Lista zadan nr 7 z matematyki dyskretnej

LISTA ZADA NR 7 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ
Teoria liczb
1. Uzasadnij poni sze cechy relacji podzielno ci w zbiorze liczb całkowitych.
Dla dowolnych a, b, c ∈ Z
a) a | a dla a ≠ 0 ;
b) (a | b ∧ b | c ) a | c dla a ≠ 0 i b ≠ 0 ;
c) (a | b ∧ a | c )
d) (a | b ∧ b | a )
∧
x , y∈ Z
a | (bx + cy ) ;
a = ±b .
2. Dla zadanych liczb a ∈ Z i b ∈ N + przedstaw rozkład liczby a w nast puj cy sposób:
a = bq + r ,
gdzie q, r ∈ Z oraz 0 ≤ r < b .
b = 2;
a) a = 47 ,
b) a = 20 ,
b = 4;
c) a = −23 , b = 5 ;
b = 35 ;
d) a = 20 ,
Udowodnij jednoznaczno takiego rozkładu dla ustalonych liczb a ∈ Z i b ∈ N + .
3. Liczby a, b ∈ N + zapisz jako iloczyn liczb pierwszych, a nast pnie wyznacz ich najwi kszy
wspólny dzielnik NWD(a, b) , oraz najmniejsz wspóln wielokrotno NWW (a, b) . Sprawd ,
dla podanych przykładów, czy zachodzi zwi zek:
NWD(a, b) ⋅ NWW (a, b) = a ⋅ b .
a) a = 30 ,
b = 75 ;
b) a = 100 , b = 144 ;
b = 121 ;
c) a = 77 ,
4. Wykorzystuj c algorytm Euklidesa wyznacz NWD(a, b) dla nast puj cych liczb a, b ∈ N + :
a) a = 1029 , b = 1071 ;
b) a = 278 , b = 394 ;
Uzasadnij poprawno działania tego algorytmu.
5. Uzasadni , e dla dowolnych liczb a, b ∈ N + równanie
ax + by = NWD(a, b)
ma rozwi zanie ( x, y ) ∈ Z 2 (rozszerzony algorytm Euklidesa).
Korzystaj c z rozszerzonego algorytmu Euklidesa rozwi poni sze równania w zbiorze liczb
całkowitych.
a) 1547 x + 560 y = 7 ;
b) 111x + 21 y = 3 .
Czy równanie 111x + 21y = 1 ma rozwi zanie w zbiorze liczb całkowitych?
Czy równanie 111x + 21 y = 6 ma rozwi zanie w zbiorze liczb całkowitych?
6. Sprawdzi , e relacja przystawania modulo n jest relacj równowa no ci w zbiorze Z .
Wyznaczy klasy abstrakcji wzgl dem tej relacji dla n = 6 .
Uzasadni nast puj ce własno ci kongruencji:
a) [a ≡ b (mod n) ∧ c ≡ d (mod n)] a ± c ≡ b ± d (mod n) ;
b) [a ≡ b (mod n) ∧ c ≡ d (mod n)] ac ≡ bd (mod n) .
7. Korzystaj c z własno ci kongruencji uzasadni cechy podzielno ci liczb naturalnych przez 3,
9 i 11.
8. Poda zbiór rozwi za nast puj cych kongruencji w zbiorze liczb całkowitych:
a) 21x ≡ 5 (mod 36) ;
b) 4 x ≡ 6 (mod 7) ;
c) 3x ≡ 59 (mod 100) ;
d) 3x ≡ 27 (mod 33) .
9. Rozwi za układ kongruencji:
x ≡ 1(mod13)
x ≡ 8 (mod13)
a)
,
b)
.
x ≡ 4 (mod15)
x ≡ 65 (mod 99)
10. Stosuj c Chi skie Twierdzenie o Resztach wyznaczy najmniejsze nieujemne rozwi zanie
układu kongruencji:
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 0 (mod 2)
x ≡ 7 (mod10)
a) x ≡ 12 (mod13) ,
b)
.
x ≡ 10 (mod11)
x ≡ 2 (mod15)
x ≡ 1(mod 7)
11. Obliczy warto ci funkcji Eulera (n) dla kilku liczb naturalnych dodatnich n: 1, 2, 3, 4, 7,
10,13.
Uzasadnij nast puj ce własno ci funkcji Eulera:
a) ( p ) = p − 1 dla dowolnej liczby pierwszej p;
b) ( p 2 ) = p ( p − 1) dla dowolnej liczby pierwszej p;
c) ( p q) = ( p − 1)(q − 1) dla dowolnych liczb pierwszych p i q.
12. Sprawdzi czy:
a) 5 ( 6 ) ≡ 1(mod 7) ;
b) 4 ( 6 ) ≡ 1(mod 7) ;
13. Wykorzystuj c Twierdzenie Eulera obliczy mo liwie szybko:
a) 16 75 mod 35 ;
b) 2100 mod 3 ;
c) 2155 mod 32 .
14. Obliczy mo liwie szybko:
a) ostatni cyfr liczby 3999999 ,
b) reszt z dzielenia liczby 14111 przez 15.
Dorota Majorkowska-Mech