obliczanie ilorazu rodziny

Technika analogowa 2
Wykład 5
Analiza obwodów nieliniowych
1
Plan wykładu
 Wprowadzenie
 Charakterystyki – parametry dwójników
nieliniowych
 Rodzaje charakterystyk elementów
nieliniowych
 Obwody z nieliniowymi elementami
rezystancyjnymi. Metody analizy
 Linearyzacja warunkowa charakterystyk
2
Wprowadzenie
Obwodem nieliniowym – w odróżnieniu od liniowego –
będziemy nazywać obwód, w którym nie zachodzi liniowa
zależność między wymuszeniami a odpowiedziami.
Charakterystykę elementu można opisywać zwykle pewną
funkcją, określającą zależność jednej wielkości (pobudzenie)
elektrycznej od drugiej ( reakcja).
Element rezystancyjny – to element opisany funkcją
algebraiczną (brak pochodnych), wiążącą i z u
(lub u z u, u z i, i z i ).
Element reaktancyjny – to element opisany funkcją
zawierającą pochodne, wiążące i z u .
3
Wprowadzenie
Obwody elektryczne zawierające elementy, których
parametry zależą od prądu i napięcia płynącego przez
element, bądź napięcia panującego na zaciskach elementu
nazywamy obwodami nieliniowymi.
Charakterystyka elementu nieliniowego może być
przedstawiona w postaci jednej krzywej (dla elementu
niesterowanego jakim może być np. żarówka, bareter, dioda
próżniowa czy półprzewodnikowa) lub rodziny
krzywych - dla elementów sterowanych dodatkowym czynnikiem
sterującym (np. lampy próżniowe, wieloelektrodowe,
tranzystory).
Rozróżniamy elementy nieliniowe o charakterystyce
napięciowo-prądowej symetrycznej i niesymetrycznej.
4
Charakterystyka napięciowo-prądowa
(symetryczna)
Lampa żarowa
z włóknem
metalowym
(żarówka)
Stabilizator
oporowy
(bareter)
Lampa żarowa
z włóknem
węglowym
(żarówka)
5
Charakterystyka napięciowo-prądowa
(niesymetryczna)
Dioda
próżniowa
Dioda
gazowana
(gazotron)
Dioda
półprzewodnikowa
Takie elementy nazywamy prostownikami
6
Charakterystyka napięciowo-prądowa
(niesymetryczna)
Elementy o charakterystyce niejednoznacznej
Np. dioda tunelowa
Element uzależniony
napięciowo
7
Rezystancja statyczna i dynamiczna
Dwójnik nieliniowy – w odróżnieniu od liniowego – nie
może być opisany jednym lub kilkoma parametrami
Dla elementu rezystancyjnego nieliniowego można mówić
o wartości rezystancji (konduktancji) tylko w powiązaniu z
określonym punktem pracy na charakterystyce prądowonapięciowej. Dla każdego punktu K charakterystyki
wprowadzone są dwa pojęcia: rezystancja statyczna i
rezystancja dynamiczna.
Rezystancją statyczną Rs elementu nieliniowego w danym
punkcie K charakterystyki nazywamy iloraz napięcia i
prądu w tym punkcie:
RsK
UK
IK
ms tg
ms – współczynnik skali
8
Rezystancja statyczna i dynamiczna
Rezystancją dynamiczną (różniczkową) Rd elementu
nieliniowego w danym punkcie K charakterystyki
nazywamy pochodną napięcia względem prądu w tym
punkcie:
RdK
lim
I
0
U
I
K
dU
dI
ms tg
ms – współczynnik skali
9
Rezystancja statyczna i dynamiczna
RsK
UK
IK
ms tg
RdK
lim
I
0
U
I
K
dU
dI
ms tg
dU
dI
dI
dU
Rs
Rd
Rs
Rd
10
Współczynnik stabilizacji
Dla zadanego punktu charakterystyki układ nieliniowy
charakteryzuje się również współczynnikiem stabilizacji k,
rozumianym jako stosunek względnych zmian wielkości
wejściowej do względnych zmian wielkości na wyjściu.
Dla elementów nieliniowych o charakterystykach jak na
poprzednim slajdzie definiuje się (dla punktu pracy K)
następujące współczynniki stabilizacji:
- współczynnik prądowy
k IK
U
UK
wej
I
IK
wyj
U
I K
U
I K
RdK
RsK
11
Współczynnik stabilizacji
- współczynnik napięciowy
I
kUK
IK
wej
U
UK
wyj
U
I K
U
I K
RsK
RdK
Mówimy, że element o zadanej charakterystyce
stabilizuje napięcie, gdy kU >1 , czyli gdy Rs > Rd ;
stabilizuje prąd, gdy kI > 1 , czyli gdy Rs < Rd .
12
Połączenie szeregowe i równoległe
dwóch rezystorów nieliniowych
Przy połączeniu dwu i więcej elementów nieliniowych z
liniowymi w dowolny sposób, wykorzystuje się tzw.
charakterystykę łączną (wypadkową). Charakterystykę
łączną otrzymujemy z charakterystyk prądowonapięciowych elementów przez dodanie napięć na
poszczególnych elementach przy tym samym prądzie przy połączeniu szeregowym elementów lub przez
dodanie prądów płynących przez poszczególne elementy
przy tym samym napięciu - przy połączeniu równoległym
elementów.
13
Element nieliniowy połączony
szeregowo ze źródłem napięciowym
I
f (U N )
I
f (U N )
I
UN
U
f (U )
UN
UN
I
f (U )
I
U
f (U N )
UN
14
Połączenie szeregowe i równoległe
dwóch rezystorów nieliniowych
Połączenie
szeregowe
Połączenie
równoległe
15
Sposób graficzny wyznaczania prądu i
napięcia na dwóch elementach połączonych
szeregowo
u
Dla źródła
u
E Rg i
f (i)
Dla rezystora nieliniowego
RN : u
f (i)
16
Aproksymacja
Charakterystyki otrzymuje się najczęściej pomiarowo i
przedstawia graficznie, tabelarycznie lub analitycznie, czyli za
pomocą wzoru będącego aproksymacją rzeczywistej, fizycznej
zależności. Najczęściej stosuje się następujące funkcje
zastępcze:
a) aproksymacja odcinkiem prostej,
b) aproksymacja dwoma lub większą liczbą odcinków
(aproksymacja wieloodcinkowa)
c) Aproksymacja wielomianem potęgowym
y
a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ,
(zwykle jeden lub dwa wyrazy)
17
Aproksymacja
d) aproksymacja funkcją
wykładniku potęgowym
a xn ,
y
potęgową
o
niecałkowitym
gdzie n – liczba niecałkowita,
e) Aproksymacja funkcją wykładniczą lub logarytmiczną
y
a0
a1 eb1x lub y
a0
a1 ln b1 x ,
f) aproksymacja funkcją hiperboliczną
y
a0
a1 sinh b1 x lub y
a0
a1 tanh b1 x ,
18
Aproksymacja
g) aproksymacja funkcją trygonometryczną, np.
y
a0
a1tg b1 x
h) aproksymacja funkcją wymierną, to jest będącą ilorazem
wielomianów
y
a0 a1 x a2 x 2 ... an x n
,
2
m
b0 b1 x b2 x ... bm x
najczęściej stosowana jest funkcja A. Fröhlicha
y
a0 a1 x
.
b0 b1 x
i) Inne bardziej skomplikowane aproksymacje
19
Obwód zastępczy elementu
nieliniowego
U
Rd 1
mRtg
1
U
Rd 1
mRtg
2
20
Obliczanie obwodów nieliniowych
Przykład 1
Do stabilizacji prądu w obwodzie obciążonym rezystancją
R = 30 użyto bareteru, którego charakterystyka
napięciowo prądowa przedstawiona jest poniżej. Należy
wyznaczyć możliwe przedziały zmienności napięcia
doprowadzonego do obwodu, w których zakresie prąd
będzie zmieniał się od 0,25 A do 0,3 .
21
Obliczanie obwodów nieliniowych
Przykład 1
R
arc tg
mR
30
arc tg
100
17 0
Zatem przedziały
zmienności napięcia
wynoszą 20 i 45 V
22
Obliczanie obwodów nieliniowych
Przykład 2
Żarówka i opornik liniowy o rezystancji R połączono
szeregowo włączone są na napięcie U = 220 V. Napięcie
znamionowe żarówki wynosi 127 V jej charakterystyka
podana jest w tabeli poniżej.
Jaką moc będzie pobierała żarówka, jeśli napięcie
sieci zostanie obniżone do 180V.
23
Obliczanie obwodów nieliniowych
Przykład 2
I A
0.8
0.7
0,58
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
UV
0
50
100
150
127
200
250
24
Obliczanie obwodów nieliniowych
Przykład 2
Zgodnie z charakterystyką, napięciu 127 V odpowiada
prąd 0,58 A. Stąd napięcie na oporniku
UR
U UŻ
220 127 93V.
Zatem rezystancja opornika
R
93
160
0,58
25
Obliczanie obwodów nieliniowych
Przykład 2
I A
1.4
Szukana
moc
1.2
180
1,125A
160
P UI
100 0,5 50 W
1
0.8
0,5
0.6
0.4
0.2
0
100
0
50
100
UV
150
200
E=180
250
26
Obliczanie obwodów nieliniowych
Przykład 3
W obwodzie obliczyć wartość prądu I oraz napięcia U na
rezystancji nieliniowej R(I), której charakterystyka napięciowoprądowa jest wyrażona wzorem U = I2 ( =1/2 V/A2 , I>0)
E
12 V, R1
1 , R2
2
27
Obliczanie obwodów nieliniowych
Przykład 3
Wykorzystamy tw. Thevenina.
U0
R2
R1
Rwe
R2
E
R1R2
R1 R2
2
12
3
8V
2
3
28
Obliczanie obwodów nieliniowych
Przykład 3
U
U0
8 V, Rwe
U
1 2
I
2
I Rwe
I1
U0
3,389A, I 2
U
1 2
I1
2
2
,
3
1 2
I
2
2
I
3
8
4,72A
5,8V
29
Obliczanie obwodów nieliniowych
Przykład 3
V
U
8
2
I
3
U
1 2
I
2
~5,8
~ 3,4
A
30