t - Ekonometria

Hipoteza efektywnego rynku
• Założenie: racjonalne oczekiwania, brak okazji do arbitrażu
• Wniosek: oczekiwana cena w czasie t jest równa cenie w Pt−1
pomnożonej przez stope˛ zwrotu dla inwestycji danego typu :
E (Pt| Pt−1, Pt−2, . . .) = (1 + R) Pt−1
• dzielac
˛ obie strony przez Pt i logarytmujac
˛ otrzymujemy:
E [∆ ln (Pt)| Pt−1, Pt−2, . . .] = ln (1 + R)
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
1
• Oznaczajac
˛ pt = ln (Pt) i r = ln (1 + R) oraz definiujac:
˛
εt = ∆pt − r
• otrzymujemy model postaci:
∆pt = r + εt,
przy czym
E (εt| pt, pt−1, . . .) = E [∆ ln (Pt)| Pt−1, Pt−2, . . .] − ln (1 + R) = 0.
• Warunek ten jest równoważny warunkowi:
E (εt| εt−1, εt−1, . . .) = 0.
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
2
• Wniosek 1: zmian cen akcji nie da sie˛ przewidzieć na podstawie
cen/(zmian cen akcji) z przeszłości
• Wniosek 2: analiza techniczna nie ma sensu
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
3
Heteroskedastyczność w szeregach czasowych
• Cz˛esto zakłada sie,
˛ że szeregi czasowe wykazuja˛ autokorelacje˛ ale sa˛
homoskedastyczne
• W rzeczywistości jednak cz˛esto wariancja zmienia sie˛ w czasie
• Dobrym przykładem sa˛ tutaj dane z rynków finansowych
• Gdy zacz˛eto je badać zauważono, że szeregi te (np. ceny akcji, kursy
walut etc.)
1. zachowuja˛ sie˛ w przybliżeniu zgodnie z modelem bładzenia
˛
przypadkowego
z dryfem
2. w rozkładach pierwszych różnic obserwuje sie˛ silna˛ leptokurtoz˛e
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
4
– ∗ zbyt grube ogony rozkładu
∗ zbyt wysoka koncentracja wokół zera
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
5
0
20
Gêstoæ
40
60
• Histogram logarytmów zwrotów z Dow Jones 1928-2005
−.05
0
Logarytm dziennej stopy zwrotu
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
.05
6
• Hipoteza o normalności rozkładu logarytmów zwrotów z Dow Jonesa
został bardzo silnie odrzucona
• Główna˛ przyczyna˛ odrzucenia tej hipotezy była silna kurtoza
• H0 o istnieniu pierwiastka jednostkowego w logarytmach indeksu Dow
Jones nie został odrzucona
• H0 o istnieniu pierwiastka jednostkowego w pierwszych różnicach
logarytmu indeksu Dow Jones została odrzucona
• Wniosek: log
³
pt
pt−1
´
= ∆ log (pt) ∼ I (0), pt ∼ I (1)
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
7
• Dla ostatnich 25 lat nie da sie˛ niestety zaobserwować żadnej istotnej
korelacji!
• Czy wiec
˛
zwroty z Dow Jones sa˛ białym szumem:
nieskorelowanych εt?
ciagiem
˛
• Dlaczego w zwrotach wystepuje
˛
leptokurtoza?
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
8
Zmiana indeksu Dow Jones
−.1 −.05
0
.05
• Zwroty z Dow Jones i biały szum
01jan2001
01jan2002
01jan2003
Data
01jan2004
01jan2005
01jan2001
01jan2002
01jan2003
Data
01jan2004
01jan2005
Bia³y szum
−.04 −.02 0 .02
.04
01jan2000
01jan2000
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
9
• Najprawdopodobniej przyczyna˛ wystepowania
˛
leptokurtozy jest zjawisko
grupowania obserwacji o dużej wariancji
• Oczekiwanej wielkości zwrotów nie da sie˛ przewidzieć (z pewnym
zastrzeżeniem, do którego jeszcze do tego wrócimy)
• Do pewnego stopnia przewidywalne jest jednak wariancja
• Modelowanie zmian wariancji jest w praktyce bardzo ważne ponieważ jest
to parametr, od którego zależa˛ ceny instrumentów pochodnych (np. opcji)
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
10
Warunkowa autoregresyjna heteroskedastyczność ARCH
(q)
• Model ARCH (1) (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
yt = xtβ + εt
q
εt = ut θ 0 + θ 1ε2t−1 + . . . + θ sε2t−q ,
gdzie ut ∼ N (0, 1), ut jest niezależne od εt−1 i E (εt| xt, εt−1) = 0
• Bezwarunkowa wariancja εt jest stała
¡ 2¢
¡ 2¢ ¡
¢
2
2
Var (εt) = E εt = εt = E ut E θ 0 + θ 1εt−1 + . . . + θ sεt−q
= θ 0 + θ 1 Var (εt−1) + . . . + θ s Var (εt−q )
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
11
• Założenia KM RL sa˛ spełnione - estymator M N K jest najlepszym
liniowym i nieobciażonym
˛
estymatorem β
• Z racji na wystepowanie
˛
warunkowej heteroskedastyczności istnieja˛
jednak lepsze nieliniowe estymatory β
• Wariancja εt nie jest stała warunkowo:
Var (εt| εt−1) = E
¡
¯
ε2t ¯ εt−1, . . . , εt−q
¢
= θ 0 + θ 1ε2t−1 + . . . + θ sε2t−q
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
12
Model uogólnionej warunkowej heteroskedastyczności
GARCH (p, q)
• Model GARCH (p, q) (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
ma dla wariancji postać podobna˛ do modelu ARM A (p, q)
yt = xtβ + εt
εt = utσ t
σ 2t = α1σ 2t−1 + α2σ 2t−2 + . . . + α2σ 2t−p + θ 0 + θ 1ε2t−1 + . . . + θ q ε2t−q
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
13
Model TARCH
• Asymetryczna reakcji wariancji na dodatnie i ujemne odchylenia losowe.
• Reakcja rynku na duża˛ strate˛ różna od reakcji na duży zysk.
• Zakłada sie,
˛ że wariancja warunkowa silniej reaguje w przypadku dużej
straty niż dużego zysku.
• Forma modelu T ARCH (Trashold ARCH) postaci:
yt = xtβ + εt
εt = utσ t
σ 2t
= θ0 +
θ 1ε2t−1
+ ... +
θ q ε2t−q
+
¡
β 1 ε+
t−1
¢
+
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
¡
¢2
+
β 2 εt−2
+ ... +
¡
¢2
+
β s εt−q
14
gdzie θ i + β i ≥ 0 dla i = 1, . . . , q a
½
ε+
t−s =
εt−s dla εt−s
0
dla εt−s
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
¯
≥ 0 ¯¯
<0 ¯
15
Model ARCH w średnich
• Model ARCHM (ARCH in Means) ma nastepuj
˛ ac
˛ a˛ postać:
yt = xtβ + δσ 2t + εt
εt = utσ t
σ 2t = θ 0 + θ 1ε2t−1 + . . . + θ q ε2t−q
• W modelu ARCHM zmiany wariancji wpływaja˛ także na średnia˛
• Model ten ma zastosowania w finansach, gdzie zakłada sie,
˛ że na ceny
akcji wpływa także ryzyko
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
16
• Jeśli ryzyko zmienia sie˛ w czasie to także powinno to wpływać na
oczekiwane ceny akcji
• Parametr δ jest wiec
˛ zwiazany
˛
z awersja˛ do ryzyka
• Ponieważ wyższe ryzyko powinno skutkować wyższymi zwrotami, wiec
˛
parametr ten powinien być dodatni
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
17
Model Value at Risk
• Na skutek rozpowszechnienia sie˛ instrumentów pochodnych zerwaniu
uległ zwiazek
˛
miedzy
˛
wielkościa˛ zaangażowanego w transakcje˛ kapitału
a wielkościa˛ ponoszonego ryzyka
• Stosunkowo niewielkie kontrakty moga˛ przynieść olbrzymie straty: np.
Barings, Société Générale
• Konieczne wprowadzenie nowego systemu pomiaru ryzyka,
• Takim systemem jest system Value at Risk (wartość narażona na ryzyko)
• Definicja Value at Risk:
Pr (Lt < Jt) = Ft (Jt) = α
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
18
Jt=Ft−1 (α)
gdzie Jt to value at Risk
• Najważniejsze precyzyjne oszacowanie grubości ogona
• Problem leptokurtozy utrudnia takie oszacowania
• Modele statyczne - nie uwzgledniamy
˛
zmian Ft () w czasie
• Modele dynamiczne uwgledniamy
˛
zmiany Ft (), głównie poprzez
uwzglednianie
˛
zmian w czasie wartości oczekiwanej µt i warinacji σ t
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
19
Prosty model dynamiczny model Value at Risk
• Zmiana wartości portfela aktywów:
Pt − Pt−1 = Pt−1 [exp (rt) − 1]
• zysk/strata inwestora:
Lt = Q (Pt − Pt−1) = QPt−1 [exp (rt) − 1]
= At−1 [exp (rt) − 1]
gdzie At = QPt jest wartościa˛ inwestycji w czasie t.
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
20
• Z definicji, VaR jest równe
Pr (Lt < Jt) = Pr {At−1 [exp (rt) − 1] < Jt}
¶¸¾
½
·
µ
Jt
= Pr rt < ln 1 +
At−1
h
³
´i
t
• Szukamy kt = ln 1 + AJt−1
, takiego że Pr (rt < kt) = α
• VaR bedzie
˛
można policzyć ze wzoru:
Jt = At−1
h
³ ´
i
exp b
kt − 1
• rt charaktryzuje sie˛ zazwyczaj warunkowa˛ heteroskedasycznościa˛
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
21
• Z modelu warunkowowej hetoroskedastyczności uzyskujemy oszacowania
σt
• Zakładamy, że wystandarysowany rozkład rt jest stały w czasie:
¶
µ
rt − µt kt − µt
<
Pr (rt < kt) = Pr
σt
σt
µ
¶
µ
¶
kt − µt
kt−µt
= Pr ut <
=F
=α
σt
σt
gdzie µt jest warunkowa˛ wartościa˛ oczekiwana˛ yt.
• Zazwyczaj F () nie jest rozkładem normalnym
• Przy założonym poziomie prawdopodobieństwa α:
kt = µt + F −1 (α) σ t
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
22
• Odpowiednikiem próbkowym F −1 (α) jest odpowiedni kwantyl rozkładu
empirycznego standaryzowanych reszt Fb (·), a odpowiednikami σ t sa˛
wartości dopasowane wariancji warunkowych uzyskanych z oszacowanych
równań warunkowej wariancji.
• W rezultacie oszacowania kt uzyskujemy z równania:
b
b t + Fb−1 (α) σ
bt
kt = µ
• Wielkość VaR:
h
³
´
i
−1
b t + Fb (α) σ
bt − 1
Jt = At−1 exp µ
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
23
Regulacje dotyczace
˛ pomiaru ryzyka
• Zgodnie z ustaleniami Komitetu Bazylejskiego Nadzoru Bankowego z
1998, każdy bank ma obowiazek
˛
monitorować ryzyko
• Banki moga˛ używać modelu standardowego lub też posługiwać sie˛
modelami wewnetrznymi
˛
• Model standardowy
– Podział ryzyka na klasy: stopy procentowej, papierów udziałowych,
walutowe, surowcowe i towarowe, opcji
– dla kaźdej klasy limity zaangażowania
• Model wewnetrzny
˛
- naogół model VaR, cz˛esto bazowany na dokumentacji
RiskMetrics opublikowanej przez J.P. Morgan
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
24
• Banki maja˛ obowiazek
˛
na bieżaco
˛
kontrolować, czy ich model sie˛
sprawdza
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
25
System traffic light
• Nadzór kontroluje jakość modelu na podstawie analizy historyczne
(backtesting)
• Mnożniki, dla rezerw sa˛ stosowane w przypadku, gdy model VaR zaniża
oszacowania ryzyka
• Kryterium: liczba przekroczeń wielkości straty wyznaczonej za pomoca˛
modelu VaR, dla α = 0.01 w ciagu
˛ 250 dni
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
26
Strefa
zielona
żółta
czerwona
Liczba przekroczeń
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>=10
mnożnik
0
0
0
0
0
0.4
0.5
0.65
0.75
0.85
1
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
27
• Rezerwy wyznaczane ze wzoru:
Ã
60
X
1
C = max V aRt−1, (3 + m)
V aRt−i
60 i=1
!
• Modele ze strefy czerwonej nie powinny być w ogóle stosowane
c
Wykład z Ekonometrii nr 26, III rok, WNE UW, Copyright °2008
by Jerzy Mycielski
28