Rachunek Prawdopodobieństwa, lista 2

Rachunek Prawdopodobieństwa, lista 2
Zad.13. Mamy trzy bardzo podobne klucze, z których tylko jeden pasuje do zamka. W ciemności
próbujemy klucze w kolejności losowej i jeśli trafimy na niedobry, to go chowamy. Oblicz prawdopodobieństwo otwarcia zamka: a) w pierwszej próbie, b) w drugiej próbie, c) w trzeciej próbie.
Zad.14. Pewien środek owadobójczy zabija 80% szkodników przy pierwszym zastosowaniu, ale częściowo uodparnia te owady, które przeżyły. W rezultacie przy drugim zastosowaniu ginie już tylko
40% pozostałych, a przy trzecim — już tylko 20%. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że szkodnik
przeżyje: a) trzy spryskania, b) trzy pod warunkiem, że przeżył pierwsze, c) trzy pod warunkiem, że
przeżył drugie.
Zad.15. Pewien gen występuje u 0,1% ludzi. Przygotowano test do jego wykrycia. Nie ma jednak
testów doskonałych, więc ten test daje pozytywny odczyt u 99% osób mających ten gen i u 5% osób,
które tego genu nie mają.
a) Stosując wzór Bayesa oblicz prawdopodobieństwo, że dana osoba mająca dodatni odczyt naprawdę
ma ten gen.
b) Wynik w a) nie jest (delikatnie mówiąc) rewelacyjny. O jaką zmianę w tym teście powinien zadbać
wynalazca, aby test był naprawdę dobry?
Zad.16. Każdy z dwóch niezależnych systemów alarmowych działa z prawdopodobieństwem 0,9. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że oba zawiodą jednocześnie?
Zad.17. Trzech korektorów pracuje niezależnie. Pierwszy wykrywa 90% błędów, drugi 80%, a trzeci
70%. Jaki procent błędów wykrywają łącznie? Jaki procent błędów wykrywa tylko trzeci?
Zad.18. Pewna komisja składa się z trzech osób, które przychodza na jej posiedzenia niezależnie, przy
czym pierwsza z prawdopodobieństwem 34 , druga z 21 , a trzecia z 14 . Oblicz prawdopdobieństwo tego,
że na zebranie przyjdą co najmniej dwie osoby.
Zad.19. Bombowiec spełni swą misję, gdy nawigator znajdzie obiekt, a bombardier trafi w niego. Dla
nawigatorów N i n prawdopodobieństwa odnalezienia obiektu są równe 0,9 i 0,8, a dla bombardierów
B i b wynoszą one odpowiednio 0,7 i 0,6. Jakie skompletowanie załóg samolotów (NB i nb czy raczej
Nb i nB) da większe prawdopodobieństwo wypełnienia misji?
Zad.20. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w serii 10 rzutów symetryczną kostką otrzymamy łącznie: a) 59 oczek, b) 58 oczek.
Zad.21. Załóżmy, że grasz w tenisa z równorzędnym przeciwnikiem. Czy łatwiej jest wygrać:
a) co najmniej jeden mecz z dwóch czy co najmniej dwa z czterech?
b) co najmniej dwa z trzech czy co najmniej trzy z pięciu?
Zad.22. Ile co najmniej rzutów symetryczną kostką należy wykonać, aby prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej „szóstki” było wieksze od 0,999?
Zad.23. Ile prób w schemacie Bernoulliego z parametrem p ∈ (0, 1) należy wykonać, aby prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu było większe od 0,999?
Odpowiedzi: 13. We wszystkich przypadkach 13 ; 14. a) 0,096, b) 0,48, c) 0,8; 15. a) ok. 0,02; 16. 0,01;
17. a) 99,4% b) 1,4%; 18. 0,5; 19. P(NB+nb)=0, 8076, P(Nb+Nb)=0, 7976, Wniosek: Najwyższą wydajność osiągamy, łącząc w zespoły osoby najlepsze w swoim fachu lub, równoważnie, przydzielając
najlepszym pracownikom najlepszy sprzęt albo dając najwięcej środków na badania najlepszym na5
55
ukowcom. 20. a) 30 233
, b) 60 466
; 21. a) Łatwiej co najmniej jeden z dwóch, b) w obu przypadkach
088
176
ln 0,001
1
; 22. 38; 23. ln(1−p) .
2