4. Planimetria

Transkrypt

4. Planimetria

Planimetria – poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/)
1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu opisanego ma długość 19 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
http://www.zadania.info/d18/117565
2. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o obwodzie 40 ma długość 17. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
3. Dany jest trójkąt, w którym suma długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok jest równa 8. Funkcja przyporządkowuje długości tego boku – pole trójkąta. Wyznacz wzór tej funkcji, jej dziedzinę, największą wartość, oraz zbiór
wartości funkcji.
4. Na bokach
i
Udowodnij, że |
równoległoboku
| = | |.
zbudowano kwadraty
i
(zobacz rysunek).
5. Obwód czworokąta wypukłego
jest równy 50 cm. Obwód trójkąta
jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej
.
jest równy 46 cm, a obwód trójkąta
6. Miary kątów trójkąta są w stosunku 1:2:3. Obwód koła opisanego na tym trójkącie jest równy 12 . Oblicz pole tego
trójkąta.
7. Romb o kącie ostrym 30° jest opisany na okręgu o promieniu 2. Oblicz pole tego rombu.
8. Znajdź długości przekątnych rombu o boku 29 jeżeli wiadomo, że ich różnica długości jest równa 2.
9. W trapezie kąty przy dłuższej podstawie to 60° i 30°, a długość wysokości trapezu wynosi 6. Oblicz pole trapezu oraz
długości jego podstaw wiedząc, że suma długości ramion jest równa sumie długości podstaw.
10. Stosunek długości przekątnych rombu o boku 17 cm jest równy 5:3. Oblicz pole rombu.
11. Wierzchołki kwadratu
połączono ze środkami jego boków (zobacz rysunek) i otrzymano w
ten sposób mniejszy kwadrat
. Oblicz, jaki jest stosunek obwodów kwadratów
i
.
12. Przez wierzchołek
i
prostokąta
w punktach
i
poprowadzono prostą, która przecięła proste
|
odpowiednio. Wykaż, że |
|
|
|
+|
|
|
= 1.
13. Uzasadnij, że jeżeli prostokąt
nie jest kwadratem, to punkty przecięcia dwusiecznych jego
kątów wewnętrznych są wierzchołkami kwadratu.
14. Udowodnij, że w trójkącie równoramiennym środkowe poprowadzone do równych boków są równej długości.
15. Boki prostokąta
mają długości 5 i 12. Oblicz odległość wierzchołka
od przekątnej
.
16. W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 3√3.
17. W trapezie równoramiennym stosunek długości podstaw jest równy 3: 4, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej
podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 7√35.
18. W trójkącie równoramiennym podstawa
ma długość 8 cm. Promień okręgu, stycznego w punktach
stych zawierających ramiona
i
trójkąta, ma długość 5 cm. Oblicz pole trójkąta
.
i
do pro-
19. Punkty , ,
dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 2: 3: 4. Oblicz miary kątów trójkąta
20. Punkty , , leżą na okręgu o środku " i dzielą ten okrąg na trzy łuki, których stosunek długości jest
równy 3: 4: 5. Oblicz miary kątów trójkąta
.
21. Punkty , , dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 5: 6: 7. Oblicz miary kątów
trójkąta
.
.
22. Punkty #, $, % dzielą okrąg na trzy łuki #$, $% i #%. Długości łuków #$, $% i #% pozostają w stosunku 1: 2: 3. Oblicz
miary kątów trójkąta #$%.
23. Punkt % jest środkiem okręgu wpisanego w trapez
(
∥
). Wykaż, że trójkąt %
jest prostokątny.
24. Przyprostokątne trójkąta
39. Oblicz pole trójkąta
mają długości 10 i 24. Przeciwprostokątna trójkąta
' podobnego do niego ma długość
'.
25. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego
mają długości 9 i 40. Najdłuższy bok tego trójkąta jest równy najkrótszemu bokowi trójkąta ' podobnego do trójkąta
. Oblicz pole trójkąta '.
26. Trójkąty prostokątne
i
są podobne. Przyprostokątne trójkąta
trójkąta
ma długość 26. Wyznacz pole trójkąta
.
mają długości 5 i 12, a przeciwprostokątna
27. Z punktu leżącego na okręgu poprowadź cięciwę
znacz miary kątów wewnętrznych trójkąta
.
o długości równej promieniowi okręgu oraz średnicę
. Wy-
28. Pole rombu jest równe 60 cm2. Dłuższa przekątna rombu podzieliła kąt ostry rombu na takie dwa kąty o mierze (, że
+
tg ( = ,-. Oblicz długość boku rombu.
29. Uzasadnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem
prostym.
30. Odcinek
| |=|
jest wysokością przedstawionego na rysunku trójkąta równoramiennego
|. Udowodnij, że |∢
| = 2|∢
|.
, w którym
31. Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu.
32. Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 6 cm i 20 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu.
33. Dany jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30°. Oblicz obwód trójkąta, jeżeli przeciwprostokątna ma
długość 12 dm.
Zad. 34.
34. Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym
. Kąt
% jest trzy razy większy
od kąta
%, a kąt
% jest dwa razy większy od kąta
%. Oblicz kąty trójkąta
.
35. Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym
. Kąt
większy od kąta
%, a kąt
jest o 10° większy od kąta
%. Oblicz kąty trójkąta
Zad. 35.
jest dwa razy
.
36. W trójkącie równobocznym bok jest o 6 cm dłuższy od wysokości trójkąta. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.
37. W trójkącie równobocznym wysokość jest o 3 cm krótsza od boku trójkąta. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.
38. Bok
czworokąta
wodnij, że| |/ + |
|/
wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udo= | |/ + | |/ .
39. W trójkącie
sposób, że |
, w którym | | = | | połączono wierzchołek punktem na boku
| = | |. Wyznacz miary kątów trójkąta
| = 18°.
jeżeli |∢
w ten
Zad. 38.
40. W rombie jedna z przekątnych jest dłuższa od drugiej o 3 cm. Dla jakich długości przekątnych pole rombu jest większe
od 5 cm2?
41. Na przekątnej
równoległoboku
obrano dowolny punkt #. Wykaż, że pola trójkątów # i
# są równe.
#i
# są równe.
42. Na przekątnej
równoległoboku
obrano dowolny punkt P. Wykaż, że pola trójkątów
43. Czy istnieje taki wielokąt, który ma 2 razy więcej przekątnych niż boków?
44. Do dwóch okręgów o promieniach długości 3 cm i 10 cm poprowadzono wspólną styczną tak, że okręgi znajdują się po
różnych stronach tej stycznej. Odległość między środkami okręgów wynosi 39 cm. Oblicz długość odcinka między
punktami styczności.
45. W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, ramię ma długość 7 cm, a przekątna 8 cm. Oblicz długości podstaw trapezu wiedząc, że odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 4 cm.
46. Punkt E leży na ramieniu
trapezu
, w którym
∥
. Udowodnij, że |∢
| = |∢
| + |∢
|.
47. Dany jest trójkąt
gdzie |∢
2
| = 90°. Wiadomo, że tg ( = . Podaj wartości pozostałych funk-
cji trygonometrycznych kąta (.
gdzie |∢
3
| = 90°. Wiadomo, że tg ( = . Podaj wartości pozostałych funk-
cji trygonometrycznych kąta (.
49. Dane jest koło o promieniu długości 16 cm. W kole tym poprowadzono cięciwę opartą na łuku odpowiadającym kątowi
środkowemu o mierze 120°. Znajdź odległość tej cięciwy od środka koła.
50. Dany jest trójkąt prostokątny, w którym 4, 5 oznaczają długości przyprostokątnych, ( jest miarą kąta ostrego leżącego
naprzeciw przyprostokątnej 4. Wiadomo, że sin ( =
a) Tangens kąta (;
;
√,9
.
,9
Oblicz:
=>
b) Wartość wyrażenia 3 ∙ ;<= + 2 ∙ ;> ?=>.
51. Podaj wymiary prostokąta, którego boki różnią się o 6 cm, a przekątna ma długość 30 cm.
52. Liczby @ − 1; @; 5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz @.
53. Z punktu leżącego na okręgu o promieniu C = 6 cm i środku " poprowadzono dwie równej długości cięciwy
tworzące kąt 30°. Oblicz pole czworokąta
" .
i
54. Jaki warunek musi spełniać liczba @, aby istniał trójkąt o bokach 2@, @, 4?
55. Dany jest trójkąt równoboczny
| | = | |.
. Okrąg o średnicy
przecina bok
w punkcie
. Wykaż, że
56. Punkt M jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego
. Punkt D jest punktem wspólnym przekątnej
i wysokości
opuszczonej na dłuższą podstawę
. Wykaż, że
| '|/ = |'D| ∙ |' |.
57. Na zewnątrz kwadratu
Uzasadnij, że proste
i
na bokach
i
są prostopadłe.
zbudowano trójkąty równoboczne
i
.
58. Dany jest trójkąt prostokątny o polu 2√3 i kącie ostrym 30°. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
59. Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest E boków i E ≥ 3 wyraża się wzorem #G =
GHG<2I
.
/
a) Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
b) Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.
c) Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
d) Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków.
60. Kąt ostry między przekątnymi równoległoboku
ma miarę 60°. Przekątna
prostopadła do boku
. Oblicz długości boków równoległoboku.
ma długość 6, a przekątna
jest
61. Przez środek % okręgu wpisanego w trójkąt
poprowadzono prostą równoległą do boku
która przecina boki
i
odpowiednio w punktach i . Wykaż, że: | | = | | + | |.
,
62. Krótsza przekątna rombu o długości 8√3 cm dzieli go na dwa trójkąty równoboczne. Oblicz pole rombu.
63. W okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cięciwy o długościach 6 i 8. Oblicz odległość między tymi
cięciwami.
64. Dany jest trójkąt o wymiarach 4 = 8 cm, 5 = 12 cm, J = 16 cm. Oblicz obwód trójkąta podobnego w skali 5.
,
65. Dany jest trójkąt o wymiarach 4 = 8 cm, 5 = 12 cm, J = 16 cm. Oblicz obwód trójkąta podobnego w skali 2.
66. W trójkącie równobocznym
i '.
'. Oblicz stosunek pól trójkątów
połączono środki wysokości otrzymując trójkąt
67. Liczby 4, 10, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz J.
68. Liczby 6, 12, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz długość boku J.
69. Liczby 3, 7, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz długość boku J.
70. Przekątne czworokąta
są prostopadłe. Wykaż, że |
|/ + |
|/ = |
|/ + |
|/.
71. Dany jest prostokąt
. Okręgi o średnicach
że punkty , #, leżą na jednej prostej.
i
przecinają się w punktach
i #. Wykaż,
72. Dany jest równoległobok
. Okręgi o średnicach
Wykaż, że punkty , , leżą na jednej prostej.
i
i .
73. Punkty i są punktami wspólnymi dwóch okręgów, a odcinki
że punkt leży na prostej przechodzącej przez punkty i .
i
ich średnicami. Wykaż,
74. Wykaż, że wysokość
trójkąta prostokątnego
poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki
i
, których stosunek długości jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych odpowiednio
i
tego trójkąta.
75. Na zewnątrz kwadratu
na bokach
sadnij, że trójkąt
jest równoboczny.
i
zbudowano trójkąty równoboczne
i
. Uza-
76. Różnica kwadratów długości przekątnych trapezu prostokątnego wynosi 21, jego wysokość ma długość 4, a dłuższe ramię ma długość 5. Oblicz pole trapezu.
77. Na zewnątrz trójkąta prostokątnego
| | = 12 zbudowano kwadrat
Oblicz pole trójkąta
.
| = 90° oraz | | = 5,
, w którym |∢
| = 90°.
. Punkt
leży na prostej
i kąt |∢
78. Na rysunku przedstawiono kwadrat
odcinki
i
są prostopadłe.
. Punkty
i
są środkami boków
i
. Uzasadnij, że
79. Punkt jest środkiem boku
prostokąta
, w którym |
| = 90°. Udowodnij, że |∢
| = |∢
|.
oraz |∢
|>|
|. Punkt
leży na boku
tego prostokąta
80. Punkt #, będący punktem wewnętrznym trójkąta
, przekształcamy przez symetrię względem prostych zawierających boki
,
i
otrzymując odpowiednio punkty #, , #/ , #2 . Udowodnij, że pole sześciokąta #, #/ #2 jest dwa
razy większe od pola trójkąta
.
81. Krótsza podstawa trapezu ma długość 2, a ramiona długości 2√2 i 4 tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 45° i
30°. Oblicz pole trapezu.
82. W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona do podstawy ma długość 6√6. Ramię jest o 30% krótsze od
podstawy. Oblicz obwód tego trójkąta.
83. O ile procent zmniejszy się pole rombu, jeśli jedną przekątną rombu zwiększymy o 20%, a drugą przekątną skrócimy o
40%?
84. Wyznacz wymiary prostokąta o obwodzie 36 cm, którego pole jest największe.
85. Z drutu o długości 200 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta
było największe?
86. Z drutu o długości 320 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta
było największe?
;
87. Z wierzchołków kwadratu o boku 4, jako ze środków zakreślono 4 okręgi o promieniu /. Znajdź promienie okręgów
stycznych do tych czterech okręgów jednocześnie.
| = 70° połączono środek okręgu wpisanego " z wierzchoł88. W trójkącie
, w którym |∢
kami i . Oblicz miarę kąta " .
89. Dany jest trapez prostokątny (zobacz rysunek). Wyznacz obwód tego trapezu, jeżeli miara
kąta przy wierzchołku wynosi 30°.
90. Punkt ' leży wewnątrz prostokąta
(zob. rysunek).
/
/
/
Udowodnij, że: | '| + | '| = | '| + | '|/ .
91. Dany jest kwadrat
. Przekątne
odcinków – odpowiednio –
,
| D| = |
2
i
i
. Punkty
przecinają się w punkcie . Punkty
i D leżą na przekątnej
| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta
i ' są środkami
tak, że |
,
2
|= |
| i
'D do pola kwadratu
jest równy 1:3.
92. Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych 4 zbudowano
kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt 'D#. Wykaż, że pole trójkąta 'D# jest równe 4/ .
93. Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych figur ma większe pole.
94. W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy 4 = 12 cm i wysokości ℎ = 18 cm. W trójkąt ten wpisano
prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokąta leżą na podstawie, a po jednym na każdym ramieniu trójkąta,
przy czym przekątne prostokąta są równoległe do ramion trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta.
95. Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre α i β są takie, że
2
3
cos ( = 3 i tg O = 2.
96. Suma pól dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 234 cm2. Oblicz promienie tych kół, jeżeli wiadomo, że obwód
większego koła jest o 400% większy od obwodu mniejszego koła.
97. Oblicz pole trójkąta równoramiennego, w którym odległość wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej jest równa 5 cm.
98. Wysokość trapezu równoramiennego ma długość √6, a jedna z podstaw jest trzy razy dłuższa od drugiej. Oblicz pole
trapezu wiedząc, że sinus jego kąta ostrego jest równy 0,2.
99. Wykaż, że jeśli przekątna trapezu równoramiennego zawiera się w dwusiecznej jego kąta ostrego, to ramię jest równe
krótszej podstawie.
100. Obwód trapezu równoramiennego wynosi 32 cm. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę na dwa odcinki o długościach 3 cm i 11 cm. Oblicz pole trapezu.
101. Obwód trapezu równoramiennego wynosi 50 cm. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę na dwa odcinki o długościach 5 cm i 12 cm. Oblicz pole trapezu.
102. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że pola tych trójkątów, w których jeden z boków jest ramieniem
trapezu, są równe.
103. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że stosunek pól tych trójkątów, w których jeden z boków jest podstawą trapezu, jest równy stosunkowi kwadratów długości podstaw trapezu.
104. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że stosunek pól trójkątów takich, że bokiem jednego jest ramię trapezu, a bokiem drugiego jest podstawa trapezu, jest równy stosunkowi długości podstaw trapezu.
105. Na sześciokącie foremnym opisano okrąg i w ten sześciokąt wpisano okrąg. Pole powstałego pierścienia jest równe
2 dm2. Oblicz pole powierzchni wielokąta.
106. Punkty
trójkąta
P
,
P
, ′ są środkami boków trójkąta
.
. Pole trójkąta ′ ′ ′ jest równe 4. Oblicz pole
107. Suma kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 240°. Oblicz miarę kąta środkowego.
108. Suma kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 330°. Oblicz miarę kąta wpisanego.
109. Oblicz pole rombu, którego jeden z kątów wewnętrznych wynosi 120°, a przekątna poprowadzona z wierzchołka tego
kąta ma długość 10 cm.
, w którym | | > | |. Na bokach
i
tego trójkąta obrano
odpowiednio takie punkty i , że zachodzi równość | | = | |. Proste
i
prze| = |∢
| − 2|∢
|.
cinają się w punkcie (zobacz rysunek). Wykaż, że: |∢
111. Wykaż, że jeżeli pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest
równoramienny.
razy większe od pola trójkąta, to trójkąt ten jest
112. W trójkącie równoramiennym
, w którym | | = | | = 10 cm, wysokość poprowadzona z wierzchołka
równa 5 cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Odpowiedź podaj w stopniach.
jest
113. Prosta przechodząca przez wierzchołek równoległoboku
przecina jego przekątną
/
w punkcie , a prostą
w punkcie . Udowodnij, że: | | = | | ∙ | |.
w punkcie
i bok
114. W trójkącie
ne.
połączono środki boków i otrzymano trójkąt ′ ′ ′. Uzasadnij, że trójkąty
i ′ ′ ′ są podob-
115. Punkty P , P , ′ są środkami odpowiednio boków
′ ′ ′ jest przystający do trójkąta
′ ′.
,
,
trójkąta
. Uzasadnij, że trójkąt
116. Trójkąty
i
są równoboczne (zobacz rysunek). Punkty , i leżą na jednej prostej. Punkty
, i ' są środkami odcinków
,
i
. Wykaż, że |∢ '| = 60°.
117. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki długości 1 cm i 49 cm.
Oblicz pole tego trójkąta.
118. Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o obwodzie 90 jest liczbą całkowitą i jest o 1 większa od długości
jednej z przyprostokątnych. Oblicz pole tego trójkąta.
119. Dwa przeciwległe boki kwadratu wydłużono dwukrotnie, a każdy z dwóch pozostałych skrócono o 3 cm. Pole otrzymanego prostokąta jest o 16 cm2 większe od pola kwadratu. Oblicz długości boków prostokąta.
120. Dwa przeciwległe boki kwadratu wydłużono trzykrotnie, a każdy z dwóch pozostałych wydłużono o 2 cm. Pole
otrzymanego prostokąta jest o 108 cm2 większe od pola kwadratu. Oblicz długości boków prostokąta.
121. Dwa okręgi o środkach %, i %/ przecinają się w punktach i , przy czym punkty %, i %/ leżą
po przeciwnych stronach prostej
. Miary kątów ∢ %, i ∢ %/ wynoszą odpowiednio 90° i
60°. Wyznacz stosunek
R
S
długości promieni tych okręgów.
122. Trójkąty prostokątne równoramienne
i
są położone tak, jak na poniższym rysunku (w
obu trójkątach kąt przy wierzchołku jest prosty). Wykaż, że | | = | |.
123. Oblicz pole rombu, w którym długość boku jest równa 13 cm, a długości przekątnych różnią się o 14 cm.
124. Obwód rombu jest równy 8√10 cm, a jedna z jego przekątnych jest o 8 cm dłuższa od drugiej. Oblicz pole rombu.
125. Dany jest romb o boku długości 35. Długości przekątnych tego rombu różnią się o 14. Oblicz pole tego rombu.
126. Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę 60°, promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 1. Oblicz
długości boków trójkąta.
127. W trapezie
długość podstawy
odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ∢
Oblicz obwód tego trapezu.
jest równa 18, a długości ramion trapezu
i
są
i∢
, zaznaczone na rysunku, mają równe miary.
128. Oblicz pole trójkąta równoramiennego
| | = 8, a długość odcinka | | = 6.
(patrz rysunek, |
|=|
|), w którym wysokość
(patrz rysunek, |
|=|
|), w którym wysokość
| | = 4, a długość odcinka | | = 3.
130. Podział odcinka, w wyniku którego otrzymujemy dwa odcinki takie, że stosunek długości krótszego z nich do długości
dłuższego jest równy stosunkowi długości dłuższego odcinka do długości wyjściowego odcinka, nazywamy złotym
podziałem odcinka.
a) Odcinek
podzielono na dwa odcinki o długościach 2√5 i 5 − √5. Rozstrzygnij, czy dokonano złotego podziału
odcinka
.
b) Dokonano złotego podziału odcinka o długości 2. Oblicz długości odcinków, na jakie podzielono dany odcinek.
131. Prosta T równoległa do boku
trójkąta
przecina boki
oraz
odpowiednio w
punktach i (rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta
wynosi 4 cm2, zaś pole trapezu
|
jest równe 8 cm2. Wykaż, że |
|
U|
= √3 − 1.
132. Prosta T równoległa do boku
Wiadomo, że pole trójkąta
trójkąta
przecina boki
2
wynosi 2 cm , zaś pole trapezu
oraz
odpowiednio w punktach
2
jest równe 8 cm . Wykaż, że
| |
| U|
i
(rysunek).
= √5 − 1.
133. Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego
ma miarę 30°. Uzasadnij, że pole trójkąta
jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta równobocznego o boku równym podstawie trójkąta
.
134. Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi
V √2
.
+
Wyznacz miarę kąta ostrego
rombu.
135. Oblicz pole wycinka koła o środku w punkcie
wynosi 2√2, a kąt ostry rombu ma miarę 45°.
(zacieniowany obszar) jeśli pole rombu
136. W kole o środku % poprowadzono cięciwę, która nie jest średnicą. Punkt
ściach 11 i 29. Odcinek % ma długość 15. Oblicz promień tego koła.
dzieli tę cięciwę na dwa odcinki o długo-
137. Trójkąt prostokątny
ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.
138. Punkty #, , #/ , #2 , … , #/2 , #/3 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt
punktem przecięcia cięciw #,, #// i #, #,X. Udowodnij, że |∢#,X #,, | = 60°.
jest
139. Długości boków równoległoboku są równe 6 i 10, a jego pole wynosi 36. Oblicz długości
przekątnych tego równoległoboku.
140. Dany jest równoległobok, którego obwód jest równy 50 cm. Stosunek długości jego wysokości wynosi 2:3, a stosunek
miar jego kątów wewnętrznych jest równy 1:2. Oblicz długości boków i wysokości tego równoległoboku.
141. Wykaż, że jeżeli każda przekątna czworokąta dzieli go na trójkąty o równych polach to czworokąt ten jest równoległobokiem.
H
I przekątne
142. W trapezie
∥
i
przecinają się w punkcie " takim, że
| "|: |" | = 5: 1. Pole ∆ " jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu
jest równe 72.
H
I przekątne
143. W trapezie
∥
i
przecinają się w punkcie " takim, że
| "|: |" | = 4: 1. Pole ∆ " jest równe 2. Uzasadnij, że pole trapezu
jest równe 50.
144. Na trójkącie równobocznym opisano drugi trójkąt równoboczny tak, że wierzchołki pierwszego trójkąta leżą na bokach drugiego. Boki obydwu trójkątów tworzą kąty 30°. Jakim procentem pola małego trójkąta jest pole dużego trójkąta?
145. W trapezie równoramiennym
przekątna
jest prostopadła do ramienia i tworzy z dłuższą podstawą
zu kąt o mierze 30°. Oblicz pole powierzchni tego trapezu wiedząc, że długość przekątnej
wynosi 12√3.
trape-
przekątna
jest prostopadła do ramienia. Kąt ostry trapezu ma miarę 60°. Oblicz pole powierzchni tego trapezu wiedząc, że długość przekątnej
wynosi 16√3.
147. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 20√3. Pole trójkąta jest równe 100√3. Oblicz obwód tego trójkąta i miarę kąta przy podstawie.
148. Oblicz sumę długości boków i pole trójkąta prostokątnego, w którym jedna z przyprostokątnych jest
równa 10 cm, a druga jest o 2 cm krótsza od przeciwprostokątnej.
149. Środek % okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym
, o ramionach
i
, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego ∢ % jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego ∢% .
150. Na środkowej
trójkąta
wybrano punkt . Wykaż, że trójkąty
i
mają równe pola.
151. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ma długość 3 dm, a długość promienia okręgu
wpisanego w trójkąt prostokątny wynosi 1 dm. Oblicz obwód tego trójkąta.
152. Oblicz sumę tangensów kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc że stosunek pola tego trójkąta do pola kwadra,
tu, którego bokiem jest przeciwprostokątna danego trójkąta wynosi X.
153. Stosunek pola trójkąta prostokątnego do pola kwadratu, zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta jest równy
,
.
+
Oblicz sumę tangensów kątów ostrych tego trójkąta.
154. W okrąg o środku % wpisany jest trójkąt równoramienny
o kącie między ramionami
i
równym 40°. Przez
wierzchołek i środek okręgu % poprowadzono prostą, która przecięła bok
trójkąta w punkcie
. Wyznacz miarę kąta
.
155. Przekątne podzieliły czworokąt na 4 trójkąty. Korzystając z podanych pól trzech z tych trójkątów,
wyznacz pole trójkąta
%.
156. W trójkąt równoboczny
Udowodnij, że trójkąt
wpisano trójkąt
jest równoboczny.
(patrz rysunek), tak że |
|=|
|=|
|.
157. W kwadracie połączono odcinkiem środki przeciwległych boków. Wiedząc, że przekątne tak utworzonych prostokątów dzielą się na odcinki długości 1, oblicz pole wyjściowego kwadratu.
158. Różnica promieni dwóch okręgów współśrodkowych jest równa 3. W okręgu o większym promieniu poprowadzono
cięciwę styczną do drugiego okręgu. Cięciwa ta ma długość 10. Oblicz długość promieni tych okręgów.
159. Proste zawierające ramiona
i
trapezu
przecinają się w punkcie %. Dane są: |
obwód trójkąta %
równy √18. Oblicz obwód trójkąta % .
| = 6, |
| = 2 oraz
160. Oblicz wysokość i przekątną trapezu równoramiennego o podstawach 21 cm i 11 cm oraz ramieniu równym 13 cm.
161. Dany jest trójkąt ostrokątny równoramienny
, w którym bok
jest równy
. Odcinek
jest wysokością tego
trójkąta, oraz odcinek
jest wysokością tego trójkąta. Udowodnij, że kąt
jest równy kątowi
.
162. W kwadrat
o boku długości 24 wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka łączącego wierzchołek ze środkiem boku
.
ramię ma długość 10. Obwód tego trapezu jest równy 40. Wiedząc, że tangens
kąta ostrego w trapezie
2
jest równy 3, oblicz długości jego podstaw.
ramię ma długość 13. Obwód tego trapezu jest równy
52. Wiedząc, że tangens kąta ostrego w trapezie
jest równy
,/
,
-
oblicz długości jego
podstaw.
165. W trójkąt
, w którym |∢
| = ( oraz |∢
punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami
| = O, wpisano okrąg. Punkty
,
i
. Wykaż, że |∢'
, , ' są
|=
Z?[
.
/
166. Wykazać, że odcinki łączące kolejne środki kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku tworzą także kwadrat.
167. Długość boku rombu jest równa 4, a długości jego przekątnych są równe \, i \/ . Oblicz miarę
kąta ostrego rombu jeżeli wiadomo, że 4 = ]\, \/ .
168. Długość boku rombu
rombu.
jest średnią geometryczną długości jego przekątnych. Oblicz miarę kąta ostrego tego
169. Z dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu o boku 2 zakreślono okręgi o promieniu 2. Oblicz pole „soczewki”
wyznaczonej przez te okręgi.
170. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z jego wierzchołków leży na przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary prostokąta, aby jego pole było możliwie największe.
171. Korzystając z danych przedstawionych na rysunku oblicz wartość wyrażenia
; ^ ?=^ ?;> _<H;?_I^
.
; ^ <=^?2;> =<_ ^
172. W równoległoboku, który nie jest prostokątem, krótsza przekątna dzieli go na dwa równoramienne trójkąty prostokątne. Krótszy bok równoległoboku ma długość 8. Oblicz pole tego równoległoboku.
173. Okręgi `, i `/ są styczne zewnętrznie oraz oba są styczne wewnętrznie do okręgu `2 . Środki
wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej, a cięciwa
okręgu `2 jest wspólną styczną
okręgów `, i `/ . Oblicz długość odcinka
jeżeli promienie okręgów `, i `/ są odpowiednio
równe C, i C/ .
174. Trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny mają ten sam obwód długości 10cm. Oblicz pole każdej z tych figur. Która z nich ma największe pole, a która najmniejsze?
175. W trapezie
mamy
∥
oraz | | > | |. Punkt " jest środkiem ramienia
wspólnym prostych
i " . Udowodnij, że pole trójkąta "% jest równe polu trójkąta "
, a punkt % jest punktem
.
176. W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa
równy
,
.
X
/ √2
.
2
Wykaż, że iloczyn sinusów tych kątów jest
177. W trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa
-
2
.
/
Wykaż, że iloczyn cosinusów tych kątów jest
równy +.
178. Liczby 6, 10, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz J.
179. W okręgu narysowano dwie średnice
i
. Udowodnij, że czworokąt
jest prostokątem.
180. Obwód prostokąta wynosi 60 cm. Jeśli krótszy bok prostokąta zwiększymy o 3 cm, a dłuższy skrócimy o 3 cm, otrzymamy kwadrat. Wyznacz kąt pomiędzy przekątną, a dłuższym bokiem prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do 1°.
181. Obwód prostokąta wynosi 32 cm. Jeśli krótszy bok prostokąta zwiększymy o 3 cm, a dłuższy skrócimy o 3 cm, otrzymamy kwadrat. Wyznacz kąt pomiędzy przekątną, a dłuższym bokiem prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do 1°.
182. W trójkącie
poprowadzono odcinki
środkami odpowiednio odcinków
,
i
jest równe 2.
,
i
w ten sposób, że punkty , i są
. Oblicz pole trójkąta
jeżeli pole trójkąta
183. Podstawa trójkąta równoramiennego i środkowe poprowadzone z jej końców mają długość 4. Oblicz długość wysokości poprowadzonej do podstawy.
184. W trójkącie
miara kąta
jest dwa razy większa od miary kąta
. Dwusieczna kąta
na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta
.
dzieli trójkąt
185. Dany jest trójkąt prostokątny
opisanego na tym trójkącie.
o przeciwprostokątnej
I = 0,3 i |
, taki że sinH∢
| = 7. Oblicz pole koła
186. Na rysunku okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie
do okręgu o środku w punkcie . Wykaż, że jeśli | | = | |, to długość odcinka
jest równa
długości średnicy okręgu o środku w punkcie .
187. W pewnym trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa
/ √2
.
2
Oblicz iloczyn sinusów tych ką-
tów.
188. Suma sinusów kątów ostrych w pewnym trójkącie prostokątnym wynosi
2√.
-
Oblicz iloczyn sinusów tych kątów.
189. Wykaż, że w trapezie prostokątnym różnica kwadratów długości przekątnych równa jest różnicy
kwadratów długości podstaw.
190. Na kwadracie
opisano okrąg o promieniu C = 3 cm. Oblicz pole zacieniowanej figury.
191. Na kwadracie
opisano okrąg o promieniu C = 5 cm. Oblicz pole zacieniowanej figury.
192. Niech a, będzie trójkątem równobocznym o boku długości 4. Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne
a/ , a2 , a3 , … takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól trójkątów
a, , a/ , … , aX .
193. Wierzchołek trójkąta ostrokątnego
połączono odcinkiem ze środkiem " okręgu opisanego. Z wierzchołka
| = |∢" |.
poprowadzono wysokość
. Wykaż, że |∢
194. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta powstałego wskutek połączenia odcinkiem
wierzchołka kwadratu ze środkiem przeciwległego boku.
195. Trójkąt o bokach 6, 8 i 10 jest podobny do trójkąta o obwodzie 216. Oblicz długości boków drugiego trójkąta.
196. Trójkąt o bokach 12, 9 i 15 jest podobny do trójkąta o obwodzie 108. Oblicz długości boków drugiego trójkąta.
197. W trapezie
gość podstawy
ramię
.
i podstawa
mają długość 4, a ramię
i przekątna
mają długość 6. Oblicz dłu-
198. W kole poprowadzono cięciwę i średnicę. Cięciwa dzieli średnicę na odcinki o długościach 2 oraz 10 i tworzy z nią
kąt o mierze 30°. Oblicz odległość środka okręgu od cięciwy.
199. Z przeciwległych wierzchołków prostokąta poprowadzono odcinki prostopadłe do przekątnej. Odcinki te dzielą przekątną na trzy części. Każda z nich jest odcinkiem o długości 4 cm. Oblicz pole tego prostokąta.
200. Kąt wpisany w koło ma miarę 45° i jest oparty na łuku długości 3 . Oblicz pole wycinka koła wyznaczonego przez
ten sam łuk.
201. Punkty ,
domo, że
należą do jednego ramienia kąta o wierzchołku ", a punkty ,
∥
. Wyznacz | |, jeśli wiadomo, że | "| = 4, | | = 5, |
należą do jego drugiego ramienia i wia| = 12.
202. Na trójkącie o bokach długości √7, √8, √15 opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.
203. Z punktu # poprowadzono styczną do okręgu o środku " w punkcie oraz sieczną, która ma z
| = 85°.
tym okręgiem dwa punkty wspólne oraz . Wiadomo, że |∢# | = 55° oraz |∢
Oblicz miary kątów trójkąta # .
204. Dany jest trapez
o podstawach
|%
|
|%
|
każ, że:
∙
= |% | ∙ |% |.
i
. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie %. Wy-
205. Na dwusiecznej
trójkąta
, w którym |
jest większe od pola trójkąta
.
|>|
| wybrano punkt
. Wykaż, że pole trójkąta
206. Na bokach
Uzasadnij, że |
,
i
kwadratu
| + | '| = |
wybrano punkty
, , ' w ten sposób, że
∥
i '∥
.
|.
207. Wiedząc, że punkt jest środkiem odcinka
wykaż, że | | = | |.
, a punkt
jest środkiem odcinka
oraz |
|=|
|,
208. Na rysunku przedstawiono trapez
i trójkąt
Uzasadnij, że pole trapezu
i pole trójkąta
. Punkt
są równe.
leży w połowie odcinka
.
209. Na rysunku przedstawiono dwa koła o promieniu C = 2 takie, że środek każdego z kół leży na brzegu drugiego koła. Oblicz pole powierzchni zacieniowanej części tej figury.
210. Dwa styczne zewnętrznie okręgi o środkach i
, , nie są współliniowe. Oblicz obwód trójkąta
są styczne wewnętrznie do okręgu `H , 4I, przy czym punkty
.
211. Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
i
w punktach i . Proste
i
o bokach długości | | = 8, | | = 6, | | = 10 jest styczny do boków
przecinają się punkcie . Oblicz pole trójkąta
.
212. Przekątne czworokąta
są prostopadłe.
a) Wykaż, że sumy kwadratów przeciwległych boków tego czworokąta są równe.
b) Wykaż, że jeżeli długości jego boków
, , ,
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to czworokąt ten jest rombem.
213. Trójkąty równoboczne
i
są położone tak, jak na rysunku obok. Wykaż, że |
|=|
|.
214. Kwadrat , ma bok długości 4. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty / , 2 , 3 , … takie,
że kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz rysunek). Wyznacz pole kwadratu ,/ .
215. W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę (. Oblicz
sin ( ∙ cos (.
216. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości | | = 6, |
W = sin ( + cos (, gdzie ( jest najmniejszym kątem ostrym tego trójkąta.
| = 2. Wyznacz wartość wyrażenia
217. W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 3 i 5, a jeden z kątów ostrych ma miarę (. Oblicz
sin ( ∙ cos (.
218. Na okręgu o promieniu 5 opisano deltoid o obwodzie 60. Oblicz pole deltoidu.
H|∢
| = 90°, | | < | |I poprowadzono prostą przechodzącą przez wierzchołek
219. W trójkącie prostokątnym
trójkąta która przecina przeciwprostokątną w punkcie , takim, że | |: | | = 2: 1. Oblicz długość przeciwpro| = 30°.
stokątnej jeśli | | = √3 i |∢
220. W trójkącie
mamy dane |∢ | = 20° oraz |∢ | = 60°. Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Oblicz miary kątów: ∢ % , ∢ % i ∢ % .
221. Wyznacz długości boków oraz miary kątów trójkąta prostokątnego jeżeli 5 = 12, ( = 60°.
222. Wyznacz długości boków oraz miary kątów trójkąta prostokątnego jeżeli 4 = 40, ( = 30°.
punkty i są odpowiednio środkami ramion
i
. Przekątna
przecina odcinek
w punkcie #. Wiedząc, że
| #| = 1 cm, |# | = 5 cm oraz wysokość trapezu jest równa 3 cm, oblicz długość
boków trapezu.
224. W trójkącie
poprowadzono dwusieczne kątów
kąt # jest rozwarty.
i
. Dwusieczne te przecinają się w punkcie #. Uzasadnij, że
225. W trójkącie ostrokątnym
że kąt
jest rozwarty.
proste
i
zawierają wysokości poprowadzone z wierzchołków
i . Uzasadnij,
. Odcinek
jest wysokością tego trójkąta, punkt jest środkiem boku
(tak jak na rysunku) i | | = | |. Udowodnij, że trójkąt
jest równoboczny.
227. W trapezie
połączono środek ' ramienia trapezu
wstałego trójkąta ' jest równe połowie pola trapezu
z końcami drugiego ramienia
.
. Wykaż, że pole po-
228. Różnica między polem koła opisanego na kwadracie a polem koła wpisanego w kwadrat jest równa 4 . Oblicz pole
kwadratu.
229. Oblicz pole kwadratu wiedząc, że różnica pól kół opisanego i wpisanego w ten kwadrat jest równa .
230. Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego wynosi 3:8, a środkowa poprowadzona do dłuższej przyprostokątnej ma długość 15.
a) Oblicz długość przyprostokątnych trójkąta.
b) Oblicz odległość środka ciężkości trójkąta od dłuższej przyprostokątnej.
, wysokość
ma długość 6 cm. Punkt
cinki. Wiedząc, że | | = 8 cm, oblicz pole trapezu
.
dzieli dłuższą podstawę
na dwa od-
232. Dwusieczne kątów wewnętrznych trapezu
/
/
/
(patrz rysunek). Wykaż, że |'D| − | | = |' | − | D|/.
, , ', D
233. Jeden kąt ostry trójkąta prostokątnego ma miarę (. Wyznacz długości boków tego trójkąta wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość ℎ.
| = |∢
234. Trójkąty
i
są prostokątne oraz |∢
jednej prostej. Punkty , i ' są środkami odcinków
Wykaż, że kąt ∢ ' jest prosty.
|. Punkty , i leżą na
,
i
(zobacz rysunek).
235. Trójkąty
i
są równoramienne i prostokątne. Punkty , , leżą na jednej
prostej, a punkty , , ' są środkami odcinków
, ,
(zobacz rysunek). Wykaż,
że |' | = |' |.
236. Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 9 cm2. Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie.
237. Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 6 cm2. Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie.
przekątna
jest prostopadła do ramienia
(zobacz rysunek). Podstawy trapezu mają długość: | | = 8 cm i | | = 4 cm. Oblicz pole oraz miary kątów trapezu.
przekątna
jest prostopadła do ramienia
(zobacz rysunek). Podstawy trapezu mają długość: | | = 12 cm i | | = 6 cm. Oblicz pole oraz miary kątów trapezu.
trzy odcinki
, ,
. Z wierzchołków i poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej
, każdy długości 4. Oblicz długość boków prostokąta.
dzielące ją na
241. Dany jest trójkąt prostokątny. Wykaż, że suma pól kół o średnicach będących przyprostokątnymi trójkąta jest równa
polu koła o średnicy równej przeciwprostokątnej.
242. Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Wykaż, że pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostokątnych.
243. Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku " i średnicach odpowiednio
i
(punkty
, , , , " są współliniowe). Punkt # leży na wewnętrznym półokręgu, punkt e leży na zewnętrznym półokręgu, punkty ", #, e są współliniowe. Udowodnij, że |∢ # | + |∢ e | = 180°.
244. W trójkącie ostrokątnym
bok
ma długość 18 cm, a wysokość
jest równa 15 cm. Punkt dzieli bok
tak, że | |: | | = 1: 2. Przez punkt # leżący na odcinku
poprowadzono prostą równoległą do prostej
, odcinając od trójkąta
trójkąt, którego pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta
. Oblicz długość odcinka
# .
245. Promień okręgu wpisanego w wycinek koła o kącie środkowym 60° ma długość 2. Oblicz pole tego wycinka.
246. Na przyprostokątnych
i
zbudowano, na zewnątrz trójkąta,
kwadraty
i
. Odcinek
przecina przyprostokątną
w punkcie , a odcinek
przecina przyprostokątną
w punkcie (zobacz rysunek). Udowodnij, że | | = | |.
247. W trójkącie równobocznym
o boku długości 4 i wysokości ℎ obrano punkt #, z którego
poprowadzono odcinki prostopadłe do boków tego trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków
jest równa długości ℎ.
248. Udowodnij, że jeżeli " jest środkiem okręgu, na którym leżą punkty , , , to O = 90° + (.
249. Odległości środków dwóch okręgów od wierzchołka kąta są równe 8 i 12. Okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z
nich jest styczny do obu ramion kąta. Oblicz długości ich promieni.
250. Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, wiedząc, że bok ten jest o 2 cm dłuższy od wysokości tego trójkąta.
251. Kwadratowe szklane płytki o boku długości 1 cm, połączone w jednym wierzchołku, rozsunęły się tak,
że boki wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ze sobą kąt 60°. Oblicz pole części wspólnej płytek. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 cm2.
252. Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 10 cm i 6 cm oraz przekątnej o długości 9 cm.
253. Wyznacz miary kątów trójkąta
:
254. Wyznacz miary kątów trójkąta
:
Zad. 253.
Zad. 254.
Zad. 255.
255. Dany jest okrąg o środku w punkcie ". Prosta
jest styczna do tego okręgu w punkcie , a środek " tego okręgu leży na odcinku ' (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt ' ma miarę 31°.
256. Wyznacz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 1 cm krótsza od boku tego trójkąta.
257. Wyznacz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 2 cm krótsza od boku tego trójkąta.
258. W trójkącie prostokątnym iloczyn sinusa jednego z kątów ostrych i tangensa drugiego kąta ostrego jest równy
,
.
/
Ob-
licz miary kątów ostrych tego trójkąta.
259. Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa 1. Oblicz długość przekątnej kwadratu.
260. Przekątna kwadratu jest o 1 dłuższa od jego boku. Oblicz pole i obwód tego kwadratu.
261. Proste
|
i
| = 3 oraz |
oraz
i
są równoległe. Oblicz długość odcinka
| = 4.
, jeżeli |
,
|=2 ,
/
262. Oblicz długości przekątnych sześciokąta foremnego o boku 1.
| | = 2| |.
równoległoboku
, a odcinek
przecina przekątną
w punkcie . Wykaż, że
264. Zadanie dotyczy trójkąta.
a) Uzasadnij, że jeśli długości boków trójkąta są równe: f/ − g / , 2fg i f/ + g / , gdzie f i g są liczbami dodatnimi takimi, że f > g, to trójkąt ten jest prostokątny.
b) Wyznacz wszystkie naturalne wartości f i g, dla których najkrótszy bok otrzymanego trójkąta ma długość 13.
265. Udowodnij, że jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z jego boków, to trójkąt ten jest prostokątny.
266. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego dzieli przeciwprostokątna na odcinki o
długościach 1 i 2. Oblicz długości boków tego trójkąta.
267. Wysokości równoległoboku mają długości 2 i 4. Oblicz pole równoległoboku wiedząc, że jego obwód wynosi 30.
268. Na okręgu o promieniu 9 opisano trójkąt równoramienny o kącie równym 120°. Oblicz długości boków trójkąta.
269. W trapezie
siecznej kąta
, w którym
. Wykaż, że |
∥
oraz |
| = | |.
|>|
|, przekątna
zawiera się w dwu-
270. Dany jest trójkąt o przyprostokątnych 12 i 5. Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
271. Dany jest trójkąt o przyprostokątnych 24 i 7. Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
272. Trójkąt
kątną
jest prostokątny. Punkt
oraz |
|=
,
|
2
jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprosto-
| (patrz rysunek). Wykaż, że |∢
| = 30°.
273. Punkt # leży wewnątrz prostokąta
# i # .
. Wykaż, że suma pól trójkątów # i #
jest równa sumie pól trójkątów
274. Oblicz kąt ostry rombu, wiedząc, że jego pole jest równe 24√2, a promień okręgu w niego wpisanego równy √6.
275. Na bokach
,
i
rombu
wybrano punkty , i ' w ten sposób, że
'∥
. Uzasadnij, że pole czworokąta ' stanowi połowę pola rombu.
∥
i
i h są równoległe do boku
276. Odcinki
ległe do boku
. Uzasadnij, że jeżeli
|Ui|
|ij|
trójkąta
=
|Uk|
,
|k |
to |
, a odcinki
i
|/ = |
|.
|∙|
są równo-
277. Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne oraz styczne wewnętrznie do trzeciego. Środki okręgów tworzą trójkąt równoramienny o bokach długości 1 i 2. Znajdź długości promieni tych okręgów (rozważ dwa przypadki).
278. W okrąg o promieniu 6 cm wpisano w sposób symetryczny cztery przystające okręgi. Oblicz ich promień.
279. Oblicz miarę kąta:
a) pięciokąta foremnego;
b) sześciokąta foremnego;
c) dziewięciokąta foremnego.
Zad. 280.
Zad. 282.
Zad. 281.
Zad. 283.
280. Punkt leży na boku
trójkąta równoramiennego
, w którym | | = | |. Odcinek
dzieli trójkąt
dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że | | = | | = | |. Oblicz miary kątów trójkąta
.
na
281. Punkty
.
i
są środkami boków
i
deltoidu
. Pole trójkąta
jest równe 3. Oblicz pole deltoidu
282. W trójkącie
dwusieczna kąta przecina bok
w punkcie '. Przez punkt ' prowadzimy prostą równoległą do
, przecinającą bok
w punkcie D (rys.). Udowodnij, że |'D| = | D|.
283. W trójkącie
dwusieczna kąta przecina bok
w punkcie #. Przez punkt # prowadzimy prostą równoległą do
, przecinającą bok
w punkcie $ (rys.). Udowodnij, że |#$| = | $|.
284. W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa
trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.
285. W trapezie prostokątnym krótsza przekątna ma długość ramienia trapezu i dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.
286. Przekątne trapezu o podstawach długości 1 i 2 są prostopadłe. Oblicz sumę kwadratów długości przekątnych trapezu.
. Udowodnij, że
3
H|
-
jest kątem prostym, poprowadzono środkowe
, w którym kąt przy wierzchołku
|/ + |
|/ I = |
i
|/ .
288. Liczby 6, 10, J są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz J.
289. W prostokącie przekątna o długości 1,53 cm tworzy z dłuższym bokiem kąt o mierze 19°. Oblicz z dokładnością do
0,1 cm2 pole prostokąta.
290. Bok
kwadratu
. Odcinki
i
Wykaż, że
| |
| U|
=
zawiera się w przekątnej
kwadratu
przecinają się w punkcie , a odcinki
, a punkt należy do odcinka
przecinają się w punkcie .
i
|k |
.
| l|
291. Bok
kwadratu
. Odcinki
i
zawiera się w przekątnej
kwadratu
przecinają się w punkcie . Wykaż, że |
, a punkt
|=|
należy do odcinka
|.
Zad. 290 i Zad. 291.
292. W trójkącie
dane są długości boków |
| = 20 cm, |
|=|
| = 26 cm. Wyznacz długość środkowej
.
293. Wiedząc, że boki trójkąta prostokątnego mają długości: 20, 15, 25, wyznacz długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.
294. Boki trójkąta prostokątnego mają długości 10, 24, 26. Oblicz długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.
295. Na przyprostokątnych
i
zbudowano trójkąty równoramienne
i
w ten sposób, że | | = | |, | | = | | oraz punkty , , leżą na
jednej prostej. Wykaż, że proste
i
są równoległe.
296. Dwa trójkąty równoboczne mają wspólny środek i boki równoległe. Pole jednego jest 2 razy większe od pola drugiego, a boki mniejszego trójkąta mają długość 1. Jaka jest odległość między równoległymi bokami?
297. Stosunek długości boków trapezu równoramiennego wynosi 17:13:7:13. Oblicz obwód trapezu wiedząc, że jego pole
jest równe 36.
298. Oblicz pole równoległoboku o bokach 7 cm i 12 cm, w którym dwa sąsiednie kąty różnią się o 60°.
299. W ostrokątnym trójkącie równoramiennym ramię ma długość 61, a wysokość poprowadzona do
ramienia ma długość 11. Oblicz długość podstawy tego trójkąta.
300. Wiedząc, że punkt " jest środkiem okręgu, oblicz miarę kąta α.
301. O ile centymetrów należy przedłużyć długość i szerokość prostokąta o wymiarach 8 cm na 5 cm aby jego pole zwiększyło się o 30 cm2?
| = 60°. Poprowadzono prostą równoległą do przeciwpro302. W trójkącie prostokątnym
dane są | | = 12, |∢
stokątnej
dzielącą bok
w stosunku 5: 1, licząc od wierzchołka . Prosta ta przecina bok
w punkcie ', a
bok
w punkcie D. Oblicz pole trapezu
D'.
303. Uzasadnij, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu na nim opisanego.
304. Na okręgu o środku % wybrano punkty , , , w ten sposób, że prosta
zawiera punkt %, a
proste
i
przecinają się w punkcie . Punkt ' jest punktem wspólnym prostych
i
.
Wykaż, że proste ' i
są prostopadłe.
305. Udowodnij, że w trójkącie równoramiennym wysokości poprowadzone do równych boków są równej długości.
306. Na trapezie równoramiennym o podstawach 2 i 6 opisano okrąg. Oblicz pole trapezu, jeśli dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu.
307. Odpowiadające sobie przekątne dwóch wielokątów podobnych mają się jak 3:4, a pola tych wielokątów różnią się o
28 cm2. Oblicz pola tych wielokątów.
,
2
308. W trapezie prostokątnym różnica długości podstaw jest równa 4,5 cm, a tangens kąta ostrego wynosi 1 . Oblicz różnicę długości ramion tego trapezu.
309. Oblicz długość boku rombu wiedząc, że prosta poprowadzona przez jeden z jego wierzchołków odcina na przedłużeniach dwóch jego boków odcinki o długościach 4 i 9.
310. Na rysunku przedstawiono równoległobok
. Uzasadnij, że pole równoległoboku
i trójkąt
. Punkt leży na odcinku
jest dwa razy większe od pola trójkąta
.
311. Przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 10. Miara kąta ostrego leżącego naprzeciw tej przyprostokątnej
wynosi 30°. Oblicz długość okręgu opisanego na tym trójkącie.
312. Przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 12. Miara kąta ostrego leżącego przy tej przyprostokątnej wynosi
60°. Oblicz długość okręgu opisanego na tym trójkącie.
313. W równoległoboku o obwodzie równym 144, wysokości ℎ, i ℎ/ spełniają warunek
mn
m>
2
= -. Oblicz długości boków te-
go równoległoboku.
314. W równoległoboku o obwodzie równym 96 cm stosunek wysokości jest równy 5:7. Oblicz długości boków tego równoległoboku.
315. Na okręgu wybrano takich pięć różnych punktów: , , , / , 2 ,
Udowodnij, że punkty , , / , 2 , 3 są wierzchołkami kwadratu.
3,
że |∢
,
/|
= |∢
2|
/
= |∢
2
3|
= 45°.
316. Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku długości 2.
317. Odcinek
łączący środki dwóch dłuższych boków prostokąta
dzieli go na dwa kwadraty i przekątna prostokąta jest o 3 dłuższa od przekątnej kwadratu. Oblicz pole prostokąta
.
318. W deltoidzie
dane są | | = 2, | | = 2]2 − √3, |∢
(zobacz rysunek). Oblicz pole tego deltoidu.
| = 30°, |∢
| = 135°
319. W okrąg o promieniu 13 wpisano rozwartokątny trójkąt równoramienny o podstawie 10. Oblicz pole tego trójkąta.
320. Punkty i leżą na okręgu o środku " i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek
długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.
321. Punkty i leżą na okręgu o środku " i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek
długości jest równy 13:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.
Zad. 320.
Zad. 321.
322. W trapezie prostokątnym
dłuższe ramię ma długość 10. Obwód tego trapezu jest równy 30. Wiedząc, że tan3
gens kąta ostrego w trapezie
jest równy 2, oblicz długości jego podstaw.
323. Dany jest równoległobok
że |
|=
,
|
/
. Na przedłużeniu przekątnej
wybrano punkt
| (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku
cztery razy większe od pola trójkąta
tak,
jest
.
324. Na przekątnej
że trójkąty
równoległoboku
i
mają równe pola.
wybrano punkt
(zobacz rysunek). Uzasadnij,
325. Dany jest czworokąt
, w którym
Wykaż, że kąt
jest prosty.
∥
. Na boku
wybrano taki punkt , że |
|=|
326. W równoległoboku
środek # boku
połączono odcinkami z wierzchołkami i . Wiadomo, że | #| = 12 cm i | #| = 5 cm oraz | | = 2| |. Oblicz obwód równoległoboku.
|i|
|=|
|.
327. Obwód rombu wynosi 18 cm, a jego pole 18 cm2. Oblicz wysokość tego rombu.
328. Cięciwa okręgu tworzy kąt 70° z promieniem przechodzącym przez jej koniec. Oblicz obydwa kąty środkowe wyznaczone przez tę cięciwę.
329. Cięciwa okręgu tworzy kąt 65° z promieniem przechodzącym przez jej koniec. Oblicz obydwa kąty środkowe wyznaczone przez tę cięciwę.
330. Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych jest równy 4, a suma ich obwodów 12. Wyznacz obwód każdego z trójkątów.
punkt ' leży na przeciwprostokątnej
. Z punktu ' poprowadzono odcinki ' i ' prostopadłe odpowiednio do przyprostokątnych
i
(rysunek). Udowodnij, że
| o|
|lo|
+| |
| U|
= 1.
332. Drut o długości 28 cm należy podzielić na dwie części i z jednej zrobić kwadratową ramkę, a z drugiej ramkę prostokątną, której jeden bok jest trzy razy dłuższy od drugiego. Jak należy podzielić drut, jeżeli chcemy, aby suma pól
otrzymanego kwadratu i prostokąta była najmniejsza?
333. Jeżeli skrócimy dłuższą przekątną rombu przy każdym wierzchołku o 4 cm, zaś przedłużymy krótszą przekątną o 1
cm, to otrzymamy kwadrat. Pole otrzymanego kwadratu jest o 10cm2 mniejsze od pola rombu. Oblicz pole rombu i pole kwadratu.
334. Ramię trapezu równoramiennego ma długość 12 cm. Kąt ostry tego trapezu ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt rozwarty, a przekątna trapezu jest prostopadła do ramienia. Oblicz pole trapezu.
335. Ramię trapezu równoramiennego ma długość 18 cm. Kąt rozwarty tego trapezu ma miarę dwa razy większą niż kąt
ostry, a przekątna trapezu jest prostopadła do ramienia. Oblicz pole trapezu.
336. W okręgu o promieniu długości C kreślimy średnicę
łuk
?
oraz taką cięciwę
, że |
| = C. Jaką częścią okręgu jest
337. Trójkąt prostokątny ma boki długości: 2@ + 2; 2@ + 3; @. Wyznacz @ oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
338. Dane są dwa boki trójkąta: 4 = √75, 5 = √27. Jaką długość może przyjmować trzeci bok trójkąta?
339. Trapez, w którym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, podzielono odcinkiem łączącym środki ramion
trapezu na dwa czworokąty. Oblicz stosunek pól otrzymanych czworokątów.
340. Przekątne prostokąta mają długość 20 cm i przecinają się pod kątem 60°. Oblicz obwód tego prostokąta.
341. Pole trójkąta równoramiennego jest równe 25. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt wiedząc, że ramię jest dwa razy dłuższe od podstawy.
342. Oblicz pole czworokąta wypukłego
, w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: |∢ | = 90°,
|∢ | = 75°, |∢ | = 60°, |∢ | = 135°, a boki
i
mają długość 3 cm. Sporządź rysunek pomocniczy.
343. W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do wewnętrznego
okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.
344. Trójkąt podzielono odcinkami
, ,
na 5 trójkątów, przy czym |
jąc z podanych pól trzech z tych trójkątów, wyznacz pole trójkąta
.
|: |
| = 2: 1. Korzysta-
345. Przez środek przyprostokątnej
padłą do przeciwprostokątnej
. Prosta ta przecina proste
' i D. Wykaż, że
|o |
| p|
poprowadzono prostą prostoi
odpowiednio w punktach
| U|>
.
|>
=|
346. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 4 i 5, gdzie 4 > 5. Z wierzchołka kąta rozwartego trapezu poprowadzono wysokość. Uzasadnij, że wysokość ta dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach
;<=
/
i
;?=
.
/
347. Dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu tak, że odcinki jednej z nich mają długości 8 i 6, a odcinki drugiej pozostają w stosunku 2:3. Podaj długości odcinków drugiej cięciwy.
348. Bok rombu ma długość 13 cm, a jedna z jego przekątnych ma długość 24 cm. Oblicz długość drugiej przekątnej.
349. Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na trapezie równoramiennym
. Kąt %
jest dwa razy większy od kąta
%, a kąt %
jest dwa razy większy od kąta
%. Oblicz kąty trapezu
.
350. Oblicz pole prostokąta, którego przekątna ma długość 7 cm, a jeden z boków ma długość 3√2 cm.
351. Na boku
kwadratu
obrano punkt tak, że |
cinek
w punkcie #. Uzasadnij, że pole trójkąta
#.
| = | |. Przekątna
kwadratu przecina od# jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta
352. Wykaż, że jeżeli pole trójkąta prostokątnego jest równe %, to długość jego przeciwprostokątnej jest nie mniejsza niż
2√%.
H|∢ | = 90°I, jeżeli tgH∢ I = 2 i |
353. Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego
| = 6.
354. Na rysunku przedstawiono prostokąt
na połowy. Uzasadnij, że pole prostokąta
i trójkąt
. Punkty i dzielą odcinki
jest równe polu trójkąta
.
i
355. W okrąg wpisano trójkąt
, w którym |∢ | = 50° i |∢ | = 70°. Przez wierzchołek kąta poprowadzono styczną
do okręgu, przecinającą przedłużenie boku
w punkcie . Oblicz miary kątów trójkąta
.
356. Ramiona trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10. Odcinek łączący środki ramion ma długość 10. Oblicz długości
podstaw trapezu.
357. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego, w którym długość przyprostokątnej wynosi 12
cm, a kąt do niej przyległy ma miarę 40°. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 cm.
358. Oblicz miarę kąta α jaki tworzą przekątne
i
sześciokąta foremnego.
359. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę 45°, a długość przeciwprostokątnej jest równa 4.
360. Podstawa trójkąta równoramiennego ma miarę 4 cm, a kąt przy niej 30°. Oblicz pole i obwód trójkąta.
361. W trójkąt równoramienny o podstawie 12 cm i wysokości 8 cm wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.
362. W trójkąt równoramienny o podstawie 24 cm i wysokości 5 cm wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.
363. Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli trapez na dwa trójkąty, z których jeden jest równoboczny. Znajdź pole
tego trapezu wiedząc, że ramię prostopadłe do podstaw ma długość 2.
364. W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa
trapezu jest równa 6. Oblicz pole tego trapezu.
365. Z punktu leżącego na okręgu poprowadzono średnicę
poprowadzono styczną do okręgu przecinającą prostą
.
i cięciwę
, które tworzą kąt o mierze 20°. Przez punkt
w punkcie . Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta
366. Dwa prostokąty podobne mają obwody równe odpowiednio 21 cm i 7 cm, a pole większego wynosi 6 cm2. Oblicz pole
mniejszego prostokąta.
367. Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 70 i 30, kąt ostry trapezu ma miarę 22°. Oblicz pole trapezu, przyjmując, że tg 22° = 0,404.
368. Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.
369. Stosunek pola rombu do pola koła wpisanego w ten romb wynosi 8: . Oblicz miarę kąta ostrego rombu.
370. Przez punkt styczności dwóch okręgów poprowadzono sieczną. Udowodnij, że wypukłe kąty środkowe oparte na łukach wyznaczonych przez tę sieczną na okręgach mają równe miary.
371. W prostokącie
punkt # jest środkiem boku
, a punkt e jest środkiem boku
że pole trójkąta #e jest równe sumie pól trójkątów
e oraz # e.
. Wykaż,
, w którym | | = 8, | | = 6. Na boku
' (patrz rysunek). Oblicz obwód trójkąta '.
zbudowano trójkąt równoboczny
373. Punkt # jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta
. Przez punkt # poprowadzono prostą równoległą
do boku
, która przecięła prostą
w punkcie ' i prostą
w punkcie D.
|'D|
|
|
a) Wykaż, że
= '| + D|.
b) Wiedząc dodatkowo, że obwód trójkąta 'D jest równy 15 cm, a długość odcinka
wynosi
10 cm, oblicz obwód trójkąta
.
374. Wysokość
trójkąta
tworzy z bokami
ży do odcinka
.
a) Narysuj trójkąt
i jego wysokość
;
b) Wyznacz miary kątów trójkąta
.
kąty o miarach równych odpowiednio 20° i 60°. Punkt
i
nale-
375. Stosunek pól dwóch wielokątów podobnych wynosi 196: 289. Znajdź stosunek obwodów tych wielokątów.
dane są | | = | | = 6 i |∢
wysokość
trójkąta opuszczoną z wierzchołka na bok
.
| = 30° (zobacz rysunek). Oblicz
kość
dane są |
trójkąta opuszczoną z wierzchołka
|=|
na bok
2
| = 12 i sin ( = (zobacz rysunek). Oblicz wyso3
.
378. Podstawą trójkąta równoramiennego
, są punktami przecięcia ramion
kąta
jest równa 20°.
jest średnica
okręgu, którego środkiem jest punkt ". Punkty
,
trójkąta z okręgiem. Miara kąta " jest równa 140°. Wykaż, że miara
379. Pole równoległoboku jest równe 24. Stosunek jego wysokości jest równy 3: 4. Długości boków wyrażają się liczbami
naturalnymi, a długość każdej z wysokości jest mniejsza od 5 i większa od 2. Oblicz długości boków równoległoboku.
380. W kąt o mierze 60° wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu ma długość 1. Oblicz długość promienia drugiego okręgu.
381. Okrąg dopisany do boku
trójkąta
to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku,
oraz do przedłużeń boków
i
. Wykaż, że jeżeli ' jest punktem styczności tego okręgu z
przedłużeniem boku
to długość odcinka ' jest równa połowie obwodu trójkąta
.
382. Wyznacz pole narysowanego prostokąta, jeżeli |
| = 5q +
,.
/
383. Przekątne rombu mają długość 8 cm i 13 cm. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są środki boków romb.
384. Podstawy trapezu mają długości 6 i 2, a wysokość ma długość 4. Oblicz odległość punktu przecięcia przekątnych trapezu od prostych zawierających jego podstawy.
385. W kwadrat wpisano drugi kwadrat, którego wierzchołki leżą na bokach pierwszego i boki tworzą z bokami pierwszego
kwadratu kąty o miarach 30°. Jaką częścią pola dużego kwadratu jest pole małego kwadratu?
386. W równoległoboku wpisano dwa przystające okręgi styczne zewnętrznie do siebie (patrz rysunek). Wykaż, że średnica każdego z tych okręgów jest równa różnicy długości dłuższego i krótszego boku tego równoległoboku.
387. Liczby 1, 3, 4 są długościami boków trójkąta. Wyznacz liczbę 4, wiedząc, że jest to liczba naturalna.
388. Na trójkącie o bokach długości 15, 20, 25 opisano okrąg. Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej do
środka najdłuższego boku.
389. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a odległość ich środków jest równa 19. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to ta odległość wynosiłaby 5. Wyznacz długości promieni tych okręgów.
390. Pola dwóch kwadratów różnią się o 39 cm2. Przekątna jednego z nich jest dłuższa o 3√2 cm od przekątnej drugiego.
Oblicz długość boku każdego kwadratu.
391. W kwadrat o boku 2 wpisano drugi kwadrat w ten sposób, że bok wpisanego kwadratu tworzy z bokiem danego kąt
30°. Oblicz długość krótszego z odcinków łączących wierzchołki tych kwadratów.
pole równoległoboku.
równoległoboku
. Pole trójkąta
jest równe 2. Oblicz
393. Sprawdź, czy trójkąt o bokach: 4 − 2√2, 8 − √2, √42 jest trójkątem prostokątnym.
394. Sprawdź, czy trójkąt o bokach: 6 − 3√2, √35, 9 − 2√2 jest trójkątem prostokątnym.
395. Ile jest trójkątów o obwodzie równym 19, w których długości boków wyrażone są liczbami całkowitymi. Wymień je.
396. Punkty
trójkąta
i
dzielą bok
trójkąta
na trzy równe części (zobacz rysunek). Wykaż, że pole
jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta
.
397. Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest większa od połowy
obwodu trójkąta.
,
398. Bok rombu ma długość 6, a sinus kąta ostrego tego rombu jest równy 2. Oblicz pole rombu.
399. Wykaż, że środki boków rombu są wierzchołkami prostokąta.
400. Oblicz pole równoległoboku o bokach 7 cm i 12 cm, w którym dwa sąsiednie kąty różnią się o 60°.
401. W ostrokątnym trójkącie równoramiennym ramię ma długość 61, a wysokość poprowadzona do ramienia ma długość
11. Oblicz długość podstawy tego trójkąta.
402. Na okręgu o promieniu C wybrano punkty ' i D w ten sposób, że proste ' i D są
styczne do okręgu. Punkt jest punktem wspólnym odcinka 'D i prostej łączącej punkt
ze środkiem % tego okręgu. Wykaż, że |% | ∙ |% | = C / .
403. W trapezie równoramiennym przekątna ma długość \ i tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze α. Wykaż, że pole tego trapezu jest równe \/ sin ( cos (.
404. Oblicz wysokość trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 12 cm i 9 cm, która jest poprowadzona do przeciwprostokątnej.
405. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 12 i 5. Wyznacz długość najkrótszej wysokości tego trójkąta.
406. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 6 i 8. Wyznacz długość najkrótszej wysokości tego trójkąta.
407. Przekątne rombu
, o kącie ostrym przy wierzchołku , mają długości 6cm i 8cm.
a) Oblicz cosinus kąta
.
b) Wyznacz promień okręgu wpisanego w romb.
408. Na rysunku oznaczono kąty oraz podano długości boków trójkąta prostokątnego. Oblicz, które
z wyrażeń ma większą wartość: tg ( ∙ ]1 − cos / O + sin ( czy tg O ∙ √1 − cos/ ( + sin O.
409. W trapezie
podstawa
jest 3 razy dłuższa od podstawy
. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie
, a proste zawierające ramiona
i
przecinają się w punkcie . Oblicz stosunek pola czworokąta
do pola
trapezu
.
410. Wysokość
trójkąta
ma długość 6cm i dzieli bok
a) Oblicz tangens i cosinus kąta ∢
;
b) Znajdź miarę kąta ∢
.
na odcinki o długościach |
|=8i|
| = 2√3.
411. Wykaż, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie tego boku.
412. Dwusieczne kątów
kątów czworokąta
i
trójkąta
przecinają okrąg opisany na nim odpowiednio w punktach
wiedząc, że |∢ | = 60° i |∢ | = 40°.
i . Oblicz miary
413. W romb o boku równym 8 i kącie ostrym równym 30° wpisano koło, a następnie w to koło wpisano kwadrat. Wyznacz stosunek pola rombu do pola kwadratu.
414. Na boku
trójkąta
pól trójkątów
i
wybrano punkt , a na odcinku
wybrano punkt . Wykaż, że stosunek
jest równy stosunkowi pól trójkątów
i
.
415. Liczbę przekątnych wielokąta o E bokach można obliczyć z wzoru
GHG<2I
,
/
gdzie E ≥ 3, E ∈ D. Ile boków ma wielo-
kąt, który ma 35 przekątnych?
/
i D. Wykaż, że | | = 4 ∙ | D| ∙ | '|.
poprowadzono prostą prostoodpowiednio w punktach '
i
' i D. Wykaż, że skala podobieństwa trójkątów
i
poprowadzono prostą prostoodpowiednio w punktach
i D' jest równa
/ stu Z
.
,?stu> Z
418. W trójkąt prostokątny
, w którym | | = 26, | | = 24, | | = 10, wpisujemy prostokąt
, tak, że punkt
należy do boku
, punkt należy do boku
i punkt należy do boku
. Oblicz wymiary prostokąta o największym polu.
419. Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 5 i 9 oraz cosinus kąta ostrego jest równy
/√,2
.
,2
Oblicz pole trapezu.
420. Ratownicy mający do dyspozycji linę o długości 80 metrów mają wytyczyć przy brzegu plaży kąpielisko w kształcie
prostokąta (wzdłuż brzegu nie będzie liny). Jakie wymiary powinno mieć to kąpielisko, jeżeli wczasowicze chcą, aby
miało ono jak największą powierzchnię? Należy przyjąć, że brzeg plaży tworzy linię prostą.
421. Jedna z przekątnych rombu jest dwa razy dłuższa od drugiej. Wyznacz stosunek obwodu rombu do
sumy jego przekątnych.
422. Na bokach trójkąta równobocznego
,
,
. Udowodnij, że trójkąt
(na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty
jest równoboczny.
423. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie #. Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w
punktach i ( ≠ ). Wykaż, że kąt ∢ # jest prosty.
424. W prostokącie
połączono wierzchołki i ze środkiem boku
ma miarę 120°. Wiedząc, że | | = 6, oblicz obwód prostokąta
.
i otrzymano trójkąt, którego jeden z kątów
425. Okręgi "H , 1I, "H , 2I, "H , eI są parami styczne zewnętrznie. Oblicz e, jeśli |∢
| = 90°.
426. Punkt % jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta ostrokątnego
|∢
| = 45°.
. Wykaż, że jeżeli | %| = |
|, to
427. Uzasadnij, że trójkąty prostokątne
i
są podobne.
i
są podobne.
428. Uzasadnij, że trójkąty prostokątne
Zad. 427.
Zad. 428.
429. Środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego została poprowadzona. Wykaż, że trójkąt ten jest prostokątny.
430. Punkt # jest punktem przecięcia wysokości trójkąta równobocznego. Jakie pole ma ten trójkąt, jeśli odcinek łączący
punkt # z wierzchołkiem trójkąta ma długość 2√3?
431. Punkt # jest punktem przecięcia wysokości trójkąta równobocznego. Jaki obwód ma ten trójkąt jeśli odległość punktu
# od jego boków jest równa 5√2?
432. Połączono ramiona trapezu odcinkiem równoległym do podstaw i dzielącym je w stosunku 2:3 licząc od krótszej podstawy. Oblicz długość tego odcinka, jeśli wiesz, że podstawy trapezu mają długości 4 i 5, gdzie 4 > 5.
433. Dany jest trójkąt prostokątny
, w którym |∢ | = 90°. W trójkącie tym poprowadzono wysokość
. Wykaż, że | | = C + C, + C/ ,
gdzie C, C, , C/ są odpowiednio długościami promieni okręgów wpisanych w trójkąty
,
i
.
434. Prostokąt jest wpisany w okrąg o promieniu 10, a jego dłuższe boki są styczne do okręgu o promieniu
3. Oblicz pole tego prostokąta.
435. Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego wiedząc, że długości przyprostokątnych różnią się o 9
cm, a jego pole jest równe 68 cm2.
436. Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60 cm2. Jedna przyprostokątna jest o 7 cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość
przeciwprostokątnej tego trójkąta.
437. Pole trójkąta prostokątnego jest równe 84 cm2. Jedna przyprostokątna jest o 17 cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość
przeciwprostokątnej tego trójkąta.
tak, by |∢
|.
438. Na boku
trójkąta
wybrano punkt
sieczną kąta
. Udowodnij, że | | = |
| = |∢
|. Odcinek
jest dwu-
439. Oblicz sumę długości przekątnych rombu wiedząc, że suma ich kwadratów jest równa 313 a pole rombu jest równe 78.
440. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli na połowy kąt zawarty między środkową, a
wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego.
441. Średnica
i cięciwa 'D okręgu przecinają się w punkcie . Kąt '
' ma miarę 48°. Wyznacz miarę kąta 'D.
ma miarę 78°, a kąt środkowy oparty na łuku
, w którym |
| = 24 i |
|=|
| = 13.
,
443. Prostokąt ′ ′ ′ ′ jest podobny do prostokąta
szy bok prostokąta
w skali 1 2. Pole prostokąta ′ ′ ′ ′ jest równe 144 cm2. Krót-
ma długość 6 cm. Oblicz długości pozostałych boków tych prostokątów.
444. Podstawy trapezu równoramiennego o polu 40 mają długości 6 i 14. Oblicz długość ramienia tego trapezu.
prostokątny.
, w którym |
| = 2|
| punkt ' jest środkiem boku
. Wykaż, że trójkąt
' jest
X9
446. W trójkącie prostokątnym na rysunku cos ( = X,. Wiedząc, że dłuższa przyprostokątna jest o 2 cm
krótsza od przeciwprostokątnej, wyznacz długości boków 4, 5, J.
447. Na przeciwległych bokach równoległoboku
wodnij, że proste
i
są równoległe.
zbudowano kwadraty
i
. Udo-
448. Podstawy trapezu mają długości 4 i 8. Kąty, jakie tworzą ramiona z dłuższą podstawą, mają miary 30° i 45°. Oblicz
pole trapezu.
449. W trapezie, którego podstawy mają długości 10 cm i 4 cm, miary kątów przy dłuższej podstawie wynoszą 45° i 30°.
Oblicz pole tego trapezu.
450. W trapezie, którego podstawy mają długości 12 cm i 6 cm, miary kątów przy dłuższej podstawie wynoszą 45° i 30°.
Oblicz pole tego trapezu.
451. W kwadrat
o boku długości 17 wpisano kwadrat
, jak pokazano na rysunku. Wiedząc, że
przekątna kwadratu
ma długość 13√2 oblicz tangens kąta ( zaznaczonego na rysunku.
452. Ostrokątny trójkąt równoramienny
miarę 40°. Oblicz miarę kąta
.
o podstawie
jest wpisany w okrąg o środku %, przy czym kąt %
ma
H| | = | |I o długości podstawy |
453. W trójkąt równoramienny
kwadrat o boku długości 5 cm. Oblicz pole trójkąta
.
| = 12 cm wpisano
H| | = | |I o długości podstawy |
454. W trójkąt równoramienny
kwadrat o boku długości 6 cm. Oblicz pole trójkąta
.
| = 14 cm wpisano
455. Jaką wysokość ma romb, jeżeli wiadomo, że jego przekątne mają długości 12 i 16 centymetrów?
456. Jaką wysokość ma romb, jeżeli wiadomo, że jego przekątne mają długości 16 i 30?
, w którym |∢ | = O, a kąt zewnętrzny przy wierzchołku
α. Wykaż, że jeśli ( = 2O, to trójkąt
jest równoramienny.
ma miarę
H
I przekątne
458. W trapezie
∥
i
trójkąta # jest równe polu trójkąta # .
przecinają się w punkcie #. Wykaż, że pole
459. Uzasadnij, że jeżeli
| | ∙ | | = | |/.
jest wysokością trójkąta prostokątnego
, w którym |∢
| = 90°, to
460. Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku. Wykaż, że punkty , , są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
461. Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej na
zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła.
462. Czworokąty
i #$e są kwadratami. Udowodnij, że | #| = | e|.
463. Przez punkty i okręgu poprowadzono styczne, które przecięły się w punkcie . Wykaż, że jeże| = 120°, to cięciwa
li |∢
ma długość równą długości promienia okręgu.
464. W trapezie
podstawy
i
oraz ramię
mają długości odpowiednio 15 cm, 12 cm i 6
cm. O ile centymetrów należy przedłużyć ramię
, by przecięło się z przedłużeniem ramienia
?
465. Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jego pole jest równe 50√2. Oblicz wysokość tego rombu.
466. Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 30°, a jego pole jest równe 18. Oblicz wysokość tego rombu.
467. Oblicz wysokość trapezu o podstawach długości 18 i 14 oraz ramionach długości 3.
468. Uzasadnij, że jeżeli dwie dwusieczne trójkąta przecinają się pod kątem 45° to trójkąt jest prostokątny.
469. Punkt # jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt
ny.
oraz |∢ # | = 135°. Wykaż, że trójkąt
jest prostokąt-
| = 60° poprowadzono
, w którym | | = 6, | | = 5, |∢
wysokości
i
na boki
i
.
a) Wykonaj odpowiedni rysunek i oblicz długości odcinków
i
.
b) Oblicz pole trójkąta
.
Zad.471.
471. Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia: tg / O − 5 sin O ∙ ctg ( + √1 − cos/ (.
472. W danym okręgu o środku " poprowadzono cięciwy 'D i , które przecięły się w punkcie .
a) Wykaż, że trójkąty ' i
D są podobne.
b) Wiedząc, że |'D| = 30 cm, |' |: | D| = 3: 2 oraz | |: | | = 3: 8, oblicz długość cięciwy
473. Niech #, będzie prostokątem o bokach długości 3 i 8. Obok tego prostokąta rysujemy kolejne prostokąty #/ , #2 , #3 , … w ten sposób, że każdy z boków kolejnego prostokąta jest o 2 dłuższy od odpowiadających boków poprzedniego prostokąta. Wyznacz liczbę E, dla której obwód prostokąta #G
jest równy 246.
.
474. Dane są prostokąty: o bokach 4 i 5 oraz o bokach J i \. Długość boku J to 90% długości boku 4. Długość boku \ to
120% długości boku 5. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach 4 i 5 stanowi pole prostokąta o bokach J i \.
| = 90° i |∢
| = 30°, wybrano na przypro475. W trójkącie prostokątnym
, w którym |∢
|∢
|
stokątnej
punkt tak, że
= 45°. Oblicz stosunek długości odcinków
i
.
476. Uzasadnij, że kąt ostry między dwusiecznymi kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równy 45°.
477. Kąt
ma miarę 30°. Pole kwadratu
(zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta
.
, wpisanego w ten trójkąt
478. W trójkąt równoramienny o ramieniu 10 i podstawie 12 wpisano prostokąt o stosunku boków 1:4 w
ten sposób, ze krótszy bok jest zawarty w podstawie trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta.
Zad.477.
479. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 cm i od drugiej
przyprostokątnej o 32 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.
480. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 2 cm i od drugiej przyprostokątnej o 9 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.
481. Koło , ma promień długości C. Wewnątrz tego koła rysujemy kolejno koła / , 2 , 3 , … takie, że kolejne koło ma średnicę równą promieniowi poprzedniego koła. Wyznacz pole koła ,9 .
482. Trójkąt
przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty , , D są współliniowe. Na boku
wybrano punkt ' tak, że | '| = | D|. Wykaż, że | '| = |'D|.
483. W sześciokącie foremnym połączono środki sąsiednich boków otrzymując ponownie sześciokąt foremny. Oblicz stosunek pól: otrzymanego i wyjściowego sześciokąta.
484. Odcinki
i
są trójkąty:
a)
i
;
b)
%i
%;
c)
i
.
są wysokościami trójkąta ostrokątnego
, a punkt % punktem ich przecięcia. Wykaż, że podobne
485. Odcinki
i
punkty , , ,
są wysokościami trójkąta ostrokątnego
leżą na jednym okręgu.
, a punkt
jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że
486. W trapezie równoramiennym krótsza podstawa i ramię mają taką samą długość. Przekątna trapezu tworzy z jednym z
ramion kąt prosty. Oblicz miary kątów tego trapezu.

4. Planimetria

Transkrypt

Podobne dokumenty

Nilfisk SCRUBTEC 130 E

dane techniczne BMV - 18

Nilfisk MC 2C

zobacz zadania - jednokładność i podobieństwo

Oddajemy w Państwa ręce nowy portal Moje