Ruch drgający
Transkrypt
Ruch drgający
Ruch harmoniczny. Przemiany energii w ruchu harmonicznym. Zazwyczaj kiedy obserwujemy rzeczywisty ruch drgający zauważamy, że po pewnym czasie gaśnie. Odpowiedzialne są za to opory ruchu. Gdyby udało się nam zlikwidować wszelkie przyczyny oporów, wówczas otrzymali byśmy drgania zwane harmonicznymi. Ciało, które wykonuje ruchy harmoniczne nazywamy oscylatorem harmonicznym. Załóżmy, że mamy pewne ciało przymocowane do sprężyny, które wykonuje drgania. Nasz układ ciało-sprężyna pracuje w płaszczyźnie poziomej, co pozwala nie brać pod uwagę zmian energii potencjalnej w polu grawitacyjnym (ponieważ zmiany takie nie zachodzą, gdy wszystko dzieje się na tej samej wysokości). Dodatkowo ciało porusza się po idealnie gładkiej powierzchni czyli bez tarcia. Powoduje to, że nie ma strat energii w postaci wydzielania się ciepła, czyli nasz układ nie wymienia energii z otoczeniem i wykonuje drgania harmoniczne. Zanim układ zacznie drgać musimy go wychylić z położenia równowagi. Do tego celu przykładamy siłę zewnętrzną i ściskamy lub rozciągamy sprężynę. Zgodnie z III zasadą dynamiki jeśli ciało, poprzez siłę zewnętrzną , działa w kierunku poziomym na sprężynę, to sprężyna działa na ciało siłą swojej sprężystości również w kierunku poziomym ale z przeciwnym zwrotem. Obie siły są takie same co do wartości. Dodatkowo, rozciągając sprężynę dokonujemy tego używając coraz większej siły. Możemy zapisać, że wartość siły zewnętrznej jest proporcjonalna do wydłużenia bądź ściśnięcia: . To samo z racji równości tyczy się również siły sprężystości: . (bezwzględna wartość pojawia się dlatego, że wychylenie z położenia równowagi możemy dokonać w dodatnim lub ujemnym kierunku osi). Prędkość ciała w ruchu drgającym nie zmienia się jednostajnie. Przemiany energii w ruchu harmonicznym Pole powierzchni zakreślonej pod wykresem jest równe wartości wykonanej pracy. Znaczy to, że z interpretacji wykresu możemy zapisać wzór na pracę wykonaną przez siłę zewnętrzną: Siłę zewnętrzną możemy wyrazić znanym nam wzorem . Po podstawieniu do ostatniej równości na pracę otrzymujemy: Energia kinetyczna jest związana z prędkością ciała (rozpędzone ciało może zgnieść lub rozciągnąć sprężynę) a potencjalna sprężystości z pewnym stanem ciała wskazującym na gotowość wykonania pracy (na przykład z gotowością do rozpędzenia ciała). W przypadku gdy nasz układ rozciągniemy lub ściśniemy wychylając go z położenia równowagi o |x|, wówczas poprzez wykonanie pracy przez siłę zewnętrzną gromadzimy w nim energię potencjalną sprężystości: Jeśli przy pomocy siły zewnętrznej wychylimy ciało zamocowane do sprężyny na odległość równą amplitudzie A, z jaką układ będzie miał drgać, to wykonana praca będzie równa całkowitej energii mechanicznej układu czyli: Nasz układ, czyli oscylator harmoniczny wykonując drgania, zgodnie z zasadą zachowania energii przekształca cyklicznie energię potencjalną w kinetyczną i z powrotem w potencjalną. Przekształca w taki sposób, że całkowita energia układu nie ulega zmianie. Znaczy to, że energię kinetyczną możemy wyznaczyć jako różnicę między całkowitą energią mechaniczną a energią potencjalna sprężystości co możemy zapisać w postaci równania: Czyli po wystawieniu odpowiednich wielkości w prawej stronie równania przed nawias otrzymujemy: Przyglądając się ostatniemu równaniu widzimy wyraźnie, że gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi (gdzie x = 0) jego energia kinetyczna wynosi , potencjalna sprężystości musi być równa zero.