Opis własności dynamicznych liniowych układów ciągłych

WOJSKOWA AKADEMIA T E C H N I C Z N A
im. Jarosława Dąbrowskiego
ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO
Przedmiot:
PODSTAWY AUTOMATYKI
(studia stacjonarne I stopnia)
ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr 2
OPIS WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH
LINIOWYCH UKŁADÓW CIĄGŁYCH
Warszawa 2013
ĆWICZENIE RACHUNKOWE NR 2
Temat:
Opis własności dynamicznych liniowych układów ciągłych
Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:
 zapis równań „wejście-wyjście” dla prostych układów
dynamicznych;
 przykładowe obliczanie transformat i oryginałów funkcji
zgodnie z prostym przekształceniem Laplace’a;
 wyznaczanie transmitancji operatorowej i widmowej;
 zapisu modelu obiektu w postaci równań stanu i równania
wyjścia.
1. Przekształcenie Laplace’a
1.1. Wprowadzenie
Rachunek operatorowy jest metodą rozwiązywania niektórych
równań i układów równań różniczkowych i pokrewnych, polegająca na
całkowitej lub częściowej „algebraizacji” rozwiązywanego równania
lub układu równań.
Istota algebraizacji polega na tym, że rozwiązując za pomocą
rachunku operatorowego dane równanie, np. równanie różniczkowe
zwyczajne, wyznaczamy najpierw tzw. równanie operatorowe będące
równaniem algebraicznym. W zasadzie rachunek operatorowy jest
metodą rozwiązywania równań liniowych. Jego zastosowania
w zakresie równań nieliniowych są jednak dotąd znikome i ograniczają
się do niewielkiej liczby szczególnych przypadków. Dzięki swej
prostocie i efektywności, a także ze względu na inne zalety
w porównaniu ze znanymi metodami, stał się ogólną metodą badania
dynamiki układów liniowych, niezależnie od ich charakteru fizycznego.
Rachunek operatorowy okazał się szczególnie dogodny w zakresie teorii
obwodów elektrycznych i teorii automatycznej regulacji – w tych
dziedzinach znalazł najpełniejsze i najbardziej wszechstronne
zastosowanie.
Metody operatorowe można podzielić na trzy zasadnicze grup:
 metody oparte na pojęciu operatora różniczkowania i operatora
całkowania (metoda operatorów Heaviside’a);
 metody oparte na przekształceniach całkowych (metoda
przekształcenia Lapalce’a);
 metody oparte na pojęciach algebry wyższej i analizy
funkcjonalnej (metoda operatorów Mikusińskiego).
2
Rozddział ten w całości pooświęcony jest
j
metodzzie operatorrowej na
przekszttałceniu Laplace’a
z
uwzzględnieniem
m
powiąązań
z
przekszttałceniem Fouriera.
F
Przeekształceniee Laplace’a określone jest zależnośścią:

L f (t )   f (t )e  stt dt  F (s )
0
(1)
która funkcji f((t) zmiennnej rzeczy
ywistej t przyporząądkowuje
transform
matę F(s), będącą ffunkcją zm
mienną zesp
polonej s = u + j;
zmiennaa s odgryw
wa w całkoowaniu rolęę parametru
u. Całkę poo prawej
stronie wzoru
w
(1) będziemy naazywać całk
ką Lapalce’aa funkcji f(t)
t).
Orygginałem nazywamy
n
funkcję zespolonąą f(t) = u((t) +j(t)
zmienneej rzeczywisstej t, spełniiającą nastęępujące waru
unki:
 f(t) = 0 dla t < 0;
 f(t) jest w przedzialle (-, +) funkcję przedziałam
p
mi ciągła
wraz z pochodnymi ddo rzędu n – tego;
 f(t) jest fu
unkcją rzęduu wykładnicczego, jeśli istnieją stał
ałe M > 0
i m > 0 takie, że dla wszy
ystkich waartości t zzachodzi
nierównośść:
m
f (t )  Me mt
(2)
Liczzbę m0  0 taką, że dla każdeg
(2) jest
go  > 0 nierówność
n
spełnionna dla m = m0 + , a nnie jest spełłniona dla m=m
m 0-, naazywamy
wykładnnikiem wzra
astania funkkcji f(t). Naa rys.1. przzedstawionoo wykres
funkcji typu
t
wykład
dniczego.
Rys1. Wykres fun
nkcji typu wy
ykładniczego (m>0)
3
Jeśli funkcja f(t) jest oryginałem o wykładniku wzrastania m0, to:
 całka po prawej stronie wzoru (1) jest jednostronnie zbieżna w
półpłaszczyźnie Re s > m0;
 funkcja F(s) określona wzorem (1) jest funkcją analityczną w
półpłaszczyźnie Re s > m0;
lim F s   0 ;

Re s
Funkcję F(s) nazywamy transformatą (obrazem) oryginału f(t), co
zapisujemy:
F s   L f t 
(3)
1.2. Własności przekształcenia Laplace’a
Praktyczne zastosowanie przekształcenia Lapalce’a polega na tym,
że prowadzimy obliczenia nie na danych funkcjach, lecz na ich
obrazach. Podobnie, gdy mamy do wykonania operację mnożenia, to
korzystamy z logarytmów, gdyż to sprowadza się do prostych operacji
dodawania. Proces odwzorowania można uważać za coś w rodzaju
przekładu z jednego języka na inny, każdemu słowu odpowiada inne
słowo. W transformacji Laplace’a każdej funkcji (oryginałowi)
odpowiada inna funkcja (transformata, obraz).
Najważniejsze właściwości przekształcenia Laplace’a mające
zasadnicze znaczenie dla praktyki i zastosowań, zostaną ujęte w postaci
kilku prostych wzorów i reguł, stanowiących w pewnym sensie
gramatykę rachunku operatorowego. Na nich oparta jest technika
stosowania metody operatorowej w konkretnych problemach:
 Liniowość - przekształcenie Laplace’a jest przekształceniem
liniowym, tzn. ma następującą własność:
jeśli
L f1 (t )  F1 ( s), L f 2 (t )  F2 ( s)
(4)
to
Lc1 f1 (t )  c2 f 2 (t )  Lc1 f1 (t )  Lc2 f 2 (t )  c1 F1 ( s)  c2 F2 ( s) (5)
gdzie: c1, c2 są dowolnymi liczbami.

twierdzenie o podobieństwie:
L f ( at ) 
s
1
F( )
a a
(6)
4
lub
1 t 
F as   L  f ( )
a a 

(7)
transformata pochodnej funkcji:
 df (t ) 
L
  sF ( s )  f (0)
 dt 

transformata całki funkcji (>0):


F ( s ) f (1) (0)

s
s
(9)
L f (t  T )  1t  T   e  sT F s 
(10)

L  f ( )d 



przesunięcie w czasie:
wartość początkowa:
lim f (t )  lim sF  s 
t 0

(11)
s 
wartość końcowa, – jeżeli funkcja wymierna sF(s) ma bieguny
leżące wyłącznie w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej
s, to:
lim f (t )  lim sF s 
t 

mnożenie przez czas:
dF ( s )
ds
(13)
zmiana skali czasu:
L f at  

(12)
s 0
Ltf t   

(8)
1 s
F  , gdzie F s   L f t 
a a
(14)
zmiana częstotliwości:
5


L e  at f t   F s  a , gdzie F s   L f t 

(15)
funkcje okresowe, – jeżeli f(t) jest funkcją okresową o okresie T,
wtedy transformata Laplace’a jest dana jako:
L f t  
F1 s 
1  e  sT
(16)
gdzie: F1(s) = L{f1(t)} jest transformatą funkcji f(t) w pierwszym okresie

twierdzenie o pochodnej ilorazu funkcji, – jeżeli funkcje L(x) i
M(x) są różniczkowalne oraz funkcja M(x) jest w danym punkcie
różna od 0, wówczas tymże punkcie istnieje pochodna iloraz
funkcji L(x) i M(x) i wyraża się wzorem

 L( x) 
L  x M ( x)  M ( x) L( x)
 M ( x)  
M ( x)2


(17)
2. Transmitancja operatorowa układu.
W układach liniowych wyróżnić można następujące rodzaje
elementów podstawowych:
 elementy powodujące straty energii rozpraszanej na energię
cieplną – tracie, oporność czynna w układach elektrycznych,
opór przepływu gazów i cieczy;
 elementy magazynujące energię w postaci kinetycznej – masa,
indukcyjność w układach elektrycznych, bezwładność gazów
i cieczy.
W dalszej części opiszemy szczegółowo równania opisujące
własności dynamiczne przedstawionych elementów. Założymy przy
tym, że ograniczamy się tylko do liniowego zakresu pracy, np.
przyjmiemy, że w układach elektrycznych wartości oporności,
indukcyjności i pojemności są stałe, niezależne od prądu i napięcia.
O układach mechanicznych załóżmy, że składają się z ciał idealnie
twardych i sprężyn idealnych o znikomo małej masie i że siła tarcia jest
proporcjonalna do prędkości w pierwszej potędze (tarcie lepkie).
O układach pneumatycznych załóżmy, że ciecze są nieściśliwe, a
spadek ciśnienia na oporach przepływu jest proporcjonalny do wielkości
tego przepływu, czyli że opory przepływu mają wartości stałe,
niezależnie od przepływu ani ciśnienia.
Transmitancją operatorową G(s) jednowymiarowego układu
liniowego stacjonarnego nazywamy wielkość określoną jako stosunek
6
transformaty Laplace’a odpowiedzi Y(s) do transformaty Laplace’a
wymuszenia U(s) tego układu przy zerowych warunkach
początkowych.
Liniowy stacjonarny układ dynamiczny można opisać liniowym
różniczkowym równaniem wejścia-wyjścia.
d n y (t )
d n 1 y (t )
dy (t )
 a n 1
 ...  a1
 a 0 y (t ) 
an
n
n 1
dt
dt
dt
du (t )
d m u (t )
d m 1u (t )
 bm

b
 ...  b1
 b0 u (t )
m 1
m
m 1
dt
dt
dt
(18)
lub transmitancją operatorową w dziedzinie zmiennej zespolonej s.
Założywszy w poprzednim równaniu zerowe warunki początkowe
oraz stosując transformatę Laplace’a:
 d n y (t )

d n 1 y (t )
dy (t )
L a n
a

 ...  a1
 a 0 y (t ) 
n 1
n
n 1
dt
dt
dt


 d m u (t )

d m 1u (t )
du (t )
 L bm
 bm 1
 ...  b1
 b0 u (t )
m
m 1
dt
dt
dt


(19)
czyli
 m

 n

  ai s i Y ( s)    b j s j U ( s )
 i 0

 j 0

(20)
gdzie: U(s)=L{u(t)}, Y(s)=L{y(t)}.
można otrzymać wymierną funkcje zmiennej zespolonej s, nazywaną
transmitancją operatorową:
m
G(s) 
Y ( s)

U ( s)
b s
j 0
n
a s
i 0
j
j
.
(21)
i
i
3. Transmitancji widmowa układu.
Transmitancją widmową G(j) liniowego układu stacjonarnego
nazywamy wielkość określoną jako stosunek wartości zespolonej
7
składow
wej wymuszonej Y(j) wywołanejj wymuszen
niem sinusooidalnym
do wartoości zespolo
onej tego wy
wymuszenia U(j):
G(( j ) 
Y  j 
U  j 
(22)
Trannsmitancja widmowa opisuje dy
ynamikę uk
kładu w dzziedzinie
częstotliiwości. Dlaa analizy prrzyjmuje się, że na weejście elem
mentu lub
układu liniowego
o wprow
wadza się wymuszenie sinuusoidalne
s t. W takim
t
przyypadku na jego wyjścciu, po zanniknięciu
u(t)=A1sin
procesu przejściow
wego, ustalli się sygn
nał sinusoidalny o teej samej
częstotliiwości, ale o innej ampplitudzie i faazie niż wym
muszenie o postaci:
y  t   A2 ( ) sin  t     
(23)
Przeechodzenie sygnału sinusoidaln
nego przezz element liniowy
przedstaawia rys.2.
Ryys.2. Przecho
odzenie sygnaału sinusoidallnego przez element
e
liniow
wy.
Charrakterystykii częstotliw
wościowe określa
o
zach
howanie sięę układu
przy zm
mianie często
otliwości (ppulsacji)  w zakresie od 0 do , podając
stosunekk amplitud
dy sygnałuu wyjściow
wego do wejścioweggo oraz
przesuniięcie fazow
we międzyy wyjściem
m, a wejścciem jako funkcję
częstotliiwości.
Trannsmitancję widmową
w
uuzyskuje sięę z transmiitancji operratorowej
po podsttawieniu w miejsce op eratora s op
peratora j:
G ( j ) 
Y  j 
U  j 
 G  s  s  j
(24)
8
Transmitancja widmowa jest zespoloną funkcją pulsacji  i może
być przedstawiona:
 w postaci wykładniczej - podstawiając za U(j) i Y(j) parę
odpowiadających sobie funkcji harmonicznych zapisanych w
postaci wykładniczej:
j  t    
Y ( j )  A2 ( )e 
;
U ( j )  A1 ( )e jt ;
(25)
wówczas transmitancję widmowa w postaci wykładniczej
przedstawia zależność:
G ( j ) 

j  t  
A2 ( )e    A2 ( )e j t e j   A2   j ( )


 G ( j ) e j ( )
e
A1 ( )e j t
A1 ( )e jt
A1  
(26)
w postaci zespolonej (części rzeczywistej P() i części urojonej
Q()):
G ( j )  P ( )  jQ ( )
gdzie:
(27)
P( )  ReG( j )
Q( )  ImG ( j )
Związek między postacią
następujące zależności:
G  j  
wykładniczą,
A2 ( )

A1 ( )
a
zespoloną określają
 P( )  Q( )
    arctg
2
Q 
P 
2
(28)
(29)
Z powyższych zależności wynika, że moduł transmitancji widmowej
|G(j)| określa stosunek amplitudy sygnału wyjściowego A2() do
wejściowego A1(), natomiast argument transmitancji () określa
przesunięcie fazowe między sygnałem wyjściowym i wejściowym.
9
2. Opiss podsta
awowych
i opeeratorowej.
elementów
w
w
dziedzinie
d
czasu
Zestawienie opisu
u elementów
w elektryccznych dzieedzinie czaasu i w
dziedzinnie operatorrowej.
Lp.
Naazwa elementu
u
1.
Reezystor
2.
Koondensator
3.
Ceewka
Zapis w dziedzinie czasu
c
Zapis w dzieedzinie
operatorow
wej
u R t   R it 
U R s   R I s 
u c t  
1
C


0
u L t   L
U c s  
i t dt
di t 
dt
1
I s 
Cs
U L s   L ssI (s)
Właściw
wości układó
ów elektryccznych:
 rezystancja
r
zastępcza ddwóch rezysstorów połąączonych szzeregowo
w
wynosi:
R z  R1  R2
r
zastępczza dwóch
h rezystorrów połąączonych
 rezystancja
r
równolegle
wynosi:
1
1
1


R z R1 R 2

ppojemność zastępczaa
s
szeregowo
wynosi:
w
 Rz 
dwóch
1
1
1


1
1
1
C1
C2
Cz

ppojemność zastępczaa
r
równolegle
wynosi:
R1 R2
R1  R2
kondensato
orów
 Cz 
dwóch
połąączonych
C1C 2
C1  C 2
orów
kondensato
połąączonych
C z  C1  C 2
10
Zestawienie opisu elementów
e
ppowodujący
ych straty (o
opory).
Lp
.
1.
2.
3.
4.
N
Nazwa
elementu
Rezzystor
Opóór tarcia w ru
uchu
posttępowym
Zapiss w dziedzinie czasu
Zapis w dzied
edzinie
operatorow
wej
u R t   R it 
U R s   R I s 
f  t   Rm v  t 
F  s   Rm V  s 
f r  t   Rr   t 
Fr  s   Rr   s 
Opóór tarcia w ru
uchu
obrootowym
Opóór przepływu
p1  t   p2  t   Rp i p  t P1  s   P2  s   Rp I p  s
Zestawienie opisu
u elementóów magazy
ynujących energię w postaci
kinetyczznej.
Lpp.
Nazwaa elementu
1.
Cewka ellektryczna
2.
Ciało twaarde o masie
m
w
ruchu
postępow
wym
3.
Zapis w ddziedzinie czasu
u L t   L
f t   m
di t 
dt
U L s   L sI (s)
dv  t 
F  s   m sV  s 
dt
Ciało twaarde w ruchu
obrotowyym
fr t   M r
4.
Zapiss w dziedziniee operatoroweej
Bezwładnność gazów i
cieczy
d  t 
Fr  s   M r s  s 
dt
p1  t   p 2  t   m p
di p 
dt
P1  s   P2  s   m p sI p  s 
11
Zestawienie opisu
u elementóów magazy
ynujących energię w postaci
potencjaalnej.
Lp
.
1.
2.
3.
4.
N
Nazwa
elementu
Z
Zapis w dziedzzinie czasu
Konndensator
u c t  
Elem
ment sprężysty w
ukłaadach
mecchanicznych ruchu
posttępowym
Elem
ment sprężysty w
ukłaadach
mecchanicznych ruchu
obrootowym
Spręężystość gazu
kom
morze
pneuumatycznej
f t  
fr  t  


0
U c s  
i t dt
1
I s 
C s
1
Cm
1
 v  t dt  f (0 F  s   C s V  s 
1
Cr
   t dt  f (0 F  s   C
1
Cp
1
( P s 
 i  t dt  p(0
C s
Ip s
1
Ch
1
 i  t dt  p(0 P  s   C s
I p s
t
0
m
1
t
0
r
r
r
s
s
w
p t  
5.
1
C
Zapis w ddziedzinie
operatoorowej
Nappełnianie zbiornika
ciecczą nieściśliw
wą w
ukłaadach
hydraulicznych
p t  
t
0 p
p
t
0 p
h
3. Opis układów w przestrzen
ni stanu
Liniowy, stacjo
onarny obiekkt może byćć opisany zaa pomocą liiniowego
równaniia różniczkowego, trannsmitancji operatorow
wej oraz za pomocą
stanu.
własności
równań
Opis
układów
w
dynam
micznych,
wykorzyystujących pojęcie
p
zmiiennych staanu, jest nowoczesnym
m opisem
o wiellu zaletacch. Opisujje zarówn
no układy
y jedno-, jak i
12
wielowymiarowe, przy czym jego postać w obu przypadkach jest taka
sama.
Pod pojęciem zmiennych stanu rozumie się pewien minimalny
zestaw zmiennych, tak zdefiniowanych dla danego układu, że
znajomość zależności tych zmiennych od czasu określa jednoznacznie
jego właściwości. Liczba zmiennych, wystarczająca do opisu układu
jest zazwyczaj równa rzędowi równania różniczkowego, wiążącego
sygnał wyjściowy z sygnałem wejściowym.
Jeżeli kolejne zmienne stanu są zdefiniowane w taki sposób, że
każda następna jest równa pochodnej poprzedniej zmiennej, to takie
zmienne są nazywane zmiennymi fazowymi. Przykładem zmiennych
fazowych mogą być: droga, prędkość, przyspieszenie.
Zmienne stanu można przyjąć w taki sposób, aby były
kombinacjami liniowymi zmiennych fazowych. Odpowiednie
zdefiniowanie zmiennych stanu może prowadzić do uproszczenia
obliczeń oraz łatwiejszych interpretacji fizycznych.
Przestrzenią stanu nazywamy prostokątny układ współrzędnych, na
którego osiach odkładamy wartości zmiennych stanu. W miarę upływu
czasu punkt, wyznaczony przez zmienne stanu, przesuwa się w tej
przestrzeni wzdłuż linii nazywanej trajektorią. Jeżeli jako zmienne stanu
wybierzemy zmienne stanu fazowe, to przestrzeń stanu nosi nazwę
przestrzeni fazowej, a trajektoria jest nazywana trajektorią fazową.
Przebieg dowolnej wielkości fizycznej będącej nośnikiem
informacji nazywać będziemy zmienną lub sygnałem. Wielkości
oddziaływujące na układ u1(t), u2(t), …, up(t) nazywać będziemy
wymuszeniami lub zmiennymi wejściowymi, a miejsca ich oddziaływania
– wejściami układu. Wymuszenia przedstawiają wielkości generowane
w innym układzie niż badany. Wśród wymuszeń wyróżniać będziemy
wielkości reprezentujące oddziaływania celowe, zwane sterowaniami,
oraz wielkości reprezentujące oddziaływania niepożądane, zwane
zakłóceniami. Wielkości oddziaływujące na inne układy y1(t),
y2(t),…,yq(t) nazywamy odpowiedziami lub zmiennymi wyjściowymi, a
miejsca ich oddziaływania – wyjściami układu.
Przebieg procesu dynamicznego w czasie zależy nie tylko od
wartości wymuszeń w danej chwili, ale również od wartości tych
wymuszeń w przeszłości. Można, więc powiedzieć, że proces (układ)
dynamiczny ma pamięć, w której są gromadzone skutki przeszłych
oddziaływań.
Stanem procesu nazywać będziemy najmniejszy liczebnie zbiór
wielkości x1(t), x2(t), …, xn(t), określających w pełni skutki
przeszłych oddziaływań na proces, który jest wystarczający do
przewidywania przebiegu procesu w przyszłości.
13
Wiellkości x1(t), x2(t), …,, xn(t) okrreślające prroces nazyywać
będzziemy zmien
nnymi (wsppółrzędnymi)
i) stanu. Zn
najomość sttanu
proccesu w chw
wili początko
kowej t0 ora
az wymuszeeń w przedzziale
[t0, t1] wystarczza do okreśślenia przeb
biegów odpowiedzi i sttanu
proccesu w przed
dziale [t0,t1)).
Rys.3. Schem
mat układu dyynamicznego
nych stanu równa się liczbie lin
niowo niezaależnych
Liczzba zmienn
warunkóów początkowych koniiecznych do
o wyznaczenia jednoznnacznego
rozwiązania równań
ń opisującyych układ.
Rów
wnania układ
du w przesttrzeni stanu mają ogóln
ną postać:
x  t   A  t  x  t   B  t  u  t 
y t   C t  x t   D t  u t 
(30)
gdziee: A(t) – macierz stanu ukłaadu o wymiarrze nxn, B(t) – macierz wym
muszenia o
wymiarze nxp,
n C(t) – maacierz odpowiiedzi o wymiaarze qxn, D(t)) – macierz
transmisyjna o wymiarze qxp.
Dla układów liiniowych nniestacjonarrnych elemeenty macierrzy A(t),
B(t), C((t), D(t) są funkcjami czasu t. Powyższym
P
równaniom
m można
przyporzządkować następujący
n
schemat bllokowy:
Ryys.4. Schematt blokowy ciąggłego układu liniowego nieestacjonarneggo.
Dla układów liniowych sttacjonarnych
h (o parametrach niezaależnych
od czasuu) elementy
y macierzy A, B, C, D są stałe i nie
n zależą ood czasu.
W tym przypadku
p
powyższe
p
róównania staanu przyjmu
ują postać:
x  t   Ax  t   Bu
B t 
D t 
y  t   Cx  t   Du
(31)
14
Dla układów dających się opisać za pomocą równań różniczkowych
równanie stanu i równanie wyjścia można opisać równaniem:
x  t   F u  t  , x  t  
y  t   G u  t  , x  t  
(32)
Powyższe równanie stanu jest równaniem różniczkowym
pierwszego rzędu, w ogólnym przypadku nieliniowym i zależnym
jawnie od czasu, a funkcja F jest n – elementową funkcją wektorową.
Równanie to można, więc rozpisać szczegółowo:
dx1  t 
 f1  x1 , x2 ,..., xn , u1 , u2 ,..., uk t 
dt
dx2  t 
 f 2  x1 , x2 ,..., xn , u1 , u2 ,..., uk t 
dt

(33)
dxn  t 
 f n  x1 , x2 ,..., xn , u1 , u2 ,..., uk t 
dt
Równanie wyjścia układu jest równaniem algebraicznym, przy czym
G jest l-elementowa funkcją wektorową. Rozpisując to równanie
otrzymamy:
y1  t   g1  x1 , x2 ,..., xn , u1 , u2 ,..., uk t 
y2  t   g 2  x1 , x2 ,..., xn , u1 , u2 ,..., uk t 
(34)

yn  t   g n  x1 , x2 ,..., xn , u1 , u2 ,..., uk t 
Powyższe równania mogą być linearyzowane w otoczeniu punktu
wybranego stanu układ (punktu pracy).
Często współrzędne wektora stanu x1, x2, x3, …, xn wybiera się w ten
sposób, aby:
dx1
 x1
dt
dx
x3  2  x2
dt

x2 
xn 
(35)
dxn
 xn 1
dt
15
Tak wybrane współrzędne
w
e stanu nazy
ywać będzieemy współrrzędnymi
fazowym
mi, a wekto
or x o skkładowych x1, x2, x3, …, xn – w
wektorem
fazowym
m układu. Współrzęddne fazow
we x1, x2, x3, …, xn w każdej
wybraneej chwili t jeednoznacznnie określająą w przestrzzeni n - wym
miarowej
położennie punktu, zwanego puunktem fazo
owym. Punk
kt ten przessuwa się
po krzyywej zwaneej trajektorrią fazową. Trajektorria fazowa stanowi
poglądoową, geomeetryczną iluustrację przebiegu proccesu dynam
micznego
w układdzie. Rodziinę trajekttorii fazow
wych nazywa się pportretem
fazowym
m układu, natomiastt powyższąą n – wym
miarową prrzestrzeń
nazywa się przesttrzenią fazzową. W przypadku,
p
gdy n = 2 mówić
będziem
my o płaszczzyźnie fazow
wej.
Rys.5. Scheemat blokowy jednowymiarrowego układu liniowego.
Na rys.5
r
przedsstawiono bllokowo ukłaad jednowymiarowy, o sygnale
wejściow
wym u(t) i wyjściowyym y(t), dlaa którego chcemy
c
wyyznaczyć
opis w przestrzeni
p
stanu.
s
Załóóżmy, że dlla tego ukłładu transm
mitancja opeeratorowa G
G(s) jest
znaną, wymierną
w
fu
unkcją operratora s:
Y s  a m s m  am 1s m1  ...  a1s  a0
G s  

U s 
bn s n  bn1s n1  ...  b1s  b0
(36)
orazz, że stopieeń wielomiianu w licczniku jest niższy odd stopnia
wielomiianu w mian
nowniku (m
m < n).
Podzzielmy licznik i m
mianownik transmitancji przez bn’sn i
wprowaadźmy nowee oznaczeni a współczynników:
a
am mn am1 m1n
a
s
s 
 ...  1 s1n  0 s n
Y s  bn
bn
bn
bn

G s  

bn1 1
b1 1n b0 n
U s 
s  ...  s  s
1
bn
bn
bn

(37)
am s mn  am1s m1n  ....  a1s1n  a0 s n
1  bn1s n1  ...  b1s1n  b0 s n
Wprrowadźmy sygnał pom
mocniczy e(t) o tran
nsformacie E(s) w
następujjący sposób
b:
16
G s  
Y s  Y s  E s 

U s  E s  U s 
(38)
Transmitancję daną wzorem (38) możemy przedstawić jako iloczyn
dwóch następujących czynników:
E s 
1

n1
U s  1  bn1s  ...  b1s1n  b0 s n
(39)
Y s 
 am s mn  am1s m1n  ...  a1s1n  a0 s n
E s 
(40)
Przekształcając wzory (39) i (40) można otrzymać następujące
zależności:
E s   U s   bn1s n1E s   ...  b1s1n E s   b0 s  n E s 
Y s   am s
m n
E s   am1s
m 1 n
(41)
E s   ...  a1s E s   a0 s E s  (42)
1n
n
Na rys.6. przedstawiono schemat blokowy, będący ilustracją równań
(41) i (42). Umieszczono na nim w postaci trójkątów n członów
całkujących połączonych szeregowo. Transformatę Laplace’a sygnału
wejściowego pierwszego z tych członów oznaczono E(s). Zgodnie z
zasadą działania członu całkującego na jego wyjściu uzyskamy sygnał o
transformacie s-1E(s). Na wyjściu ostatniego n - tego elementu
całkującego otrzymamy sygnał o transformacie s-nE(s).
Jak widać z tego rysunku, sygnał o transformacie E(s) uzyskujemy z
wyjścia pierwszego węzła sumacyjnego, do którego wejść
doprowadzony sygnał u(t) układu przedstawionego na rys.6. oraz
sygnały sprzężenia zwrotnego pobrane z wyjść odpowiednich członów
całkujących poprzez elementy proporcjonalne, zgodnie z równaniem
(41).
Wytworzenie sygnału wyjściowego y(t) układu z rys.6 wymaga,
zgonie ze wzorem (42), zsumowania odpowiednich sygnałów
wyjściowych członów całkujących, doprowadzonych do drugiego węzła
sumacyjnego poprzez odpowiednie elementy proporcjonalne.
17
Ryss.6. Schemat blokowy ilusttrujący sposób
b wyboru zmieennych fazow
wych
18
Zdefiniujemy obecnie fazowe zmienne stanu. Jako zmienną stanu
x1(t) przyjmijmy sygnał wyjściowy ostatniego elementu całkującego.
Jako drugą zmienna stanu x2(t) przyjmijmy sygnał wyjściowy
przedostatniego elementu całkującego, który jako sygnał wejściowy
ostatniego elementu całkującego może być pochodną poprzedniej
zmiennej stanu. Ostatnia zmienną stanu jest xn(t), gdzie jak widać,
sygnał wyjściowy pierwszego elementu całkującego i będzie równy
pochodnej sygnału xn-1(t). Pochodna zmiennej stanu xn(t) jest równa
sygnałowi pomocniczemu e(t).
Wykorzystując zdefiniowane zmienne stanu, można utworzyć
następujący układ równań:
x1  x2
x2  x3
(43)

xn1  xn
xn  b0 x1  b1 x2  b2 x3    bn1 xn  u
Wprowadzając następujące oznaczenia macierzowe:
 x1 
 x 
 2 
x    ;
 
 x n1 
 x n 
 
 0
 0

A 

 0
  b0
1
0

0
 b1
0
1

0
 b2
0
0

0
 b3

0

0



0
  bn2





1 
 bn1 
0
0
0 
0 
 
B    (44)
 
0 
1 
można układ równań (43) zapisać w postaci macierzowej:
x  Ax  Bu
(45)
Po wprowadzeniu zmiennych stanu równanie (44) przyjmuje postać:
y  a0 x1  a1 x2  ...  am xm1
(46)
którą dzięki oznaczeniu :
c  a0
a1  am
0  0
(47)
można przekształcić do postaci macierzowej:
y  Cx
(48)
19
Otrzzymaliśmy w ten spoosób macieerzowy ukłład równańń układu
w przesttrzeni stanu
u:
x  Ax  Bu
u
y  Cx
(49)
m układu prrzedstawion
nego na rys.5.
któryy jest opisem
5. Zadaania rachun
nkowe.
Przyykład 1.
Wyzznaczyć tran
nsmitancję cczwórnika przedstawio
p
onego na ryys.7,
gdziie wielkościią wejściow
wą jest nap
pięcie u1(t)), a wielkoością
wyjśściową napiięcie u2(t).
Rys.7. Czw
wórnik elektrryczny typu RC.
R
Zakłładając, żee prąd obbciążenia czwórnika
c
jest równny zeru,
zachowaanie omaw
wianego czw
wórnika mo
ożna opisać układem równań
wynikającym z mettody praw K
Kirchoffa:
t
1
u1  t   Ri  t    i  t  dt
C0
u2  t  
t
1
i  t  dt
C 0
dziny operratorowej
Trannsformują powyższe równania do dzied
(zgodniee z opisem elementów
w elektryczn
nych) otrzy
ymamy operratorowy
układ róównań:
U1  s   RI  s  
U2 s 
1
I s
Cs
C
1
I s
Cs
Podsstawiając powyższe
p
równania do wzoru
u na transsmitancję
operatorrową układu
u otrzymam
my:
20
G s 
U1  s 
U2  s

1
1
I s R 
1
Cs 
Cs

1
1
RCs  1
I s
Cs
Cs
RI  s  
n
rys.7. opisuje
Podssumowując, czwórniik przedsttawiony na
transmittancja operaatorowa człoonu inercyjnego stałej czasowej TT=RC.
Przyykład 2.
Wyzznaczyć tran
nsmitancję w
widmową układu
u
przed
dstawionegoo na
rys.88, zarówno w postaci w
wykładniczejj, jak i zespolone.
Rys.8. Czw
wórnik elektry
ryczny typu RC
C.
Widdząc, że ukłaad ten opisaany jest tran
nsmitancją operatorową
o
ą:
G s 
Podsstawiając
otrzymuujemy:
do
U1  s 
U2  s
powyyższej
G  j  

1
RCs
R 1
traansmitancji
zależnośćć
s=j
1
RCj  1
naczenia trransmitancjji widmow
wej układuu należy
W celu wyzn
mnożyć przez
p
warto
ość zespolloną do
powyższzą transmiitancję pom
mianow
wnika, czylli: 1-RCj. Dokonu
ując dalszzych przekkształceń
otrzymaamy:
G  j  
1
1  RCj
1  RCj
Cj
1  RCj

 j 2  1 

2 2 2
2
RCj  1 1  RCj 1   RC  j 
1   RC   2
21
Na podstawie powyższej postaci transmitancji widmowej
wyznaczamy cześć rzeczywistą P() i część urojoną Q(), które
przyjmują postać:
P   
Q   
1
1   RC   2
2
 RC
1   RC   2
2
Przykład 3.
Dany jest układ
o jednym wejściu i jednym wyjściu, opisany
2s  1
Y s 
 2
transmitancją operatorową: G s  
U s  s  2 s  3
W pierwszym korku licznik i mianownik dzielimy przez s2 i
rozdzielamy na dwa czynniki:
G s  
Y s  Y s  E s 
1

 2s 1  s 2
1
U s  E s  U s 
1  2s  3s 2


Z podziału tego wynika, że:
Y s 
E s 
1
 2s 1  s 2 ;

1
E s 
U s  1  2s  3s 2
Przekształcające te zależności do postaci zgodnej z wzorami (41) i
(42) otrzymujemy:
E s   U s   2s 1 E s   3s 2 E s 
Y s   2s 2 E s   s 2 E s 
Na podstawie tych równań można zbudować schemat blokowy,
przedstawiony na rys.6 w skład którego wchodzą dwa elementy
całkujące. Sygnał na wyjściu drugiego elementu całkującego
oznaczymy jako zmienną x1, a na wyjściu pierwszego elementu
całkującego jako zmienną x2. Układamy następnie układ równań dla
zmiennych stanu:
x1  x2
x2  3x1  2 x2  u
22
orazz równanie dla
d sygnału wyjścioweg
go:
y  x1  2x2
wnania te po
o przyjęciu ooznaczeń:
Rów
 x 
x   1 ;
 x2 
1
0
0
; B   ; C  1 2
A

  3  2
1
o
ppostaci:
zapisujemy w ostatecznej
x  Ax  Bu
u
y  Cx
R
Rys.9.
Modeel układu w przestrzen
ni stanu o trransmitancj
cji
G s  
2s  1
Y s 

U s  s 2  2 s  3
6. Literatura
1. Zbiggniew WA
AŁACH „
„Cybernetykka technicczna. Częśść I –
Ekspploatacja
”,
Wydzział
Wyd
dawniczy
osprzętu”
WAT,
Warrszawa 1983
3
2. Januusz KOW
WAL „Poddstawy au
utomatyki T1”, Ucczelniane
Wyddawnictwa Naukowoo-Dydaktyczzne AGH, Kraków
w 2004,
Sygnnatura: 6037
78
3. Tadeeusz Kaczorek „Teoriaa sterowania
a. Tom I Ukkłady liniow
we ciągłe
i dysskretne”. Paaństwowe W
Wydawnictw
wo Naukow
we, Warszaw
wa 1977.
4. Dariiusz Horla „Podstawy
„
aautomatyki. Ćwiczenia rachunkow
we. Część
I”, Wydawnictw
W
wo Politechhniki Poznań
ńskiej, Pozn
nań 2003.
23