Matematyka Dyskretna (Egzamin)

Matematyka Dyskretna (Egzamin)
Jarosław Grytczuk
1. (1p.) Ile 3-kolorowych choragiewek
można utworzyć dysponujac
˛
˛ 6
kolorami?
2. (1p.) Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania ”koloru” (5 kart
w tym samym kolorze) w pokerowym rozdaniu talii 24 kart?
3. (3p.) Ile jest najkrótszych dróg w kracie 5 × 8? Narysować droge˛
1001101000100. Narysować dowolna˛ droge,
odpowiadajac
˛ a˛ ciagowi
˛
˛
a nastepnie
napisać kodujacy
˛
˛ ja˛ ciag
˛ binarny.
4. (2p.) Ile rozwiaza
˛ ń w nieujemnych liczbach całkowitych ma równanie
x1 + x2 + x3 = 13?
Narysuj odpowiednia˛ krate.
˛
5. (2p.) W kolejce do kina stoi 20 osób, które sa˛ wpuszczane do
kina grupami (kolejność osób w kolejce nie zmienia sie).
˛ Na ile
sposobów można utworzyć 6 niepustych grup przy wpuszczaniu
osób do kina? Odpowiedź uzasadnij.
¡ ¢ ¡ ¢ ¡n−1¢
+ k−1 stosujac
6. (1p.) Uzasdnić wzór nk = n−1
˛ metode˛ dróg w
k
kracie.
7. (1p.) Stosujac
˛ rozwiniecie
˛ dwumianu (x + y)n , wykazać, że suma
współczynników dwumianowych n-tego wiersza Trójkata
˛ Pascala
n
wynosi 2 .
8. (2p.) Wykazać, że
1 + 4 + 9 + 16 + ... + n2 =
1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
9. (2p.) Dla permutacji 5, 3, 7, 6, 4, 10, 8, 9, 1, 2 sporzadzić
tabelke˛
˛
Erdősa (Przykład 34). Znaleźć monotoniczny podciag
˛ długości 4.
10. (1p.) Narysuj krzywa˛ zamkniet
kodzie Gaussa:
˛ a˛ o nastepuj
˛ acym
˛
ECBDABCADE.
11. (1p.) W pewnym klubie jest 20 osób grajacych
w szachy, 15 gra˛
jacych
w brydża i 13 grajacych
w pokera. Spośród nich 7 gra w
˛
˛
szachy i brydża, 6 w brydża i pokera, 5 w szachy i pokera, a tylko
3 graja˛ we wszystkie te gry. Ile osób jest w tym klubie?
12. (1p.) Narysować graf G = (V, E), gdzie V = {1, 2, ..., 10} i ab ∈ E
wtedy i tylko wtedy, gdy a | b lub b | a.
X = {1, 2, 3, 4, 5}. Narysować graf G = (V, E), gdzie
13. (2p.) ¡Niech
¢
V = X2 i AB ∈ E wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ B = ∅. Pokazać,
że G jest izomorficzny z grafem Petersena.
14. (1p.) Znajdź cykl Hamiltona w dodecahedronie.
15. (1p.) Wyznaczyć wszystkie spójne indukowane podgrafy grafu Q3
(z dokładnościa˛ do izomorfizmu).
16. (2p.) Stusujac
˛ wzór Eulera pokazać, że jeśli |V (G)| ≥ 11, to oba
grafy G i G nie moga˛ być jednocześnie planarne.
17. (1p.) Niech G bedzie
grafem planarnym, którego wszystkie wierz˛
chołki leża˛ na wspólnej (zewnetrznej)
ścianie. Pokazać, że χ(G) ≤
˛
3.
18. (2p.) Na brzegu koła znajduje sie˛ n punktów połaczonych
wszys˛
tkimi możliwymi odcinkami. Punkty sa˛ tak rozmieszczone, że
żadne trzy odcinki nie przecinaja˛ sie˛ w jednym punkcie wewnatrz
˛
koła. Wykorzystujac
˛ wzór Eulera pokazać, że koło rozpadnie sie˛
na
µ ¶ µ ¶
n
n
1+
+
2
4
kawałki.
19. (2p.) Niech G = (V, E) bedzie
dowlonym grafem takim, że V ⊂ R2
˛
uiv
i uv ∈ E wtedy i tylko wtedy, gdy długość odcinka łacz
˛ acego
˛
wynosi 1. Pokazać, że 4 ≤ χ(G) ≤ 7.
2
20. (1p.) Niech M bedzie
skojarzeniem pokazanym na rysunku poniżej.
˛
Znaleźć ścieżke˛ naprzemienna˛ dla M zaczynajac
˛ a˛ sie˛ w wierzchołku
2.
21. (1p.) Wykazać, że χ0 (K2k ) = 2k − 1.
22. (1p.) Podany prostokat
˛ łaciński 3 × 5 rozszerzyć do kwadratu
łacińskiego 5 × 5, stosujac
˛ Twierdzenie Halla.


12345
P = 5 4 2 3 1
21453
23. (1p.) Ze zwykłej talii kart wyjać
˛ zestaw 16 kart składajacy
˛ sie˛ z
figur Walet, Dama, Król i As, we wszystkich czterech kolorach.
Ułożyć te karty w kwadrat 4 × 4 tak, aby każdy rzad
˛ zawierał
dokładnie jedna˛ karte˛ każdej maści i każdego koloru.
Punktacja:
33-31, bdb
30-28, db+
27-25, db
24-22, dst+
21-19, dst
18-0, ndst
Czas: 120 minut
3