katedra mechaniki i podstaw konstrukcji maszyn wydział

Transkrypt

KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
WYDZIAŁ MECHANICZNY
POLITECHNIKA OPOLSKA
PŁASZCZYZNY KRYTYCZNE W MODELACH ZMĘCZENIA MATERIAŁÓW
PRZY WIELOOSIOWYCH OBCIĄŻENIACH LOSOWYCH
ROZPRAWA DOKTORSKA
Doktorant: mgr inż. Aleksander Karolczuk
Promotor: prof. dr hab. inż. Ewald Macha
OPOLE 2003
Spis treści
Spis oznaczeń
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2. Przegląd literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących
Podsumowanie stanu badań . . . . . . . . . . .
na
na
na
. .
naprężeniach . . . .
odkształceniach . . .
energii odkształcenia
. . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 9
. 17
. 21
. 27
3. Cel, zakres i główne tezy pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. Podstawy teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
Opis losowego stanu odkształcenia i naprężenia . . . . . . . . . . . . . .
Algorytm wyznaczania trwałości zmęczeniowej . . . . . . . . . . . . . . .
Naprężenia w płaszczyźnie o dowolnej orientacji . . . . . . . . . . . . . .
Zmiana układu osi na kierunki główne za pomocą kątów Eulera . . . . .
Wyznaczanie położeń płaszczyzn krytycznych . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Metoda kumulacji uszkodzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2. Metoda wariancji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3. Metoda funkcji wagowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Proces uśredniania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Redukcja kątów Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Funkcje wagowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Estymowanie położeń płaszczyzn krytycznych przy występowaniu obciążeń
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
statycznych
32
33
35
37
40
40
41
42
43
44
46
50
5. Kierunki płaszczyzn krytycznych dla wybranych, symulowanych stanów naprężenia . 53
5.1. Obciążenia cykliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Kierunki płaszczyzn krytycznych wyznaczone metodą
5.2. Obciążenia losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Analiza wyników obliczeń symulacyjnych . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
kumulacji uszkodzeń
funkcji wagowych . .
. . . . . . . . . . . .
kumulacji uszkodzeń
funkcji wagowych . .
. . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
54
54
59
61
62
70
70
6. Badania eksperymentalne i wyniki obliczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1. Badania innych
6.1.1. Badania
6.1.2. Badania
6.1.3. Badania
6.1.4. Badania
6.1.5. Badania
6.1.6. Badania
6.2. Badania własne
6.2.1. Badania
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Nishihary i Kawamoto . . . .
Neugebauer’a . . . . . . . . .
Pawliczka . . . . . . . . . . .
Parka i Nelsona . . . . . . . .
Sanetry . . . . . . . . . . . .
Morela . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
przy obciążeniach cyklicznych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
73
81
84
87
89
91
98
103
4
Spis treści
6.2.2. Badania przy obciążeniach losowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3. Analiza wyników badań eksperymentalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7. Wnioski końcowe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Spis oznaczeń
Parametry obciążenia
τ, γ
naprężenie styczne, odkształcenie postaciowe
σ, ε
naprężenie, odkształcenie normalne
αex p
kąt między osią próbki a wektorem prostopadłym do linii pęknięcia
β
kąt przekręcenia głowicy na stanowisku badawczym MZGS-100L
ζ, ξ
kąty określające kierunek prostopadły do płaszczyzny krytycznej
względem stałego układu osi
χ
kąt określający kierunek styczny w płaszczyźnie krytycznej o kierunku normalnym określonym przez kąty ζ, ξ
ϕ, θ, ψ
kąty Eulera
ρ∗
ustabilizowany tensor naprężeń wewnętrznych
Ta
amplituda uogólnionego naprężenia stycznego
λε
stosunek zakresu odkształcenia postaciowego do zakresu odkształcenia normalnego ∆γ/∆ε
λσ
stosunek amplitud τa /σa lub wartości maksymalnych τmax /σmax naprężenia stycznego do naprężenia normalnego
W
gęstość energii odkształcenia
W I , W II
gęstość energii odkształcenia dla mody I i II pękania
W II,A , W II,B
gęstość energii odkształcenia dla mody II i stosownie dla przypadku
A i B pękania
Je f f
efektywna całka J
JI,e f f , JII,e f f
efektywne całki J dla mody I i mody II pękania
Wi , (i =1, 2, ...) funkcje wagowe
R
współczynnik asymetrii cyklu R = σmin /σmax
ry
macierz współczynników korelacji
Ry (τ)
macierz funkcji korelacji
µy (τ)
macierz funkcji kowariancji
Współczynniki materiałowe
mσ , mτ
wykładnik potęgowy charakterystyki zmęczeniowej Wöhlera odpowiednio dla rozciągania - ściskania i skręcania
b, c
wykładnik wytrzymałości i plastyczności zmęczeniowej
σa f,b , Zgo
granica zmęczenia dla wahadłowego zginania
σa f , Zrc
granica zmęczenia dla rozciągania - ściskania przy R = -1
τa f , Zso
granica zmęczenia dla wahadłowego skręcania
νe , ν p
sprężysty, plastyczny współczynnik Poisson’a
ε ′f
współczynnik plastyczności zmęczeniowej dla rozciągania-ściskania
′
współczynnik wytrzymałości zmęczeniowej dla rozciągania - ściσf
skania
6
Spis oznaczeń
γ ′f
τ′f
σ y , Re
E, G
σ T , Rm
ν
n′ , K ′
Z
A10
Ogólne
Nf
NI , NII , Nou
t
T0
S
N
Indeksy i inne
a
c
m
max, min
1, 2, 3
13, 12, 23
i j, (i, j = x, y, z)
oct
µ
h
af
σ
ε
e, p
eq
n
s
ns
∆
ˆ , E[·]
~
Brak indeksu
współczynnik plastyczności zmęczeniowej dla skręcania
współczynnik wytrzymałości zmęczeniowej dla skręcania
granica plastyczności
moduł Young’a oraz moduł sprężystości postaciowej
statyczna wytrzymałość na rozciąganie
współczynnik Poissona
wykładnik i współczynnik umocnienia cyklicznego
przewężenie trwałe
wydłużenie trwałe
liczba cykli do zniszczenia
trwałości zmęczeniowe odpowiednio dla mody I, mody II oraz mieszanego sposobu pękania
czas
czas obserwacji
stopień uszkodzenia
bieżąca liczba cykli
amplituda
wartość dopuszczalna (krytyczna)
wartość średnia w dziedzinie czasu
wartość maksymalna, wartość minimalna
wartości główne normalne, według kolejności malejącej
wartości główne styczne, według kolejności malejącej
składowe w kartezjańskim układzie współrzędnych XYZ
oktaedryczne
mikroskopowe
hydrostatyczne
dotyczy granicy zmęczenia
dotyczy naprężeń
dotyczy odkształceń
sprężyste, plastyczne
ekwiwalentne
w płaszczyźnie o normalnej n~
w kierunku wektora jednostkowego ~s
w kierunku ~s na płaszczyźnie o normalnej n~
zakres zmian parametru
wartość średnia (oczekiwana)
wektor
Brak indeksu oznaczającego położenie układu współrzędnych (n, ns
lub i j) oznacza składową tensora naprężenia lub odkształcenia
Oznaczenia występujące w tekście a nie wyszczególnione powyżej odnoszą się do stałych materiałowych charakterystycznych dla każdego
kryterium lub wielkości specyficznych, które zostały opisane w tekście.
1. Wprowadzenie
Kryteria wieloosiowego zmęczenia w zależności od rodzaju wyróżnionego parametru
decydującym o zniszczeniu dzieli się na trzy kategorie tj. kryteria naprężeniowe, odkształceniowe oraz energetyczne. Spośród tych kryteriów można wyróżnić pewną grupę kryteriów,
które powstały na podstawie analiz położeń płaszczyzn inicjacji i propagacji pęknięć zmęczeniowych. Grupa ta oparta na koncepcji płaszczyzny krytycznej uzyskała szczególne znaczenie w ciągu ostatnich lat w wyniku jej efektywności i szerszego zakresu zastosowania.
Generalnym celem kryteriów opartych na koncepcji płaszczyzny krytycznej jest redukcja
wieloosiowego stanu naprężenia do ekwiwalentnego jednoosiowego stanu naprężenia. Wykorzystanie płaszczyzny krytycznej do opisu wieloosiowego zmęczenia po raz pierwszy
zaproponował Stanfield w 1935 roku [101]. Od tego czasu obserwuje się systematyczny
wzrost zainteresowania tą koncepcją. Należy jednak zauważyć, że obecność płaszczyzn
krytycznych można dostrzec w kryteriach naprężeniowych proponowanych przed tą datą,
ponieważ definicja każdego naprężenia związana jest z określoną płaszczyzną w materiale.
Obecnie kryteria oparte na koncepcji płaszczyzny krytycznej w wielu przypadkach pozwalają
na oszacowanie jednocześnie trwałości zmęczeniowej oraz kierunku pęknięcia zmęczeniowego. Wraz z rozwojem badań nad opracowano wiele modeli opisujących typy pęknięć.
Algorytmy obliczania trwałości zmęczeniowej oparte na koncepcji płaszczyzn krytycznych
często są specyfikowane w zależności od występującego typu pęknięcia.
Zmęczeniowe niszczenie materiału można scharakteryzować poprzez trzy procesy, zarodkowanie, inicjację oraz propagację pęknięć. Okres propagacji, w którym widoczne są
już kierunki pęknięć zmęczeniowych został przez Forsyth’a podzielony na dwa etapy. W
etapie pierwszym (Stage I) płaszczyzny pęknięć są zgodne z płaszczyznami maksymalnych
naprężeń stycznych, natomiast etap drugi (Stage II) jest zdominowany przez maksymalną
wartość naprężenia normalnego i kierunek makroskopowego pęknięcia jest prostopadły do
maksymalnego naprężenia normalnego. Innymi znanymi opisami typów pęknięć są np. mody
pęknięć wyróżnione przez Irwina oraz przypadki pęknięć A i B wyróżnione przez Browna i
Millera [8]. Socie [96] wyróżnił trzy kategorie uszkodzeń zmęczeniowych w zależności od
dominującego mechanizmu uszkodzeń. Są to: typ A – w którym rozwój pęknięcia następuje
wzdłuż płaszczyzn maksymalnego ścinania (Shear Crack Growth, stage I), typ B – w którym
dominuje rozwój pęknięcia wzdłuż płaszczyzn maksymalnego odkształcenia normalnego
(Tensile Crack Growth , stage II) oraz typ C – w którym następuje tylko zarodkowanie
pęknięć (Crack Nucleation ). Dla każdego typu Socie zaproponował inny model uszkodzenia. Dla typu A – kryterium maksymalnego odkształcenia postaciowego i normalnego na
płaszczyźnie maksymalnego odkształcenia postaciowego. Dla typu B – kryterium maksymalnego odkształcenia normalnego i naprężenia normalnego na płaszczyźnie maksymalnego
odkształcenia normalnego. Dla typu C – kryterium maksymalnego naprężenia stycznego i
normalnego na płaszczyźnie maksymalnego naprężenia stycznego.
Z przeglądu wielu wyników eksperymentalnych testów zmęczeniowych dla obciążeń
wieloosiowych proporcjonalnych i nieproporcjonalnych wynika, że najczęściej płaszczyzna
8
1. Wprowadzenie
złomu traktowana makroskopowo, (a) - jest prostopadła do kierunku naprężenia lub odkształcenia normalnego o największej amplitudzie [8, 67, 70], (b) - pokrywa się z jedną z
dwu płaszczyzn, w których występują naprężenia lub odkształcenia styczne o największej
amplitudzie [8, 96, 70, 24], (c) - zajmuje położenie pośrednie między (a) i (b) [78].
Położenie płaszczyzny złomu zmęczeniowego zależy od wielu czynników i tak np. położenie płaszczyzny złomu typu (a) jest charakterystyczne dla materiałów kruchych, położenie
typu (b) dla materiałów elastoplastycznych, a położenie typu (c) dla materiałów pośrednich.
Wielu badaczy spostrzega związek między położeniem płaszczyzny złomu zmęczeniowego
a wrażliwością materiału na naprężenia normalne i styczne. Położenie (a) jest preferowane
w stosunku do (b) wtedy, gdy w przypadku kombinacji skręcania i zginania stosunek amplitud naprężenia stycznego i normalnego jest mniejszy od 0,63 [70, 17], lub gdy stosunek
zakresów zmian odkształcenia postaciowego i normalnego jest mniejszy od 1,5 [8]. Wartości
liczbowe tego stosunku zależą od rodzaju materiału, poziomu naprężeń i temperatury.
2. Przegląd literatury
2.1. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na
naprężeniach
Uogólnione hipotezy wytężenia [98]
Pierwsze kryteria wieloosiowego zmęczenia wywodzą się ze statycznych hipotez wytężenia. Wielu badaczy próbowało zaadaptować statyczne hipotezy wytężenia materiałów do
zmęczenia zastępując statyczne wielkości naprężeń występujące w tych hipotezach przez
amplitudy lub zakresy naprężeń zmiennych. Takie podejście ma zasadniczą zaletę tj. prostotę. Niestety, zaadaptowane statyczne hipotezy wytężenia materiału okazały się bardzo
ograniczone w zastosowaniach, nie spełniły oczekiwań i dla zdecydowanej większości analizowanych materiałów i obciążeń nie udało się zadawalająco skorelować procesów zmęczeniowych z parametrami występującymi w tych hipotezach. Spośród tak formułowanych
kryteriów wieloosiowego zmęczenia najczęściej z danymi eksperymentalnymi weryfikowane
były: kryterium maksymalnego naprężenia normalnego, kryterium maksymalnego naprężenia stycznego, kryterium oktaedrycznego naprężenia stycznego.
Kryterium maksymalnego naprężenia normalnego
W myśl tego kryterium za zmęczenie materiału odpowiedzialne jest maksymalne naprężenie normalne. Ta hipoteza wytężenia statycznego zastosowana do cyklicznego obciążenia
prowadzi do następującego wzoru na zakres naprężenia ekwiwalentnego:
∆σeq = ∆σ1
(2.1)
Wieloosiowy stan naprężenia jest redukowany do jednoosiowego za pomocą ekwiwalentnego naprężenia ∆σ eq , które jest równe zakresowi maksymalnego naprężenia normalnego.
W tym modelu za płaszczyznę krytyczną przyjmuje się płaszczyznę maksymalnego zakresu
(lub maksymalnej amplitudy) naprężenia normalnego.
Kryterium maksymalnego naprężenia stycznego
W ślad za hipotezą Tresci w kryterium tym zakłada się, że za zmęczenie materiału
odpowiada maksymalna wartość naprężenia stycznego, które może być przedstawione jako:
∆τ13 =
∆σeq ∆σ1 − ∆σ3
=
2
2
(2.2)
Ponieważ maksymalne naprężenia styczne występuje zawsze w dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach, stąd mamy tu do czynienia z dwiema płaszczyznami krytycznymi, w
których zakresy zmian (lub amplitud) naprężeń są maksymalne.
10
Kryterium oktaedrycznego naprężenia stycznego
W hipotezie wytężenia statycznego maksymalnego naprężenia oktaedrycznego występuje naprężenie styczne τoct na płaszczyźnie jednakowo nachylonej do kierunków głównych
naprężeń. Z hipotezy tej dostosowanej do obciążeń zmiennych wywodzi się następujący
wzór:
i1
3
1 h
(2.3)
∆σeq = √ (∆σ1 − ∆σ2 )2 + (∆σ2 − ∆σ3 )2 + (∆σ3 − ∆σ1 )2 2 = ∆τoct √
2
2
Płaszczyzną krytyczną jest więc płaszczyzna oktaedryczna o maksymalnym zakresie (lub
amplitudzie) naprężenia stycznego. Kryteria opisane powyżej wzorami (2.1) - (2.3) formalnie nie należą do modeli zmęczeniowych bazujących na pojęciu płaszczyzny krytycznej
ponieważ oparte są na maksymalnych zakresach naprężeń normalnych (w zapisie amplitud
naprężeń σa = ∆σ/2) i zaproponowane zostały wcześniej zanim zrodziła się koncepcja płaszczyzny krytycznej. Zakresy naprężeń normalnych wyliczane jako różnice między wartościami maksymalnymi a minimalnymi naprężeń normalnych w cyklu obciążenia można obliczyć
tylko wtedy kiedy obydwie odejmowane wielkości określone są na tej samej płaszczyźnie.
Jak wiadomo kierunki naprężeń głównych zmieniają się nawet dla najprostszych zmiennych
stanów obciążenia co uniemożliwia jednoznaczne określenie zakresów zmian tych naprężeń.
Mimo tego w przeszłości czyniono takie próby dla obciążeń proporcjonalnych, niesłusznie
przyjmując niezmienność położeń kierunków naprężeń głównych. Pomimo, że kryteria wywodzące się ze statycznych hipotez wytężenia nie są zaliczane do kryteriów bazujących na
pojęciu płaszczyzny krytycznej to jednak można w nich ściśle określić płaszczyznę związaną
z rozpatrywanym naprężeniem.
Kryterium Findley’a (1956) [25]
Findley w 1956 roku wysunął postulat, że główną przyczyną zmęczenia materiału jest
zmienne naprężenie styczne przy udziale naprężeń normalnych w płaszczyźnie krytycznej
ścinania. Podobną koncepcję w tym samym mniej więcej czasie zaproponowali Stulen i
Cummings [102]. Na podstawie takiego postulatu Findley zaproponował liniowy związek
naprężenia normalnego σn w płaszczyźnie krytycznej ścinania z dopuszczalnym zmiennym
naprężeniem stycznym τns,c dla danej liczby cykli do zniszczenia w postaci:
τns,c = f − kσn
(2.4)
gdzie: f , k – stałe materiałowe Kryterium to zostało opracowane i przetestowane dla proporcjonalnego cyklicznego zginania ze skręcaniem. Związek ten następnie został rozszerzony
w celu uwzględnienia wpływu wartości średniej naprężeń:
τns,a,c = f − kσn,max
(2.5)
Kryterium to okazało się efektywne dla proporcjonalnego zginania ze skręcaniem przy takich
samych stosunkach naprężeń zginających do naprężeń skręcających zarówno dla obciążeń
zmiennych jak i statycznych. Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna, dla której różnica
pomiędzy dopuszczalną amplitudą naprężenia stycznego τns,a,c a amplitudą naprężenia stycznego τns,a występującym w danej płaszczyźnie osiąga minimum:
∆τ = τns,a,c − τns,a
(2.6)
Po podstawieniu związku (2.6) do równania (2.5) otrzymuje się:
∆τ = f − kσn,max − τns,a
(2.7)
2.1. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na naprężeniach
11
Po wyrażeniu związku (2.7) w funkcji przyłożonych naprężeń zginających σa , σmax i skręcających τa , τmax , zróżniczkowaniu po kącie θ opisującym wektor normalny do płaszczyzny
krytycznej względem stałego układu osi współrzędnych i przyrównaniu do zera otrzymuje się wzór na położenie płaszczyzny krytycznej w stosunku do kierunku maksymalnego
naprężenia głównego σ1 :
tan 2α =
[(σa /2)2 + (τa )2 ]1/2
.
k[(σmax )2 + (τmax )2 ]1/2
(2.8)
W przypadku zerowych naprężeń średnich równanie (2.8) redukuje się do postaci:
tan 2α = 1/k.
(2.9)
Według Findley’a położenie płaszczyzny krytycznej przy zerowych wartościach średnich
naprężeń zależy od położenia kierunku maksymalnego naprężenia głównego σ1 i od stałej
materiałowej k. Stała k jest funkcją liczby cykli do zniszczenia oraz rodzaju materiału. Findley zauważył, że mała wartość stałej k (α = π/4) obowiązuje dla materiałów plastycznych i
położenie płaszczyzny krytycznej dla takich materiałów zbliża się do kierunku płaszczyzny
maksymalnych naprężeń stycznych. Duża wartość stałej k (α = 0) jest charakterystyczna dla
materiałów kruchych jak żeliwa, a położenie płaszczyzny krytycznej jest wtedy zgodne z
położeniem płaszczyzny maksymalnego naprężenia głównego σ1 . W przypadku występowania naprężeń średnich położenie płaszczyzny krytycznej zależy nie tylko od położenia
kierunku maksymalnego naprężenia głównego σ1 i od stałej materiałowej k ale jest także
funkcją naprężeń zmiennych i statycznych. Przy dużym udziale naprężeń średnich zarówno zginających jak i skręcających wartość kąta α dąży do zera to znaczy, że płaszczyzną
krytyczną jest płaszczyzna maksymalnego naprężenia głównego σ1 .
Kryterium McDiarmid’a (1972, 1990) [70]-[72]
McDiarmid zauważył, że ważnymi parametrami dla obciążeń w zakresie wysokocyklowego zmęczenia (HCF) są maksymalny zakres naprężenia stycznego i naprężenie normalne
w płaszczyźnie krytycznej. Za płaszczyznę krytyczną McDiarmid przyjął płaszczyznę o
maksymalnym zakresie naprężeń stycznych. Zaczynając od roku 1972 McDiarmid opracował kilka modeli zmęczeniowych opartych na płaszczyźnie krytycznej o maksymalnym
zakresie naprężeń stycznych. Po przeanalizowaniu danych eksperymentalnych Kawamoto i
Nishihary, którzy badali materiały przy cyklicznym proporcjonalnym i nieproporcjonalnym
skręcaniu i zginaniu McDiarmid zaproponował eksperymentalne kryterium w postaci:
. . 1,5
1,5
(2.10)
τns,a = C1 − C2 σn,a
, gdzie C1 = τa f , C2 = 1 − σa f,b 2 / σa f,b 2 .
Ważne dla 0, 5 < τa f /σa f,b < 1
Kryterium to opisuje zależność między amplitudą naprężenia stycznego a amplitudą naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej dla określonej trwałości zmęczeniowej.
Na podstawie tej zależności można stworzyć krzywe trwałości zmęczeniowej, ale jak się
okazało tylko dla obciążeń proporcjonalnych. Dla obciążeń nieproporcjonalnych zaproponowane kryterium niezbyt dobrze opisywało wyniki badań eksperymentalnych. W 1990 roku
McDiarmid zaproponował nowe kryterium uwzględniające wartość średnią naprężenia w
postaci:
i
h .
(2.11)
τns,a = τa f − τa f 2σT σn,max ,
lub
.
τns,a τa f + σn,max 2σT = 1.
(2.12)
12
Ważne dla 0, 5 < τa f /σa f,b < 1 i 0 6 σn,max 6 σT
Kryterium proponowane przez McDiarmida rozróżnia przypadki pęknięć A i B (opisane przy omawianiu kryterium odkształceniowego Brown’a-Millera). Rozróżnienie polega
na stosowaniu innych granic zmęczenia τa f wyznaczonych osobno dla przypadku pęknięć
A i B. Proponowane kryterium dobrze korelowało dane eksperymentalne dla zginanie ze
skręcaniem przy obciążeniach cyklicznych proporcjonalnych jak i nieproporcjonalnych przy
zerowej i niezerowej wartości średniej obciążeń. Tylko dla jednego przypadku obciążenia
mianowicie τa /σa = 0, 5 i przesunięciu fazy o π/2 gdzie wszystkie płaszczyzny są płaszczyznami o maksymalnym zakresie naprężeń stycznych model okazał się nieefektywny.
Kryterium Dietmana-Isslera (1974), [22]
Dietmann i Issler jako jedni z pierwszych zwrócili uwagę na oddziaływanie zmiany
kierunków osi głównych naprężeń występującą przy obciążeniach przesuniętych w fazie na
trwałość zmęczeniową materiałów. Zaproponowali modyfikację kryterium oktaedrycznego
naprężenia stycznego w celu uwzględnienia zmian położeń osi głównych naprężeń. Kryterium to zakłada, że zniszczenie materiału nastąpi kiedy amplituda naprężenia stycznego
w krytycznej płaszczyźnie oktaedrycznej τns,a osiągnie dopuszczalną wartość naprężenia
charakterystyczną dla danego materiału τns,a,c co można zapisać jako:
τns,a = τns,a,c
(2.13)
Należy jednak pamiętać, że poszukiwania płaszczyzny krytycznej odbywają się tylko na
płaszczyznach oktaedrycznych czyli na płaszczyznach równo nachylonych do osi głównych
naprężeń normalnych. W przypadku obciążeń z przesunięciami fazowymi położenie osi
głównych naprężeń zmienia się a więc położenie płaszczyzny oktaedrycznej również ulega zmianie. Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna oktaedryczna w chwili czasu tmax dla
której oktaedryczne naprężenie styczne τoct,max osiąga wartość maksymalną. Kryterium to
uwzględnia wpływ naprężeń średnich, w tym celu oblicza się wartość średnią naprężenia
normalnego w płaszczyźnie krytycznej. Naprężenie to służy następnie do obliczenia ekwiwalentnego jednoosiowego naprężenia średniego poprzez prostą transformację średniego
naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej na kierunek rozciągania. Jednoosiowe
naprężenie ekwiwalentne używając parabolicznego równania Gerbera jest przeliczane na
równoważną amplitudę naprężenia. Amplituda tego naprężenia służy do wyznaczenia dopuszczalnej wartości oktaedrycznego naprężenia τns,a,c .
Kryterium Simbürgera (1974), [29]
Simbürger zaproponował kryterium uwzględniające wartość średnią naprężenia i zmienność kierunków głównych naprężeń polegające na obliczaniu wartości średniokwadratowej
parametru Sn po wszystkich możliwych kierunkach położenia płaszczyzny. W płaskim stanie
naprężenia wszystkie rozpatrywane położenia płaszczyzn mogą być opisane za pomocą jednego kąta ζ, a decydującym o zniszczeniu zmęczeniowym w tym kryterium jest następujący
parametr:
v
u
u
u
t Zπ
8
Sn2 dζ ,
(2.14)
S=
π
0
gdzie:
Sn =
σeq,max
,
σa,c
(2.15)
σeq = f σeq,m , σeq,a ,
σeq,m = a τns,m + bσn,m ,
σeq,a = aτns,a + bσn,a .
13
(2.16)
Stałe materiałowe a i b są funkcjami granic zmęczenia σa f i τa f . Natomiast σa,c oznacza
dopuszczalną amplitudę naprężenia dla danej liczby cykli do zniszczenia. Simbürger zdefiniował parametr Sn w zależności od rodzaju materiału. Dla materiałów pośrednich to znaczy
materiałów wykazujące cechy elastoplastyczne i kruche parametr Sn zależy od naprężeń
normalnych i stycznych natomiast dla materiałów kruchych parametr Sn jest funkcją tylko
naprężeń normalnych. Kryterium to w zasadzie nie należy do grupy kryteriów opartych na
płaszczyźnie krytycznej ponieważ parametr S nie zależy od konkretnego położenia lokalnego
układu odniesienia. Natomiast Simbürger określił położenie płaszczyzny złomu za pomocą
maksymalnej wartości parametru Sn .
Kryterium Matake (1977), [68]
Matake zaproponował kryterium podobne do kryterium Findley’a zakładając, że za zniszczenie zmęczeniowe materiału odpowiada maksymalne naprężenie styczne przy udziale naprężenia normalnego w płaszczyźnie maksymalnego naprężenia stycznego w postaci:
τns = τa f − kσn .
(2.17)
Kryterium to zostało opracowane dla analizowania cyklicznego skręcania, zginania i kombinacji proporcjonalnego skręcania ze zginaniem. Dla takich przypadków obciążenia zakłada
się stałość położenia osi głównych naprężeń w związku z czym kryterium (2.17) można
przedstawić w formie:
σ1 − σ3
= τa f − kσn .
(2.18)
2
Współczynnik k można wyznaczyć z jednoosiowych prób zmęczeniowych według wzoru:
.
τa f − σa f 2
τa f
.
=2
− 1.
(2.19)
k=
σa f
σa f 2
Płaszczyzną krytyczną jest ta spośród dwóch płaszczyzn maksymalnego naprężenia stycznego, w której występuje większe naprężenie normalne.
Kryterium Machy (1979), [62]
Macha sformułował uogólnione kryterium maksymalnych naprężeń stycznych i normalnych w płaszczyźnie krytycznej dla wieloosiowych obciążeń losowych. Szczegółowe założenia proponowanego kryterium są następujące:
— Pęknięcie zmęczeniowe powstaje pod wpływem naprężenia normalnego σn (t) i stycznego
τns (t) występującego w kierunku ~s na płaszczyźnie krytycznej o normalnej n~
— Kierunek ~s na płaszczyźnie o normalnej n~ pokrywa się ze średnim kierunkiem maksymalnego naprężenia stycznego σns,max
— Dla danej trwałość zmęczeniowej maksymalna wartość liniowej kombinacji naprężeń
σn (t) i τns (t) w warunkach wieloosiowych obciążeń losowych spełnia równanie:
max {Bτns (t) + Kσn (t)} = F,
t
(2.20)
gdzie: B, K, F są stałymi do wyboru szczegółowej wersji kryterium. Położenie płaszczyzny
krytycznej określonej przez kierunek normalny n~ oraz kierunek styczny na tej płaszczyźnie
wyznaczony przez wektor ~s mogą być wyznaczone za pomocą jednej z trzech metod: metodą
14
funkcji wagowych, metodą kumulacji uszkodzeń lub metodą wariancji. Metoda funkcji wagowych przedstawiona w pracach [63, 11, 12, 64] polega na uśrednianiu wartości parametrów
(kątów) określających chwilowe położenie osi głównych naprężeń normalnych przy użyciu
specjalnych funkcji wagowych. Po określeniu uśrednionych położeń osi głównych naprężeń
normalnych otrzymujemy jednocześnie uśrednione kierunki maksymalnych naprężeń stycznych. W przypadku kiedy mamy do czynienia z materiałem, w którym dominują pęknięcia
według mody I, kierunki główne powinny być uśredniane przy użyciu funkcji wagowych
zależnych od naprężeń normalnych. Dla materiałów pękających według mody II lub III
funkcje wagowe powinny być uzależnione od naprężeń stycznych. Pierwszy przypadek jest
charakterystyczny dla materiałów kruchych natomiast drugi dla materiałów elastoplastycznych. Kierunki wektorów n~ i ~s ustala się względem uśrednionych położeń osi głównych, a
te względem stałego układu osi współrzędnych. Metoda kumulacji uszkodzeń omówiona w
pracy [63, 64] polega na kumulowaniu uszkodzeń zmęczeniowych na wszystkich możliwych
płaszczyznach i wybraniu tej, na której stopień uszkodzenia jest maksymalny. W efekcie
otrzymuje się oprócz kierunku oczekiwanej płaszczyzny krytycznej również trwałość. Wektor kierunku normalnego n~ i wektor kierunku stycznego ~s są poszukiwane iteracyjnie lub
przy użyciu metod optymalizacyjnych. Każdy z tych wektorów jest opisany za pomocą trzech
wielkości ale z uwagi na warunki ortogonalności całkowita liczba zmiennych niezależnych
jest równa trzy. W metodzie maksimum wariancji [63, 64] zakłada się, że płaszczyzny, w
których wariancja naprężenia ekwiwalentnego według wybranego kryterium zmęczeniowego osiąga maksimum, są krytyczne dla materiału. Równanie (2.20) jest funkcją położenia
dwóch wektorów określających kierunek normalny n~ do płaszczyzny krytycznej oraz kierunek styczny ~s na tej płaszczyźnie jest więc także funkcją trzech zmiennych niezależnych
podobnie jak w przypadku metody kumulacji uszkodzeń.
Kryterium Dang Van’a (1982) [18, 19, 27]
Dang Van zaproponował kryterium zmęczenia pozwalające sprawdzić czy analizowany
element poddany wieloosiowym cyklicznym obciążeniom ulegnie zniszczeniu. Kryterium
to bazuje na koncepcji mikronaprężeń w krytycznej objętości materiału. Model ten został
opracowany na podstawie obserwacji lokalnych procesów zarodkowania pęknięć w ziarnach. W wyniku deformacji plastycznych w ziarnach powstają wewnątrzkrystaliczne pasma
poślizgów, od których rozpoczyna się proces pękania. Dang Van zaproponował hipotezę
zakładającą, że ważnym parametrem odpowiedzialnym za zarodkowanie pęknięć wzdłuż
pasm poślizgów jest mikroskopowe naprężenie styczne w obszarze ziarna. Drugim ważnym
parametrem według autora jest mikroskopowe hydrostatyczne naprężenie, które wpływa na
proces rozwierania szczeliny. Obydwa proponowane parametry zmęczeniowe zostały powiązane liniową funkcją:
τµ (t) + a1 σµ,h (t) = a2 ,
(2.21)
gdzie: a1 , a2 - stałe wyznaczane z jednoosiowych testów zmęczeniowych. Mikroskopowe naprężenia i odkształcenia w krytycznie obciążonych ziarnach różnią się od makroskopowych
naprężeń i odkształceń, które stosowane są w obliczeniach trwałościowych. Autor wyróżnia
dwie skale wielkości, skalę makroskopową i skalę mikroskopową. Skala makroskopowa
jest scharakteryzowana przez elementarną objętość otaczającą punkt, w którym analizujemy proces zmęczenia. Obszar ten ma wielkość rzędu kilku milimetrów (długość czujnika
tensometrycznego). Skala mikroskopowa brana w proponowanym modelu pod uwagę ma
rząd wielkości równy wielkości ziarna. Chwilowa wartość maksymalnego, mikroskopowego
15
naprężenia stycznego jest liczona z mikroskopowych naprężeń głównych zgodnie z hipotezą
Treski według wzoru:
i
1h
(2.22)
τµ (t) = σµ,1 (t) − σµ,3 (t) .
2
Chwilowe wartości mikroskopowych naprężeń głównych σµ,1(t), σµ,3(t) są wyliczane z chwilowego tensora naprężeń mikroskopowych σµ,i j (t). Tensor ten wyliczany jest jako suma
chwilowego tensora makroskopowego naprężenia σi j (t) oraz dewiatorowej części ustabilizowanego tensora naprężeń wewnętrznych devρ∗ .
σµ,i j (t) = σi j (t) + devρ∗ .
(2.23)
Zastosowanie ustabilizowanego tensora naprężeń wewnętrznych ρ∗ w modelu zmęczeniowym
wyróżnia ten model od innych, jakkolwiek obliczenie tej wielkości dla wieloosiowego stanu
naprężenia stwarza duże problemy. Wynika to z faktu, że wielkość ρ∗ zależy od ścieżki obciążenia, a więc także od kinematycznego i izotropowego umocnienia materiału. W sześciowymiarowej przestrzeni naprężeń można w chwili początkowej wyróżnić hipersferę o środku Oo i promieniu Ro rozgraniczającą obszar sprężysty od obszaru sprężysto-plastycznego.
W wyniku przyrostu obciążenia obszar ten może zwiększać swoją wielkość oraz ulegać
przesunięciu według praw umocnienia kinematyczno-izotropowego. W przypadku obciążeń
cyklicznych ścieżka obciążenia tworzy krzywą zamkniętą. W wyniku wielokrotnego powtórzenia ścieżki obciążenia w sześciowymiarowej przestrzeni naprężeń uformuje się pewien
stabilny obszar o środku OL i promieniu RL , w którym ścieżka obciążenia będzie wpisana. Ustabilizowany tensor naprężeń wewnętrznych ρ∗ jest obliczany jako różnica między
środkiem ustabilizowanego obszaru obejmującego ścieżkę obciążenia OL a początkowym
położeniem środka hipersfery Oo (ρ∗ = OL - Oo ). Mikroskopowa wartość naprężenia hydrostatycznego σh nie różni się od makroskopowego naprężenia hydrostatycznego i jest łatwa
do obliczenia. Model opisany równaniem (2.21) w płaszczyźnie τµ − σµ,h przedstawia linię
prostą, jeżeli ścieżka obciążenia przedstawiona na tej płaszczyźnie nie przekracza tej prostej
oraz prostej będącą jej lustrzanym odbiciem względem osi σµ,h to zniszczenie elementu
nie jest przewidywane. Kryterium zaproponowane przez autora jest specyficznym kryterium
ponieważ model ten sprawdza w każdej chwili czasu czy materiał ulegnie zniszczeniu dokonując obliczeń na płaszczyźnie mikroskopowego, maksymalnego naprężenia stycznego τµ (t),
której położenie jest ustalane w każdej chwili czasu. Jak wiadomo położenie płaszczyzny
maksymalnego, makroskopowego naprężenia stycznego na ogół ulega zmianie w czasie.
W tym modelu mamy do czynienia z mikroskopowymi naprężeniami stycznymi, które są
obliczane z tensora mikroskopowych naprężeń. Tensor ten składa się z dwóch sumowanych
elementów, pierwszy element to zmienny w czasie tensor naprężenia makroskopowego, a
drugi to stały w czasie dewiator mikroskopowego naprężenia wewnętrznego. Położenie płaszczyzny krytycznej jest więc uwarunkowane dwoma wielkościami, z których jedna nie ulega
zmianie. W wyniku tego, zakres zmienności położenia płaszczyzny krytycznej obliczanej z
tensora mikroskopowych naprężeń w przypadku nieproporcjonalnych obciążeń nie jest tak
duży w porównaniu do zakresu zmienności położenia płaszczyzny krytycznej wyliczanych z
makroskopowych naprężeń. Jeżeli udział części dewiatorowej mikroskopowego naprężenia
wewnętrznego będzie dużo większy od udziału makroskopowego tensora naprężenia to z
pewnym przybliżeniem można założyć stałość położenia płaszczyzny krytycznej.
Kryterium Semprucha (1992), [93]
Sempruch na podstawie danych eksperymentalnych zaczerpniętych z literatury i badań
własnych doszedł do wniosku, że istnieje niewielka liczba kryteriów ujmujących zmianę
16
kierunków głównych naprężenia przy nieproporcjonalnych obciążeniach cyklicznych oraz
ujmujących wpływ wartości średniej obciążeń. Zaproponował kryterium dla płaskiego stanu
naprężenia w postaci:
p
(σn,a,c (ζ) − σn,a (ζ)) (σs,a,c (ζ) − σs,a(ζ)) (τns,a,c (ζ) − τns,a (ζ)) = 0,
(2.24)
gdzie dopuszczalne amplitudy naprężeń w płaszczyźnie krytycznej są wyliczane według
zależności wynikających ze zlinearyzowanego wykresu High’a:
σn,a,c (ζ) = σa f − p2n σn,m (ζ),
σs,a,c (ζ) = σa f − p2s σs,m (ζ),
(2.25)
τns,a,c (ζ) = τa f − p2ns τns,m (ζ),
gdzie: p2n , p2s , p2ns – współczynniki wrażliwości materiału na asymetrię cyklu. W kryterium
Semprucha dla dowolnego położenia transformowanego układu współrzędnych ns z układu
globalnego xy, (transformacja ta w płaskim stanie naprężenia opisana jest za pomocą jednego
kata ζ) obliczane są wartości średnie naprężeń normalnych σn,m , σs,m w kierunku n~ i ~s
oraz wartości średnie naprężenia stycznego τns,m . Następnie średnie wartości tych naprężeń
są transformowane według zależności (2.25) otrzymując dopuszczalne wartości amplitud
naprężeń σn,a,c , σs,a,c oraz τns,a,c . Jeżeli wartości tych amplitud są mniejsze od amplitud
naprężeń wynikających z obciążeń dla danej wartości kąta ζ, σn,a , σs,a oraz τns,a to zakłada
się, że pęknięcie materiały nie nastąpi. Natomiast kiedy co najmniej jedno z dopuszczalnych
amplitud osiągnie wartość amplitudy naprężenia dla danego kąta ζ pęknięcie nastąpi, i
powinno być pod kątem ζ. Położenie płaszczyzny krytycznej określone jest zatem dla takiej
wartości kąta ζ, dla którego równanie (2.24) jest prawdziwe.
Kryterium Papadopoulos’a (1993), [82, 83]
Papadopoulos zaproponował kryterium, które jest liniową kombinacją maksymalnej amplitudy uogólnionego naprężenia stycznego T a zdefiniowanej na płaszczyźnie krytycznej
oraz maksymalnej wartości naprężenia hydrostatycznego w cyklu obciążenia w postaci:
max T a + α∞ σh,max 6 γ∞ ,
(2.26)
gdzie: γ∞ , α∞ - współczynniki materiałowe wyznaczane z jednoosiowych prób zmęczeniowych, natomiast
σh,max = max [σkk (t) /3] .
(2.27)
t
Amplituda naprężenia stycznego τns,a jest amplitudą naprężenia stycznego w kierunku ~s
określonym przez kąt χ w płaszczyźnie o kierunku normalnym n~ zdefiniowanym przez kąty
ζ, ξ w sferycznym układzie współrzędnych.
1
(2.28)
τns,a (ζ, ξ, χ) = max τns (ζ, ξ, χ, t) − min τns (ζ, ξ, χ, t) .
t
2 t
Dla tak zdefiniowanej amplitudy τns,a poszukiwana jest maksymalna wartość uogólnionego
naprężenia stycznego T a .
v
u
u
u
u
t Z2π
1
2 (ζ, ξ, χ) dχ.
T a (ζ, ξ) =
τns,a
(2.29)
π
χ=0
2.2. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na odkształceniach
17
Wielkość T a jest w bezpośredni sposób związana z średniokwadratową wartością amplitudy
naprężenia stycznego τns,a w płaszczyźnie o kierunku normalnym n~ określonym przez kąty ζ,
ξ i jest funkcją położenia rozpatrywanej płaszczyzny. Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna
na której uogólniona wartość naprężenia stycznego T a osiąga maksimum.
Kryterium Vidal’a i innych (1996), [107]
Vidal i współautorzy przedstawili dwa kryteria, jedno oparte na koncepcji płaszczyzny
krytycznej, a drugie na wartości średniokwadratowej proponowanego parametru. Kryterium
pierwsze uwzględnia przy obliczaniu amplitudy przebiegu naprężenia ekwiwalentnego σeq,a
amplitudę naprężenia stycznego τns,a , amplitudę naprężenia normalnego σn,a i wartość średnią naprężenia normalnego σn,m w płaszczyźnie krytycznej. Przy czym amplituda i wartość
średnia naprężenia normalnego są sumowane z uwzględnieniem współczynników a(N) i
b(N) zależnych od liczby cykli do zniszczenia N. Współczynniki te wyliczane są na podstawie jednoosiowych testów zmęczeniowych.
σeq,a = τns,a + a(N)σn,a + b(N)σn,m
(2.30)
W kryterium tym pominięto wartość średnią naprężenia stycznego z uwagi na zdecydowanie
mniejszy wpływ tego naprężenia na trwałość zmęczeniową niż wartości średniej naprężenia normalnego. Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna, na której amplituda naprężenia
ekwiwalentnego σeq osiąga największą wartość. Kryterium to weryfikowano przy dwóch
rodzajach cyklicznych, proporcjonalnych i nieproporcjonalnych obciążeniach to jest przy
rozciąganiu-ściskaniu ze skręcaniem dla próbek okrągłych oraz dla próbek cylindrycznych
poddanych działaniu ciśnienia wewnętrznego z rozciąganiem-ściskaniem. Autorzy przewidują w przyszłości zastosowanie proponowanego kryterium również dla obciążeń zmiennoamplitudowych.
2.2. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na
odkształceniach
Uogólnione hipotezy wytężenia
Podobnie jak kryteria naprężeniowe pierwsze odkształceniowe kryteria wieloosiowego
zmęczenia formułowano na bazie statycznych hipotez wytężenia.
Kryterium maksymalnego odkształcenia normalnego
W myśl tego kryterium (opartego na statycznej hipotezie de Saint-Venanta) za zmęczenie
materiału odpowiedzialne jest maksymalne odkształcenie normalne. Ta hipoteza wytężenia
statycznego zastosowana do cyklicznego obciążenia prowadzi do następującego wzoru na
zakres odkształcenia ekwiwalentnego:
∆εeq = ∆ε1
(2.31)
Płaszczyzną krytyczną jest tu płaszczyzna, w której występuje maksymalny zakres zmian
odkształcenia normalnego.
18
Kryterium maksymalnego odkształcenia postaciowego
W ślad za hipotezą Coulomba - Tresci - Guesta w kryterium tym zakłada się, że za
zmęczenie materiału odpowiada maksymalna wartość odkształcenia postaciowego, które
może być przedstawione za pomocą zakresów zmian odkształceń jako:
∆εeq ∆ε1 − ∆ε3
=
(2.32)
2
2
Konsekwentnie do tego założenia płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna o maksymalnym
zakresie zmian odkształcenia postaciowego.
∆ε13 =
Kryterium oktaedrycznego odkształcenia postaciowego
Hipoteza oktaedrycznego odkształcenia postaciowego zastosowana do obciążeń zmiennych bazuje na zakresie zmian tego odkształcenia
i1
1h
∆εeq = (∆ε1 − ∆ε2 )2 + (∆ε2 − ∆ε3 )2 + (∆ε3 − ∆ε1 )2 2 ,
(2.33)
3
a płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna oktaedryczna o maksymalnym zakresie zmian
∆γoct .
Kryterium Brown’a – Miller’a (1973), [8]
Brown i Miller analizując wyniki badań różnych autorów doszli do wniosku, że najlepszym parametrem do opisu zjawiska zmęczenia jest odkształcenie. Wybór odkształcenia a
nie naprężenia jako parametru opisującego trwałość zmęczeniową był podyktowany kilkoma
względami. Po pierwsze, zmęczeniowy wzrost pęknięcia jest kontrolowany przez warunki
panujące w wierzchołku szczeliny. Zarówno stan naprężenia jak i odkształcenia w wierzchołku szczeliny jest uzależniony od deformacji materiału otaczającego wierzchołek szczeliny.
Po drugie, odkształcenie jest mierzone bezpośrednio z próbki w przeciwieństwie do naprężenia, które jest wyliczane z pomiaru siły. Brown i Miller zaproponowali kryterium dla
wieloosiowego zmęczenia, które zakłada, że trwałość zmęczeniowa jest ogólnie nieliniową
funkcją stanu odkształcenia. Kontur o stałej trwałości może być przedstawiony jako:
ε + ε γ13
ε1 − ε3
1
3
lub
= f
= f [εn ]
(2.34)
2
2
2
Taka postać kryterium została podyktowana wynikami obserwacji inicjacji i propagacji pęknięć zmęczeniowych. Zauważono, że w wielu metalach proces inicjacji pękania występuje na
krystalograficznych płaszczyznach poślizgu i jest kontrolowany przez odkształcenie postaciowe. W etapie pierwszym (Stage I) pęknięcia propagują na płaszczyznach maksymalnego
ścinania jako proces poślizgu i dekohezji. Dla większości materiałów etap drugi propagacji (Stage II) jest kontynuacją procesów poślizgu i dekohezji. Z drugiej strony pęknięcia
mogą propagować poprzez pustki lub rozszczepienia materiału szczególnie w materiałach
kruchych. Drugim ale ważnym efektem jest wpływ odkształcenia normalnego działającego
w płaszczyźnie maksymalnego odkształcenia postaciowego. Odkształcenie to wpływa na ruchliwość dyslokacji i dekohezje związaną z procesami poślizgu. Rozpatrując obydwa efekty
Brown i Miller doszli do wniosku, że maksymalne odkształcenie postaciowe i odkształcenie normalne na płaszczyźnie maksymalnego odkształcenia postaciowego są parametrami
decydującymi o trwałości zmęczeniowej. Płaszczyzną krytyczną jest więc płaszczyzna o
największym odkształceniu postaciowym γ13 . Tak zdefiniowane położenie płaszczyzny krytycznej jest prawidłowe tylko w przypadku obciążeń proporcjonalnych zakładając niezmienność kierunków odkształceń głównych. Brown i Miller wprowadzili dwa typy pęknięć typ A
2.2. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na odkształceniach
19
i B. Dla przypadku A pęknięcie rozwija się wzdłuż powierzchni materiału. Dla przypadku B
pęknięcie rozwija się do wewnątrz materiału. Przypadek A i B występuje zarówno dla etapu
I jak i II. Dla czystego skręcania występuje przypadek A, przypadek B występuje dla dwuosiowego rozciągania - ściskania (equibiaxial). Dla kombinacji rozciągania ze skręcaniem
występuje zawsze przypadek A. Kryterium to zapisane w ogólnej formie (2.34) zostało w
1982 roku przez Kandila-Brown’a-Millera sprowadzone do liniowej postaci:
∆γ13
+ S∆εn = C,
2
(2.35)
gdzie S jest stałą wyznaczaną eksperymentalnie zwaną współczynnikiem wpływu odkształcenia normalnego. Należy tu zauważyć, że tylko w przypadku obciążeń proporcjonalnych
kiedy odkształcenia postaciowe i normalne sa w fazie i ich ekstrema występują w tej samej
chwili czasu stosowanie zakresów odkształceń w równaniu (2.35) jest uzasadnione. W celu
uwzględnienia wpływu nieproporcjonalności oraz zmiennoamplitudowych odkształceń Wang
i Brown [104] zaproponowali modyfikacje kryterium (2.35) do postaci:
′
σf
∆γns
+ S∆εn∗ = (1 + νe + (1 − νe )S) (2N f )b + (1 + ν p + (1 − ν p )S)ε ′f (2N f )c ,
2
E
(2.36)
Różnica miedzy kryteriami (2.35) a (2.36) polega na różnej definicji zakresu odkształcenia
normalnego. Odkształcenie normalne εn∗ (normal strain excursion) jest obliczane na płaszczyźnie maksymalnego zakresu odkształcenia postaciowego ∆γns w cyklu o największym
zakresie ∆γns . Zakres odkształcenia postaciowego jest wyliczany na kierunku ~s na płaszczyźnie o normalnej n~. Jeśli początek tego cyklu oznaczymy litera A a koniec litera B
to:
εn∗ = max (εn (t)) − min (εn (t)) = εn,max − εn,min
(2.37)
tA <t<tB
tA <t<tB
Wielkość ta jest zawsze brana jako wartość dodatnia nawet przy ściskaniu ponieważ dla
zakresu o małej liczbie cykli (LCF) wpływ wartości średniej odkształcenia jest mały (według autorów). Płaszczyzna krytyczna jest jedna z płaszczyzną o maksymalnym zakresie
odkształcenia postaciowego, dla której ∆εn∗ przybiera większą wartość. Autorzy sygnalizują
użyteczność proponowanego kryterium dla zakresu dużej liczby cykli (HCF) pod warunkiem uwzględnienia wpływu wartości średniej obciążenia w równaniu (2.36). Równanie
(2.36) obejmuje zarówno przypadek pęknięć A jak i B:
γeq,a =
∆γns
+ S∆εn − przypadek A
2
(2.38)
∆γns
− przypadek B
(2.39)
2
Dla przypadku B zakłada się brak wpływu nieproporcjonalności obciążenia (S = 0). W przypadku pęknięć typu A maksymalne odkształcenia postaciowe sa równoległe do powierzchni
materiału. W przypadku typu B płaszczyzna maksymalnego odkształcenia postaciowego jest
pod katem π/4 stopni do powierzchni materiału. Kryterium zaproponowane przez Wanga i
Browna (2.36) zostało użyte przez Kima i innych [48] dla skręcania, rozciągania-ściskania
oraz ich kombinacji dla proporcjonalnych, nieproporcjonalnych stałoamplitudowych oraz
zmiennoamplitudowych obciążeń. Uzyskali zadawalające rezultaty przy różnych definicjach
płaszczyzny krytycznej. Otrzymane wyniki były bardzo zbliżone zarówno dla płaszczyzny
krytycznej maksymalnego odkształcenia postaciowego γns jak i dla płaszczyzny krytycznej
maksymalnego uszkodzenia według kryterium Browna-Wanga.
γeq,a =
20
Kryterium Lohr’a – Ellison’a (1980) [57]
Lohr i Ellison zaproponowali proste kryterium zmęczeniowe do szacowania trwałości
w zakresie niskocyklowego zmęczenia. Kryterium to zakłada, że za trwałość zmęczeniową
oraz za prędkość propagacji pęknięcia odpowiedzialna jest liniowa kombinacja amplitud
odkształcenia postaciowego γns,a i odkształcenia normalnego εn,a w płaszczyźnie krytycznej:
γns,a + kεn,a = C.
(2.40)
Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna nachylona pod kątem π/4 do powierzchni materiału i jest to jedna z czterech płaszczyzn odkształceń postaciowych. Założenia te dotyczą przypadku kiedy dwie osie główne odkształceń znajdują się na powierzchni materiału.
Tak zdefiniowane położenie płaszczyzny krytycznej pokrywa się z położeniem płaszczyzny
maksymalnego odkształcenia postaciowego γ13 w przypadku kiedy stosunek minimalnego
odkształcenia głównego (ε3 lub ε2 ) do maksymalnego odkształcenia głównego (ε1 ) na powierzchni materiału znajduje się w przedziale < −ν, +1 >. W przypadku czystego skręcania,
kiedy stosunek odkształceń głównych ε3 /ε1 na powierzchni materiału jest równy -1, płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna wyznaczona nie przez maksymalne odkształcenia postaciowe
γ13 , lecz przez odkształcenie postaciowe γ12 . Czyli: −ν 6 ε2 /ε1 6 +1 dla γns = γ13 oraz
ε3 /ε1 = −1 dla γns = γ13 /2 = γ12 . Autorzy uzyskali zadawalające rezultaty przy korelacji
wyników badań eksperymentalnych z kilku stali w zakresie niskocyklowym za pomocą
proponowanego kryterium. Wpływ odkształcenia normalnego εn w płaszczyźnie krytycznej
okazał się drugorzędny ponieważ współczynnik k dla najlepszej estymacji wyników badań
eksperymentalnych był równy około 0,2.
Kryterium Fatemi i inni (1985, 1987) [24], [23], [96], [99]
Socie i inni dokonując obserwacji pęknięć doszli do podobnych wniosków co Brown
i Miller czyli, że odkształcenie normalne εn w płaszczyźnie maksymalnego odkształcenia
postaciowego przyspiesza proces niszczenia zmęczeniowego materiału poprzez rozwieranie szczeliny. Rozwarcie szczeliny zmniejsza siły tarcia pomiędzy płaszczyznami poślizgu
blokujące rozwój pęknięcia. Ponadto uwzględniono wpływ wartości średniej naprężenia
normalnego σn,m w płaszczyźnie o maksymalnej amplitudzie odkształcenia postaciowego
γns,a w postaci:
τ′f
σn,m
′
c
= γ f (2N f ) + (2N f )b .
(2.41)
γns,a + εn,a +
E
G
Na podstawie analiz badań zmęczeniowych różnych materiałów Fatemi i Socie zauważyli,
że model Browna i Millera bazując tylko na wartościach odkształceń nie uwzględnia dodatkowego umocnienia materiału występującego podczas obciążeń nieproporcjonalnych. W
celu uwzględnienia tego zjawiska dokonali oni modyfikacji modelu Browna i Millera zastępując wartość odkształcenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej maksymalną wartością
naprężenia normalnego σn,max . Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna o maksymalnej amplitudzie odkształcenia postaciowego γns,a. Dla danej liczby cykli do zniszczenia N f model
ten można zapisać równaniem:
. γns,a 1 + nσn,max σy = constant,
(2.42)
gdzie: n – stała dobierana doświadczalnie. Zaproponowany model uwzględnia również wartość naprężenia średniego poprzez maksymalną wartość naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej ponieważ:
σn,max = σn,a + σn,m .
(2.43)
2.3. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na energii odkształcenia
21
Dla niskocyklowego zakresu obciążenia (LCF) wykorzystując równanie Mansona-Coffina
zależność (2.42) może być wyrażone w funkcji liczby cykli do zniszczenia:
′
b
2b
. σ2 σ′ γns,a 1 + nσn,max σy = (1 + νe ) Ef 2N f + n2 (1 + νe ) Eσf y 2N f +
ε′ σ′ b+c
c
.
+ 1 + ν p ε ′f 2N f + 2n 1 + ν p σf y f 2N f
(2.44)
Zaproponowane kryterium jest odpowiednie tylko dla warunków (tj. rodzaju materiału, obciążenia, temperatury), w których zachodzą pęknięcia według mody II.
Kryterium Machy (1988) [64]
Macha sformułował uogólnione kryterium wieloosiowego zmęczenia losowego maksymalnych odkształceń postaciowych i normalnych w płaszczyźnie krytycznej. Szczegółowe
założenia proponowanego kryterium są następujące:
— Pęknięcie zmęczeniowe powstaje pod wpływem odkształcenia normalnego εn (t) i stycznego εns (t) występującego w kierunku ~s na płaszczyźnie krytycznej o normalnej n~
— Kierunek ~s na płaszczyźnie o normalnej n~ pokrywa się ze średnim kierunkiem maksymalnego odkształcenia stycznego εns,max .
— Dla danej trwałość zmęczeniowej maksymalna wartość liniowej kombinacji odkształceń
εn (t) i εns (t) w warunkach wieloosiowych obciążeń losowych spełnia równanie:
max {bεns (t) + kεn (t)} = q,
t
(2.45)
gdzie: b, k, q są stałymi do wyboru szczegółowej wersji kryterium. Położenie płaszczyzny
krytycznej określonej przez kierunek normalny n~ oraz kierunek styczny na tej płaszczyźnie
wyznaczony przez wektor ~s mogą być wyznaczone podobnie jak w przypadku kryterium
naprężeniowym Machy za pomocą jednej z trzech metod: metody funkcji wagowych, metody kumulacji uszkodzeń i metody maksimum wariancji. Zasada poszukiwania położenia
płaszczyzny krytycznej za pomocą jednej z trzech metod jest analogiczna jak w przypadku
opisanym w punkcie dotyczącym kryteriów bazujących na naprężeniach i z tego względu
nie jest tutaj powtarzana.
2.3. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na energii
odkształcenia
Pierwsze kryteria bazujące na energii odkształcenia wywodzą się ze statycznych hipotez
wytężenia materiału. Do najczęściej spotykanych kryteriów z tej grupy należą uogólnione hipotezy Beltramiego i Hubera-Misesa-Hencky’ego. Uogólniona hipoteza Beltramiego zasadza
się na całkowitej energii odkształcenia, czyli na sumie wszystkich iloczynów składników tensora naprężenia i odkształcenia. Podobnie uogólniona hipoteza Hubera-Misesa-Hencky’ego
mając za podstawę energie odkształcenia postaciowego bierze pod uwagę sumę wszystkich
iloczynów składowych dewiatorowych tensorów naprężenia i odkształcenia. Stąd obie te
uogólnione hipotezy nie należą do kryteriów bazujących na płaszczyźnie krytycznej. Pokazano jednak [33], że w przypadku sprężystego stanu odkształcenia kryterium energii odkształcenia postaciowego można wyrazić za pomocą naprężenia stycznego lub odkształcenia
postaciowego w płaszczyźnie oktaedrycznej jak to zostało przedstawione przy omawianiu
kryteriów naprężeniowych i odkształceniowych. Płaszczyzny oktaedryczne jako płaszczyzny krytyczne wyznaczone według maksymalnych naprężeń lub odkształceń normalnych
22
pokrywają się tylko w przypadku obciążeń proporcjonalnych i tylko dla takich przypadków
obciążenia kryterium to znalazło zastosowanie.
Kryterium Smith – Watson – Topper (1970) [95]
Smith i inni zaproponowali prostą postać parametru uszkodzenia wyrażoną jako iloczyn
naprężenia i odkształcenia do opisu zjawisk zmęczenia metali.
Wa = σmax εa
(2.46)
lub
Pa =
p
σmax εa E =
p
(σa + σm ) εa E.
(2.47)
Początkowo parametr ten zwany też parametrem SWT był używany dla określania trwałości
zmęczeniowej metali przy jednoosiowym rozciąganiu-ściskaniu z uwzględnieniem wartości
średniej. Wykorzystując równania Mansona-Coffina parametr (2.46) można zapisać jako
funkcję liczby cykli do zniszczenia N f :
′
2b
b+c
σ f2 Wa = σmax εa =
2N f + σ ′f ε ′f 2N f
2
(2.48)
Parametr SWT po niewielkiej modyfikacji był także używany przy wieloosiowych obciążeniach proporcjonalnych i nieproporcjonalnych dla materiałów pękających zmęczeniowo
według mody I. Modyfikacja polega na założeniu, że naprężenie i odkształcenie występujące w wzorze (2.46) są obliczane jako wielkości działające prostopadle do płaszczyzny
krytycznej. Najczęściej spotykaną formą zapisu parametru SWT w płaszczyźnie krytycznej
maksymalnego zakresu odkształcenia normalnego jest forma zaproponowana przez Socie
[96] jako:
′2
b+c
2b
∆ε1 σ f .
(2.49)
=
2N f + σ ′f ε ′f 2N f
Wa = σn,max
2
2
Kryterium Nitty-Ogaty-Kuwabary (1988) [79]
Nitta, Ogata i Kuwabara zastosowali parametry oparte na gęstości energii odkształcenia
do obliczania trwałości zmęczeniowej w zależności od mody pękania i typu obciążenia.
Dla obciążeń proporcjonalnych i propagacji pęknięć według mody I proponują gęstość energii odkształcenia normalnego wyliczaną jako iloczyn amplitudy maksymalnego naprężenia
normalnego i maksymalnego zakresu odkształcenia normalnego:
∆W I =
∆σ1
1
∆ε1 = A1 N −β
f ,
2
(2.50)
gdzie: A1 , β1 - stałe materiałowe. Dla obciążeń proporcjonalnych i propagacji według mody II
proponują gęstość energii odkształcenia postaciowego wyliczaną jako iloczyn maksymalnego
zakresu naprężenia stycznego ∆τ13 i maksymalnego zakresu odkształcenia postaciowego
∆γ13 :
2
∆W II = ∆τ13 ∆γ13 = A2 N −β
(2.51)
f ,
gdzie: A2 , β2 - stałe materiałowe. W przypadku znacznych odkształceń plastycznych kierunki maksymalnych odkształceń i naprężeń głównych czy też maksymalnych naprężeń i
odkształceń stycznych nie muszą się pokrywać. W związku z czym położenie płaszczyzny krytycznej nie jest dla tak obliczanych parametrów zmęczeniowych ściśle określone.
W przypadku obciążeń nieproporcjonalnych zauważono, że pęknięcia są typy mieszanego
23
mody I oraz mody II. W związku z tym zaproponowano obliczanie trwałości dla obciążeń
nieproporcjonalnych w formie:
1
1
1
=
+
.
(2.52)
Nou NI NII
W zależności od wielkości przesunięcia fazowego liczba cykli do zniszczenia wyliczana
według mody I i mody II jest określana w odmienny sposób. Dla przesunięcia fazowego π/2
pęknięcia układały się prostopadle do osi próbek a gęstość energii odkształcenia normalnego
była wyliczana z zależności:
∆σ
∆ε.
(2.53)
∆W I =
2
Natomiast gęstość energii odkształcenia postaciowego według zależności:
∆W II = ∆τ∆γ.
(2.54)
Liczby cykli wyliczone odpowiednio według mody I (2.50) i mody II (2.51) były następnie
przekształcane według proponowanego wzoru (2.52) w celu obliczenia trwałości zmęczeniowej Nou . Dla pozostałych przesunięć faz tj. π/6, π/4 i π/3 płaszczyzny złomu pokrywały
się z płaszczyznami maksymalnego zakresu odkształcenia postaciowego ∆γ13 a parametry
zmęczeniowe były obliczane według następujących wzorów:
∆σn
∆εn ,
2
∆W II = ∆τ13 ∆γ13 .
∆W I =
(2.55)
(2.56)
Płaszczyzną krytyczną jest tu płaszczyzna maksymalnych odkształceń postaciowych ∆γ13 .
Parametry zmęczeniowe zostały opracowane na podstawie obserwacji propagacji pęknięć i
trwałości zmęczeniowej nierdzewnej stali 304 badanej w podwyższonej temperaturze 550oC
dla zakresu niskocyklowego (LCF). Dla obciążeń proporcjonalnych zauważono wyraźne
mody propagacji pęknięć w zależności od stosunku odkształceń λε = ∆γ/∆ε. Moda I występowała dla λε <1,7 a moda II dla λε >1,7. Dla obciążeń nieproporcjonalnych złom
zmęczeniowy był typu mieszanego.
Kryterium Liu (1993), [55, 56]
Liu zaproponował energetyczną metodę szacowania trwałości zmęczeniowej opartą na
wirtualnej energii odkształcenia (vitrual strain-energy: VSE). Metodę VSE wyróżniają dwa
parametry odpowiedzialne za uszkodzenie zmęczeniowe. Parametry wirtualnej energii odkształcenia są fizycznie skojarzone z dwoma różnymi modami złomów zmęczeniowych.
Pierwszy parametr jest sumą maksymalnej energii odkształcenia normalnego i energii odkształcenia postaciowego na płaszczyźnie o maksymalnej energii odkształcenia normalnego
i jest używany do opisu trwałości zmęczeniowej materiałów pękających według mody I.
∆W I = (∆Wn )max + ∆Ws = (∆σn ∆εn )max + ∆τns ∆εns − moda I.
(2.57)
Płaszczyzna krytyczna jest więc płaszczyzna, na której iloczyn (∆σn ∆εn )max osiąga maksimum. Drugi parametr jest sumą maksymalnej energii odkształcenia postaciowego i energii
odkształcenia normalnego na płaszczyźnie o maksymalnej energii odkształcenia postaciowego i jest używany do opisu trwałości zmęczeniowej materiałów pękających według mody
II. W materiałach pękających według mody II można jeszcze wyróżnić przypadek A i B
pęknięć zmęczeniowych i odpowiednio wyróżniono dwa parametry ∆W II , mianowicie:
∆W II,A = (∆Wns )max + ∆Wn = (∆τns ∆εns )max + ∆σn ∆εn − moda II typ A,
(2.58)
24
∆W II,B = (∆Wns )max + ∆Wn = (∆τns ∆εns )max + ∆σn ∆εn − moda II typ B.
(2.59)
Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna, na której iloczyn (∆τns ∆εns )max osiąga maksimum.
Mimo formalnego podobieństwa wzorów na ∆W II,A i ∆W II,B zakresy naprężeń i odkształceń
stycznych i normalnych są obliczane według koła Mohra w odmienny sposób. Dla przypadku
A przez maksymalne i minimalne naprężenia i odkształcenia normalne σ1 , σ3 , ε1 , ε3 , a dla
przypadku B przez σ1 , σ2 i ε1 , ε2 . W jednoosiowym stanie naprężenia model VSE można
w sposób ogólny zapisać jako:
∆W = ∆σ · ∆ε = E∆εe ∆ε p + ∆εe = ∆W p + ∆We .
(2.60)
Parametr VSE obejmuje zatem zarówno energię odkształcenia sprężystego jak i plastycznego
co można zinterpretować jako pole prostokąta obejmującego pole pętli histerezy. W jednoosiowym stanie naprężenia energia ∆W pokrywa się z parametrem energetycznym Smitha Watsona - Toppera i jako funkcja liczby cykli daje się wyrazić za pomocą charakterystyki
zmęczeniowej Mansona - Coffina - Basquina:
1
∆ε p = B1 N −a
f ,
2
∆εe = B2 N −a
f ,
∆W = ∆W p + ∆We = E ABN −(α+β)
+ EB2 N −2β
f
f ,
(2.61)
gdzie: B1, B2, a1 , a2 - stałe materiałowe. Podany powyżej sposób obliczania parametrów
VSE jest odpowiedni dla cyklicznych obciążeń proporcjonalnych ponieważ dla takich obciążeń składowe naprężeń i odkształceń są w fazie. W sposób oczywisty można więc znaleźć
chwilę czasu gdzie iloczyn naprężeń i odkształceń jest maksymalny. Dla tej chwili czasu
budowane są koła Mohra, które pozwalają na obliczenie parametrów VSE. Znacznie gorzej
jest w przypadku obciążeń nieproporcjonalnych gdzie wartości maksymalne naprężeń czy
też odkształceń nie są w fazie. Dla takich przypadków obciążeń Liu podaje odmienny sposób
obliczania parametrów VSE i oznacza je odpowiednio dla mody I przez ∆Ŵ I oraz dla mody
II przez ∆Ŵ II . W ogólnym przypadku ścieżką cyklicznego sinusoidalnego obciążenia nieproporcjonalnego jest obrócona elipsa. Liu zakłada, że obciążenie takie można zastąpić dwoma
fikcyjnymi proporcjonalnymi obciążeniami o ścieżkach obciążenia przebiegającymi wzdłuż
mniejszej i większej średnicy elipsy. Parametr VSE jest obliczany jako suma parametrów
VSE z pierwszego i drugiego fikcyjnego obciążenia na tej samej płaszczyźnie krytycznej.
Poszukiwanie płaszczyzny krytycznej odbywa się w sposób iteracyjny.
Kryterium Glinki i inni (1994, 1999) [28], [80]
Glinka i inni analizując prace Browna, Millera i innych badaczy doszedł do wniosku, że
nie tylko parametr bazujący na stanie odkształcenia decyduje o trwałości zmęczeniowej. Zaproponowali parametr energetyczny będący częścią całkowitej gęstości energii odkształcenia
wyrażoną przez naprężenie i odkształcenie w płaszczyźnie krytycznej w formie:
Wa∗ =
∆γns ∆τns ∆εn ∆σn
+
.
2 2
2 2
(2.62)
Parametr ten wywodzi się z modelu Browna - Millera [8], w którym trwałość zmęczeniowa
jest funkcją odkształcenia postaciowego i normalnego w płaszczyźnie krytycznej. Zamiast
odkształcenia postaciowego i normalnego w płaszczyźnie krytycznej autorzy wprowadzili
25
gęstość energii odkształcenia postaciowego i normalnego na płaszczyźnie krytycznej. Płaszczyzną krytyczną w obu modelach jest płaszczyzna o maksymalnym zakresie odkształcenia
postaciowego ∆γns . W celu uwzględnienia wpływu wartości średniej obciążenia autorzy
zmodyfikowali kryterium 2.62 do postaci:




∆τ
1
1
∆γ

ns 
ns
,
(2.63)
Wa∗ =

′ +
′
2 2 1 − τns,max /τ f 1 − σn,max /σ f 
gdzie τns,max i σn,max to maksymalne bezwzględne wartości naprężenia stycznego i normalnego w płaszczyźnie krytycznej maksymalnego zakresu odkształcenia postaciowego ∆γns . W
1999 roku Pan i inni [80] zwrócili uwagę na fakt, że wpływ energii odkształcenia w kierunku stycznym ∆γ2ns ∆τ2ns na trwałość zmęczeniową jest inny od wpływu energii odkształcenia
wyznaczonej w kierunku normalnym ∆ε2 n ∆σ2 n . Z tego powodu zaproponowali modyfikacje
modelu Glinki poprzez zastosowanie dwóch współczynników wyznaczanych eksperymentalnie. Proponowana forma kryterium jest następująca:
Wa∗ =
gdzie współczynniki κ1 =
σ′f
τ′f
, κ2 =
∆εn ∆σn
∆γns ∆τns
+ κ1 κ2
,
2 2
2 2
(2.64)
γ ′f
ε ′f
Kryterium Łagody - Machy (1998) [58, 59, 60]
Łagoda i Macha sformułowali uogólnione kryterium gęstości energii odkształceń normalnych i stycznych w płaszczyźnie krytycznej. Szczegółowe założenia proponowanego kryterium są następujące:
— Pękanie zmęczeniowe jest spowodowane tą częścią gęstości energii odkształceń, która
odpowiada pracy naprężenia normalnego σ n (t) na odkształceniu normalnym εn (t), czyli
Wn (t) i pracy naprężenia stycznego τns (t) na odkształceniu stycznym εns (t) w kierunku
~s, na płaszczyźnie o normalnej n~, tj. Wns (t);
— Kierunek ~s na płaszczyźnie krytycznej pokrywa się ze średnim kierunkiem, w którym
gęstość energii odkształcenia stycznego jest maksymalna Wns,max ;
— W stanie granicznym wytężenie materiału jest określone przez maksymalną wartość
liniowej kombinacji parametrów energii Wn (t) i Wns (t), tj.
max{βWns (t) + κWn (t)} = Q, lub
t
max{Weq (t)} = Q,
t
(2.65)
gdzie β, κ, Q są stałymi do wyboru szczegółowej wersji kryterium. Parametr gęstości energii
odkształcenia dla jednoosiowego stanu naprężenia został zdefiniowany jako:
1
sgn [σ(t)] + sgn [ε(t)]
1
.
W (t) = σ(t)ε(t)sgn [σ(t), ε(t)] = σ(t)ε(t)
2
2
2
(2.66)
Dla wieloosiowego stanu naprężenia przebieg ekwiwalentnego parametru gęstości energii
odkształcenia jest wyliczany w płaszczyźnie krytycznej o normalnej n~ i kierunku stycznym
~s jako:
1
1
Weq (t) = βWns (t) + κWn (t) = κσn (t)εn (t)sgn [σn (t), εn (t)] + βτns (t)εns (t)sgn [τns (t), εns (t)] .
2
2
(2.67)
26
Położenie płaszczyzny krytycznej może być ustalane za pomocą jednej z trzech metod opisanych wcześniej tj. metody funkcji wagowych, metody maksimum wariancji lub metody
kumulacji uszkodzeń. Kryterium parametru gęstości energii odkształceń normalnych i stycznych w płaszczyźnie krytycznej może być używane dla obciążeń cyklicznych i losowych w
zakresie małej i dla dużej liczby cykli.
Kryterium Rolovic’a-Tipton’a (1999), [90]
Rolovic i Tipton zaproponowali kryterium dla wieloosiowych proporcjonalnych i nieproporcjonalnych obciążeń zmęczeniowych uwzględniające wpływ wartości średniej naprężeń
normalnych. Kryterium w ogólnej formie zostało zapisane jako:
τns,a + f1 (σn,max ) γns,a + σn,a + f2 (σn,max ) εn,a = f3 (N f ),
(2.68)
gdzie τns,a i γns,a to amplitudy naprężenia stycznego i odkształcenia postaciowego w płaszczyźnie krytycznej określonej przez wektor normalny n~ i wektor styczny ~s, σn,a i εn,a są
amplitudami naprężenia i odkształcenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej. σn,max to
maksymalna wartość naprężenia normalnego (statyczna i zmienna) w płaszczyźnie krytycz
nej. Część pierwsza równania (2.68), τns,a + f1 (σn,max ) γns,a uwzględnia zjawiska zmęczeniowe zachodzące w pęknięciach według mody II wywołane odkształceniem postaciowym i
naprężeniem stycznym zmodyfikowanym przez funkcję f1 (σn,max ) maksymalnego naprężenia
normalnego mającego wpływ na efekt zamykania się szczeliny. Wyrażenie drugie równa
nia (2.68), σn,a + f2 (σn,max ) εn,a uwzględnia wpływ części energii odkształcenia liczonej w
kierunku normalnym do płaszczyzny krytycznej z modyfikującą funkcją f2 (σn,max ). Płaszczyzna krytyczna może być określona przez równanie (2.68) jako płaszczyzna o największym
stopniu uszkodzenia lub na podstawie obserwacji kierunków pęknięć.
Kryterium Chena’a i innych (1999), [15]
Chen i inni zaproponowali dwa kryteria, jedno dla materiałów charakteryzujących się
pęknięciami według mody I, a drugie dla materiałów pękających według mody II. Obydwa kryteria zakładają wpływ normalnych i stycznych składników naprężeń i odkształceń
w płaszczyźnie krytycznej na trwałość zmęczeniową. Dla materiałów pękających według
mody I płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna maksymalnego odkształcenia normalnego.
Kryterium w takim przypadku przybiera formę:
∆εn ∆σn + ∆γns ∆τns = 4
σ ′f
E
(2N f )2b + 4σ ′f ε ′f (2N f )b+c ,
(2.69)
gdzie: ∆σn , ∆τns , ∆γns - zakresy naprężenia normalnego, stycznego i odkształcenia postaciowego w płaszczyźnie maksymalnego zakresu odkształcenia normalnego ∆εn . Dla materiałów
wykazujących pęknięcia według mody II płaszczyzna krytyczna jest płaszczyzna maksymalnego odkształcenia postaciowego. Kryterium w takim przypadku przybiera forme:
∆γns ∆τns + ∆εn ∆σn = 4
τ′f
E
(2N f )2b0 + 4τ′f γ ′f (2N f )b0 +c0 ,
(2.70)
gdzie: ∆σn , ∆τns , ∆εn - zakresy naprężenia normalnego, stycznego i odkształcenia normalnego w płaszczyźnie maksymalnego zakresu odkształcenia postaciowego ∆γns . Postać
równania (2.70) jest identyczna z kryterium (2.62) proponowanym przez Glinke i innych.
27
2.4. Podsumowanie stanu badań
Kryterium Hoffmeyera i innych (2001) [31]
Położenie płaszczyzn krytycznych można też określać na podstawie praw mechaniki
pękania, koncepcję taką przedstawił Hoffmeyer i inni [31]. Za płaszczyznę krytyczną przyjęto
płaszczyznę o największej prędkości pękania. Prędkość pękania jest określana na podstawie
prawa Parisa używając efektywnego zakresu całki J to jest ∆Je f f .
C2
da
(2.71)
= C1 ∆Je f f ,
dN
gdzie: C1 , C2 – stałe materiałowe. W celu uwzględnienia mieszanych mód pękania dla
nieproporcjonalnych obciążeń efektywny zakres całki ∆Je f f jest obliczany jako suma efektywnego zakresu całki ∆JI,e f f dla mody I i efektywnego zakresu całki ∆JII,e f f dla mody II.
Równania opisujące sposób obliczania efektywnego zakresu całki J zostały zaczerpnięte z
prac Dowlinga.
∆Je f f = ∆JI,e f f + ∆JII,e f f ,
(2.72)
!
2
∆σn∆εn,p
(∆σn )
∆JI,e f f = 1, 24
+ 1, 02 √
a − według mody I pękania,
(2.73)
E
n′
!
∆τns ∆γns,p
(∆τns )2
a − według mody II pękania.
(2.74)
+ 1, 02 √
∆JII,e f f = 1, 24
G
n′
Kryterium Varvani-Farahani (2002) [106, 105]
Varvani-Farahani zaproponował parametr zmęczeniowy jako sumę zakresu gęstości energii odkształcenia normalnego ∆σn ∆εn i zakresu gęstości energii odkształcenia postaciowego
∆τns,max ∆(γns,max /2) obliczanej na płaszczyźnie krytycznej o maksymalnym odkształceniu
postaciowym w przebiegu gdzie naprężeniowe i odkształceniowe koła Mohra są największe
podczas obciążania i odciążania w cyklu. Energie odkształceń normalnych i postaciowych
w tym parametrze są ważone poprzez współczynniki materiałowe. Ponadto parametr ten
uwzględnia wartość średnią naprężeń normalnych. Parametr ten można stosować tylko dla
obciążeń cyklicznych i płaskiego stanu naprężenia.
σ
γ
1 + σn,m′
1
f
ns,max
∆σ
∆ε
+
∆τ
∆
=
f
Nf .
n
n
ns,max
σ ′f ε ′f
τ′f γ ′f
2
(2.75)
Płaszczyzna krytyczna w tym kryterium jest niejasno zdefiniowana. Ponadto nie uwzględniono faktu, że położenia osi głównych odkształceń i naprężeń nie pokrywają się w przypadku
wystąpienia odkształceń plastycznych.
Z przeglądu kryteriów wieloosiowego zmęczenia opartych na koncepcji płaszczyzny
krytycznej wynika, że pojęcie płaszczyzny krytycznej jest szerokie i niejednakowo rozumiane w różnych okresach czasu i przez różnych badaczy. W tabeli 2.1 przedstawiono
podział kryteriów wieloosiowego zmęczenia ze względu na występujący w nich kierunek
płaszczyzny krytycznej. Pierwsze modele do opisu zjawisk zmęczenia wykorzystywały stan
naprężenia, a płaszczyzna krytyczna była związana z kierunkami maksymalnych naprężeń
normalnych. Późniejsze modele wykorzystywały stan odkształcenia do analizy procesu zmęczenia. Najczęściej używaną płaszczyzną krytyczną w modelach bazujących na odkształceniach była płaszczyzna maksymalnego odkształcenia postaciowego. Wraz z rozwojem
28
badań zmęczeniowych różni autorzy doszli do wniosku, że ani stan odkształcenia, ani stan
naprężenia nie jest w stanie opisać wszystkich zjawisk zachodzących w trakcie obciążeń
zmiennych. Rozwijano więc prace związane z gęstością energii odkształcenia, która jako
iloczyn odkształcenia i naprężenia powinna ująć w sobie także ich wzajemne powiązanie.
Ponadto gęstość energii odkształcenia jest skalarem co pozwala na dodawanie składników
gęstości energii odkształcenia bez wchodzenia w konflikt z elementarnymi zasadami fizyki.
Opracowano wiele modeli bazujących na różnych parametrach wykorzystujących gęstość
energii odkształcenia. Ogólnie można stwierdzić, że płaszczyzna krytyczna w kryteriach
wytężenia zmęczeniowego wykorzystujących gęstość energii odkształcenia jest związana z
częścią gęstości energii odkształcenia postaciowego oraz częścią gęstości energii odkształcenia normalnego. Dla materiałów i rodzajów obciążenia, dla których dominujące są pęknięcia
Tabela 2.1. Podział kryteriów wieloosiowego zmęczenia ze względu na występujący w nich kierunek
płaszczyzny krytycznej
Rodzaj kryterium
Kierunek płaszczyzny krytycznej
Zgodny z I modą pęka- Zgodny z II i III modą
nia
pękania
Mieszany
Naprężeniowe
1. Maksymalnego naprężenia
normalnego
2. Machy∗ (1979)
1. Maksymalnego naprężenia
stycznego
2. McDiarmida (1972)
3. Dietmana - Isslera (1974)
4. Matake (1977)
5. Machy* (1979)
6. Dang Van’a∗∗ (1982)
7. Papadopoulos’a∗∗ (1993)
1. Oktaedrycznego naprężenia stycznego
2. Findley’a (1956)
3. Simbürgera (1974)
4. Machy (1979)
5. Semprucha (1992)
6. Vidal’a∗∗ (1996)
1. Maksymalnego odkształcenia normalnego
2. Machy∗ (1988)
1. Maksymalnego odkształcenia postaciowego
2. Brown’a-Miller’a (1973)
3. Lohr’a-Ellisona (1980)
4. Fatemi-Socie (1987)
5. Machy∗ (1988)
1. Oktaedrycznego odkształcenia postaciowego
2. Machy∗ (1988)
1. Smith’a - Watson’a - Topper’a (1970)
2. Liu (1993)
3. Łagody-Machy∗ (1998)
4. Chen’a (1999)
1. Liu (1993)
2. Glinki - Shena - Plumtree
(1994)
4. Chen’a (1999)
5. Varvani - Farahani (2002)
1. Nitty - Ogaty - Kuwabary
(1988)
3. Rolovic’a-Tipton’a (1999)
4. Hoffmeyera i innych (2001)
Odkształceniowe
Energetyczne
*-
Szczególny przypadek kryterium; ** - Kryterium uwzględniające naprężenia hydrostatyczne
zmęczeniowe według mody I wykorzystywano modele wieloosiowego zmęczenia oparte na
płaszczyźnie krytycznej rozumianej jako: płaszczyzna maksymalnego naprężenia normalnego, płaszczyzna maksymalnego odkształcenia normalnego lub płaszczyzna maksymalnej
gęstości energii odkształcenia normalnego.
Dla materiałów i rodzajów obciążenia, dla których dominujące są pęknięcia zmęczeniowe
według mody II wykorzystywano modele wieloosiowego zmęczenia oparte na płaszczyźnie
krytycznej rozumianej jako: płaszczyzna maksymalnego naprężenia stycznego, płaszczyzna
maksymalnego odkształcenia postaciowego lub płaszczyzna maksymalnej gęstości energii
odkształcenia postaciowego.
29
Dla materiałów i rodzajów obciążenia, dla których zauważono mieszane typy pęknięć
zmęczeniowych przyjmowano płaszczyznę oktaedryczną lub inną, ale powstały też propozycje obliczania trwałości zmęczeniowej wykorzystujące jednocześnie dwie płaszczyzny krytyczne. Płaszczyznę krytyczną związaną z modą I, na której obliczano stopień uszkodzenia
oraz płaszczyznę krytyczną związaną z modą II, na której też obliczano stopień uszkodzenia.
Następnie obydwa stopnie uszkodzenia były sumowane.
Ponadto z przeglądu literatury dotyczącej zakładanych położeń płaszczyzn krytycznych
w kryteriach wieloosiowego zmęczenia nasuwają się następujące uwagi:
1. Wraz z rozwojem nauki nad kryteriami wieloosiowego zmęczenia znaczenie podstawowych pojęć jak maksymalna wartość, amplituda, zakres naprężeń i odkształceń ulegały
zmianie. Nazewnictwo stosowane w przypadku obciążeń statycznych czy zmiennych
proporcjonalnie okazało się błędne w przypadku obciążeń nieproporcjonalnych.
2. Często nie uwzględnia się zmienności kierunków głównych naprężeń i odkształceń, traktuje się je jako wielkości skalarne
3. W niektórych kryteriach wytężenia zmęczeniowego przyjmuje się, że położenie płaszczyzny krytycznej jest położeniem średnim zmiennych kierunków głównych naprężeń i
odkształceń
4. Mało jest informacji dotyczących wpływu wartości średnich obciążeń na położenie płaszczyzny złomu i płaszczyzny krytycznej
5. Słabo udokumentowane są położenia płaszczyzn złomu i płaszczyzn krytycznych przy
wieloosiowych obciążeniach losowych
6. Czynione są próby uwzględnienia różnych mechanizmów niszczenia zmęczeniowego
materiału (moda I, II, III, stage I, stage II, zarodkowanie pęknięć, inicjacja, propagacja)
poprzez:
- stosowanie jednocześnie kilku kryteriów opartych na różnych typach pęknięć przy
czym trwałość jest określona według kryterium wskazującym mniejszą trwałość
(Langlais, Socie, Das)
- sumowanie stopni uszkodzeń obliczonych według kilku kryteriów charakterystycznych dla danego mechanizmu niszczenia zmęczeniowego materiału (Nitta)
- podział trwałości zmęczeniowej na dwie lub trzy fazy (zarodkowanie, inicjacja i
propagacja) i obliczenie stopnia uszkodzenia dla każdej z faz osobno a następnie ich
zsumowanie (Socie)

katedra mechaniki i podstaw konstrukcji maszyn wydział

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zarządzanie i inżynieria produkcji

Instrukcja nr.19 - www.kms.pollub.pl

pobierz plik artykułu - Inżynieria i Aparatura Chemiczna

AKUSTYCZNY MIERNIK NAPIĘCIA

Ocena nośności i stateczności podłoża