1 Część teoretyczna

Sprawozdanie z fizyki współczesnej
1
1 Część teoretyczna
Umieśćmy płytkę o szerokości a, grubości d i długości l, przez którą płynie prąd o natężeniu I, w
poprzecznym polu magnetycznym o indukcji B. Wówczas pomiędzy brzegami płytki wytwarza się napięcie
UH . Napięcie to odpowiada polu elektrycznemu, które jest prostopadłe do prądu I i indukcji B. Napięcie
to wyraża się wzorem:
BI
UH = RH
(1)
d
gdzie RH jest stałą Halla. Zjawisko to powstaje na skutek poruszających się w polu magnetycznym
nośników ładunków. Zakładając, że v jest prędkością poruszającego się ładunku, a ładunek co do wartości
bezwzględnej wynosi e, to otrzymujemy, że pole magnetyczne działa na ładunki siłą:
F = e(v × B)
(2)
Ponieważ v jest prostopadły do B otrzymujemy:
F = evB
(3)
Na skutek tej siły ładunki są odchylane, co powoduje nadmiar ładunków w pobliżu jednej ze ścianek,
a niedobór w pobliżu drugiej. Dlatego też powstaje pole elektryczne, którego natężenie wynosi E, a
kierunek jest zależny od znaku ładunku. Natomiast siła qE działająca na ładunek od strony tego pola
jest przeciwna do siły F. W przypadku gdy te siły się równoważą mamy:
eE = evB
(4)
Zatem wartość liczbowa natężenia wyraża się wzorem:
E = vB
(5)
Załóżmy teraz, że pole elektryczne jest jednorodne. Wtedy UH wynosi:
UH = Ed = vBd
(6)
Natomiast natężenie prądu I, który przepływa przez płytkę wynosi:
I = evpS = evpad
(7)
gdzie p — koncentracja nośników ładunku. Wtedy napięcie Halla wynosi:
UH =
1 IB
ep a
(8)
Zatem z powyższego równania wynika, że stała Halla wyraża się wzorem:
RH =
1
ep
(9)
Wobec tego można zauważyć, że znak stałej Halla odpowiada znakowi ładunku który jest nośnikiem
prądu. W przypadku gdy R > 0 nośnikami są dziury, gdy R < 0 to elektrony. Na podstawie stałej Halla
jesteśmy w stanie wyznaczyć gęstość ładunku p oraz koncentrację µ:
p=
1
eRH
µ = σ · RH
(10)
(11)
Gdzie σ oznacza przewodnictwo próbki. Przewodnictwo możemy wyznaczyć znając jej oporności R i
wymiary:
l
σ=
(12)
R·d·a
1
Sprawozdanie z fizyki współczesnej
2
2 Wyniki pomiarów
Tablica 1: Pomiary zależności napięcia Halla UH od natężenia
prądu I, B = 76 mT
I [mA]
–16,58
–17,47
–17,95
–18,68
–19,46
–19,97
–20,85
–21,83
–22,72
–23,48
–24,15
–25,86
–27,27
–28,69
–30,07
–31,70
–33,24
–35,07
–37,35
–37,51
U [mV]
–16,5
–17,3
–17,8
–18,5
–19,3
–19,8
–20,7
–21,7
–22,5
–23,3
–24,0
–25,7
–27,1
–28,5
–29,9
–31,5
–33,0
–34,9
–37,2
–37,4
U0 [mV]
–4,01
–4,23
–4,35
–4,53
–4,72
–4,85
–5,06
–5,31
–5,53
–5,71
–5,88
–6,30
–6,65
–7,00
–7,34
–7,75
–8,13
–8,58
–9,14
–9,18
UH [mV]
–12,49
–13,07
–13,45
–13,97
–14,58
–14,95
–15,64
–16,39
–16,97
–17,59
–18,12
–19,40
–20,45
–21,50
–22,56
–23,75
–24,87
–26,32
–28,06
–28,22
Tablica 2: Pomiary zależności napięcia Halla UH od natężenia
prądu I, B = 76 mT
I [mA]
–16,51
–17,33
–18,08
–18,75
–19,47
–20,42
–21,03
–21,78
–22,38
–23,39
–24,70
–26,40
–27,61
–28,84
–29,86
–30,84
–32,20
–34,01
–35,99
–37,17
U [mV]
8,5
8,9
9,3
9,6
10,0
10,5
10,8
11,1
11,4
12,0
12,6
13,5
14,1
14,7
15,2
15,7
16,4
17,3
18,2
18,9
U0 [mV]
–3,99
–4,19
–4,38
–4,55
–4,72
–4,96
–5,11
–5,29
–5,44
–5,69
–6,02
–6,44
–6,74
–7,04
–7,29
–7,53
–7,87
–8,32
–8,81
–9,10
2
UH [mV]
12,49
13,09
13,68
14,15
14,72
15,46
15,91
16,39
16,84
17,69
18,62
19,94
20,84
21,74
22,49
23,23
24,27
25,62
27,01
28,00
Sprawozdanie z fizyki współczesnej
3
Tablica 3: Pomiary zależności napięcia Halla UH od indukcji magnetycznej B, I = 16,59 mA
B [mT]
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
U [mV]
–4,1
–4,8
–5,6
–6,7
–7,3
–8,2
–9,1
–9,9
–10,7
–11,5
–12,4
–13,2
–14,0
–14,8
–15,6
–16,5
U0 [mV]
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
UH [mV]
–0,09
–0,79
–1,59
–2,69
–3,29
–4,19
–5,09
–5,89
–6,69
–7,49
–8,39
–9,19
–9,99
–10,79
–11,59
–12,49
Tablica 4: Pomiary zależności napięcia Halla UH od indukcji magnetycznej B, I = 16,59 mA
B [mT]
0
–5
–10
–15
–20
–25
–30
–35
–40
–45
–50
–55
–60
–65
–70
–76
U [mV]
–4,1
–3,1
–2,3
–1,5
–0,7
0,2
1,1
1,9
2,7
3,5
4,3
5,1
5,9
6,8
7,6
8,5
U0 [mV]
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
–4,01
UH [mV]
–0,09
0,91
1,71
2,51
3,31
4,21
5,11
5,91
6,71
7,51
8,31
9,11
9,91
10,81
11,61
12,51
Tablica 5: Badanie zmian przewodnictwa germanu w obecności pola
magnetycznego
B [mT]
0
4
10
14
21
26
31
U [mV]
4,7
4,4
4,2
4,1
4,1
4,0
4,0
3
UB [mV]
1201,7
1201,4
1201,2
1201,1
1201,1
1201,0
1201,0
Sprawozdanie z fizyki współczesnej
B [mT]
35
41
45
51
60
70
81
91
100
122
148
166
189
206
232
267
280
300
4
U [mV]
4,1
4,2
4,3
4,5
4,9
5,4
6,0
6,6
7,3
9,1
11,5
13,5
16,3
18,6
22,2
27,5
29,6
32,7
UB [mV]
1201,1
1201,2
1201,3
1201,5
1201,9
1202,4
1203,0
1203,6
1204,3
1206,1
1208,5
1210,5
1213,3
1215,6
1219,2
1224,5
1226,6
1229,7
B — indukcja pola magnetycznego, U — napięcie wskazywane przez woltomierz (napięcie na próbce
pomniejszone o napięcie baterii, w celu zwiększenia dokładności pomiaru), UB — wyliczone napięcie na
próbce.
3 Część praktyczna
3.1 Wykreślenie zależności napięcia Halla UH od natężenia I prądu sterującego próbką
Stała indukcja B=76 mT, zakładamy także stałą temperaturę.
a) Jeden z kierunków prądu
Prosta została policzona na podstawie metody najmniejszych kwadratów. Wyniki przedstawiają się następująco:
V
a = 0,7527
A
∆a = 0,0012
V
A
b = 0,091 mV
∆b = 0,003 mV
b) Przeciwny kierunek prądu
Prosta została policzona na podstawie metody najmniejszych kwadratów. Wyniki przedstawiają się następująco:
V
a = −0,762
A
∆a = 0,003
V
A
b = 0,13 mV
∆b = 0,03 mV
4
Sprawozdanie z fizyki współczesnej
5
-1 2
-1 4
-1 6
-1 8
-2 2
U
H
[m V ]
-2 0
-2 4
-2 6
-2 8
-3 0
-4 0
-3 8
-3 6
-3 4
-3 2
-3 0
-2 8
-2 6
I [m A ]
-2 4
-2 2
-2 0
-1 8
-1 6
-1 4
Rysunek 1: Funkcja przedstawiająca zależność napięcia Halla od natężenia prądu — jeden z kierunków
prądu
3 0
2 8
2 6
2 2
2 0
U
H
[m V ]
2 4
1 8
1 6
1 4
1 2
-3 8
-3 6
-3 4
-3 2
-3 0
-2 8
-2 6
I [m A ]
-2 4
-2 2
-2 0
-1 8
-1 6
-1 4
Rysunek 2: Funkcja przedstawiająca zależność napięcia Halla od natężenia prądu — drugi kierunek prądu
5
Sprawozdanie z fizyki współczesnej
6
3.2 Wykreślenie zależności napięcia Halla UH od indukcji B. Proste wyznaczone metodą
najmniejszych kwadratów.
a) Jeden z kierunków prądu
Prosta została policzona na podstawie metody najmniejszych kwadratów. Wyniki przedstawiają się następująco:
V
a = −0,1658
T
∆a = 0,0008
V
T
b = 0,13 mV
∆b = 0,03 mV
2
0
-2
U
H
[m V ]
-4
-6
-8
-1 0
-1 2
-1 4
0
1 0
2 0
3 0
4 0
B [m T ]
5 0
6 0
7 0
8 0
Rysunek 3: Funkcja przedstawiająca zależność napięcia Halla od indukcji — jeden z kierunków prądu
b) Przeciwny kierunek prądu
Prosta została policzona na podstawie metody najmniejszych kwadratów. Wyniki przedstawiają się następująco:
V
a = −0,1651
T
∆a = 0,0007
V
T
b = 0,23 mV
∆b = 0,03 mV
6
Sprawozdanie z fizyki współczesnej
7
1 4
1 2
1 0
[m V ]
8
H
6
U
4
2
0
-8 0
-7 0
-6 0
-5 0
-4 0
B [m T ]
-3 0
-2 0
-1 0
0
1 0
Rysunek 4: Funkcja przedstawiająca zależność napięcia Halla od indukcji — drugi kierunek prądu
3.3 Obliczenie wartości stałej Halla
Zgodnie ze wzorem (1) możemy policzyć wartość stałej Halla. Na podstawie znaku stałej określiliśmy
rodzaj nośników ładunku. Zatem stała Halla wynosi:
RH = (8,93 ± 0,07) · 10−3
1
C · m−3
z dokładnością co do grubości płytki:
d = 1 · 10−3 m.
Do policzenia koncentracji p nośników prądu wykorzystamy wzór (10). Zatem podstawiając pod e ładunek
elektronu i RH obliczoną stałą Halla mamy, że p wynosi
p = (251 ± 9) · 1018 m−3 .
W celu wyznaczenia przewodnictwa elektrycznego germanu σ wykorzystamy wzór (12), gdzie l — długość
badanej próbki, d — długość próbki, a — szerokość próbki oraz R — opór w temperaturze pokojowej.
Zatem podstawiając pod wzór (12) otrzymujemy:
σ = (7,018 ± 0,013)
7
1
Ω·m
Sprawozdanie z fizyki współczesnej
8
W celu wyznaczenia ruchliwości nośników µ posłużymy się wzorem (11) i powyższymi wyliczeniami.
Zatem otrzymujemy, że:
1
µ = (63 ± 8) · 10−3
Ω · C · m−4
3.4 Wykreślenie względnej zmiany oporu próbki
B)
Względną zmianę oporu próbki od indukcji magnetycznej B możemy wyznaczyć ze wzoru (R−R
, gdzie
R
R — opór przy B = 0, a RB — opór w obecności pola magnetycznego. Ponieważ w doświadczeniu nie
mierzymy bezpośrednio oporu próbki, a jedynie napięcie na niej, posłużymy się wartościami U i UB ,
gdzie U — napięcie na próbce przy B = 0, a UB — napięcie na próbce w obecności pola magnetycznego.
Ponieważ zmiana wartości indukcji magnetycznej nie wpływała na natężenie prądu przepływającego
B)
przez próbkę, powyższy wzór możemy zapisać jako (U −U
. Dane bierzemy z tabeli (5).
U
0 ,0 2 5
Względna zmiana oporu próbki
0 ,0 2 0
0 ,0 1 5
0 ,0 1 0
0 ,0 0 5
0 ,0 0 0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
B [m T ]
2 0 0
2 5 0
3 0 0
Rysunek 5: Wykres przedstawia względną zmianę oporu próbki od indukcji B
3.5 Błędy w obliczeniach
Przy wykorzystaniu metody różniczki zupełnej otrzymujemy błędy obliczanych wielkości:
1
∆RH = 0,007 · 10−3
C · m−3
1
∆σ = 0,013
Ω·m
∆p = 9 · 1018 m−3
1
∆µ = 0,008
Ω · C · m−4
8
Sprawozdanie z fizyki współczesnej
9
4 Wnioski
Otrzymane przez nas wyniki wydają się być zgodne z rzeczywistością. Znak RH wyszedł dodatni. Zatem
potwierdziło się, że mamy do czynienia z półprzewodnikiem akceptorowym, w którym nośnikami prądu
są dziury. Dziury te mają określoną koncentrację p, którą policzyliśmy. Niestety, nie udało się ustrzec
od błędów. Widać je m.in. na wykresach (1-4), gdzie współczynnik b powinien wyjść równy 0. Były
one zapewne spowodowane niedokładnością pomiarową sprzętu. Jeżeli chodzi o wyznaczone wielkości
to ich rzędy zgadzają się z rzędami wielkości dla podobnych materiałów. Jedyne wielkości jakie udało
1
nam się znaleźć to koncentracja w germanie, która wynosiła 21 · 1019 m−3 , ruchliwość 3,6 · 10−2 Ω·C·m
−4
1
−3
oraz stała Halla wynosząca −5,7 · 10 C·m−3 . Należy pamiętać, że różnice w wielkościach obliczonych i
wziętych z tabel muszą się różnić, gdyż tablicowe są dla germanu a policzone dla germanu typu p. Nie
mniej jednak wielkości, które policzyliśmy wydają się być prawdziwe, gdyż są podobnych rzędów. Należy
także pamiętać, że wyznaczona koncentracja nośników i ich ruchliwość zależą od konkretnej próbki i od
temperatury, w której się ta próbka znajduje.
9