Relację binarną ϱ określoną w zbiorze X nazywamy relacją po

Relację binarną % określoną w zbiorze X nazywamy relacją porządkującą (lub relacją częściowego porządku), jeśli jest zwrotna,
słabo antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X z określoną w nim
relacją porządkującą nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym.
Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem „ 4”. Mówimy wówczas, że (X, 4) jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Mamy zatem warunki:
∀x∈X x 4 x, ∀x,y∈X x 4 y ∧ y 4 x ⇒ x = y,
∀x,y,z∈X x 4 y ∧ y 4 z ⇒ x 4 z.
1
Porządek liniowy
Definicja. Relację porządkującą, która jest spójna, nazywamy
relacją porządku liniowego. Oznacza to, że spełniony jest warunek
∀x,y∈X x 4 y ∨ y 4 x.
2
Porządek gęsty
Definicja. Porządek liniowy „ 4” w zbiorze X nazywamy gęstym,
jeśli dla dowolnych dwóch elementów a, b ∈ X spełniających warunek a ≺ b istnieje element c ∈ X taki, że a ≺ c i c ≺ b.
Przykłady zbiorów uporządkowanych gęsto: Q, R ze „zwykłą”
relacją x 6 y.
Przykład zbioru z porządkiem liniowym, który nie jest gęsty:
(Z, 6).
Twierdzenie. Jeśli (X, 4) jest zbiorem uporządkowanym gęsto,
to dla dowolnych dwóch elementów a, b ∈ X spełniających warunek a ≺ b istnieje nieskończenie wiele elementów c ∈ X takich, że
a ≺ c i c ≺ b.
3
Porządek ciągły
Definicja. Porządek gęsty „ 4” w zbiorze X nazywamy ciągłym,
jeśli dla dowolnych dwóch niepustych podzbiorów A, B ⊂ X spełniających warunek
∀a∈A∀b∈B a 4 b
istnieje element c ∈ X taki, że
∀a∈A a 4 c ∧ ∀b∈B c 4 b .
Przykład zbioru z porządkiem ciągłym: (R, 6).
Przykłady zbiorów z porządkiem liniowym, który nie jest ciągły:
Z, Q z relacją „ 6”.
4
Porządek dobry
Definicja. Porządek liniowy „ 4” w zbiorze X nazywamy dobrym,
jeśli w każdym niepustym podzbiorze A ⊂ X istnieje element
najmniejszy.
Przykłady zbiorów z porządkowanych w sposób dobry: N z relacją „ 6”, dowolny zbiór skończony liniowo uporządkowany.
Przykłady zbiorów z porządkiem liniowym, który nie jest dobry:
Z, Q, R, R+, [0, +∞) z relacją „ 6”.
Twierdzenie Zermelo (bez dowodu). Każdy zbiór można dobrze
uporządkować.
5
Relacje równoważności
6
Definicja. Relację binarną % określoną w zbiorze X nazywamy relacją typu równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i
przechodnia:
∀x∈X x%x, ∀x,y∈X x%y ⇒ y%x,
∀x,y,z∈X x%y ∧ y%z ⇒ x%z.
Niech m będzie liczbą naturalną, m > 1. W zbiorze Z określmy
relację
x ≡ y (mod m) ⇔ m | x − y.
Zapis x ≡ y (mod m) czytamy „ x przystaje do y modulo m”.
Przystawanie modulo m jest relacją równoważności w zbiorze Z.
Ponadto x ≡ y (mod m) dokładnie wtedy, gdy x i y dają tę samą
resztę przy dzieleniu przez m.
7
Przykład. Tabela liczb całkowitych dających odpowiednie reszty
przy dzieleniu przez 5.
reszta
0
1
2
3
4
liczby
. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . .
. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . .
. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . .
. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . .
. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . .
Zatem:
−10 ≡ 5 (mod 5),
2017 ≡ 2 (mod 5),
−96≡7 (mod 5),
11 ≡ −4 (mod 5),
3 ≡ 13 (mod 5),
−26≡2 (mod 5).
8
Definicja. Niech % będzie relacją binarną w zbiorze X. Dla każdego elementu x ∈ X określamy zbiór
[x]% = {y ∈ X : x%y} ⊂ X.
Jeśli % jest relacją równoważności, to zbiór [x]% nazywamy klasą
abstrakcji lub klasą równoważności elementu x.
9
Dla relacji przystawania modulo 5 mamy np.:
[0]% = {. . . , −5, 0, 5, 10, . . . },
[7]% = [2]% = {. . . , −3, 2, 7, 12, . . . },
[1234]% = [4]% = {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . . }.
Zauważmy, że zbiory [0]%, [1]%, [2]%, [3]%, [4]% są parami rozłączne
oraz
[0]% ∪ [1]% ∪ [2]% ∪ [3]% ∪ [4]% = Z.
10
Twierdzenie. Jeśli % jest relacją typu równoważności w zbiorze
X, to:
a) ∀x∈X x ∈ [x]%,
b) ∀x,y∈X [x]% = [y]% ∨ [x]% ∩ [y]% = ∅,
c) ∀x,y∈X x%y ⇔ [x]% = [y]%.
11
Twierdzenie. Jeśli zbiór X jest sumą rodziny swoich podzbiorów
Xt , t ∈ T :
X=
[
Xt,
t∈T
spełniających warunek
∀t,t0∈T (Xt = Xt0 ∨ Xt ∩ Xt0 = ∅),
to relacja ∼ w zbiorze X, określona następująco:
x ∼ y ⇔ ∃t∈T x, y ∈ Xt,
jest relacją równoważności.
12
Przykłady:
podział X = {A, B, C, D} ∪ {E, F } ∪ {G, H} ∪ {I} określa relację ∼
taką, że np. A ∼ A, A ∼ B, A ∼ C, A ∼ D, A 6∼ E, A 6∼ F , A 6∼ G,
A 6∼ H, A 6∼ I,
podział {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 3, 5} ∪ {2, 4} określa relację ∼ taką, że
x ∼ y ⇔ x i y są tej samej parzystości.
Definicja. Jeśli % jest relacją typu równoważności w zbiorze
X, to zbiór jej klas abstrakcji nazywamy zbiorem ilorazowym i
oznaczamy symbolem X/%.
Przykład. Dla przystawania modulo 5 mamy
Z/% = {[0]%, [1]%, [2]%, [3]%, [4]%}.
13
Konstrukcje zbiorów liczbowych
14
Zbiór liczb wymiernych
Rozważmy zbiór
X = Z × Z \ {0} = {(a, b); a, b ∈ Z, b 6= 0}.
W zbiorze X określamy relację binarną
(a, b)%(c, d) ⇔ ad = bc.
Relacja % jest relacją równoważności.
Definicja. Q = X/% = {[x]%, x ∈ X}.
15
Jeśli % jest relacją równoważności w zbiorze X, to zbiór
[x]% = {y ∈ X : x%y} = {y ∈ X : y%x}
nazywamy klasą abstrakcji (klasą równoważności) elementu x.
1
Przykład. Liczbę wymierną
definiujemy jako klasę abstrakcji
2
pary (1, 2). Mamy
(1, 2)%(a, b) ⇔ 1 · b = 2 · a,
więc
[(1, 2)]% = {(a, b) ∈ X : b = 2a} =
= {(1, 2), (−1, −2), (2, 4), (−2, −4), (3, 6), (−3, −6), . . . }
16
Działania w zbiorze Q określamy następująco:
[(a, b)]% + [(c, d)]% = [(ad + bc, bd)]%,
[(a, b)]% · [(c, d)]% = [(ac, bd)]%.
Definicje te są poprawne, tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów klas abstrakcji:
jeśli (a, b)%(a0, b0) i (c, d)%(c0, d0),
to (ad + bc, bd)%(a0d0 + b0c0, b0d0) i (ac, bd)%(a0c0, b0d0).
17
Analogicznie konstruujemy zbiór liczb całkowitych mając dany
zbiór liczb naturalnych.
Rozważmy zbiór
X = N × N = {(a, b); a, b ∈ N}.
W zbiorze X określamy relację binarną
(a, b)%(c, d) ⇔ a + d = b + c.
Relacja % jest relacją równoważności.
Definicja. Z = X/% = {[x]%, x ∈ X}.
18
Przykład. Liczbę całkowitą −1 definiujemy jako klasę abstrakcji
pary (0, 1).
Mamy (0, 1)%(a, b) ⇔ 0 + b = 1 + a, więc
[(0, 1)]% = {(a, b) ∈ X : b = a+1} = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), . . . }
Działania w zbiorze Z określamy następująco:
[(a, b)]% + [(c, d)]% = [(a + c, b + d)]%,
[(a, b)]% · [(c, d)]% = [(ac + bd, ad + bc)]%,
i sprawdzamy poprawność definicji: jeśli (a, b)%(a0, b0) i (c, d)%(c0, d0),
to (a+c, b+d)%(a0 +c0, b0 +d0) i (ac+bd, ad+bc)%(a0c0 +b0d0, a0d0 +b0c0).
19
Zbiór liczb naturalnych określamy aksjomatycznie, a istnienie
takiego zbioru wynika z kolei z aksjomatów teorii zbiorów.
N – zbiór,
∗ : N → N, n 7→ n∗ – funkcja następnika,
0 ∈ N – wyróżniony element (zero).
20
Aksjomaty Peana:
1) 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej:
∀n∈N n∗ =
6 0.
2) Funkcja następnika jest różnowartościowa:
∀m,n∈N m∗ = n∗ ⇒ m = n.
3) Aksjomat indukcji matematycznej. Dla dowolnego podzbioru
A ⊂ N mamy:
(0 ∈ A ∧ ∀n∈N (n ∈ A ⇒ n∗ ∈ A)) ⇒ A = N.
21