Seria 7. - pole elektryczne

Seria 7. - pole elektryczne
Prawo Coulomba
1. Dwie kulki o masach m1 i m2 , naładowane ładunkiem q1 i q2 , zawieszono na niciach tej
samej długości, zaczepionych w jednym punkcie. Jakie warunki muszą spełniać masy, by
kulki wychyliły się o ten sam kąt?
2. Cztery jednakowe ładunki Q umieszczono w wierzchołkach kwadratu. Gdzie i jaki dodatkowy ładunek q należy umieścić, by układ był w równowadze, tj. by ładunki Q nie przesuwały
się pod wpływem sil elektrostatycznych?
√
Odp. q = − 1+24
2
Q
3. Ładunki punktowe Q umieszczono wzdłuż półprostej o początku w punkcie A. Pierwszy
ładunek umieszczono w odległości a od początku półprostej (tj. od punktu A), a dalsze
ulokowano tak, że każdy następny ładunek leży w odległości 2 razy większej od punktu A
niż poprzedni. Znajdź natężenie pola elektrostatycznego w punkcie A.
Odp. E =
Q
3πε0 a2
~ Jaką drogę
4. Cząstka o ładunku q, masie m i prędkości v wpada w jednorodne pole E.
przebędzie do zatrzymania się (nierelatywistycznie)?
Odp. d =
mv 2
2qE
5. Dwa dipole (złożone z ładunków ±q i ±Q, odległość pomiędzy ładunkami wynosi l) są
~ na osi
ustawione równolegle, odległość pomiędzy dipolami wynosi 3a. Obliczyć pole E
przechodzącej przez środki dipoli w 1/3 odległości.
~ =
Odp. E
−l
4πε0
q a2 +
l2
4
− 3
2
+ Q 4a2 +
l2
4
− 3 2
ŷ
Wyznaczanie pola elektrycznego z zasady superpozycji
6. Na drucianym pierścieniu o promieniu R został równomiernie rozłożony dodatni ładunek
Q. Wyznacz wektor natężenia pola elektrycznego wzdłuż osi OX będącej osią pierścienia.
Odp. Ex =
Q
x
4πε0 (R2 +x2 )3/2
7. Wzdłuż cienkiego pierścienia o promieniu R rozłożony jest równomiernie ładunek +q. Znaleźć prędkość ładunku −q o masie m w chwili przechodzenia przez środek pierścienia, jeśli
ładunek −q początkowo spoczywa w punkcie na osi pierścienia w bardzo dużej odległości
od niego.
Odp.: v =
√
q
2πε0 mR
8. Bardzo cienki pręt o długości 2a został naładowany ze stałą gęstością liniową ładunku
λ. Znaleźć moduł natężenia pola jako funkcję odległości r od środka pręta dla punktów
leżących na prostej prostopadłej do
osi pręta i przechodzącej przez jego środek. Rozpatrzyć
R
przypadek a → ∞. Wskazówka: (x2 + a)−3/2 dx = a√xx2 +a + C
Odp. E =
λ
√ a
2πε0 r a2 +r2 ,
E(a → ∞) =
λ
2πε0 r
9. Znaleźć natężenie pola i potencjał pochodzące od jednorodnie naładowanego (ładunkiem
powierzchniowym o gęstości σ) pierścienia o promieniach R1 < R2 na osi symetrii pierścienia. Zbadać następujące przypadki: a) R1 → 0, b) R2 → ∞, c) R1 → 0, R2 → ∞.
σx √ 1
Odp. E = 2ε
( 2 2 − √ 21 2 )
0
x +R1
x +R2
1
Strumień pola elektrycznego, prawo Gaussa, potencjał elektryczny
~ nieskończonej, bardzo cienkiej, prostoliniowej nici o gęstości liniowej ła10. Obliczyć pole E
dunku τ oraz pracę przeniesienia ładunku Q z odległości R1 do R2 .
Odp. E =
τ
1
WR1 →R2 = Q 2πε
ln R
R2
0
τ
2πε0 r ,
11. Dwa nieskończenie długie równoległe przewodniki, naładowane ładunkiem tego samego
znaku z taką samą gęstością liniową λ, leżą w odległości d od siebie. Określić potencjał
pola elektrycznego w punkcie leżącym w odległościach, odpowiednio, r1 i r2 od tych przewodników. Przyjąć, że potencjał pola od jednego przewodnika jest równy zeru w odległości
d od niego.
Odp. ϕ =
λ
2πε0
ln
d2
r1 r2
~ od bardzo cienkiej rury o promieniu R i gęstości powierzchniowej σ.
12. Obliczyć pole E
~
Narysować wykres zależności E(r).
~
Odp. E(r)
= σR r̂
ε0 r
13. Nieskończenie długi walec o promieniu R został naładowany ładunkiem o gęstości zmieniającej się zgodnie z prawem ρ(r) = ρ0 r2 . Przenikalność dielektryczna walca zmienia
się zgodnie z prawem ε(r) = Ar. Znajdź natężenie pola elektrycznego E wewnątrz i na
zewnątrz walca.
14. Wyznacz natężenie pola elektrycznego od naładowanej powierzchniowo kuli o promieniu
R. Powierzchniowa gęstość ładunku jest stała i wynosi σ.
2
~
Odp. E(r)
= σR 2 r̂ dla r > R, E = 0 dla r < R.
ε0 r
15. Wyznacz natężenie pola elektrycznego od naładowanej objętościowo kuli o promieniu R.
Objętościowa gęstość ładunku jest stała i wynosi ρ.
~
Odp. E(r)
=
ρ~
r
3ε
~
dla r < R, E(r)
=
ρR3
3ε0 r2 r̂
dla r > R
16. Wyznacz natężenie pola elektrostatycznego od naładowanej objętościowo kuli o promieniu
R. Objętościowa gęstość ładunku zależy od odległości od środka kuli: ρ(r) = a/r, gdzie a
jest dodatnią stałą.
2
~
~
Odp. E(r)
= a r̂ dla r < R, E(r)
= aR 2 r̂ dla r > R
2ε
2ε0 r
17. Dana jest nieskończona płaszczyzna o gęstości powierzchniowej ładunku σ. Obliczyć pracę
przesunięcia ładunku q z punktu A(x = d) do punktu B(x = 2d) (w ε0 ).
Odp. W = − qdσ
20
18. Przestrzeń wypełniona jest ładunkiem o gęstości ρ zmieniającej się według prawa ρ = ρr0 ,
gdzie ρ0 jest wielkością stałą, a r odległością od początku układu współrzędnych. Oblicz
wektor natężenia pola elektrycznego E jako funkcję wektora r.
19. Bardzo duża płyta o grubości d została naładowana ładunkiem o stałej gęstości objętościowej ρ. Znajdź natężenie pola w całej przestrzeni.
Odp. E(r) =
ρr
ε
wewnątrz płyty, E =
ρd
2ε0
poza płytą
20. Wewnątrz kuli o promieniu R naładowanej ze stałą gęstością objętościową ρ znajduje się
kuliste wydrążenie o promieniu R1 . Środek wydrążenia znajduje się w odległości a od środka kuli, przy czym a + R1 < R. Znaleźć natężenie pola elektrostatycznego w wydrążeniu.
2
21. Gęstość objętościowa ładunku zgromadzonego w kuli o promieniu R wynosi ρ(r) = ρ0 (1 −
r/R), gdzie r to odległość od środka kuli. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego
w funkcji odległości od środka kuli. Dla jakiej odległości od środka kuli wartość natężenia
pola elektrycznego będzie największa?
Odp. E =
ρ0
ε
r
3
−
r2
4R
(r ¬ R), E =
ρ0 R 3
12ε0 r2
(r > R), pole największe dla r = 23 R
22. Nad płaskim dyskiem na wysokości h umieszczono ładunek q. Jaki jest promień a dysku,
jeżeli strumień przechodzącego przez niego pola elektrycznego jest równy 1/4 całkowitego strumienia (to znaczy strumienia przez powierzchnię zamkniętą zawierającą w sobie
ładunek q)?
√
Odp. a = 3h
23. Oblicz strumień pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię połowy sfery o promieniu a, jeżeli ładunek q znajduje się w odległości h od jej środka.
Odp. Φ = 2πkq
√ h
a2 +h2
−1
24. Jeden z wcześniejszych modeli atomu (tak zwany model ”ciasta z rodzynkami”, stworzony
przez odkrywcę elektronu, J.J. Thomsona) zakładał, że atom wodoru składa się z jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku +e, w której wnętrzu znajduje
się elektron o ładunku −e. Wykaż, że na wychylony z punktu równowagi w takim atomie
elektron działa siła harmoniczna. Jaka będzie częstość drgań elektronu, jeżeli jego masa to
me ?
Odp. ω =
q
ke2
me R 3
25. Wyznacz wartość potencjału elektrycznego wewnątrz naładowanej jednorodnie ładunkiem
Q sfery o promieniu a.
Odp. V =
kQ
a
26. Potencjał elektryczny dla pewnego objętościowego rozkładu ładunków wynosi V (r) =
−ax3 + b. Wyznacz gęstość objętościową ładunku.
Odp. ρ(r) = 6aε0 x
Pojemność elektryczna
27. Wyznaczyć pojemność i energię próżniowego kondensatora płaskiego o powierzchni okładek
S i odległości między okładkami d. Założyć jednorodność pola elektrycznego pomiędzy
okładkami. Jak zmieni się pojemność kondensatora po wypełnieniu przestrzeni pomiędzy
okładkami dielektrykiem o przenikalności εr ?
Odp. C =
ε0 S
d ,
=
Q2
2C
28. Wyznaczyć pojemność próżniowego kondensatora cylindrycznego o długości l, zbudowanego z dwóch cylindrów o promieniach R1 oraz R2 (R1 < R2 ). Wiadomo, że wewnętrzny
cylinder naładowany jest ładunkiem o jednorodnej gęstości powierzchniowej σ.
Odp. C =
2πlε0
R
ln R2
1
29. Wyznaczyć pojemność próżniowego kondensatora sferycznego o promieniach sfer R1 oraz
R2 (R1 < R2 ). Wiadomo, że wewnętrzna sfera naładowana jest ładunkiem o jednorodnej
gęstości powierzchniowej σ.
Odp. C =
4πε0 R1 R2
R2 −R1
3
30. Powietrzny kondensator płaski o pojemności C0 naładowano do różnicy potencjałów U0 .
Między płytki kondensatora wsunięto szczelną płytkę o względnej stałej εr . Obliczyć zmianę napięcia, pola E, ładunku i pojemności, gdy kondensator a) jest odłączony b) jest
podłączony do źródła = U0 .
31. Odległość między okładkami płaskiego kondensatora wynosi d, powierzchnia okładki S,
kondensator podłączamy do źródła napięcia U . W pewnej chwili zaczynamy odsuwać jedną
z okładek kondensatora z prędkością v w kierunku prostopadłym do okładek. Znaleźć
zależność pracy od czasu, jaką należy wykonać, by oddalać okładki od siebie. Rozważyć
dwa przypadki: a) źródło napięcia cały czas jest podłączone do kondensatora, b) źródło
napięcia zostaje odłączone przed rozsuwaniem okładek.
Odp. a) W (t) = 12 U 2 ε0 S( d1 −
1
d+vt ),
b) W (t) =
1
2
2d2 ε0 U Svt
32. Wąski strumień elektronów w próżni przelatuje przez płaski kondensator równolegle do
jego płytek i wywołuje świecenie ekranu położonego w odległości l od końca kondensatora.
Po przyłożeniu do kondensatora napięcia U , świetlna plamka na ekranie przesuwa się o s.
Odległość między płytkami kondensatora wynosi d, długość kondensatora b. Wyznaczyć
prędkość elektronów.
Odp. v =
q
U e(b2 +2bl)
2dsme
33. Jaką pracę należy wykonać, aby między okładki płaskiego kondensatora o pojemności C
wsunąć elektrycznie obojętną metalową płytę o powierzchni równej powierzchni kondensatora? Odległość między okładkami kondensatora wynosi d a grubość płyty g. Rozpatrzyć
przypadki: a) kondensator jest podłączony ze źródłem napięcia U , b) kondensator naładowany do napięcia U jest odłączony od źródła.
g
Odp.: a) W = 12 CU 2 g−d
b) W = − 21 CU 2 dg
4