E - WikiDyd
Transkrypt
E - WikiDyd
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 12 Energia PEM Energia pola elektromagnetycznego Pole elektryczne Całkowita energia W =∭V w E w H dV = W E =∭V w E dV 2 w E= 2 E⋅D E D = = 2 2 2 = Pole magnetyczne 1 E⋅DH⋅B dV = ∭ V 2 1 = ∭V E 2 B 2 dV 2 Objętościowa gęstość energii EM W H =∭V w H dV 2 2 H⋅B H B wH= = = 2 2 2 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 2 w= E⋅D H⋅B 2 2 Dotyczy to tylko materiałów liniowych i niedyspersyjnych D= E B= H Zmiana energii w czasie Przeanalizujmy pochodną energii po czasie ∂ wE ∂ w H ∂W 1 ∂ E2 ∂ B2 =∭V dV = ∭V dV = ∂t ∂t ∂t 2 ∂t ∂t R-nia Maxwella ∂E ∂H ∂E =∭V E H dV = ∇×H = E ∂t ∂t ∂t ∂E =∇× H − E ∂t ∂H ∇ ×E=− ∂t ∂H =−∇×E ∂t =∭V E⋅∇ ×H − E −H⋅∇×E dV = 2 E ∇×H −H ∇× E=∇⋅ E×H Tożsamość dla wektorów =−∭V E 2 d V −∭V ∇⋅ E× H d V = Twierdzenie Stokesa =−∭V E 2 d V −∯∂V E×H d S Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 3 Pierwszy składnik prawej strony to energia zamieniająca się w ciepło. Drugi składnik odpowiada za zmianę energii w (małej) objętości. Zmiana energii w czasie (kontynuacja) Interpretacja Moc przekształcająca się w ciepło. Zmiana jest ujemna, gdyż energia - jest “tracona” (fdla PEM;-) ∂ wE ∂ w H ∂W =∭V dV =−∭V E 2 d V −∯∂V E×H d S ∂t ∂t ∂t H S E S=E×H Wektor Poyntinga reprezentuje gęstość strumienia mocy EM. Jednostki: W /m2 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 4 Moc wypromieniowywana przez brzeg małej objętości V. Jest ujemna lub dodatnia w zależności od znaku (zwrotu) wektora E×H względem wektora normalnego do ∂V (brzegu V). Wektor Poyntinga został wynaleziony równolegle przez Johna Henry'ego Poynting, Olivera Heaviside i Nikolaja Umowa. Umow opublikował Pracę 10 lat wcześniej, niż Poynting, ale pisał o transferze energii w ciałach stałych i cieczach. Przykład Prosty, długi przewód z prądem stałym H E S I S J E S Wewnątrz: E – wzdłuż przewodu H– wokół osi S – do wnętrza przewodu S=E× H E H H Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 5 Na zewnątrz: E – od przewodu na zewnątrz H– dookoła przewodu S – równoległy do przewodu Przykład Długi prosty przewód z prądem przemiennym (kontynuacja) S t =E t ×H t H t E t i S t j t S t S t E t E t H t Wewnątrz: E – wzdłuż przewodu H– wokół osi S – do wnętrza przewodu H t Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 6 Zwróć uwagę, że E i H zmieniają zwrot, gdy zmienia się kierunek prądu, ale S zawsze zachowuje kierunek. Na zewnątrz: E – od przewodu na zewnątrz H– dookoła przewodu S – równoległy do przewodu Przykład (kontynuacja) Długi prosty przewód ze stałym prądem I Wewnątrz: I J =J z , J = R2 J I E=E z , E= = R2 Ir H =H r , H r = 2 R2 I2r S =S r r=E H r= 2 2 R4 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 7 Strumień S przez zewnętrzną pow. przewodu ∬O S d O=2 R l⋅S R= 2 R l I 2 R 2 l = =I 2 4 2 R R2 l R2 – rezystancja walca (R,l) Strumień wektora Poyntinga przez zewnętrzną powierzchnię jest równa mocy zamieniającej się w przewodzie w ciepło. Energia wnika do wnętrza metalu (przewodnika) i zamienia się tam w ciepło. Wektor Poyntinga w kablu koncentrycznym Strumień wektora S przez przekrój poprzeczny izolacji U E r= r ln R 2 / R1 I H = 2 r R2 S z= R1 E H Strumień wektora Poyntinga przez poprzeczny przekrój izolacji jest równy mocy przekazywanej kablem. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 8 dp=S z 2 r dr UI 2 2 r ln R 2 / R1 R 1 UI P=∫R dp= dr= ∫ R ln R2 / R1 r UI = ⋅ln R2 / R1 ln R2 / R1 R2 2 1 1 P=U I Kabel koncentryczny (kontynuacja) Strumień S przez zewnętrzną powierzchnię żyły: I J I 1 H = E Z= = ⋅ 2 R1 2 R1 R2 S R1 = E R1 ×H R1 R1 E H Ten sam wynik otrzymamy dla przewodzącego ekranu: energia wnika w przewodnik i zmienia się tam w ciepło. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 9 I2 S= 2 2 R31 l 2 S d O=2 R l⋅S =I ⋅ ∬O 1 R12 Jak poprzednio, strumień wektora Poyntinga jest równy mocy zamienianej na ciepło. Energia wnika w przewodnik i zmienia się tam w ciepło. Wektor Poyntinga dla pól harmonicznych 1 * S = E× H =P j Q 2 1 * P=Re ∮s E× H dS 2 1 * Q= Im ∮s E× H dS 2 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 10 Moc w obwodzie elektrycznym S =P j Q Zespolony wektor Poyntinga pozwala wyznaczać parametry obwodowe dla przebiegów sinusoidalnych. [ [ [ ] Z= 1 1 I2 2 R= 1 1 Re 2 I2 X= 1 1 * Im E× H dS ∮ 2 s 2 I * dS E× H ∮s ∮s E× H * dS ] ] Siły mechaniczne Pole elektryczne 1 2 f e = E− E ∇ 2 Pole magnetyczne 1 2 f m =J × B− H ∇ 2 Pole elektromagnetyczne ∂p f em= f e f m ∂t 1 p= E×H = 2 E×H c Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 11 Efekt naskórkowości Jeżeli założymy, że ferromagnetyk się nie nasyca, a s >> b, to możemy przyjąć uproszczony model polal: H = [ Hx(y), 0, 0 ] J = [ 0,0,Jz(y) ] Prostokątny przewodnik o wymiarach a >> b w żłobku ferromagnetycznym Rozwiązanie takiego modelu pokazuje, że prąd jest wypierany ze żłobka i płynie tylko w części przewodu położonej blisko pow. żłobka. I sinh y H y= bsinh a 2 r≈1000 H ≈0 ∫L H dl= I b⋅H a=I ∂ H y 2 − H y=0 2 ∂y H 0=0, ∇ ×H = J I −∂ H H a= J y = b ∂y Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 12 z x I cosh y J y= b sinh a Model numeryczny Model jest znacznie bardziej realistyczny, ale płynące z niego wnioski są podobne: prąd jest wypierany ku górze i płynie tylko blisko pow, żłobka. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 13 Wpływ częstotliwości Zwiększenie częstotliwości uwypukla efekt: dla dużych częstotliwości można przyjąć, że prąd płynie tylko po powierzchni przewodu. Zjawisko jest wykorzystywane przy hartowaniu powierzchniowym oraz w testowaniu nieniszczącym (metody wieloczęstotliwościowe). Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 14 Przewód w powietrzu Jeżeli wyjmiemy przewód ze żłobka, to zjawisko staje się symetryczne: prąd jest wypierany w górę i w dół (oczywiście także na lewo i prawo, ale to jest mniej widoczne, gdyż a >> b. y J Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 15 Przewód cylindryczny W przewodzie cylindrycznym prąd jest wypierany osiowosymetrycznie, ku powierzchni cylindra. d2 J 1 d J − j J =0 2 r dr dr J r = Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 16 I − j J 0 − j 2 R J 1 − j Funkcja Bessela Silny efekt naskórkowości – uproszczenia Kiedy możemy go stosować? Grubość przewodnika >> Głębokość wnikania Jak? Analizujemy falę EM wnikającą w przewodnik. Głębokość wnikania: 2 d= H r=H s e I H s= 2 R − R−r J r=H s e Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 17 j / 4 − R−r e Efekt zbliżenia Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 18 Ekran elektromagnetyczny Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 19 Ekran elektromagnetyczny (kontynuacja) Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 20