definicja kondensator
Transkrypt
definicja kondensator
ELEKTRYKA Zeszyt 1 (217) 2011 Rok LVII Maciej WŁODARCZYK, Andrzej ZAWADZKI Katedra Elektrotechniki i Systemów Pomiarowych, Politechnika Świętokrzyska w Kielcach OBWODY RLC W ASPEKCIE POCHODNYCH NIECAŁKOWITYCH RZĘDÓW DODATNICH Streszczenie. Obecnie duże zainteresowanie wzbudzają tzw. superkondensatory, dla których klasyczne charakterystyki nie są dokładne. Próbuje się więc do opisu charakterystyk wykorzystać pochodne ułamkowego rzędu. W pracy przedstawiono analizę obwodów RLC w stanie nieustalonym przy zastosowaniu pochodnych ułamkowego rzędu. Założono, że zależności między prądami a napięciami zarówno w cewce, jak i kondensatorze są opisane pochodnymi ułamkowego rzędu. Podano ogólne rozwiązania takiego obwodu, a dla wybranych rzędów pochodnych i parametrów przedstawiono uzyskane wyniki na wykresach. Słowa kluczowe: stan nieustalony, równanie różniczkowe niecałkowitego rzędu, obwody RLC RLC CIRCUITS IN ASPECT OF POSITIVE FRACTIONAL DERIVATIVES Summary. At present, the so-called supercapacitors, classic characteristics of which are not precise, arouse high interest. To describe their characteristics ones tray to use fractional derivatives that model a supercapacitor as a system built with RLC elements. In the paper, the analysis of such circuits in transient state is presented. There is assumed, that dependencies between currents and voltages in a coil as well as in a capacitor are described with fractional derivatives. There are announced general solutions of such a circuit For selected degrees of derivatives obtained results are presented in diagrams,. Keywords: stan nieustalony, równanie różniczkowe niecałkowitego rzędu, obwody RLC 1. WPROWADZENIE Jak wiadomo, analizę obwodów RLC w stanie nieustalonym przeprowadza się rozwiązując zwyczajne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Powstaje ono w związku z różniczkowymi zależnościami pomiędzy napięciem i prądem na cewce i kondensatorze. Obecnie duże zainteresowanie wzbudzają tzw. superkondensatory o bardzo dużych pojemnościach, dla których klasyczne charakterystyki nie są dokładne i próbuje się tu zastosować pochodne ułamkowego rzędu [6]. 76 M. Włodarczyk, A. Zawadzki Przy założeniu że zależności między prądami a napięciami zarówno w cewce, jak i kondensatorze są opisane przez pochodne niecałkowitego rzędu, to dla takiego obwodu szeregowego RLC, zasilanego napięciem e(t), można napisać równania: LD α i Ri u et i CD u α (1) gdzie: i – prąd w obwodzie, u – napięcie na kondensatorze, D α – ogólny symbol pochodnej rzędu α. Sprowadzając je do jednego równania rzędu 2α, uzyskano: LCD 2α u CRD u u et α (2) Dla funkcji ciągłych istnieją dwie definicje pochodnych niecałkowitego rzędu [1,2,3]: definicja Riemanna – Liouville’a (R-L): 1 dk t k 1 f d D f t t a t k dt k a (3) gdzie: k 1 k , x e t t x 1 dt – funkcja gamma 0 definicja Caputo (C): t 1 f n C D f t d a t n a t 1 n (4) gdzie: n 1 n . Stosując przekształcenie Laplace’a dla pochodnych zdefiniowanych wg Riemanna – Liouville’a, otrzymuje się [3,5]: j 1 L 0 Dt f t s F s s k 0 Dt k 1 f 0 k 0 (5) gdzie: j 1 j N . Natomiast dla pochodnych zdefiniowanych wg Caputo [3,5]: f t s F s n s k 1 f k 0 LC D 0 t k 0 (6) gdzie: n 1 n N . Po porównaniu związków (5) i (6) nasuwa się wniosek, że wygodniej jest stosować definicję Caputo, ponieważ w tym wypadku przy określaniu przekształcenia Laplace’a Obwody RLC w aspekcie… 77 występują pochodne całkowitego rzędu dla warunków początkowych – co ma łatwą interpretację fizyczną. Stosowanie definicji Riemanna – Liouville’a napotyka na pewne trudności, ponieważ występują tu pochodne niecałkowitego rzędu dla warunków początkowych, których interpretacja fizyczna jest niewyjaśniona. Przy zerowych warunkach początkowych wybór definicji nie ma znaczenia. Zatem, stosując przekształcenie przekształcenia Laplace’a do równania (2) dla zerowych warunków początkowych i źródła napięcia stałego, otrzymuje się: LCs 2 U s RCs U s U s E s (7) skąd: U s E 1 1 LCs 2 R s s L LC (8) Przeprowadzając rozkład na ułamki proste: 1 A B 1 s x s x 2 R s s 1 2 L LC gdzie: R x1,2 2L , R2 1 2 LC 4L i obliczając współczynniki A i B: A 1 x1 x 2 , B 1 x 2 x1 otrzymuje się ostatecznie transformatę Laplace’a napięcia na kondensatorze w postaci: 1 1 U ( s) 2 LC s s x s s x 2 1 E (9) Aby otrzymać napięcie na kondensatorze w funkcji czasu, należy dokonać odwrotnego przekształcenia Laplace’a do wyrażenia (9). 1 1 E 1 1 u t L L 2 LC s s x s s x 2 1 (10) Opierając się na związku [1, 2, 3, 5]: r L 1 rt E , 1 t s s k u gdzie: E – funkcja Mittag-Lefflera. , u k k 0 (11) 78 M. Włodarczyk, A. Zawadzki Otrzymano napięcie na kondensatorze w postaci: u t E t x2k x1k t k 2 LC k 0 k 1 (12) Aby wyznaczyć prąd w rozpatrywanym obwodzie, opierając się na drugim równaniu układu (1), należy obliczyć pochodną ułamkową napięcia u(t). Najwygodniej jest uczynić to dla transformaty napięcia – (8). I tak, przy zerowym warunku początkowym [2,5] otrzymano: I s E s 1 Ls 2 R s s L LC (13) Do wyznaczenia transformaty odwrotnej również i tu przeprowadzono rozkład na ułamki proste: 2 s otrzymując: A x1 , x1 x 2 B s A B R 1 s x1 s x2 s L LC x2 . x 2 x1 A zatem transformata Laplace’a prądu w obwodzie uzyskuje postać: I s a w funkcji czasu: it E x1 x 2 Lx1 x2 s s x1 s s x2 1 1 E x1 x 2 Lx1 x2 s s x1 s s x2 (14) co ostatecznie dało: k t x1k 1 x2k 1 E t it L x1 x2 k 0 k 1 (15) Obliczając napięcie na cewce i mając na uwadze poczynione wcześniej założenia, otrzymano kolejno: U L s s LI s U L s E s 2 s 2 R 1 s s L LC (16) (17) Obwody RLC w aspekcie… 79 Napięcie na cewce w funkcji czasu jest odwrotną transformatą Laplace’a wyrażenia (17). Aby dokonać rozkładu na ułamki proste, należy najpierw podzielić przez siebie wielomiany licznika i mianownika w wyrażeniu (17): s 2 RCs 1 1 1 R 1 2 R s LC s 2 s s L LC L LC i zastosować rozkład na ułamki proste reszty z dzielenia: RCs 1 A B 1 s x s x 2 R s s 1 2 L LC x RC 1 x RC 1 2 Współczynniki A i B są w tym wypadku równe: A 1 ; B x x 1 2 x x 1 2 więc transformata napięcia na cewce otrzymuje postać: U s E L s E x RC 1 E x RC 1 1 1 1 2 LC x x s s x LC x x s s x 1 2 1 2 1 2 (18) Zatem, napięcie na cewce w funkcji czasu przedstawia zależność (19). t E t u L t E LC x x k 0 1 2 k x RC 1 x k x RC 1 x k 2 1 1 2 k 1 (19) Napięcie na kondensatorze, prąd i napięcie na cewce w obwodzie RLC niecałkowitego rzędu wyrażają związki (12), (15) i (19). 2. EKSPERYMENTY NUMERYCZNE Realizacja numeryczna postawionego zagadnienia nie jest prosta, ponieważ w związkach (12), (15) i (19) występują szeregi funkcyjne nieskończone, które są na ogół rozbieżne, mimo to można otrzymać wartości funkcji przedstawionych przez te szeregi, biorąc sumę odpowiedniej liczby wyrazów tego szeregu – jest to tzw. zbieżność asymptotyczna [4]. W pracy [2] zamieszczono uwagę, że funkcję Mittag-Lefflera można traktować jako uogólnienie funkcji y = exp(-t/) tylko przy założeniu, że - s- <1, a więc dla małych wartości czasu i dla odpowiednich stałych czasowych, które wynikają z parametrów R, L i C. 80 M. Włodarczyk, A. Zawadzki W celu wizualizacji przebiegów napięć i prądu w środowisku MATLAB napisano odpowiedni program, który dla podanych parametrów obwodu i wybranych rzędów pochodnych oblicza wartości funkcji i wykreśla ich przebiegi. Na każdym wykresie jest przedstawiony, dla porównania, przebieg funkcji uzyskany z klasycznego rozwiązania (=1) oraz przebiegi dla trzech wybranych rzędów. W pracy przeanalizowano dwa przypadki stanu nieustalonego obwodu RLC: aperiodyczny i oscylacyjny. W dalszej części zostaną przedstawione wyniki analiz stanu nieustalonego obwodu RLC rzędu w postaci wykresów przebiegów prądu i napięć na poszczególnych elementach. 2.1. Przypadek aperiodyczny Dla przypadku aperiodycznego przyjęto następujące wartości parametrów: R=0,3 Ω, L=0,1 H, C=10F. I tak rysunki 1, 2 i 3 przedstawiają kolejno napięcie na kondensatorze, prąd w obwodzie i napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7, natomiast rysunki 4, 5 i 6 dla α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3. 1 0.9 0.8 0.7 u [V] 0.6 alfa = alfa = alfa = alfa = 0.5 0.4 1 0.9 0.8 0.7 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 t [s] 5 6 7 8 Rys. 1. Napięcie na kondensatorze dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek aperiodyczny) Fig. 1. Capacitor voltage for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (aperiodic case) Obwody RLC w aspekcie… 81 2.5 alfa = alfa = alfa = alfa = 2 1 0.9 0.8 0.7 i [A] 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 t [s] 5 6 7 8 Rys. 2. Prąd w obwodzie dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek aperiodyczny) Fig. 2. Current in the circuit for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (aperiodic case) 1.2 alfa = alfa = alfa = alfa = 1 1 0.9 0.8 0.7 0.8 uL [V] 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] 3 3.5 4 4.5 Rys. 3. Napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek aperiodyczny) Fig. 3. Coil voltage for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (aperiodic case) 5 82 M. Włodarczyk, A. Zawadzki 1.4 1.2 1 u [V] 0.8 0.6 alfa = alfa = alfa = alfa = 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 t [s] 6 7 8 1 1.1 1.2 1.3 9 10 Rys. 4. Napięcie na kondensatorze dla rzędów α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 (przypadek aperiodyczny) Fig. 4. Capacitor voltage for orders α = 1; 1,1 ; 1,2 and 1,3 (aperiodic case) 3.5 alfa = alfa = alfa = alfa = 3 2.5 1 1.1 1.2 1.3 i [A] 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 t [s] 6 7 8 9 Rys. 5. Prąd w obwodzie dla rzędów α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 (przypadek aperiodyczny) Fig. 5. Current in the circuit for orders α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 (aperiodic case) 10 Obwody RLC w aspekcie… 83 1 alfa = alfa = alfa = alfa = 0.8 1 1.2 1.3 1.4 0.6 uL [V] 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] 3 3.5 4 4.5 5 Rys. 6. Napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 1,2 ; 1,3 i 1,4 (przypadek aperiodyczny) Fig. 6. Coil voltage for orders α = 1; 1,2 ; 1,3 and 1,4 (aperiodic case) Analizując te wykresy w porównaniu z rozwiązaniem klasycznym (α = 1), można zauważyć, że dla rzędów mniejszych od 1 napięcia na kondensatorze: w pierwszej fazie szybciej rosną, ale później wolniej rosną do napięcia ustalonego (rys. 1). Prąd w obwodzie również początkowo szybciej narasta, ale osiąga mniejsze wartości maksymalne i wolniej opada do zera (rys. 2). Napięcia na cewce w pierwszej fazie opadają szybciej, ale później przebiegi są bardziej spłaszczone, tak że coraz dłużej są utrzymywane wartości dodatnie (rys. 3). Dla rzędów większych od 1 napięcie na kondensatorze wolniej rośnie, ale później osiąga większe wartości niż ustalone, aby z kolei opaść do wartości ustalonej (można zaobserwować tu swojego rodzaju „przesterowanie”) (rys. 4). Podobne zjawisko występuje dla wartości prądu, które osiągają nawet wartości ujemne, by potem zbliżać się do zera (rys. 5). Napięcie na cewce szybciej opada i również osiąga minimum dla ujemnych wartości, aby później zbliżyć się do zera – wartości ustalonej (rys. 6). 2.2. Przypadek oscylacyjny Dla przypadku oscylacyjnego przyjęto następujące wartości parametrów: R=0,3 Ω, L=0,1 H, C=1F. I tu podobnie przedstawiono w porównaniu z klasycznymi rozwiązaniami: napięcie na kondensatorze, prąd w obwodzie i napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 – rysunki 7, 8 i 9, natomiast dla α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 – rysunki 10, 11 i 12. 84 M. Włodarczyk, A. Zawadzki 1.4 1.2 1 u [V] 0.8 0.6 alfa = alfa = alfa = alfa = 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] 3 3.5 4 1 0.9 0.8 0.7 4.5 5 i [A] Rys. 7. Napięcie na kondensatorze dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek oscylacyjny) Fig. 7. Capacitor voltage for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (oscillatory case) 2 alfa = alfa = alfa = alfa = 1.5 1 0.9 0.8 0.7 1 0.5 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] 3 3.5 4 4.5 Rys. 8. Prąd w obwodzie dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek oscylacyjny) Fig. 8. Current in the circuit for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (oscillatory case) 5 Obwody RLC w aspekcie… 85 1 alfa = alfa = alfa = alfa = 0.8 1 0.9 0.8 0.7 0.6 uL [V] 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] 3 3.5 4 4.5 5 Rys. 9. Napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek oscylacyjny) Fig. 9. Coil voltage for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (oscillatory case) 2 1.8 1.6 1.4 u [V] 1.2 1 0.8 0.6 alfa = alfa = alfa = alfa = 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] 3 3.5 4 1 1.1 1.2 1.3 4.5 5 Rys. 10. Napięcie na kondensatorze dla rzędów α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 (przypadek oscylacyjny) Fig. 10. Capacitor voltage for orders α = 1; 1,1 ; 1,2 and 1,3 (oscillatory case) M. Włodarczyk, A. Zawadzki i [A] 86 3 2 1 0 -1 alfa = alfa = alfa = alfa = -2 -3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] 3 3.5 1 1.1 1.2 1.3 4 4.5 5 Rys. 11. Prąd w obwodzie dla rzędów α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 (przypadek oscylacyjny) Fig. 11. Current in the circuit for orders α = 1; 1,1 ; 1,2 and 1,3 (oscillatory case) 2 alfa = alfa = alfa = alfa = 1.5 1 1 1.2 1.3 1.4 uL [V] 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] 3 3.5 4 4.5 Rys. 12. Napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 1,2 ; 1,3 i 1,4 (przypadek oscylacyjny) Fig. 12. Coil voltage for orders α = 1; 1,2 ; 1,3 and 1,4 (oscillatory case) 5 Obwody RLC w aspekcie… 87 Analizując otrzymane wykresy dla przypadku oscylacyjnego w porównaniu z rozwiązaniem klasycznym (α = 1), można zauważyć, że generalnie rzędy mniejsze od 1 powodują stłumienie oscylacji napięcia na kondensatorze, prądu w obwodzie, jak również napięcia na cewce tym silniej, im mniejszy jest rząd α (rys. 7, 8 i 9). Natomiast rzędy większe od 1 powodują zwiększenia amplitudy oscylacji wraz ze zwiększaniem się rzędu dla wszystkich rozpatrywanych przebiegów (rys. 10, 11 i 12). Zatem, rzędy ułamkowe ograniczają własności oscylacyjne przebiegów, natomiast rzędy większe od jedności własności te potęgują, co wiąże się bezpośrednio z czasem osiągania wartości ustalonych. 3. WNIOSKI W pracy przedstawiono rozwiązanie obwodu RLC rzędu 2α w stanie nieustalonym z wymuszeniem stałym – a więc tym samym rozwiązano równanie różniczkowe o stałych współczynnikach, niejednorodne o stałej prawej stronie, rzędu 2α, gdzie α jest liczbą niecałkowitą (w ogólnym przypadku może być dowolną liczbą rzeczywistą). Do rozwiązania zastosowano przekształcenie Laplace’a. Uzyskane przebiegi napięć i prądów są intuicyjnie zgodne – zwiększając rzędy ułamkowe do jedności, przebiegi dążą do rozwiązań klasycznych – zmniejszając rzędy niecałkowite (1,3 – 1,1) do jedności, również dążą do rozwiązań klasycznych, ale „od drugiej strony”. Można więc stwierdzić, że rzędy ułamkowe przesuwają własności rozwiązań charakterystycznych dla przebiegów oscylacyjnych w kierunku aperiodycznych, natomiast rzędy większe od jedności – w kierunku własności oscylacyjnych. Jakkolwiek kondensatorem spełniającym niecałkowitą zależność różniczkową między prądem a napięciem, dla określonej wartości rzędu α, mógłby być „superkondensator”, tak cewka o takich właściwościach jeszcze nie została skonstruowana. BIBLIOGRAFIA 1. Kaczorek T.: Fractional positive linear system and electrical circuits. „Przegląd Elektrotechniczny” 2008, Nr 9, s. 135-1412. 2. Kosztołowicz T.: Zastosowanie równań różniczkowych z pochodnymi ułamkowymi do opisu subdyfuzji. Wydawnictwo Uniwersytetu Humanistyczno – Przyrodniczego Jana Kochanowskiego, Kielce 2008. 3. Podlubny I.: Fractional Differential Equations. Academic Press, 1999. 4. Ryżyk I.M., Gradsztejn I.S.: Tablice całek, sum, szeregów i iloczynów. PWN, Warszawa 1964. 88 M. Włodarczyk, A. Zawadzki 5. Sierociuk D.: Estymacja i sterowanie dyskretnych układów dynamicznych ułamkowego rzędu opisanych w przestrzeni stanu. Rozprawa doktorska, Politechnika Warszawska, Warszawa 2007. 6. Zawadzki A., Włodarczyk M.: Modelowanie procesów ładowania i rozładowania superkondensatora. „Pomiary, Automatyka, Kontrola“ 210, Vol. 56, Nr 12, s. 1413-1415. Recenzent: Prof. dr hab. inż. Marian Pasko Wpłynęło do Redakcji dnia 17 marca 2011 r. Abstract At present, the so-called supercapacitors, classic characteristics of which are not precise, arouse high interest. To describe their characteristics ones tray to use fractional derivatives that model a supercapacitor as a system built with RLC elements. In the paper, the analysis of such circuits in transient state is presented. There is assumed, that dependencies between currents and voltages in a coil as well as in a capacitor are described with fractional derivatives. There are announced general solutions of such a circuit – i.e. heterogenic differential equation with constant coefficients, with constant right side, order 2α, where α is non-integer number (in general case it can be any real number) was solved. Laplace transformation was used for the solution. For selected degrees of derivatives (α = 0,7 – 0,9 i 1,4 – 1,1), obtained results are presented in diagrams, where, for the comparison purposes, solutions of classic RLC circuit (with α = 1) are shown. Numerical realization of the problem requires calculation of infinite functional series. In order to visualise courses of voltages and currents in the circuit a program in Matlab environment was elaborated, which for assumed circuit parameters and selected orders of derivatives calculates values of functions and draws their courses. Each diagram presents, for the comparison, the function course obtained from classic solution (α = 1) and courses for three selected orders. In the paper two causes of transient state for RLC circuit: aperiodic and oscillatory were analyzed. For aperiodic case following values of parameters were set: R=0,3 Ω, L=0,1 H, C=10 F and for oscillatory one as follow: R=0,3 Ω, L=0,1 H, C=1 F. Obtained courses of voltages on the capacitor and the coil and current in the circuit are intuitionally compatible – increasing fractional orders (α = 0,7 – 0,9) or decreasing noninteger orders (α = 1,4 – 1,1) to one leads to classic solutions. Recapitulating, it can be stated, that fractional orders shift properties of characteristic solutions for oscillatory courses towards aperiodic, while orders bigger than one – towards oscillatory properties.