Atom wodoru i jony wodoropodobne

Atom wodoru i jony wodoropodobne
dr inż. Ireneusz Owczarek
CMF PŁ
[email protected]
http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek
2012/13
Spis treści
Spis treści
1. Model Bohra atomu wodoru
1.1. Porządek wśród atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Energia elektronu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
2. Atom wodoru w mechanice kwantowej
2.1. Równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Rozwiązanie równania Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Liczby kwantowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
7
1. Model Bohra atomu wodoru
1.1. Porzadek
˛
wśród atomów
Doświadczenie Rutherforda (1911)
Analiza kątów rozproszenia cząstek alfa pozwoliła określić rozmiary ładunku dodatniego
wchodzącego w skład atomu Au.
Prawie cała masa atomu skupiona jest w bardzo małym obszarze – jądrze atomowym.
Rozmiar jądra zależy od pierwiastka, ale może być oszacowany jako ok. 10−14 m, rozmiary
atomu rzędu 10−10 m, a masa protonu to 1836me .
Model atomu wprowadzał bliskie współczesnemu modelowi założenia:
• ładunek dodatni zgromadzony jest w niewielkim a przez to bardzo gęstym jądrze
gromadzącym większość masy atomu,
• ładunek jądra jest równy iloczynowi liczby atomowej i ładunku elektronu,
• ujemnie naładowane elektrony okrążają jądro, podobnie jak planety okrążają Słońce.
Model Bohra atomu wodoru
Zakładając, że elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w
jądrze, a środek masy pokrywa się ze środkiem jądra (protonu). Z równowagi sił
Fc = ma,
1 e2
v2
=
m
,
4π0 r2
r
c Ireneusz Owczarek, 2013
2
można obliczyć energię kinetyczną
Ek =
mv 2
e2
=
.
2
8π0 r
Energia całkowita
Ec = Ek + Ep =
e2
e2
e2
−
=−
.
8π0 r
4π0 r
8π0 r
Postulaty Bohra
1. Elektron w atomie porusza się po orbicie kołowej pod wpływem przyciągania kulombowskiego pomiędzy elektronem a jądrem.
2. Elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których moment pędu L jest
równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2π
L=n
h
= n~
2π
n=1, 2, 3,..
gdzie n oznacza liczbę kwantową.
3. Elektron poruszając się po orbicie nie wypromieniowuje energii. Jego całkowita energia
pozostaje stała.
4. Przejściu elektronu z orbity o energii En na orbitę o energii Em towarzyszy emisja lub
absorpcja fotonu o energii
En − Em = hν.
1.2. Energia elektronu
Z postulatu Bohra
v=
n~
,
mr
energia kinetyczna
e2
1
n~
= m
8π0 r
2
mr
Promień Bohra
rn =
2
,
4π0 ~2 2
n = r0 n2 ,
me2
gdzie r0 = 5, 29 · 10−11 m.
Energia elektronu
En = −
me4
1
E0
·
=− 2,
32π 2 20 ~2 n2
n
gdzie E0 = 13, 59eV jest energią jonizacji atomu (przejście ze stanu n = 1 do nieskończoności).
c Ireneusz Owczarek, 2013
3
Po czasie 10−8 s następuje samorzutne przejście elektronu z poziomu n na poziom k (n >
k). Atom emituje kwant promieniowania o częstotliwości
ν=
me4
1
1
En − Ek
=
− 2 .
h
64π 3 20 ~3 k2
n
Ponieważ
ν=
c
λ
Długość fali emitowanego fotonu
1
me4
1
1
1
1
=
− 2 = R0 2 − 2 ,
2 3
3
2
λ
64π c0 ~ k
n
k
n
gdzie R0 = 1, 09737 · 107 m−1 jest stałą Rydberga.
Grupę linii z jednakowymi wartościami n nazwano serią widmową.
Dla jonów wodoropodobnych (Z jest liczbą porządkową w układzie okresowym pierwiastków)
1
1
1
= Z 2 R0 2 − 2 .
λ
k
n
2. Atom wodoru w mechanice kwantowej
2.1. Równanie Schrödingera
Sprzeczności z prawami fizyki klasycznej
Niestety model atomu Bohra jest niewystarczający:
• zbyt prosty, nie pasuje do atomów wieloelektronowych,
• dlaczego moment pędu elektronu jest skwantowany?
• dlaczego elektron nie emituje promieniowania i nie spada na jądro?
Mimo tego wskazuje on, że elektrony w atomie przyjmują pewne stacjonarne (trwałe)
„stany energetyczne”.
Atom wodoru jest swego rodzaju studnią potencjału (naturalną pułapką) dla elektronu.
Energia potencjalna oddziaływania elektron–jądro jest postaci
e2
.
4π0 r
Równanie Schrödingera dla przypadku trójwymiarowego w układzie kartezjańskim
U (r) = −
∂2ψ
∂2ψ
∂2ψ
2m
+
+
= − 2 (E − U )ψ.
2
2
∂x
∂y
∂z 2
~
c Ireneusz Owczarek, 2013
4
Układ sferyczny
Potencjał ma symetrię sferyczną więc należy wprowadzić sferyczny układ współrzędnych
x = r sin ϑ cos ϕ,
y = r sin ϑ sin ϕ,
z = r cos ϑ.
Równanie Schrödingera w układzie sferycznym
∂ψ
1 ∂
r2
r2 ∂r
∂r
+
1
∂
∂ψ
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r2
+
r2
∂2ψ
1
2m
= − 2 (E − U )ψ,
2
~
sin ϑ ∂ϕ2
gdzie szukana funkcja falowa we współrzędnych sferycznych ma postać
ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Y (ϑ, ϕ).
Podstawiając tą funkcję do równania Schrödingera otrzymuje się trzy równania z których
każde opisuje zachowanie się funkcji falowej w zależności od r, ϑ, ϕ – równanie radialne,
biegunowe i azymutalne.
2.2. Rozwiazanie
˛
równania Schrödingera
Kwantowanie energii
Rozwiązanie równania radialnego Rn (r) istnieje jeśli energia elektronu przyjmuje ściśle
określone wielkości
Z2
Z2
me4
· 2 = −13, 59eV 2 ,
En = −
2 2
2
32π 0 ~
n
n
dla wartości r = r0
r0 =
4π0 ~2
= 5, 29 · 10−11 m.
me2
• wyrażenia dla r0 i En są identyczne jak w modelu Bohra,
• kwantyzacja jest wynikiem rozwiązania równania Schrödingera, a nie postulatem,
• r0 nie jest promieniem orbity, lecz odległością od jądra, przy której prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu osiągnie wartość maksymalną,
c Ireneusz Owczarek, 2013
5
• przyjęcie klasycznej orbity traci sens,
• moment pędu nie jest równy n~, lecz L =
p
l(l + 1)~.
Kwantowanie modułu momentu pedu
˛
Funkcja Y (ϑ, ϕ) jest funkcją własną i pozwala znaleźć wartości własne (rozwiązanie), gdy:
L=
p
l(l + 1)~
l = 0, 1, 2, . . . , n − 1,
to znacz, że moment pędu elektronu w atomie wodoru L jest skwantowany, a liczba l jest
tu tzw. orbitalną (azymutalną) liczbą kwantową.
Przyjmuje się następujące oznaczenia stanów elektronu w atomach:
• l = 0 – stan s,
• l = 1 – stan p,
• l = 2 – stan d,
• l = 3 – stan f ,. . .
Wektora L nie można w żaden sposób zmierzyć, można jedynie zmierzyć składową tego
wektora wzdłuż danej osi np. określonej przez pole magnetyczne.
Kwantowanie przestrzenne momentu pedu
˛
Funkcje Y (ϑ, ϕ) są tzw. funkcjami kulistymi oznaczanymi – Ylm (ϑ, ϕ).
Liczba ml jest tu tzw. magnetyczną liczbą kwantową,
ml = 0, ±1, ±2, . . . , ±l.
Magnetyczna liczba kwantowa opisuje wartość rzutu momentu pędu elektronu na oś określającą wyróżniony kierunek w atomie, np. zewnętrznego pola elektrycznego lub magnetycznego
Lz = ml ~.
Jeżeli długość orbity elektronu jest równa całkowitej wielokrotności λ, fale de Broglie’a
nie wygaszają się – orbita jest dozwoloną
ml λ = 2πr.
c Ireneusz Owczarek, 2013
6
2.3. Liczby kwantowe
Liczby kwantowe w modelu Bohra
Stan elektronu określony jest przez
główna˛ liczbę kwantową n i oznacza numer orbity (odpowiada odległości od jądra). Przyjmuje wartości całkowitych liczb dodatnich, n = 1, 2, 3, ....,
orbitalna˛ liczbę kwantową l i oznacza wartość bezwzględną orbitalnego momentu pędu.
Przyjmuje wartości liczb naturalnych z zakresu < 0, n − 1 >,
magnetyczna˛ liczbę kwantową ml i oznacza rzut orbitalnego momentu pędu na wybraną
oś. Przyjmuje wartości liczb całkowitych z zakresu < −l, 0, +l >,
magnetyczna˛ spinowa˛ liczbę kwantową ms określającą spinowy moment elektronu. Dla
elektronu przyjmuje wartości + 12 (prawoskrętny) lub − 12 (lewoskrętny).
W swobodnym atomie wodoru i jonie wodoropodobnym wszystkie stany o danej wartości
liczby kwantowej n i różnych wartościach liczb kwantowych l i m mają tę samą energię.
Orbital atomowy
Orbital atomowy to funkcja falowa ψ opisująca stan elektronu w atomie zależna od
trzech liczb kwantowych: n, l i ml .
Prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu w elemencie objętości dV określone jest
przez |ψ|2 dV .
Każdy orbital atomowy jest związany z pewną symetrią obszaru, w którym znajduje się
elektron.
Obszar w którym występuje duże prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu nazywa
się chmurą elektronową.
Kolejność obsadzania poziomów elektronowych
Reguła Hunga
Poziomy o jednakowej energii są najpierw obsadzane przez pojedyncze elektrony o takim
samym spinie.
Zakaz Pauliego
W atomie dwa elektrony nie mogą mieć identycznych czterech liczb kwantowych
Z zasady tej wynika,że:
c Ireneusz Owczarek, 2013
7
• na każdej powłoce znajduje się maksymalnie Z = 2n2 stanów do obsadzenia,
• Na każdej podpowłoce znajduje się 2(2l + 1) stanów do obsadzenia.
n
1
2
l
0
0
1
1
1
ml
0
0
-1
0
1
ms
− 21 , + 12
± 21
± 12
± 12
± 12
Z
2
8
Systematyka zapełniania stanów elektronowych w atomach i okresowość zmian własności
chemicznych pierwiastków umożliwiają umieszczenie wszystkich pierwiastków w układzie
okresowym pierwiastków Mendelejewa.
Energia jonu wodoropodobnego
Energia jonizacji równa jest energii wiązania elektronu w atomie. Największą energię joni-
zacji mają atomy gazów szlachetnych. Pierwiastki te mają zapełnione powłoki walencyjne.
Najmniejszą energię jonizacji mają pierwiastki z pierwszej grupy układu okresowego posiadające na powłoce walencyjnej jeden elektron.
Układ okresowy pierwiastków
Założenia:
• Liczba porządkowa Z pierwiastka chemicznego określa liczbę protonów znajdujących
się w jądrze atomowym – równa jest także liczbie elektronów w atomie gdy atom nie
jest „zjonizowany”.
• Stan elektronu w atomie określony jest przez zestaw liczb kwantowych n, l, ml i ms .
• Obsadzenie stanów energetycznych w atomie przez elektrony powinno zachodzić zgodnie z zakazem Pauliego.
Tablica Mendelejewa
• ułożenie znanych pierwiastków chemicznych według wzrastających liczb atomowych,
• pierwiastki w pionowych kolumnach (grupach układu) mają podobne właściwości chemiczne,
• fizyka kwantowa systematyzuje atomy poprzez podanie ich konfiguracji elektronowej,
• numer porządkowy okresu odpowiada głównej liczbie kwantowej n.
c Ireneusz Owczarek, 2013
8
Literatura
[1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005.
[2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.
[3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984.
[4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-Fizyka.
Podstawy fizyki.
[5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki.
c Ireneusz Owczarek, 2013
9