Bednarek T., Marczewska I., Marczewski A., Rojek J

SYMULACJA NUMERYCZNA NIELINIOWYCH PROCESÓW DEFORMACJI Z UWZGLĘDNIENIEM OPTYMALIZACJI ORAZ ZNISZCZENIA ZMĘCZENIOWEGO
T. BEDNAREK1,2, I. MARCZEWSKA1, A. MARCZEWSKI1,
J. ROJEK1, W. SOSNOWSKI1,2
1
2
Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN, Zakład Metod Komputerowych
ul. Świętokrzyska 21, Warszawa
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy, ul. Chodkiewicza 30, Bydgoszcz
Abstract
The paper presents basic aspects of ongoing research on modeling of forming process
using polymer coated steel sheet new material which is now introduced into the packaging
industry. Next the optimization of drawbead length based on sensitivity analysis is considered. The finite element simulation of sheet metal forming process and "exact", direct
differentiation method (DDM) of sensitivity analysis are used. The theory is illustrated by
numerical example. Finally numerical algorithm is presented which makes possible to
adopt different loading schemes to specific Wöhler curves characterizing fatigue resistance of given material. Hydraulic cylinders investigated under E.C. project ”PROHIPP”
are analyzed.
1. Modelowanie kształtowania blach pokrytych warstwą polimeru
Blachy pokryte polimerem są nowym materiałem w produkcji opakowań,
łączącym zalety blach stalowych z zaletami nowoczesnej powłoki polimerowej.
Blachę powlekaną polimerem moŜna traktować jako laminat, składający się z podłoŜa
stalowego o grubości 0.12-0.2 mm pokrytego z obu stron warstwami polimeru o
grubości 0.02-0.03 mm. PodłoŜe jest blachą stalową chromowaną lub cynowaną. Jako
polimer stosuje się PET, czyli poli (tereftalan etylenu). Puszki na produkty spoŜywcze,
napoje i aerozole wytwarzane są najczęściej w wieloetapowym procesie
kształtowania. Podstawowe procesy to proces głębokiego tłoczenia połączony z
przetłaczaniem (ang. DRD – draw-redraw) oraz proces głębokiego tłoczenia
połączony z przetłaczaniem i wyciąganiem (ang. DWI – draw and wall ironing).
Powłoka polimerowa zmienia własności technologiczne blachy. Oprócz zagadnienia
pękania blachy pojawiają się nowe problemy, takie jak zapewnienie integralności
powłoki polimeru oraz zachowanie przyczepności polimeru do stali w trakcie procesu
kształtowania.
2
T. Bednarek, I. Marczewska, A. Marczewski, J. Rojek, W. Sosnowski
Właściwości mechaniczne polimeru silnie zaleŜą od prędkości odkształcenia i
tempe-ratury, napręŜenie uplastyczniające zaleŜy ponadto od ciśnienia (części kulistej
tensora napręŜenia) [1]. W niniejszej pracy do modelowania polimeru zastosowano
model zaproponowany przez Arrudę i Boyce [2,3], który implementowano we
własnym programie numerycznym. Schemat reologiczny odpowiadający modelowi
Arrudy-Boyce jest przedstawiony na rys. 1. Zbudowany jest on przez szeregowe
połączenie spręŜyny (e) reprezentującej zachowanie spręŜyste i elementu KelvinaVoigta (p) reprezentującego własności reologiczne (plastyczne).
Network e
µ e , λe
µ, λ
η
Network p
Rys. 1. Schemat reologiczny modelu ArrudyBoyce
Rys. 2. Krzywe napręŜenie-odkształcenie
dla badanego polimeru
Rysunek 2 przedstawia krzywe napręŜenie–odkształcenie dla jednoosiowego
ściskania uzyskane za pomocą implementowanego modelu zestawione z krzywymi
doświadczalnymi dla badanego polimeru w temperaturze 25oC przy róŜnych
prędkościach odkształcenia. Są to typowe krzywe dla amorficznego polimeru.
Posiadają wyraźną granicę plastyczności z następującym osłabieniem, następnie
występuje zakres stabilnego płynięcia oraz umocnienia materiału związany z
uporządkowaniem łańcuchów cząsteczek polimeru wzdłuŜ kierunku obciąŜenia.
Przy wykorzystaniu przedstawionego powyŜej modelu polimeru przeprowadzono
symulację numeryczną tłoczenia puszki cylindrycznej z wykrojki o średnicy 150 mm
z blachy pokrytej polimerem. ZałoŜono doskonałą przyczepność między stalą a
polimerem. Problem traktowano jako izotermiczny zakładając, Ŝe wzrost temperatury
jest nieznaczny i nie wpływa znacząco na właściwości materiałów. Wyniki są
przedstawione na rys. 3, więcej szegółów zamieszczono w pracy [4].
Rys. 3. Wytłoczka puszki z rozkładem zmian grubości w róŜnych etapach tłoczenia
Symulacja numeryczna nieliniowych procesów deformacji ...
3
2. Analiza wraŜliwości i optymalizacja procesów tłoczenia blach
WraŜliwość procesu tłoczenia blachy na parametry kształtu wymaga odwzorowania funkcjonału mocy wirtualnych opisującego zachowanie deformowanej blachy do
konfiguracji odniesienia. Po linearyzacji odwzorowanego funkcjonału gradienty pól
prędkości względem wektora parametrów kształtu h przyjmują postać
T
K
 dµ *
dq&
dB 
 dB 
 dJ 
q& JdΩo − ∫ 2µ *   Bq& JdΩo − ∫ 2µ *BT Bq&  dΩo
= − ∫ 2BT 
B + µ*
dh
d
h
d
h
d
h
 
 dh 


Ωo
Ωo
Ωo
 dB 
 d (∂J ) 
− ∫   pIJdΩo − ∫ BT pI
dΩo
dh 
 dh 
Ωo 
Ωo
T
(1)
gdzie K jest macierzą sztywności, B macierzą wiąŜąca prędkości odkształceń z prędkościami, µ* jest funkcją konstytutywną sztywno–lepkoplastycznego modelu materiału, J wyznacznikiem macierzy Jacobianu. Całkowanie dotyczy powierzchni blachy Ω0
w konfiguracji odniesienia utoŜsamianej z powierzchnią blachy w konfiguracji początkowej. W plastyczności wpływ pola ciśnień p na pole prędkości q& moŜe być pominięty i dwa ostatnie wyraŜenia w równaniu (1) znikają.
Prezentowany przykład dotyczy optymalizacji długości zastępczego elementu
progu ciągowego, przy uŜyciu analizy wraŜliwości Metodą Bezpośredniego RóŜniczkowania. Geometria ¼ układu, z zaznaczeniem linii zastępczych progów ciągowych
pokazana jest na rysunku 4. Przyjęto początkową grubość blachy równą 0.81 [mm],
współczynnik tarcia opisany prawem Coulomba równy 0.162. Siła docisku dociskacza
dla ¼ układu wynosiła 4:9 [kN], a głębokość tłoczenia 35 [mm]. Jako funkcję celu w
zadaniu optymalizacji przyjęto róŜnicę prędkości dwóch wybranych węzłów blachy o
Rys. 4.
Wymiary ¼ układu.
Rys. 6. ŚcieŜka optymalizacji w przestrzeni
projektowej.
Rys. 5. Pole wraŜliwości dq& x / dh w węzłach dyskretyzowanej blachy.
Rys. 7.
WraŜliwość funkcji celu.
4
T. Bednarek, I. Marczewska, A. Marczewski, J. Rojek, W. Sosnowski
numerach 745 i 750 leŜących w bezpośrednim sąsiedztwie progu ciągowego.
Φ = q& (x745) − q& (x750 )
(2)
Zmienną projektową h była długość linii zastępczego progu ciągowego. Ze względu
na symetrię przyjęto, Ŝe długości obydwu progów ciągowych zmieniają się w jednakowy sposób. Przyjęto następujące ograniczenia na zmienną projektową: 5≥ h≥25
[mm]. WraŜliwości funkcji celu liczone były jako
x
x
dΦ dq& (745) dq& (750)
=
−
dh
dh
dh
(3)
Wyniki analizy wraŜliwości wykorzystane są bezpośrednio w optymalizacji długości progu ciągowego. Rysunek 5 przedstawia rozkład pola wraŜliwości prędkości w
węzłach dyskretyzowanej blachy na zaburzenia długości progu ciągowego h w kierunku osi x. Na rysunku tym zaznaczono równieŜ schematycznie połoŜenie węzłów
745 i 750, oraz linii progów ciągowych. Na rysunku 6 przedstawiono wartości funkcji
celu w kolejnych krokach optymalizacji, zaś na rysunku 7 wartości gradientów funkcji
celu. Optymalne długości progów ciągowych wyniosła 15 mm.
3. Zastępcza amplituda napręŜenia w analizie zmęczeniowej
Jako metodę uwzględnienia wpływu napręŜenia średniego w analizie
zmęczeniowej proponujemy wykorzystanie tzw. zastępczej amplitudy napręŜenia,
które pozwala wykorzystać wyniki standardowych testów Wöhlera w analizie
zmęczeniowej konstrukcji metodą elementów skończonych. Dzięki wyprowadzonym
zaleŜnościom łatwiej będzie stosować normę europejską EN 13445 określającą
sposoby obliczeń wytrzymałości zmęczeniowej. Autorzy tej normy zwracają uwagę na
jej braki wynikające z niedostatecznego powiązania obliczeń analitycznych i
numerycznych w dotychczasowych uregulowaniach EN 13445.
W ujęciu inŜynierskim analiza zmęczeniowa polega na porównywaniu napręŜeń
S
S
powstających w układzie ze
S
S
skatalogowanymi
krzywymi
R=-1
R=-1
S
Goodman
diagram
S
==f f SS
Wykres
Goodmana
SS
Wöhlera.
Krzywe
te
w
R=-0.5
R=-0.5
Wöhler curve S (N) for R=-1
Krzywa
S-N S (N) for R=-1
SS
przewaŜającej części przygotowane
są dla specyficznego charakteru
working
point
S
punkt
pracy
S
obciąŜenia, w którym zakres
SS
SS
Wöhler curve for R=-0.5
napręŜeń waha się od -Smax do Smax
R=-0.5
S
=f S
m
S
=f S
oraz napręŜenie średnie S = 0. W
SS
tej postaci krzywe S – N
SS
NN
traktowane
są
jako
stałe
NN
NN
NN
SS
SS
materiałowe. Zastosowanie ich w Rys. 8 Transformacja wartości napręŜeń Sa i Sm określoobliczeniach
rzeczywistych nych na wykresie Goodmana do przestrzeni (Sa,N) reprea
a
ai
ai (R=-1)
(R=-1)
a
a
i
i
u
ai
ai (R=-1)
(R=-1)
u
ae
ae (R=-1)
(R=-1)
a
a
ai
ai (R=-0.5)
(R=-0.5)
a
a (R=-0.5)
(R=-0.5)
at
at (R=-1)
(R=-1)
at
at (R= -1)
(R= -1)
t
t
u
u
at
at (R=-0.5)
(R=-0.5)
m
m
i
i
t
t
zentowanej krzywą Wöhlera.
m
m (R=-0.5)
(R=-0.5)
u
u
Symulacja numeryczna nieliniowych procesów deformacji ...
5
konstrukcji wymaga uwzględnienia wartości napręŜenia średniego Sm [8].
W celu uwzględnienia napręŜenia średniego wprowadzono współczynnik
asymetrii cyklu:
R=
S min
S max
(4)
gdzie wartość Smin nie jest związana z wartością Smax. Jeśli Smin = - Smax, R = –1.
Z doświadczeń wynika, Ŝe wartość Sm ma wpływ na czas pracy konstrukcji. Niezbędne
jest więc uwzględnienie napręŜenia średniego w badanych układach gdy R ≠ –1.
Zachodzi potrzeba wprowadzenia zastępczego napręŜenia, które byłoby porównywane
z klasycznymi wykresami S – N a uwzględniałoby skutki napręŜenia średniego.
W tym celu uŜyty moŜe być wykres Goodmana (rysunek 8). Przedstawia on zaleŜność
pomiędzy napręŜeniem średnim Sm a amplitudą napręŜenia Sa. Wykres Goodmana i
jego wariacje mogą być opisane wzorem [9]:
S
a
( R ≠ −1)
=S
ae
( R = −1)
  S m n 
 
1 − 
  Su  
(5)
gdzie Sae jest zastępczą amplituda napręŜenia dla R = -1, Su wytrzymalościa materiału,
natomiast n wykładnikiem w wzorze Goodmana. ZaleŜność ta pozwala na obliczenie
zastępczej amplitudy napręŜenia uwzględniającej napręŜenie średnie.
Korzystając z zastępczej amplitudy napręŜenia moŜna obliczyć przewidywaną
liczbę cykli do zmęczenia dla dowolnego schematu obciąŜenia.
4. Analiza zmęczeniowa cylindra hydraulicznego
W przykładzie przeprowadzono zmęcze-niową analizę numeryczną cylindra hydraulicznego pokazanego na rysunku 9. Cylinder ma dwa porty olejowe. Wykonany jest ze
stali St52 o następujących własnościach
Tabela 1
materiałowych: gęstość ρ = 7800 [kg/m3], Liczba cykli do zmęczenia w strefach krytycznych cylindra
moduł
Younga
E
=2.10E11
[Pa],
numer strefy
współczynnik Poissona ν =0.3, napręŜenie
1
2
3
4
5
pla-stycznego płynięcia Re = 350 [MPa],
S (max
R=0 )
350.0 219.0 255.0 130.0 352.0
wytrzymałość materiału Su = 520 [MPa].
[MPa]
Mak-symalne ciśnienie wewnątrz cylindra
S (aR=0 )
175.2 109.3 127.3 65.3
175.8
wynosi 10 [Mpa]. Współczynnik asymetrii
[MPa]
cyklu wynosił R = 0.
S (mR = 0 )
175.2 109.3 127.3 65.3
175.8
Liczba cykli do zmęczenia określana była
[MPa]
jako punkt przecięcia krzywej amplitudy
S(aeR= −1) 254.2 138.5 168.5 74.6 265.7
napręŜenia
(przekształconej
do
[MPa]
symetrycznego schematu obciąŜenia R = –1)
N
5.28E5 >2E6 >2E6 >2E6 4.97E5
6
T. Bednarek, I. Marczewska, A. Marczewski, J. Rojek, W. Sosnowski
Rys. 9. Geometria cylindra.
Rys. 10. Strefy naraŜone na pękanie zmęczeniowe.
z krzywą Wöhlera.
Podczas obliczeń numerycznych zidentyfikowano pięć stref krytycznych cylindra
pokazanych na rysunku 10. W tabeli 1 przedstawiono wartości napręŜenia
maksymalnego, amplitudy naprę-Ŝenia, napręŜenia średniego dla R = 0 i R = -1, i
ilość cykli do zmęczenia w kaŜdej z pięciu stref krytycznych. Wartości napręŜenia
maksymalnego w strefach 1 i 5 są niemal identyczne. Punkty pracy dla stref 1 i 5 leŜą
powyŜej prostej Goodmana, natomiast punkty pracy dla pozostałych stref leŜą poniŜej,
w obszarze bezpiecznym. Zniszczenie zmęczeniowe nastąpi w strefach 1 i 5. W
pozostałych strefach zmęczenie nie pojawi się.
4. Podsumowanie
W pracy zaprezentowano kilka nowych wyników uzyskanych w ramach
współpracy europejskiej i dotyczących tłoczenia blach pokrytych polimerem oraz
zastosowań ścisłych metod analizy wraŜliwości i analizy zmęczeniowej. Z uwagi na
ograniczoną objętość pracy wiele waŜnych informacji zostało pominiętych.
LITERATURA
[1]
Asadov M.M., Babanly M.B., Kuliev A.A.: Izv. AN SSSR, Neorg. Mater., 13, 1977, 1407.
[2]
Boyce M.C., Parks D.M., Argon A.S.: Mechanics of Materials, 7, 1988, 15.
[3]
Arruda E.M., Boyce M.C.: Int. J. of Plasticity, 9, 1993, 697–720.
[4]
Rojek J.: Informatyka w Technologii Materiałów, 5, 2005, 95.
[5]
Marczewski A.: Optymalizacja procesów tłoczenia blach oparta na symulacji numerycznej i ścisłych metodach analizy wraŜliwości, Rozprawa Doktorska, IPPT PAN, Warszawa, 2004.
[6]
Sosnowski W.: Symulacja numeryczna, analiza wraŜliwości i optymalizacja nieliniowych procesów
deformacji konstrukcji, Wydawnictwo Akademii Bydgoskiej, 2003.
[7]
Sosnowski W., Marczewska I., Marczewski A.: J. Mater. Process. Tech., 124, 2002, 319.
[8]
Kocańda S.: Zmęczeniowe pękanie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1985.
[9]
Frost N. E., Marsh K. J., Pook L. P.: Metal fatigue, Dover publications, INC, Mineola, New York,
1999.
[10] Marczewska I., Bednarek T., Marczewski A., Sosnowski W., Jakubczak H., Rojek J.: J. of Fatigue,
(w druku) dostępne online, 7 marzec 2006r.
[11] European Norm EN 13445. Unfired pressure vessels, chapter 18: detailed assessment of fatigue
life. Available from: http://www.unm.fr/en/general/en13445/default.htm.
We thanks the financial support of the EC project PROHIPP inside the sixth framework programme, prioryty 3NMP FP62002-NMP-2-SME, research area 3.4.3.1.5.