Wektory i wartości własne

Z45: Algebra liniowa
Zagadnienie: wyznaczanie wartości własnych i wektorów własnych macierzy
Zadanie: wartości własne, wyznaczanie i interpretacja.
Wektory i wartości własne
Wartości własne i wektory własne odgrywają zasadniczą rolę w rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych, w badaniu ich stabilności, w wyznaczaniu stanów stacjonarnych w zagadnieniach mechaniki kwantowej oraz w
równaniach cząstkowych.
Dobrym punktem wyjścia do wprowadzenia pojęcia wartości własnej i
wektora własnego są układy równań różniczkowych liniowych
x0 = Ax,
gdzie A jest macierzą kwadratową o wymiarach n × n. Szukamy rozwiązań
postaci
x(t) = veλt ,
λ ∈ C, v ∈ Cn .
Ponieważ (eλt )0 = λeλt , więc
x0 (t) =
d λt ve
= λveλt .
dt
Podstawiając wyliczoną wartość x0 (t) do naszego układu otrzymujemy
λveλt = A(veλt ) = eλt Av.
Zatem funkcja x(t) = veλt jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy,
gdy stała λ ∈ C i wektor v ∈ Cn spełniają równanie
Av = λv.
Jeżeli liczba λ ∈ C i niezerowy wektor v ∈ Cn spełniają powyższe
równanie, to λ nazywamy wartością własną, a wektor v wektorem własnym
macierzy (odwzorowania) A. Jeżeli λ jest wartością własną, a v wektorem
własnym macierzy A odpowiadającym λ, to spełniają one równanie
(A − λI)v = 0.
W istocie jest to jednorodny układ n równań liniowych o n niewiadomych i
ma on niezerowe rozwiązanie v wtedy i tylko wtedy, gdy
det(A − λI) = 0.
1
Ostatnie równanie nazywamy równaniem charakterystycznym. Układ złożony z wektorów własnych odpowiadających różnym wartościom własnym
jest liniowo niezależny. W szczególności, jeżeli macierz kwadratowa wymiaru
n×n ma n różnych wartości własnych, to odpowiadające im wektory własne
tworzą bazę w Cn .
2