edukacyjnych. Dzięki ewaluacji nie tylko oceniamy, kontrolujemy czy zbieramy dane, ale
dowiadujemy się, jakie potrzeby i oczekiwania mają uczniowie odnośnie proponowanych
zajęć.
Przedmiotem ewaluacji będzie:
 osiąganie celów edukacyjnych,
 skuteczność metod i form aktywności,
 przyrost wiedzy,
 kształtowanie umiejętności i postaw.
W trakcie realizacji treści programowych uczniowie będą oceniani na podstawie:
 obserwacji uczniów w czasie zajęć,
 szacowania wytworów ich pracy.
 analizy zgodności działań z poleceniem do wykonania zadania,
 aktywności przy omawianiu zgodności problemów informatycznych
152
 „Karty samooceny ucznia‖
Na początku pracy nad projektem nauczyciel ustala szczegółowe zasady oceniania i podaje
uczniom do wiadomości:
1.Uczniowie ze swojego punktu widzenia oceniają:
- czy prezentacja pokazana przez kolegów czegoś mnie nauczyła?
- czy wypowiedzi były jasne i przejrzyste?
- czy prowadzący mówią precyzyjnie?
- czy stosują różne sposoby prezentacji?
- czy w prezentację zaangażowani byli wszyscy członkowie grupy?
- czy informacje przedstawione były w sposób czytelny i logiczny?
- czy zebrane informacje przedstawione były w sposób oryginalny (z wykorzystaniem
ciekawych środków przekazu)?
- czy trafnie dobrane były techniki przekazu informacji?
- czy reszta grupy została włączona w prezentację?
- czy prowadzący prezentację poprawnie posługują się językiem ojczystym?
2.Nauczyciel ocenia zaangażowanie poszczególnych członków grupy za:
- planowanie pracy – praca w grupie
- przeprowadzenie jej zgodnie z planem
- dokumentację pracy
- prezentację wyników
Nauczyciel ustala wraz z grupą szczegółową liczbę punktów za powyższe działania.
Przedstawia też arkusz oceny wg którego będzie przyznawał punkty:
153
ARKUSZ OCENY
GRUPA:
……………………………………………………………………………..
TEMAT MODUŁU:
………………………………………………………………………
TERMIN PREZENTACJI: ……………………………………………………………….
ETAP REALIZACJI MODUŁU - tu nauczyciel wstawia punkty podczas spotkań
ETAP REALIZACJI MODUŁU - roboczych z uczniami w trakcie realizacji projektu
ETAP REALIZACJI MODUŁU -
ETAP REALIZACJI MODUŁU
punkty ustala wraz z uczniami
UMIEJĘTNOŚCI
LICZBA
PUNKTÓW
zbieranie i opracowanie
-selekcja informacji
materiałów
-krytyczna ocena informacji
-„przetwarzanie‖ informacji
praca w grupie
-udzielanie sobie informacji
-podejmowanie decyzji
-słuchanie się nawzajem
-rozwiązywanie konfliktów
-zaangażowanie innych osób w pracę
-samoocena postępów pracy
prezentacja
-wykorzystanie czasu prezentacji
-zainteresowanie innych uczniów
-sposób mówienia(akcentowanie,
precyzja wypowiedzi
154
3.Arkusze ewaluacyjne dla ucznia.
Samoocena ucznia, której celem jest usprawnienie pracy grupy. Jest jednym z elementów
oceny rezultatów projektu.
Samoocena ucznia:
 Czy realizujemy przyjęte zadania w terminie?
 Z którym zadaniem są największe trudności? Co można zrobić aby je pokonać?
 Czy wszyscy czują się włączeni do pracy grupy?
 Co należałoby usprawnić w naszej pracy?
 Dlaczego nie wszystkie cele zostały zrealizowane?
 Jak inni oceniali naszą pracę?
 Biorąc pod uwagę cały projekt, co zrobilibyśmy inaczej powtarzając go?
155
Jak oceniam pracę w grupach?
1. Czy według ciebie moduł był interesujący?
tak
nie
2. Czy dobrze ci się pracowało z koleżankami i kolegami w grupie ?
tak
nie
3. Jaką funkcję pełniłeś w grupie?

lider

sekretarz

sprawozdawca

inną
4. Czy zadania wykonywane na zajęciach były dla ciebie łatwe i zrozumiałe?
tak
raczej tak
nie
5. Jak oceniasz pracę w grupie (w skali od 1 do 6)?
1 2 3 4 5 6
6. Czy chciałbyś poznawać ciekawostki na temat sławnych matematyków dotyczące
tematu modułu ?
tak
nie
7. Czy podobał ci się losowy dobór grup ?
tak
raczej tak
obojętne
nie
156
Samoocena pracy w grupie
Grupa: .........
Imię i nazwisko
1.............................................
2.............................................
3.............................................
4.............................................
Umiejętność /Imię
1
2
3
4
Bierze udział w dyskusji
Uzasadnia swoje stanowisko
Świadomie dąży do kompromisu
Trzyma się tematu
grupie
Akceptuje innych członków grupy
Akceptuje decyzje grupowe
Nie ocenia innych i ich wypowiedzi
Bierze udział w planowaniu wspólnych działań
pracy
Organizacja
Atmosfera w
Komunikowanie się
Potrafi słuchać, nie przerywać
Akceptuje ustalone zasady pracy
Bierze odpowiedzialność za przyjętą pracę
RAZEM PUNKTÓW
W KRATECZKI WPISUJEMY PUNKTY 0, 1, 2 LUB 3 WEDŁUG ZASADY:
(ZDECYDOWANIE NIE) 0 pkt  1  2  3 pkt (ZDECYDOWANIE
TAK)
157
Co sądzisz o zajęciach realizowanych za pomocą projektu? - ankieta dla
uczniów
Wpisz do poniższej tabeli spostrzeżenia i uwagi:
Jak przygotowałeś się do zajęć?
Jaką wiedzę i umiejętności dodatkowe
zdobyłeś?
Jakie materiały i pomoce wykorzystałeś?
Twoje refleksje na temat zajęć – jaką funkcję
pełniłeś, jak się czułeś itp.
Co sądzisz o zajęciach realizowanych za pomocą projektu?
 Są bardzo interesujące i zachęcają do poznania i zrozumienia matematyki ?
 Są interesujące
 Są mało interesujące
 Nie są ciekawe i nie przekonują do nauki matematyki
158
ARKUSZ SAMOOCENY UCZNIA …........................................................ grupa ................
(imię i nazwisko)
Odpowiedz szczegółowo na poniższe pytania. Twoje odpowiedzi pozwolą mi skrupulatnie
ocenić całoroczną pracę nad projektem:
1. Jaki był temat projektu, nad którym pracowałe(a)ś?
.......................................................................................................................................................
.........................................................................
2. Jaka była Twoja rola w grupie? Czym się zajmowałe(a)ś?
.....................................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………
3. Jakie trudności, problemy pojawiły się w czasie pracy i w jaki sposób je rozwiązałe(a)ś?
.......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
4. Z czyjej pomocy korzystałe(a)ś (rówieśnicy, rodzice, nauczycielka, instytucje, inne) i w
jakim zakresie?
.....................................................................................................................................................
5. Czego się nauczyłe(a)ś, pracując nad projektem?
…………………………………………………………………………………………………
6. Na ile punktów w skali 1:10 oceniasz: swój wkład w pracę grupy
..................................
zdobyte umiejętności i wiedzę ……...............................?
7. Czy Twoje oczekiwania związane z taką metodą pracy zostały spełnione, czy odpowiada Ci
taka forma zdobywania wiedzy i umiejętności?
.....................................................
Uzasadnij swoją odpowiedź
.......................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
8.
Jakie
ewentualne
zmiany
należałoby
wprowadzić
do
organizacji
pracy
grup?..............................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
Dziękuję za przemyślaną odpowiedź.
159
ANONIMOWA
ANKIETA
DLA
UCZNIÓW
NA
TEMAT
PROWADZENIA ZAJĘĆ POZALEKCYJNYCH METODĄ PROJEKTU
1. Czy na zajęciach ............................. uczysz się dużo?
Tak
Raczej tak
Raczej nie
Nie
2. Czy sposób prowadzenia zajęć zachęca cię do aktywności?
Tak
Raczej tak
Raczej nie
Nie
3. Czy w trakcie zajęć czujesz się:
Swobodny/a?
Skrępowany/a?
4. Czy na zajęciach panuje przyjazna atmosfera?
Tak
Raczej tak
Raczej nie
Nie
5. Czy nauczyciel jest dobrze przygotowany do zajęć?
Tak
Raczej tak
Raczej nie
Nie
6. Czy zajęcia są interesujące?
Tak
Raczej tak
Raczej nie
Nie
7. Czy materiał jest wyjaśniany w sposób jasny?
Tak
160
Raczej tak
Raczej nie
Nie
8. Czy nauczyciel jest wymagający?
Tak
Raczej tak
Raczej nie
Nie
9. Czy twoje zaangażowanie na zajęciach jest:
Duże
Średnie
Małe?
10. Czy ocena pracy grup jest w twoim odczuciu sprawiedliwa?
Tak
Raczej tak
Raczej nie
Nie
11. Jakich słów/wyrażeń użyłbyś do scharakteryzowania zajęć ……........................ ,
atmosfery w czasie zajęć?
Nudno
Ciekawie
Stresująca
Boję się
Luźna atmosfera
Chodzę chętnie na zajęcia
Chodzę niechętnie na zajęcia
Mogę dowiedzieć się czegoś nowego
Nie dowiem się nic nowego
Podoba mi się
Nie podoba mi się
UWAGI: ........................................
161
ANKIETA DLA UCZNIA
Celem ankiety jest poznanie opinii uczniów na temat metod pracy podczas
realizacji projektu i wykorzystanie tych informacji do poprawy skuteczności
pracy dydaktycznej. Przeczytaj poniższe pytania i zaznacz wybrana odpowiedź.
Ankieta jest w pełni anonimowa. Dziękuję za szczere wypełnienie!
Płeć: ..... dziewczyna
...... chłopak
1. Czy praca w grupie była dla Ciebie kształcąca?
 tak
 nie
 nie wiem
2. Jeżeli na poprzednie pytanie odpowiedziałeś tak, to czy nauczyłeś się nowych
umiejętności?
 tak
 nie
 nie mam zdania
3. Czy zawsze rozumiałeś cele modułów?
 tak
 nie
4. Prowadzone zajęcia były dla Ciebie (wybierz 2 odpowiedzi):
 atrakcyjne
 zrozumiałe
 zmuszające do myślenia
 monotonne
 stresujące
 nudne
 niezrozumiałe
5. Określ jak pracowałeś podczas realizacji projektu?
 byłem aktywny
 byłem znudzony
 czekałem, aż ktoś inny odpowie
6. Czy zajęcia mobilizowały Cię do aktywności?
162
 tak
 nie
7. Czy twoja aktywność została zauważana przez nauczyciela i doceniona?
 tak
 nie
8. Czy problemy omawiane podczas realizacji projektu były dostosowane do poziomu
Twoich umiejętności?
 tak
 nie
9. Czy realizacja projektu nauczyła Cię planowania pracy?
 tak
 nie
10. Czy realizacja projektu nauczyła Cię wnioskowania?
 tak
 nie
11. Czy miałeś odwagę zwrócić się do nauczyciela jeżeli miałeś problem z realizacją
modułu?
 tak
 nie
12. Czy często zwracałeś się o pomoc do nauczyciela?
 tak
 nie
13. Czy uważasz, że wiadomości, umiejętności jakie zdobyłeś podczas pracy nad
projektem, przydadzą Ci się w życiu?
 tak
 nie
 nie wiem
14. Czy taka forma realizacji projektu (każdy moduł opracowywany przez inną grupę)
była wg Ciebie dobra?
 tak
 nie
15. Czy wolałbyś żeby każdy moduł był realizowany przez wszystkie grupy?
 tak
 nie
163
16. Napisz w kilku zdaniach, co chciałbyś zmienić gdybyś jeszcze raz miał brać udział w
podobnym projekcie ………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Ankieta ewaluacyjna



Atmosfera na
zajęciach
Czy wg Ciebie
PROJEKT był
ciekawy?
Czy dobrze Ci się
pracowało?
Prowadzący
Rozumiałem
wszystko, czego się
uczyliśmy?
Jeżeli czegoś nie
rozumiałem mogłem
zwrócid się o
pomoc do
nauczyciela.
Wiadomości zostały
zaprezentowane w
ciekawej i
przystępnej formie.
W skali od 1 do 6 przeprowadzenie projektu oceniam na...........
164
Literatura i inne źródła informacji
1. Brudnik E., Moszczyńska A., Owczarska B., Ja i mój uczeń pracujemy
aktywnie – przewodnik po metodach aktywizujących, Zakład Wydawniczy
SFS, Kielce 2000.
2. Eby J. W., Smutny J. F., Jak kształcić uzdolnienia dzieci i młodzieży, WSiP,
Warszawa 1999.
3. Kruszewski K., Pedagogika w pokoju nauczycielskim, WSiP, Warszawa 2000.
4. Mikołajczyk M., Udane projekty nie tylko z matematyki, PWN, Warszawa
2002.
5. Nowak W., Konserwatorium z dydaktyki matematyki, PWN, Warszawa 1989.
6. Wiadomości
Matematyczne,
Rocznik
Polskiego
Towarzystwa
Matematycznego, seria II, PWN Warszawa. Podręczniki szkolne, przewodniki
dla nauczycieli i materiały dydaktyczne.
7. J. Królikowski, E. Tołwińska-Królikowska, Projekt jako metoda nauczania,
w: Europa na co dzień - pakiet edukacyjny RIV, Warszawa, CODN, 1998.
8. http://www.scholaris.edu.pl
165

Podobne dokumenty